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导数在研究函数中的应用


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龙文教育一对一个性化辅导教案
年级 日期 高二
20160326

学生 吴文翰 科目 数学

学校 省实 教师 黄荣明

次数 时段

第 3 次 17:30-19:30

课题 导数在研究函数中的应用
教学 重点 教学 难点 教学 目标
1、利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 2、极大、极小值的概 念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤 3、利用导数求函数的最大值和最小值的方法 1、对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 2、函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系 1、能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 2、理解极大值、极小值的概念;能够运 用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;3 、 使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念 一、课前热身: 1、 检查上周作业并讲评;

教 学 步 骤 及 教 学 内

2、交流本周学校所学课程; 3、检测上周所学知识掌握情况.

二、内容讲解: 知识点一 函数的单调性与导数 知识点二 函数的极值与导数

知识点三 函数的最大(小)值与导数

三、课堂小结:

四、作业布置:



管理人员签字:

日期:







1

1、学生上次作业评价: 备注:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差


2、本次课后作业:

业 布 置

课 堂 小 结

家长签字:

日期:







2

讲义
知识点一 函数的单调性与导数

1 、一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间 ?a, b ? 内,如果

f ?( x) ? 0 , 那 么 函 数 y ? f ( x) 在 这 个 区 间 内 单 调 递 增 ; 如 果 f ?( x) ? 0 , 那 么 函 数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.
2、利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递 减区间. 【例 1】确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数
3 2

【例 2】用两种方法证明证明函数 f(x)=

1 在(0,+∞)上是减函数 x

【例 3】当 x>0 时,证明不等式:1+2x<e x

2

【例 4】已知函数 y=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间 x

3

知识点二

函数的极值与导数

1、一般地,求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: 解方程 f ?( x) ? 0 .当 f ?( x0 ) ? 0 时: (1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值.

2、可导函数极值点的导数为 0,那么反过来,导数为 0 的点一定是极值点吗?
3 举个例子: y ? x , f ?(0) =0,但 x=0 不是极值点.

y=|x|,在 x=0 处取到极小值,但 f ?(0) 不存在.
也就是说若 f ?(c ) 存在, f ?(c ) =0 是 f(x)在 x ? c 处取到极值的必要条件,但不是充分条 件. 通常,若 f ?(c ) =0,则 x ? c 叫作函数 f(x)的驻点 3、判别可导函数 f(x)极大、极小值的方法 (1)求导数 f′(x); (2)求 f(x)的驻点,即求 f′(x)=0 的根; (3)检查 f′(x)在驻点左右的符号,如果在驻点左侧附近为正,右侧附近为负,那 么函数 y ? f ( x) 在这个驻点处取得极大值;如果在驻点左侧附近为负,右侧附近为正,那 么函数 y ? f ( x) 在这个驻点处取得极小值 4、几点注意: (1) 极值是一个局部概念 由定义, 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2) 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值, 极小值也未必小于极大值.
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(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取
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得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 【例 1】求函数 f ( x) = x ? sin x 的驻点和极值点

4

【例 2】求函数 g ( x) ? x 2 (3 ? x) 的极大值和极小值.

y
【例 3】 函数 f(x)的定义域为开区间 (a,b) , 导函数 f’ (x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数 f(x)在开区 间(a,b)内有 个极小值点。

y ? f ?( x)

b

a
【例 4】 “我们称使 f(x)=0 的 x 为函数 y=f(x)

O

x

的零点.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续 的,单调的函数,且满足 f(a)·f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上有唯 一的零点” .对于函数 f(x)=6ln(x+1)-x2+2x-1, (1)讨论函数 f(x)在其定义域内的单调性,并求出函数极值. (2)证明连续函数 f(x)在[2,+∞)内只有一个零点.

知识点三

函数的最大(小)值与导数

1、 结论:一般地, 在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线, 那么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值.
说明:⑴如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,则称函数

y ? f ( x) 在这个区间上连续.
⑵给定函数的区间必须是闭区间,在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大 值与最小值.如函数 f ( x) ?

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x

⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断, 5

⑷函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续, 是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件. 2. “最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是 个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. ⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶ 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值
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3.利用导数求函数的最值步骤: 只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较, 就可以得出函数的最值了. 一般地,求函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 【例 1】求函数 f ( x ) ?

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1 3 x ? 4 x ? 4 在 [?3, 4] 上的最大值与最小值 3

【例 2】已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9x ? a
3 2

(1)求 f ( x) 的单调减区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20 ,求函数在该区间上的最小值

6

【例 3】已知 f ( x) ? log 3

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满 x

足下列两个条件: (1) f ( x) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是 1,若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由

【例 4】函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的最大值是 M ,最小值是 m,若 M=m,则 f ?( x ) ( ) A、等于 0 B、大于 0 C、小于 0 D、以上都有可能

误区警示:
1、f(x)在某区间内可导,可以根据 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求函数的单调区间,或判断函 数的单调性,或证明不等式.以及当 f′(x)=0 在某个区间上,那么 f(x)在这个区间上是常 数函数 2、可导函数 y=f(x)在 x0 处有极值的特点: (1) f’(x0)=0 (2)在 x0 两侧异号

强化练习
1.函数 f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是( ) A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)<-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 2、下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 3、函数 y=

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2

)

7

A.0

B.-2

C.-1

D.

13 12
)

1 4 3 4、 已知函数 f(x)= x -2x +3m, x∈R, 若 f(x)+9≥0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( 2 3 3 3 3 A.m≥ B.m> C.m≤ D.m< 2 2 2 2 1 3 2 5、若 a>2,则方程 x -ax +1=0 在(0,2)上恰好有( ) 3 A.0 个根 B.1 个根 C.2 个根 D.3 个根

6、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x ) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.



5 2

C. 2

D.

3 2

? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 7、设 p : f (x) ?e x ?ln x ?2 x 2 ?mx ?1 在 (0,
()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 3 2 8. 设 f(x)= x +ax +5x+6 在区间[1,3]上为单调函数, 则实数 a 的取值范围为________. 3 9.点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

2 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值范 3

围是 10.已知函数 y ? 围是

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 (1)若函数在 ?? ?,??? 总是单调函数,则 a 的取值范 3
; 若函数在 [1,??) 上总是单调函数, 则 a 的取值范围 .; .

若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 11、求下列函数的单调区间(1)y=

x?2 x

(2)y=

x (3)y= x +x x ?9
2

12、求函数 f ( x) ? 48x ? x 的极值
3

13、求 函 数 y ? x ? 2x ? 5 在区间 ?? 2,2?上 的最大值与最小值
4 2

14、求下列函数的最值 8

(1) f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 (2) f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 2, x ?[?1,1]

15、设 a 为实数,函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? a, x ?[?2,3] (1)求 f ( x ) 的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴总有交点

1 2 2 16.已知定义在正实数集上的函数 f(x)= x +2ax,g(x)=3a lnx+b,其中 a>0,设两曲 2 线 y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用 a 表示 b,并求 b 的最大值; (2)求证:f(x)≥g(x)(x>0)

17、已知函数 f(x)=x -8lnx,g(x)=-x +14x. 9

2

2

(1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,试求实数 m 的值.

3 2 3 18、已知函数 f(x)=ax - x +1(x∈R),其中 a>0. 2 (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 1 (2)若在区间[- , ]上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围 2 2

19、设函数 f(x)=x +2x-2ln(1+x). (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 2 (2)当 x∈[ -1,e-1]时,是否存在整数 m,使不等式 m<f(x)≤-m +2m+e 恒成立?若 e 存在,求整数 m 的值;若不存在,则说明理由

2

10


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