第一学期期末高等数学试卷
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题,总计 80 分) 本大题共 小题, 1、(本小题 5 分) 、 本小题
求极限 lim
2、(本小题 5 分) 、 本小题
x 3 ? 12 x + 16 x → 2 2 x 3 ? 9 x 2 + 12 x ? 4
求∫
x dx. (1 + x 2 ) 2
1 x
3、(本小题 5 分) 、 本小题
求极限 lim arctan x ? arcsin
x →∞
4、(本小题 5 分) 、 本小题
求∫
求
5、(本小题 5 分) 、 本小题
x d x. 1? x
6、(本小题 5 分) 、 本小题
d dx
∫
x2
0
1 + t 2 dt.
求 ∫ cot 6 x ? csc 4 x d x.
7、(本小题 5 分) 、 本小题
求 ∫1π
π
2
1 1 cos dx. 2 x x
8、(本小题 5 分) 、 本小题
? x = e t cos t 2 dy ? 设? 确定了函数y = y ( x ), 求 . 2t dx ? y = e sin t ?
9、(本小题 5 分) 、 本小题
求∫ x 1 + x dx.
0
3
10、(本小题 5 分) 、 本小题
求函数 y = 4 + 2 x ? x 2 的单调区间
11、(本小题 5 分) 、 本小题
求∫ 2
0
π
12、(本小题 5 分) 、 本小题 13、(本小题 5 分) 、 本小题
sin x dx. 8 + sin 2 x
设 x(t ) = e ? kt (3 cos ωt + 4 sin ωt ),求dx. 设函数y = y ( x ) 由方程y 2 + ln y 2 = x 6 所确定 , 求
14、(本小题 5 分) 、 本小题
dy . dx
求函数y = 2e x + e ? x 的极值
15、(本小题 5 分) 、 本小题
( x + 1) 2 + (2 x + 1) 2 + (3x + 1) 2 +L+(10 x + 1) 2 求极限 lim x →∞ (10 x ? 1)(11x ? 1)
16、(本小题 5 分) 、 本小题
求∫
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 14 分) 本大题共 小题, 本大题
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cos 2 x d x. 1 + sin x cos x
1、(本小题 7 分) 、 本小题
某农场需建一个面积为 平方米的矩形的晒谷场 一边可用原来的石条围沿, 512 , 另三边需砌新石条围沿 问晒谷场的长和宽各为多少时, 才能使材料最省 , .
2、(本小题 7 分) 、 本小题
三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
x2 x3 求由曲线y = 和y = 所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积. 2 8 设f ( x ) = x ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3), 证明f ′( x ) = 0有且仅有三个实根.
一学期期末高数考试(答案 一学期期末高数考试 答案) 答案
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题,总计 77 分) 本大题共 小题, 1、(本小题 3 分) 、 本小题
3x 2 ? 12 x → 2 6 x 2 ? 18 x + 12 6x = lim x → 2 12 x ? 18 = 2 解: 原式 = lim
2、(本小题 3 分) 、 本小题
∫
=
x dx (1 + x 2 ) 2 1 2
3、(本小题 3 分) 、 本小题
d(1 + x 2 ) ∫ (1 + x 2 ) 2 1 1 =? + c. 2 1+ x2 因为 arctan x <
x →∞
π
2
而 lim arcsin
x →∞
1 =0 x
故 lim arctan x ? arcsin
4、(本小题 3 分) 、 本小题
1 =0 x
1? x ?1 dx 1? x dx = ?∫ d x + ∫ 1? x = ? x ? ln 1 ? x + c. = ?∫
5、(本小题 3 分) 、 本小题
∫ 1? x d x
x
原式 = 2 x 1 + x 4
6、(本小题 4 分) 、 本小题
∫ cot x ? csc x d x = ? ∫ cot x (1 + cot
6 4 6
2
x) d(cot x )
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1 1 = ? cot 7 x ? cot 9 x + c. 7 9
7、(本小题 4 分) 、 本小题
1 1 原式 = ? ∫1 cos d ( ) x x π
π
2
= ? sin
8、(本小题 4 分) 、 本小题
1 x
2
π
1
= ?1
π
dy e 2 t (2 sin t + cos t ) = t dx e (cos t 2 ? 2t sin t 2 ) e t (2 sin t + cos t ) = (cos t 2 ? 2t sin t 2 ) 解:
9、(本小题 4 分) 、 本小题
令 1 + x = u
原式 = 2 ∫ (u 4 ? u 2 )du
1
2
u5 u 3 2 ? )1 5 3 116 = 15 = 2(
10、(本小题 5 分) 、 本小题
函数定义域(?∞,+∞) y ′ = 2 ? 2 x = 2(1 ? x ) 当x = 1,y ′ = 0 当x < 1, y ′ > 0函数单调增区间为(? ∞,1] 当x > 1,y ′ < 0函数的单调减区间为[1,+∞ )
11、(本小题 5 分) 、 本小题
原式 = ? ∫ 2
0
π
d cos x 9 ? cos 2 x
12、(本小题 6 分) 、 本小题
1 3 + cos x = ? ln 6 3 ? cos x 1 = ln 2 6
π
2 0
dx = x ′( t ) dt
e ? kt [( 4ω ? 3k ) cos ωt ? ( 4k + 3ω ) sin ωt ]dt = 2y′ = 6x 5 y
13、(本小题 6 分) 、 本小题
2 yy ′ + y′ =
3 yx 5 y2 + 1
14、(本小题 6 分) 、 本小题
定义域 ( ?∞, + ∞ ), 且连续 1 y ′ = 2e ? x ( e 2 x ? ) 2
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1 1 ln 2 2 由于y ′′ = 2e x + e ? x > 0 1 1 故函数有极小值, , y ( ln ) = 2 2 2 2 驻点:x =
15、(本小题 8 分) 、 本小题
16、(本小题 10 分) 、 本小题
1 1 1 1 (1 + ) 2 + (2 + ) 2 + (3 + ) 2 +L+ (10 + ) 2 x x x x 原式 = lim x →∞ 1 1 (10 ? )(11 ? ) x x 10 × 11 × 21 = 6 × 10 × 11 7 = 2
解: ∫
cos 2 x cos 2 x dx = ∫ dx 1 + sin x cos x 1 + 1 sin 2 x 2 1 sin 2 x + 1) d( 2 =∫ 1 + 1 sin 2 x 2 1 = ln 1 + sin 2x + c 2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 13 分) 本大题共 小题, 1、(本小题 5 分) 、 本小题
设晒谷场宽为x , 则长为
L = 2x +
512 米 , 新砌石条围沿的总长为 x
512 ( x > 0) x 512 L ′ = 2 ? 2 唯一驻点 x = 16 x 1024 L ′′ = 3 > 0 即x = 16为极小值点 x 512 故晒谷场宽为16米 , 长为 = 32 米时 , 可使新砌石条围沿 16 所用材料最省
2、(本小题 8 分) 、 本小题
解:
x2 x3 = ,8 x 2 = 2 x 3 x1 = 0, x1 = 4. 2 8 2 4 4? x 4 x x3 ? x6 Vx = π ∫ ?( ) 2 ? ( ) 2 ?dx = π ∫ ( ? )dx 0 0 8 ? 4 64 ? 2
三、解答下列各题 ( 本 大 题 10 分 )
1 1 1 1 7 = π ( ? x5 ? ? x ) 4 5 64 7 0 1 1 512 = π4 4 ( ? ) = π 5 7 35
4
证明: f ( x ) 在 ( ?∞,+∞) 连续 , 可导 , 从而在[0,3]; 连续 , 可导.
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又f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0 则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f ( x ) 应用罗尔定理得 , 至少存在
ξ 1 ∈ (0,1), ξ 2 ∈ (1,2), ξ 3 ∈ (2,3) 使f ′(ξ 1 ) = f ′ (ξ 2 ) = f ′(ξ 3 ) = 0 即f ′ ( x ) = 0至少有三个实根 , 又f ′( x) = 0, 是三次方程, 它至多有三个实根,
由上述f ′( x ) 有且仅有三个实根
高等数学( 高等数学(上)试题及答案
填空题( 一、 填空题(每小题 3 分,本题共 15 分)
2 x
1、 lim(1 + 3 x )
x →0
= ______ . 。
2、当 k
?e x x≤0 ? 时, f ( x ) = ? 在 x = 0 处连续. 2 ?x + k x > 0 ?
dx = ______ dy
3、设 y = x + ln x ,则
4、曲线 y = e x ? x 在点(0,1)处的切线方程是
5、若
∫ f ( x)dx = sin 2 x + C , C 为常数,则 f (x) =
。
单项选择题( 二、 单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分) 1、若函数 f ( x ) =
x x
,则 lim f ( x ) = (
x →0
)
A、0
B、 ? 1
C、1 )
D、不存在
2、下列变量中,是无穷小量的为( A. ln
1 ( x → 0+ ) x
B. ln x ( x → 1)
C. cosx ( x → 0) ) . C.驻点
D.
x?2 ( x → 2) x2 ? 4
3、满足方程 f ′( x ) = 0 的 x 是函数 y = f (x ) 的( A.极大值点 4、下列无穷积分收敛的是( B.极小值点 )
D.间断点
A、
∫
+∞
0
sin xdx
B、
∫
+∞
0
e ?2 x dx
C、
∫
+∞
0
1 dx x
D、
∫
+∞
1 x
0
dx
5、设空间三点的坐标分别为 M(1,1,1) 、A(2,2,1) 、B(2,1,2) 。则 ∠AMB =
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A、
π
3
B、
π
4
C、
π
2
D、 π
计算题( 三、 计算题(每小题 7 分,本题共 56 分) 1、求极限
lim
x →0
4+ x ?2 sin 2 x
。
2、求极限
1 1 lim( ? x ) x →0 x e ?1
cos x
∫e
1
?t 2
dt
3、求极限
lim
x →0
x2
5 2 4、设 y = e + ln( x + 1 + x ) ,求 y ′
? x = ln(1 + t 2 ) d2y 5、设 f = y (x ) 由已知 ? ,求 dx 2 ? y = arctan t
6、求不定积分 7、求不定积分
∫x ∫e
1
2
x
2 sin( + 3)dx x cos xdx x<0
, 求
? 1 ?1 + e x ? 8、设 f ( x ) = ? ? 1 ?1 + x ?
应用题( 四、 应用题(本题 7 分)
x≥0
∫
2
0
f ( x ? 1)dx
求曲线 y = x 2 与 x = y 2 所围成图形的面积 A 以及 A 饶 y 轴旋转所产生的旋转体的体积。 证明题( 五、 证明题(本题 7 分) 若 f ( x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f (0) = f (1) = 0 , f ( ) = 1 ,证明: 在(0,1)内至少有一点 ξ ,使 f ′(ξ ) = 1 。
1 2
参考答案
一。填空题(每小题 3 分,本题共 15 分) 填空题( 1、 e
6
2、k =1 .
3、
x 1+ x
4、 y = 1
5、 f ( x ) = 2 cos 2 x
二.单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分) 单项选择题(
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1、D
2、B
3、C
4、B
5、A
三.计算题(本题共 56 分,每小题 7 分) 计算题( 1.解: lim
x →0
x 1 2x 1 4+ x ?2 = lim = lim = x →0 sin 2 x sin 2 x( 4 + x + 2) 2 x →0 sin 2 x( 4 + x + 2) 8
1 1 ex ?1? x ex ?1 ex 1 2.解 : lim( ? x ) = lim = lim x = lim x = x →0 x x →0 x (e x ? 1) x →0 e ? 1 + xe x x →0 e + e x + xe x 2 e ?1
cos x
∫e
1
?t 2
dt
3、解:
lim
x →0
x
2
? sin xe ? cos = lim x →0 2x
2
x
=?
1 2e
4、解:
y′ =
1 x + 1+ x
2
(1 +
1 1+ x
2
)
=
1 1+ x2
1 dy 1 + t 2 1 = = 5、解: 2t dx 2t 2 1+ t
d 2 y d dy = ( ) dx 2 dt dx
1
2
dx
dt
=
?
1 2t 2
2t 1+ t 2
=?
1+ t2 4t 3
6、解:
∫x
2 1 2 2 1 2 sin( + 3)dx = ? ∫ sin( + 3)d ( + 3) = cos( + 3) + C x 2 x 3 2 x
7、 解:
∫e
x
cos xdx = ∫ cos xde x = e x cos x + ∫ e x sinxdx = e x cos x + ∫ sin xde x = e x cos x + e x sin x ? ∫ e x cos xdx = e x (sin x + cos x ) + C
8、解:
∫
2
0
f ( x ? 1)dx = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx …
?1 ?1 0
1
0
1
=∫
1 dx dx +∫ x ?1 1 + e 0 1+ x 0
= ∫ (1 ?
?1
0
ex 1 )dx + ln(1 + x ) 0 x 1+ e
0
?1
= 1 ? ln(1 + e x )
+ ln 2
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= 1 + ln(1 + e ?1 ) = ln(1 + e)
四. 应用题( 应用题(本题 7 分)
2 2
解:曲线 y = x 与 x = y 的交点为(1,1) , 于是曲线 y = x 与 x = y 所围成图形的面积 A 为
2 2
2 1 1 A = ∫ ( x ? x 2 )dx = [ x 2 ? x 2 ]1 = 0 3 3 3 0
A 绕 y 轴旋转所产生的旋转体的体积为:
1
3
? y2 y5 ? 3 V = π ∫ ( y ) ? y dy = π ? ? ? = π 5 ? 0 10 ?2 0
1 2 4
(
)
1
五、证明题(本题 7 分) 证明题( 证明: 设 F ( x ) = f ( x ) ? x ,
显然 F (x ) 在 [ ,1] 上连续,在 ( ,1) 内可导,
1 2
1 2
且
1 1 F ( ) = > 0 , F (1) = ?1 < 0 . 2 2 1 2
由零点定理知存在 x1 ∈ [ ,1] ,使 F ( x1 ) = 0 . 由 F (0) = 0 ,在 [0, x1 ] 上应用罗尔定理知,至少存在一点
ξ ∈ (0, x1 ) ? (0,1) ,使 F ′(ξ ) = f ′(ξ ) ? 1 = 0 ,即 f ′(ξ ) = 1 …
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