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山西省忻州一中2013届高三上学期期中考试数学(文)试题[来源:学优高考网643584]

山西省忻州一中 2013 届高三上学期期中考试数学文试题 命题人:杨爱正 高世军

本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选 择题。

第 Ⅰ 卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题 5 分,共 60 分)
1.设集合 A ? {x | 2? | x |? 0}, B ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? A. {x | ?2 ? x ? 3} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | ?2 ? x ? 1} D. {x | x ? 1或x ? 3}

2.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [1,??) 上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.已知复数 Z ? A. ? 1 ? 2i 4.已知双曲线 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2i ? 3i ,则 Z 的共轭复数为 1? i B. 1 ? 2i C. ? 1 ? 2i

D. 1 ? 2i

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条 a 2 b2

渐近线经过点 (4, 4 3) ,则该双曲线的离心率为 A. 3 C. 5 B. 2 D. 2

5.执行如图所示的程序框图,则输出 k = A. 4 B. 5

C.6 D. 7 6.已知 a 是函数 f ( x) ? ln x ? log 1 x 的零点,若 0 ? x0 ? a, 则f ( x0 ) 的值满足
2

A. f ( x0 ) ? 0 C. f ( x0 ) ? 0

B. f ( x0 ) ? 0 D. f ( x0 ) 的符号不确定

7.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ? 1,

7 2 A. 2 ? 1 B. 1 ? 2 2 2 C. 1 ? D. ?1 2 2 8.等比数列 {an } 的前三项和 S 3 ? 18 ,若 a1 ,3 ? a2 , a3 成等差数列,则公比 q = 1 1 A. 2 或 ? B. ? 2 或 2 2 1 1 C. ? 2 或 ? D. 2 或 2 2
则 f( )? 9.一个几何体的三视图如图,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的表面积为 A. 2 ?
正视图 侧视图

2

B. 1 ?

2
俯视图

C. 3 ? 2 2 10.命题 : ?x ? [0, A. (1,??) C. ( ,??)

D. 2 ? 2 2

?
3

] ,使 3 cos 2

x x x 3 ? 3 sin cos ? a ? 成立,则实数 a 的取值范围是 2 2 2 2 3 B. ( ,??) 2
D. ( 3 ,??)

3 2

11.设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) ,若将 f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移

1 个单位长度,得 6

到的图象经过坐标原点;若将 f ( x) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 图象关于直线 x ? A. ? ? ? , ? ? C. ? ?

1 倍(纵坐标不变) ,得到的 2

1 对称.则 6

?
6

B. ? ? 2? , ? ? D. ? ? 3? , ? ?
0

?
3

3 ? ? ,? ? 4 8

?
2

b 是两个不共线的向量,其夹角为 ? (? ? 90 ) ,若函数 f ( x) ? ( x a ? b) ? (a ? xb) 在 (0,??) 上有 12.设 a、 最大值,则
A. | a |?| b |, 且 ? 为钝角 C. | a |?| b |, 且 ? 为钝角 B. | a |?| b |, 且 ? 为锐角 D. | a |?| b |, 且 ? 为锐角

高三数学(文科)试题

第 2 页 (共 4 页)


?
4



卷(非选择题,共 90 分)

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.若 sin(

??) ?

1 ,则 sin 2? =___________. 3

14.已知向量 a ? ( x,?3), b ? (?2,1), c ? (1, y ), 若 a ? (b ? c) ,则 x ? y ? __________. 15.若点 P(1,1)是圆 x +y -4x=0 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是___________. 16.设曲线 y ? x n ?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x n ,令 a n ? lg x n , 则 a1 ? a 2 ? ? ? a999 ? ____________. 三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的 相应位置上.只写最终结果的不得分) 17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,满足 a cos C ? (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a ? 1, 求 ?ABC 面积的最大值.
2 2

1 c ? b. 2

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形,AD//BC,∠ADC=90° ,平面 PAD ⊥底面 ABCD, Q 为 AD 的中点,M 是 PC 的中点, PA =PD,BC= (1) 求证: PA // 平面 BMQ; (2) 求证:平面 PQB⊥平面 PAD. 19.(本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的年龄,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表 示. 甲组 乙组 (1) 若这 8 名同学的平均年龄是 9.5 岁,求 X; 9 9 0 X 8 9 (2) 在(1)的条件下,先后从甲、乙两组中各随机选取一名同学,列出所有的 基本事件,并计算这两名同学的平均年龄是 9.5 岁的概率. 1 1 1 0

1 AD. 2

高三数学(文科)试题

第 3 页 (共 4 页)

20.(本小题满分 12 分) 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 5, S 15 ? 225 . (1) 数列 {bn } 满足: bn ?1 - bn ? a n (n ? N * ),b1 ? 1, 求数列 {bn } 的通项公式; (2) 设 c n ? 2
an

? 2n, 求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E 的右焦点 F2 与抛物线 y 2 ? 4 3 x 的焦点重合,对称轴为坐标轴,且经过点

A(1,

3 ). 2
5 3

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 过点 D (0, ) 且斜率存在的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点,线段 MN 的中点为 Q , 点 B (?1,0) ,当 l ? QB 时,求直线 l 的方程. 22. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? x ln x, g ( x ) ? ? x ? ax ? 3.
2

(1) 求函数 f ( x )在[t , t ? 2](t>0) 上的最小值; (2) 若对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x )≥g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

高三数学(文科)试题

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忻州一中 2012?2013 学年度第一学期期中考试

高三数学(文科)参考答案及评分标准
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1—5 BACDC 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. ? 17.(10 分) (1)∵ a cos C ? 6—10 CBCAD 15. x-y=0 11—12 AD 16.-3

7 9

14. -1

1 1 c ? b ∴ sin A cos C ? sin C ? sin B —————1 分 2 2 1 又 sin B ? sin( A ? C ) ∴ sin A cos C ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C 2 1 ∴ sin C ? cos A sin C —————3 分 2 1 ? ∵ sin C ? 0 ∴ cos A ? ∵A 是三角形的内角 ∴ A ? ——5 分 2 3 2 2 2 2 2 (2)∵ a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc ∴ bc ? 1 —————8 分 1 1 3 3 ∴ S ? bc sin A ? ? 1 ? —————10 分 ? 2 2 2 4
∵BC∥AD 且 BC=

18.(12 分) (1)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN.

1 AD,即 BC // AQ. 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形, 且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 在是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ∵MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB, ∴ PA // 平面 MBQ. ——————6 分 (2)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点 ∴ BC // DQ 且 BC= DQ, 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

高三数学(文科)参考答案

第 1 页 (共 3 页)

∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 19.(12 分) 解:(1)

——————12 分

9 ? 2 ? 11 ? 2 ? X ? 8 ? 9 ? 10 ? 9.5 ,X=9. ---------- 4 分 8

(2) 所有的基本事件是 (9,9) , (9,8) , (9,9) , (9,10) , (9,9) , (9,8) , (9,9) , (9,10) , (11,9) , (11,8) , (11,9) , (11,10) , (11,9) , (11,8) , (11,9) , (11,10) 两名同学的平均年龄是 9.5 岁的基本事件是(9,10) , (9,10) , (11,8) , (11,8) 这两名同学的平均年龄是 9,5 岁的概率 p=

4 1 = .---------------------12 分 16 4

21.(12 分) (1)设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∴ a 2 ? b 2 ? 3 ① --------3 分

∵抛物线 y 2 ? 4 3 x 的焦点为 ( 3 ,0) ∴ F2 ( 3 ,0) 又过点 A(1,

3 1 3 ) ∴ 2 ? 2 ? 1 ②由①,②得: a 2 ? 4, b 2 ? 1 2 a 4b
—————5 分

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆 E 的方程为 4
(2)设直线 l 的方程为: y ? kx ?

5 (k ? 0) 3

高三数学(文科)参考答案

第 2 页 (共 3 页)

由?

5 ? ? y ? kx ? 3 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ?

得 (9 ? 36k 2 ) x 2 ? 120kx ? 64 ? 0

4 9 x1 ? x 2 ? 60k ? ? x0 ? 2 ? 9 ? 36k 2 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), Q ( x 0 , y 0 ) 则 ? ————9 分 5 15 ? y 0 ? kx0 ? ? 3 9 ? 36k 2 ? 15 2 1 ? ? ,化简得: 4k 2 ? 5k ? 1 ? 0 ∵ l ? QB ∴ k QB ? 9 ? 36k ? 60k k ?1 2 9 ? 36k 1 5 解得: k ? 1 或 k ? (舍去) ∴直线 l 的方程为 y ? x ? —————12 分 4 3

? ? 14400k 2 ? 256(9 ? 36k 2 ) ? 0

得: k 2 ?

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