南工院大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题，总计 80 分) 本大题共 小题， 1、(本小题 5 分) 、 本小题

求极限　 lim
2、(本小题 5 分) 、 本小题

x 3 ? 12 x + 16 x → 2 2 x 3 ? 9 x 2 + 12 x ? 4

求∫

x dx. (1 + x 2 ) 2
1 x

3、(本小题 5 分) 、 本小题

求极限 lim arctan x ? arcsin
x →∞

4、(本小题 5 分) 、 本小题

求∫
求

5、(本小题 5 分) 、 本小题

x d x. 1? x

6、(本小题 5 分) 、 本小题

d dx

∫

x2

0

1 + t 2 dt．

求 ∫ cot 6 x ? csc 4 x d x.
7、(本小题 5 分) 、 本小题

求 ∫1π
π

2

1 1 cos dx． 2 x x

8、(本小题 5 分) 、 本小题

? x = e t cos t 2 dy ? 设? 确定了函数y = y ( x ), 求 ． 2t dx ? y = e sin t ?
9、(本小题 5 分) 、 本小题

求∫ x 1 + x dx．
0

3

10、(本小题 5 分) 、 本小题

求函数　y = 4 + 2 x ? x 2 的单调区间
11、(本小题 5 分) 、 本小题

求∫ 2
0

π

12、(本小题 5 分) 、 本小题 13、(本小题 5 分) 、 本小题

sin x dx． 8 + sin 2 x

设　x(t ) = e ? kt (3 cos ωt + 4 sin ωt )，求dx． 设函数y = y ( x ) 由方程y 2 + ln y 2 = x 6 所确定 , 求
14、(本小题 5 分) 、 本小题

dy ． dx

求函数y = 2e x + e ? x 的极值
15、(本小题 5 分) 、 本小题

( x + 1) 2 + (2 x + 1) 2 + (3x + 1) 2 +L+(10 x + 1) 2 求极限 lim x →∞ (10 x ? 1)(11x ? 1)
16、(本小题 5 分) 、 本小题

求∫

二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 14 分) 本大题共 小题， 本大题
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cos 2 x d x. 1 + sin x cos x

1、(本小题 7 分) 、 本小题

某农场需建一个面积为 平方米的矩形的晒谷场 一边可用原来的石条围沿, 512 , 另三边需砌新石条围沿 问晒谷场的长和宽各为多少时, 才能使材料最省 , .
2、(本小题 7 分) 、 本小题

三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

x2 x3 求由曲线y = 和y = 所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积. 2 8 设f ( x ) = x ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3), 证明f ′( x ) = 0有且仅有三个实根.

一学期期末高数考试(答案 一学期期末高数考试 答案) 答案
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题，总计 77 分) 本大题共 小题， 1、(本小题 3 分) 、 本小题

3x 2 ? 12 x → 2 6 x 2 ? 18 x + 12 6x 　　　 = lim x → 2 12 x ? 18 　　　 = 2 解: 原式 = lim
2、(本小题 3 分) 、 本小题

∫
=

x dx (1 + x 2 ) 2 1 2

3、(本小题 3 分) 、 本小题

d(1 + x 2 ) ∫ (1 + x 2 ) 2 1 1 =? + c. 2 1+ x2 因为 arctan x <
x →∞

π
2

而 lim arcsin
x →∞

1 =0 x

故 lim arctan x ? arcsin
4、(本小题 3 分) 、 本小题

1 =0 x

1? x ?1 dx 1? x dx = ?∫ d x + ∫ 1? x = ? x ? ln 1 ? x + c. = ?∫
5、(本小题 3 分) 、 本小题

∫ 1? x d x

x

原式 = 2 x 1 + x 4
6、(本小题 4 分) 、 本小题

∫ cot x ? csc x d x = ? ∫ cot x (1 + cot
6 4 6

2

x) d(cot x )

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1 1 = ? cot 7 x ? cot 9 x + c. 7 9
7、(本小题 4 分) 、 本小题

1 1 原式 = ? ∫1 cos d ( ) x x π
π

2

= ? sin
8、(本小题 4 分) 、 本小题

1 x

2

π

1

= ?1

π

dy e 2 t (2 sin t + cos t ) = t dx e (cos t 2 ? 2t sin t 2 ) e t (2 sin t + cos t ) 　　　　　 = (cos t 2 ? 2t sin t 2 ) 解：　　
9、(本小题 4 分) 、 本小题

令　 1 + x = u

原式 = 2 ∫ (u 4 ? u 2 )du
1

2

u5 u 3 2 ? )1 5 3 116 = 15 = 2(
10、(本小题 5 分) 、 本小题

函数定义域(?∞,+∞) y ′ = 2 ? 2 x = 2(1 ? x ) 当x = 1，y ′ = 0 当x < 1，　y ′ > 0函数单调增区间为(? ∞,1] 当x > 1，y ′ < 0函数的单调减区间为[1,+∞ )
11、(本小题 5 分) 、 本小题

原式 = ? ∫ 2
0

π

d cos x 9 ? cos 2 x

12、(本小题 6 分) 、 本小题

1 3 + cos x = ? ln 6 3 ? cos x 1 = ln 2 6

π
2 0

dx = x ′( t ) dt

　 e ? kt [( 4ω ? 3k ) cos ωt ? ( 4k + 3ω ) sin ωt ]dt = 2y′ = 6x 5 y

13、(本小题 6 分) 、 本小题

2 yy ′ + y′ =

3 yx 5 y2 + 1

14、(本小题 6 分) 、 本小题

定义域 ( ?∞， + ∞ ), 且连续 1 y ′ = 2e ? x ( e 2 x ? ) 2
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1 1 ln 2 2 由于y ′′ = 2e x + e ? x > 0 1 1 故函数有极小值, , y ( ln ) = 2 2 2 2 驻点：x =
15、(本小题 8 分) 、 本小题

16、(本小题 10 分) 、 本小题

1 1 1 1 (1 + ) 2 + (2 + ) 2 + (3 + ) 2 +L+ (10 + ) 2 x x x x 原式 = lim x →∞ 1 1 (10 ? )(11 ? ) x x 10 × 11 × 21 = 6 × 10 × 11 7 = 2

解: ∫

cos 2 x cos 2 x dx = ∫ dx 1 + sin x cos x 1 + 1 sin 2 x 2 1 sin 2 x + 1) d( 2 =∫ 1 + 1 sin 2 x 2 1 = ln 1 + sin 2x + c 2

二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分) 本大题共 小题， 1、(本小题 5 分) 、 本小题

设晒谷场宽为x , 则长为
L = 2x +

512 米 , 新砌石条围沿的总长为 x

512 　　 ( x > 0) x 512 L ′ = 2 ? 2 　　　唯一驻点　x = 16 x 1024 L ′′ = 3 > 0　　　即x = 16为极小值点 x 512 故晒谷场宽为16米 , 长为 = 32 米时 , 可使新砌石条围沿 16 所用材料最省
2、(本小题 8 分) 、 本小题

解: 　

x2 x3 = ,8 x 2 = 2 x 3 　x1 = 0, x1 = 4. 2 8 2 4 4? x 4 x x3 ? x6 Vx = π ∫ ?( ) 2 ? ( ) 2 ?dx = π ∫ ( ? )dx 0 0 8 ? 4 64 ? 2

三、解答下列各题 ( 本 大 题 10 分 )

1 1 1 1 7 = π ( ? x5 ? ? x ) 4 5 64 7 0 1 1 512 = π4 4 ( ? ) = π 5 7 35

4

证明: f ( x ) 在 ( ?∞,+∞) 连续 , 可导 , 从而在[0,3]; 连续 , 可导.
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又f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0 则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f ( x ) 应用罗尔定理得 , 至少存在

ξ 1 ∈ (0,1), ξ 2 ∈ (1,2), ξ 3 ∈ (2,3) 使f ′(ξ 1 ) = f ′ (ξ 2 ) = f ′(ξ 3 ) = 0 即f ′ ( x ) = 0至少有三个实根 , 又f ′( x) = 0, 是三次方程, 它至多有三个实根,
由上述f ′( x ) 有且仅有三个实根

高等数学（ 高等数学（上）试题及答案
填空题（ 一、 填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）
2 x

1、 lim(1 + 3 x )
x →0

= ______ . 。

2、当 k

?e x x≤0 ? 时， f ( x ) = ? 在 x = 0 处连续． 2 ?x + k x > 0 ?
dx = ______ dy

3、设 y = x + ln x ,则

4、曲线 y = e x ? x 在点（0，1）处的切线方程是

5、若

∫ f ( x)dx = sin 2 x + C ， C 为常数，则 f (x) =

。

单项选择题（ 二、 单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1、若函数 f ( x ) =

x x

，则 lim f ( x ) = （
x →0

）

A、0

B、 ? 1

C、1 ）

D、不存在

2、下列变量中，是无穷小量的为（ A. ln

1 ( x → 0+ ) x

B. ln x ( x → 1)

C. cosx ( x → 0) ） ． C．驻点

D.

x?2 ( x → 2) x2 ? 4

3、满足方程 f ′( x ) = 0 的 x 是函数 y = f (x ) 的（ A．极大值点 4、下列无穷积分收敛的是（ B．极小值点 ）

D．间断点

A、

∫

+∞

0

sin xdx

B、

∫

+∞

0

e ?2 x dx

C、

∫

+∞

0

1 dx x

D、

∫

+∞

1 x

0

dx

5、设空间三点的坐标分别为 M（1，1，1） 、A（2，2，1） 、B（2，1，2） 。则 ∠AMB =

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A、

π
3

B、

π
4

C、

π
2

D、 π

计算题（ 三、 计算题（每小题 7 分，本题共 56 分） 1、求极限

lim
x →0

4+ x ?2 sin 2 x

。

2、求极限

1 1 lim( ? x ) x →0 x e ?1
cos x

∫e
1

?t 2

dt

3、求极限

lim
x →0

x2

5 2 4、设 y = e + ln( x + 1 + x ) ，求 y ′

? x = ln(1 + t 2 ) d2y 5、设 f = y (x ) 由已知 ? ，求 dx 2 ? y = arctan t
6、求不定积分 7、求不定积分

∫x ∫e

1
2
x

2 sin( + 3)dx x cos xdx x<0
， 求

? 1 ?1 + e x ? 8、设 f ( x ) = ? ? 1 ?1 + x ?
应用题（ 四、 应用题（本题 7 分）

x≥0

∫

2

0

f ( x ? 1)dx

求曲线 y = x 2 与 x = y 2 所围成图形的面积 A 以及 A 饶 y 轴旋转所产生的旋转体的体积。 证明题（ 五、 证明题（本题 7 分） 若 f ( x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f (0) = f (1) = 0 ， f ( ) = 1 ，证明： 在(0,1)内至少有一点 ξ ，使 f ′(ξ ) = 1 。

1 2

参考答案
一。填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 填空题（ 1、 e
6

2、k =1 ．

3、

x 1+ x

4、 y = 1

5、 f ( x ) = 2 cos 2 x

二．单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 单项选择题（
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1、D

2、B

3、C

4、B

5、A

三．计算题（本题共 56 分，每小题 7 分） 计算题（ 1.解： lim
x →0

x 1 2x 1 4+ x ?2 = lim = lim = x →0 sin 2 x sin 2 x( 4 + x + 2) 2 x →0 sin 2 x( 4 + x + 2) 8

1 1 ex ?1? x ex ?1 ex 1 2.解 ： lim( ? x ) = lim = lim x = lim x = x →0 x x →0 x (e x ? 1) x →0 e ? 1 + xe x x →0 e + e x + xe x 2 e ?1
cos x

∫e
1

?t 2

dt

3、解：

lim
x →0

x

2

? sin xe ? cos = lim x →0 2x

2

x

=?

1 2e

4、解：

y′ =

1 x + 1+ x
2

(1 +

1 1+ x
2

)

=

1 1+ x2

1 dy 1 + t 2 1 = = 5、解： 2t dx 2t 2 1+ t

d 2 y d dy = ( ) dx 2 dt dx
1
2

dx

dt

=

?

1 2t 2

2t 1+ t 2

=?

1+ t2 4t 3

6、解：

∫x

2 1 2 2 1 2 sin( + 3)dx = ? ∫ sin( + 3)d ( + 3) = cos( + 3) + C x 2 x 3 2 x

7、 解：

∫e

x

cos xdx = ∫ cos xde x = e x cos x + ∫ e x sinxdx = e x cos x + ∫ sin xde x = e x cos x + e x sin x ? ∫ e x cos xdx = e x (sin x + cos x ) + C

8、解：

∫

2

0

f ( x ? 1)dx = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx …
?1 ?1 0

1

0

1

=∫

1 dx dx +∫ x ?1 1 + e 0 1+ x 0

= ∫ (1 ?
?1

0

ex 1 )dx + ln(1 + x ) 0 x 1+ e
0
?1

= 1 ? ln(1 + e x )

+ ln 2

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= 1 + ln(1 + e ?1 ) = ln(1 + e)
四． 应用题（ 应用题（本题 7 分）
2 2

解：曲线 y = x 与 x = y 的交点为（1，1） ， 于是曲线 y = x 与 x = y 所围成图形的面积 A 为
2 2

2 1 1 A = ∫ ( x ? x 2 )dx = [ x 2 ? x 2 ]1 = 0 3 3 3 0
A 绕 y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：

1

3

? y2 y5 ? 3 V = π ∫ ( y ) ? y dy = π ? ? ? = π 5 ? 0 10 ?2 0
1 2 4

(

)

1

五、证明题（本题 7 分） 证明题（ 证明： 设 F ( x ) = f ( x ) ? x ，

显然 F (x ) 在 [ ,1] 上连续，在 ( ,1) 内可导，

1 2

1 2

且

1 1 F ( ) = > 0 ， F (1) = ?1 < 0 . 2 2 1 2

由零点定理知存在 x1 ∈ [ ,1] ，使 F ( x1 ) = 0 . 由 F (0) = 0 ，在 [0, x1 ] 上应用罗尔定理知，至少存在一点

ξ ∈ (0, x1 ) ? (0,1) ，使 F ′(ξ ) = f ′(ξ ) ? 1 = 0 ，即 f ′(ξ ) = 1 …

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