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《正切函数的图像与性质》课件(必修4)


正切函数的图象和性质

1.了解利用正切线画出正切函数图象的方法.

2.理解正切函数的图象和性质,并能进行应用.

预习检测

教材p45

预习检测 ? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 8 4 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

思考:
如何快速画出 y ? tan x (?

?
2

?x?

?
2

) 的图像?

三点两线
(?

?
4

, ? 1) (0, 0)

x??

?
2

x?

?

( , 1) 4

?

2

由正切函数的周期性,把图象向左、向右扩展,得到
正切函数的图象,称为正切曲线
y

y=tanx
1
-3?/2 -? -?/2

x
0 ?/2
?
3?/2

-1

性质

你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y

1
-3?/2 -? t-? -?/2

-1

0

t ?/2

? t+? 3?/2

x

定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性

{x | x ? k? ?

R T= ?

? , k ? Z} 2

奇函数 ? ? 增区间 (k? ? , k? ? )k ? Z 2 2 kπ ( , 0) 对称中心
2

预习检测 5.正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?

A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 内都是增函数。 2 2

在每一个开区间

预习检测 6.比较下列每组数的大小

(1) tan138 与 tan143

?

?

解: (1) ? 900 ? 1380 ? 1430 ? 1800

13 17 (2) tan( ? ?)与 tan(? ?) 4 5

0 0 ?? ? ? tan138 ? tan143 y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ? 13 ? ? (2) tan(? ? ) ? tan[?3? ? (? )] ? tan(? ), 4 4 4

2? ? ? tan () ? tan (- ) 5 4 17? 13? ? tan(? ) ? tan(? ). 5 4

17 2? 2? tan(? ? ) ? tan[?3? ? (? )] ? tan(? ) 5 5 5 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 又y ? tan x在 ? ? , 0 ? 上是增函数 2 5 4 ? 2 ?

说明:比较两个正切值大小,关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内,再 利用y=tanx的单调递增性解决。

例题分析
例1

求函数

周期和单调区间

y ? tan ( x+ ) 的定义域、 2 3

?

?

例题巩固 求函数 y ? tan(
解题方法 求函数 y ? A tan(?x ? ? ), A ? 0, ? ? 0 的定义域或单调区间时 时,把 "?x ? ? " 看成一个整体,令 ?x ? ? ?

?
2

x?

?
3

) 的定义域,周期和单调区间

?

得该函数的定义域. 令 ? ? ? k? ? ?x ? ? ? ? ? k? (k ? Z ) ,可解得函数的单调区

2

? k? (k ? Z ) ,可解

间.

2

2

形如 y ? A tan(?x ? ? ), A ? 0, ? ? 0 的最小正周期为 T ?

? ?

12

例题分析
tan x ? 3 例 2 解不等式:

解:

y

3
0 ?

? x
2

3

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

当堂检测

? ? 1.若函数y ? ? tan( x ? )的最小正周期为2,则a=(2或-2) a 3
2. 已知

a ? tan1, b ? tan 2, c ? tan 3,
B.c<b<a

则( c )

A.a<b<c

C .b<c<a D. b<a<c

3.解不等式:1- tan x ? 0

? ? ? ? x ? ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 4 ? ?

当堂检测
?? ? 4.求函数 y ? tan ? 3 x ? ? 的定义域、值域,并指出它的 3? ? 单调性、奇偶性和周期性;
答案:

1、定义域 2、值域

1 5? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 3 18 ? ?

3、单调性
4、奇偶性 5、周期性

? 1 5? ? ?1 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 18 3 18 ? ?3
非奇非偶函数

y?R

最小正周期是

?
3

课后提升

1.求y ? (tan x)2 ? 4 tan x ?1 的值域;

?-5,+? ?

2.已知? 是三角形的一个内角,且有 tan ? ? ?1,
则?的取值范围是 ( c )
A. ? 3 ? , ? ?
? ?4 ? ?

B .? 0,? ?
? ? ? 2?

C.

? ? ? ?3 ? 0, ? ? , ? ? ? ? ? 4 ? 2? ? ?

D.以上都不对

小结:正切函数的图像和性质
? ? 1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移 平正 切 线 得 y ? tan x, x ? ( ? , )的 图 象 , 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。

2 、y ? tan x 性质:

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑶ 周期性: ⑵ 值域: R ⑷ 奇偶性:奇函数,图象关于原点对称。

?

(5) 对称性:对称中心:

无对称轴

(6)单调性: 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ), k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z (7)渐近线方程: x ? k? ? , 2


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