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江苏省海安、如皋2010——2011学年高三期中考试数学试题(理科)


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江苏省海安、如皋 2011 届高三期中考试

数学(选修物理)试题 试题及参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填写在答题卡相应位置. 填空题: 小题, 填空题 1. 函数 f ( x ) = 2sin πx + 1 的最小正周期是 4

(

)



.
▲ .

2.设集合 U = { x 0 < x < 7,x ∈ Z} ,A={2,3,5},B={1,4},则 ( 痧A) ∩ ( U B ) = . U
3.复数 2 + i (i 是虚数单位)的实部是 . 1+ i 4.命题“ ?x ∈ Q,x 2 ? 2 = 0 ”的否定是 . ▲ .



.
▲ .

5.已知向量 a= .

(

3, 5 ,b⊥a,且|b|=2,则向量 b 的坐标是

)

6.将函数 y = 2sin 2 x + π 的图象按向量 p= ? π ,? 2 平移后所得图象的解析式是 4 8 7.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 π ,则|a+b|= 3 8. 9.
在等比数列{an}中,若 a3a83a13=243,则
a9 2 的值为 a10

(

)

(

)



.



.



.

若函数 f ( x) = mx 2 + x + 5 在 [ ?2, ∞) 上是增函数,则 m 的取值范围是 +



.

10. 某地区为了了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,随机选择了 50 位老人进
行调查. 下表是这 50 位老人日睡眠时间的频率分布表:

在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则 输出的 S 的值是 ▲
.

11. 若关于 x 的方程 kx-lnx=0 有解,则 k 的取值范围是



.

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12. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 m ≠ n,Sm = n 2,Sn = m 2 ,则 Sm + n =



.

13. 设 f ( x) 是定义在 ( ?∞,2] 上的减函数,且 f (a 2 ? sin x ? 1)≤f ( a + cos 2 x) 对一切 x ∈ R 都
成立,则 a 的取值范围是 ▲ . ▲ .

14. 设函数 f ( x ) = ? x x 2 + bx 2 + c ,则下列命题中正确命题的序号是

①当 b < 0 时, f ( x ) 在 R 上有最大值; ②函数 f ( x ) 的图象关于点 ( 0,c ) 对称; ③方程 f ( x ) =0 可能有 4 个实根; ④当 b > 0 时, f ( x ) 在 R 上无最大值; ⑤一定存在实数 a,使 f ( x ) 在 [a,+ ∞) 上单调递减.
【填空题答案】
1. 2 2.{6} 3. 3 2 4. ?x ∈ Q,x 2 ? 2 ≠ 0

5. 7.

( 10 ,? 26 ) 或 ( ? 2
7

10 , 6 2 2

)

6. y = 2 cos 2 x ? 2 9. ?0,1 ? ? 4? ? ?
? ? 13. ? ? 2,1 ? 10 ? 2 ? ?

8. 3

10. 6.42

11.

( ?∞,1 ??? e

12. ?(m + n) 2

14. ①③⑤

二、解答题:本大题共 6 题,共 90 分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. (本题满分 14 分)
设{an}是公比为 q 的等比数列,试用 a1,n,q( n ∈ N* )表示 Sn= ∑ ai .
i =1 n

【解】因为{an}是公比为 q 的等比数列,所以 an = a1q n ?1 (n ∈ N* ) .……………………2 分 于是 Sn= ∑ ai = a1 + a2 + a3 + ? + an ?1 + an 即
i =1 n

Sn = a1 + a1q + a1q 2 + ? + a1q n ? 2 + a1q n ?1 .



…………………4 分

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在上式两边同乘以 q,得
qSn = a1q + a1q 2 + a1q 3 + ? + a1q n ?1 + a1q n ,

②……………………6 分 …………………………8 分 ……………………… 10 分 ……………………… 12 分

由①-②得 所以,当 q ≠ 1 时, Sn =

(1 ? q) Sn = a1 ? a1q n .
a1 (1 ? q n ) . 1? q

显然,当 q=1 时, Sn = na1 .
(q = 1), ? na1, ? n 故 Sn = ? a1 (1 ? q ) ? 1 ? q ,( q ≠ 1). ?

……………………… 14 分

16. (本小题满分 14 分)
如图,一个半径为 10m 的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈,记水轮上的点 P 到水面的 距离为 d(m) 在水下,则 d 为负数) (P ,则 d 与时间 t(s)之间满足关系式: d = A sin (ωt + ? ) + b A > 0,ω > 0,? π < ? < π ,且当点 P 从水面上浮现时开始计算时 2 2
间. 现有以下四个结论:① A = 10 ;② ω = (1)直接写出正确结论的序号; (2)对你认为正确的结论予以证明,并改正错误的结论. 【解】 1)①②④. ( …………………………6 分
5π π ;③ ? = ;④b=5. 12 6

(

)

(2)由题意得,点 P 在最高位置时,d=15m, 点 P 在最低位置时,d=-5m,于是有 ? A + b = 15, 解得 A=10,b=5,故①和④都是正确的. ? ? ? A + b = ?5, 由于水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈,故它的周期是 T=15. 所以
2π = 15, = 2π ω . 因而②也是正确的. ω 15 ……………………… 12 分

……………………… 10 分

1 由题意得 t=0 时,d=0,所以 10sin ? + 5 = 0,sin ? = . 2 因为 ? π π <? < π ,所以 ? = ? . 6 2 2 ……………………… 14 分

17. (本题满分 14 分)
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定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 2,且当 x ∈ (0, 时, f ( x) = 2 x + 2? x . 1)
(1)求 f ( x) 在[-1,0)上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(-2,-1)上的单调性,并给予证明. 【解】 1)因为奇函数 f ( x) 的定义域为 R,周期为 2, ( 所以 f (?1) = f (?1 + 2) = f (1) ,且 f (?1) = ? f (1) ,于是 f (?1) = 0. ……………………2 分 当 x ∈ (?1,0) 时, ? x ∈ (0, , 1)

f ( x) = ? f (? x) = ? ( 2? x + 2 x ) = ?2 x ? 2? x .

…………………………5 分

( x = ?1), ? 0, 所以 f ( x) 在[-1, 上的解析式为 f ( x) = ? x 0) ……………………7 分 ?x ??2 ? 2 ,(?1 < x < 0).
(2) f ( x) 在(-2,-1)上是单调增函数. 先讨论 f ( x) 在(0,1)上的单调性. …………………………9 分

[方法 1]设 0 < x1 < x2 < 1 ,
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 2 x1 + 2? x1 ? 2 x2 + 2? x2 = ( 2 x1 ? 2 x2 ) 1 ?

(

1 2 x1 + x2

)
1 >0, 2 x1 + x2

因为 0 < x1 < x2 < 1 ,所以 2 x1 < 2 x2 ,2 x1 + x2 > 1 ,于是 2 x1 ? 2 x2 < 0, ? 1

从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 , 所以 f ( x) 在(0,1)上是单调增函数. ……………………… 12 分 因为 f ( x) 的周期为 2,所以 f ( x) 在(-2,-1)上亦为单调增函数. ……………… 14 分 [方法 2]当 x ∈ (0, 时, f ′( x) = ( 2 x ? 2? x ) ln 2 . 1) 因为 ln2>0, 2 x ? 2? x > 0 ,所以 f ′( x) = ( 2 x ? 2? x ) ln 2 > 0 , 所以 f ( x) 在(0,1)上是单调增函数. ……………………… 12 分

因为 f ( x) 的周期为 2,所以 f ( x) 在(-2,-1)上亦为单调增函数. ……………… 14 分

【注】第(2)小题亦可利用周期性求出 f ( x) = 2 x + 2 + 2? x ? 2 (?2 < x < ?1) ,再利用定义或导 数确定单调性.

18. (本题满分 14 分)
已知△ABC 的面积为 9 3 ,且 AC ? AB ? CB = 18 ,向量 m = (tan A + tanB,sin 2C ) 和
n = (1,cos A cos B) 是共线向量.

(

)

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(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的三边长. 【解】 (1)因为向量 m = (tan A + tanB,sin 2C ) 和 n = (1,cos A cos B) 是共线向量,
所以 cos A cos B ( tan A + tan B ) ? sin 2C = 0 , 即 sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosC=0, 化简得 sinC-2sinCcosC=0, sinC(1-2cosC)=0. 即 因为 0 < C < π ,所以 sinC>0,从而 cos C = 1 , C = π . 3 2 …………………………4 分 …………………………6 分 ………………8 分 …………………………2 分

(2)18 = AC ? AB ? CB = AC ? BC ? BA = AC ,于是 AC = 3 2 .
1 因为△ABC 的面积为 9 3 ,所以 9 3 = CA ? CB sin C , 2

(

)

(

)

2

即9 3 =

1 π ? 3 2 ? CB sin ,解得 CB = 6 2. 2 3

……………………… 11 分

在△ABC 中,由余弦定理得
AB 2 = CA2 + CB 2 ? 2CA ? CB cos C = ( 3 2 ) + ( 6 2 ) ? 2 × 3 2 × 6 2 × 1 = 54. 2
2 2

所以 AB = 3 6.

……………………… 14 分

19. (本题满分 16 分)
已知二次函数 y = f ( x) 的图象经过点(0,1),其导函数 f ′( x) = 6 x ? 2 ,数列{an}的前 n 项 和为 Sn,点(n,Sn) (n ∈ N* ) 均在函数 y = f ( x) 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式 an 和 Sn ; (2)设 bn =

3 ,T 是数列{b }的前 n 项和,求使得 T < m 对所有 n ∈ N* 都成立的最 n n n 21 an an +1

小正整数 m. 【解】 1)由题意,可设 f ( x) = ax 2 + bx + c . ( 因为函数 y = f ( x) 的图象经过点(0,1),所以 c = f (0) = 1 . 而 6 x ? 2 = f ′( x) = 2ax + b ,所以 a=3,b=-2. 于是 f ( x) = 3x 2 ? 2 x + 1 . …………………………3 分

因为点(n,Sn) (n ∈ N* ) 均在函数 y = f ( x) 的图象上,所以 Sn = 3n2 ? 2n + 1 .…………5 分 所以 a1=S1=2,当 n≥1 时, an = Sn ? Sn ?1 = 3n 2 ? 2n + 1 ? ?3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) + 1? = 6n ? 5 , ? ?
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(n = 1), ? 2, 故 an = ? ?6n ? 5, (n > 1,n ∈ N ).

…………………………8 分

? 3 , (n = 1), ? 3 , (n = 1), ? 14 3 = ?2×7 (2) bn = =? an an +1 ? 3 1 ? 1 ,( n > 1 n ∈ N). ,(n > 1 n ∈ N ) ? 1 , ? , ? 2 6n ? 5 6n + 1 ? (6n ? 5)(6n + 1)

(

)

……………………… 10 分
1 ? 1 ? 所以当 n>1 时, Tn = 3 + 1 ? 1 ? 1 + 1 ? 1 + ? + 2 × 7 2 ? 7 13 13 19 6n ? 5 6n + 1 ? ? ? 1 =2? . 7 2(6n + 1)

(

) (

)

(

)

……………………… 12 分

?m > 3, ? 21 14 Tn < m 对所有 n ∈ N* 都成立 ? ? 对所有 n ∈ N* 都成立 21 m >2? 1 ? ? 21 7 2(6n + 1) ?m > 9 , ? 2 ?? ? m≥6. m ≥2 ? ? 21 7

故所求最小正整数 m 为 6.

……………………… 16 分

20. (本小题满分 18 分)
已知函数 f ( x) = a sin x ? x + b (a,b 均为正常数). (1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x = π 处有极值. 3 ①对于一切 x ∈ ?0,π ? ,不等式 f ( x) > 2 sin x + π 恒成立,求 b 的取值范围; ? 2? 4 ? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3 【证】 1)因为 f (0) = b > 0 , (

(

)

(

)

f (a + b) = a sin( a + b) ? ( a + b) + b = a [sin(a + b) ? 1]≤0 , 所以函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点. 【解】 (2) f ′( x) = a cos x ? 1 . …………………………4 分 …………………………6 分

因为函数在 x = π 处有极值,所以 f ′ π = 0 ,即 a cos π ? 1 = 0 ,所以 a=2. 3 3 3 于是 f ( x) = 2sin x ? x + b . …………………………8 分

()

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① 2 sin x + π = sin x + cos x , 4 于是本小题等价于 b > x + cos x ? sin x 对一切 x ∈ ?0,π ? 恒成立. ? 2? ? ?
记 g ( x) = x + cos x ? sin x ,则 g' ( x) = 1 ? sin x ? cos x = 1 ? 2 sin x + π . 4 因为 x ∈ ?0,π ? ,所以 π ≤x + π ≤ 3π ,从而 2 ≤sin x + π ≤1 , ? ? 2? ? 2 4 4 4 4
所以 1≤ 2 sin x + π ≤ 2 ,所以 g' ( x)≤0 ,即 g(x)在 ?0,π ? 上是减函数. ? 2? 4 ? ? 所以 [ g ( x)]max = g (0) = 1 ,于是 b>1,故 b 的取值范围是 (1,+ ∞). ………………… 12 分 ② f ′( x) = 2 cos x ? 1 = 2 cos x ? 1 , 2 由 f ′( x)≥0 得 cos x≥ 1 ,即 ? π + 2kπ≤x≤ π + 2kπ,k ∈ Z. 3 3 2
因为函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数, 3 3 所以 m ? 1 π,2m ? 1 π ? ? ? π + 2kπ,π + 2kπ ?,k ∈ Z , ? 3 ? 3 3 3 ? ? ……………………… 14 分

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

? m ? 1 π≥- π + 2kπ, ? 3 3 ? 2m ? 1 ? π + 2kπ, k ∈ Z, 则有 ? π≤ 3 ? 3 ? m ? 1 π< 2m ? 1 π, ? 3 3 ?

?6k≤m≤3k + 1, 即? k ∈ Z, ? m > 0,

只有 k=0 时,0 < m≤1 适合,故 m 的取值范围是 ( 0, ]. 1

……………………… 18 分

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