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推荐-高中数学人教A版必修4课件1.3.2 诱导公式五、六(1)

第2课时 诱导公式五、六
-1-

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Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO

D典例透析 IANLI TOUXI

1.理解和掌握诱导公式五、六及其结构特征,掌握这两个诱导公 式的推导和记忆方法.
2.掌握六组诱导公式,并能运用公式进行一般的三角关系式的化 简和证明.

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1.对诱导公式五、六的认识

剖析:(1)公式五和公式六可概括如下:

π 2

±

的正弦(余弦)函数值,分别等于

α

的余弦(正弦)函数值,前

面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变

(正余互变),符号看象限”.

(2)把 α 看成锐角,实际上 α 可以为任意角.

(3)运用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的转化,

在三角恒等变形中,起到改变函数名称的作用.

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2.记忆六组诱导公式

剖析:由 2kπ+α=4k·π2 + (∈Z),-α=0·π2 ? , π ± = 2 ·π2 ±

,

π 2

±



=

1

·π2

±

,

则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变,符号看象限”来 记忆,即 k·π2 ± (∈Z)的三角函数值,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角 函数值;当 k 为奇数时,α 的正余互换,然后前面加上一个把 α 看成锐

角时原三角函数值的符号,口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇偶性.如

sin

11π 2

+



中的k=11

是奇数,且把

α

看成锐角时,

11π 2

+

是第四象限角,第四象限角的正弦值是负数,所以 sin

11π 2

+



=

?cos α.

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题型一 题型二 题型三 题型四

题型一

求值

【例 1】 已知 sin

π 6

+



=

3 3

,



cos

π 3

-

的值.

分析:因为

π 6

+



+

π 3

-

=

π 2

,

所以考虑用诱导公式五来化简求值.

解:



π 6

+



+

π 3

?



=

π 2,

π

ππ

∴ 3 ? = 2 ? 6 + .

∴cos

π 3

-

= cos

π 2

-

π 6

+



= sin

π 6

+



= 33.

题型一 题型二 题型三 题型四

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反思已知关于 α 的三角函数值,求角 β 的三角函数时,先观察是

否有

α±β=

π 2

(∈Z),若有,则将

β



α

表示出来,再利用诱导公式求

出 β 的三角函数值.

题型一 题型二 题型三 题型四

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【变式训练 1】 (1)已知 sin

-

π 4

=

1 3

,



cos

π 4

+



的值等于

()

A.

22 3

B.

?

22 3

C.

1 3

D.

?

1 3

(2)若 sin(π+α)+cos

π 2

+



= ?, 则 cos

3π 2

-

+ 2sin(6π ?

) =

.

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题型一 题型二 题型三 题型四

解析:(1)cos

π 4

+



= cos

π 2

+

-

π 4

=-sin

-

π 4

= ? 13.

(2)∵sin(π+α)+cos

π 2

+



= ?sin α-sin α=-2sin α,

∴-2sin α=-m,sin α= 2.

cos

3π 2

-

+ 2sin(6π ? ) = cos π +

π 2

-

? 2sin α

=-cos

π 2

-

? 2sin α=-sin α-2sin α

=-3sin α=? 32.

答案:(1)D

(2)?

3 2

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题型一 题型二 题型三 题型四

题型二 化简三角函数式

【例 2】

化简

cos 52π- cos(-) sin 32π+ cos 212π-

=

.

解析:原式

cos

=
-sin

π 2

+=π2si-nπc+cocososπ2+s2π2π+-cπ2o-s10cπo+sπ2-

sincos = -cossin = ?1.

答案:-1

题型一 题型二 题型三 题型四

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【变式训练 2】

化简

cos(π+) cos[cos(π-)-1]

+

sin

-32π

cos(-2π) cos(-π)-sin

32π+

.

解:原式

=

-cos cos(-cos-1)

+

cos cos(-cos)+cos

1

1

2

= 1 + cos + 1-cos = sin2.

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题型一 题型二 题型三 题型四

题型三

证明三角恒等式

【例 3】

求证:

tan(2π-)cos sin +32π

32π- cos(6π-) cos +32π

=

?tan

.

分析:解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简,推出

右边.

证明:左边

=

tan(-)(-sin)cos(-) -cossin

=

(-tan)(-sin)cos -cossin

=

?tan

α=右边,

故原等式成立.

反思三角函数式的化简与证明实质是一样的,就是正确利用诱导

公式,将复杂角的三角函数化为简单角的三角函数.在利用诱导公 式时,一定要注意函数名与符号.

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题型一 题型二 题型三 题型四

【变式训练 3】 求证:

sin + cos

2sin

-

3π 2

cos



+

π 2

-1

sin-cos =

1-2sin2(π + )

.

证明:∵右边

=

-2sin

32π- (-sin)-1 1-2sin2

=

2cos(-sin)-1 cos2-sin2

=

-2sincos-1 cos2-sin2

-2sincos-sin2-cos2

-(sin + cos)2

= (cos-sin)(cos + sin) = (cos-sin)(cos + sin)

=

sin+cos sin-cos

=

左边,∴原等式成立.

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题型一

题型二

题型三 题型四
题型四

易错辨析

易错点 用错诱导公式致错

【例 4】 已知 sin

π 4

-

=

,

0

<



<

π 2

,



sin

5π 4

+



的值.

错解:∵0<α<

π 2

,



?

π 4

<

π 4

?



<

π4,

∴cos

π 4

-

> 0,

∴cos

π 4

-

=

1-si n2

π 4

-

=

1-2 ,

sin

5π 4

+



= sin

3π 2

-

π 4

-

= cos

π 4

-

=

1-2.

错因分析:对诱导公式中三角函数值的符号确定掌握不好,在

sin

3π 2

-

π 4

-

中,要把“

π 4

?

”看成锐角来确定三角函数值的符号.

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正解:∵0<α<

π 2

,∴

?

π 4

<

π 4

?



<

π4,

∴cos

π 4

-

> 0,

∴cos

π 4

-

=

1-sin2

π 4

-

=

sin

5π 4

+



= sin π +

π 4

+



=-sin

π 4

+



= ?cos

π 2

-

π 4

+



1-2 ,

=-cos

π 4

-

=?

1-2.

再见
2019/11/23


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