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第六讲整除性理论及其应用-高中数学竞赛讲座

第六讲 整除性理论及其应用
一. 基本概念和性质. 1. 整除:设 a,b 是两个整数,且 b ? 0,如果存在一个整数 q,使等式 a=bq 成立,那么我们 称 a 能被 b 整除或 b 整除 a,记作 b︱a,其性质有(设 b ? 0,c=0) 1).若 b︱a , a ? 0,则 b ? a 2) 若 b︱a, a︱b ,a ? 0,则 a=b 或 b=a 3) 若 c︱b, b︱a, 则 c︱a 4) 若 b︱a, 则 cb︱ca 5) 若 c︱a, c︱b,则 c︱ma+nb,m,n ? Z 2. 整除的基本定理:对于任意整数 a,b(b ? 0,),存在唯一的一对整数 q,r,使得 a=qb+r,0 ? r<b 其中,q 和 r 分别称为 b 除 a 的商和余数. 3. 最大公约数和最小公倍数: a,b 的最小公倍数记为[a,b],a,b 的最大公约数记为(a,b) ,其 性质有: 1).设 m 为正整数,则(am,bm)=m(a,b) [am,bm]=m[a,b] 2)设 a,b 是两个正整数,则(a,b)[a,b]=ab 3)设 a,b,c 是三个正整数,则(ab,bd,ac)[a,b,c]=abc 4)设正整数 k 是整数 a,b 的公倍数,则(k/a,k/b)=k/[a,b] 5)设正整数 c 是 a,b 的公约数,则(a/c,b/c)=(a,b)/c 6)若(a,b)=1, (ab,c)=(a,c)(b,c) 7)若 a1, a2, …an,是 n 个不全为零的整数,则(a1, a2, …an)=( (a1, a2, …ak), (ak+1, ak+2, …an)) 4. 两个定理: 1) 欧拉函数: 设整数 n ? 2,n= p 1 , p 2 ,… p m ,是 n 的质因数分解式,以 ? (n)表示 小于 n 且与 n 互质的自然数的个数,则 ? (n)= n (1 ? 2) 勒 让 得 定 理 : 在 乘 积 p(n!)= [
n p ]?[ n p
2

?1

?2

?m

1 p1

)(1 ?

1 p2

) ? (1 ?

1 pm

)

n ! 中 , 质 因 数
]

p

的 指 数 为

]?[

n p

]?? ? 3

?[p
m ?1
2

?

n
m

二. 例题选讲. 1. 设 n ? N , f ( n ) ? n ( n ? 1)( n ? 5 n ? 2 6 ) ,求证: 1 2 0 ︱f(n)
2

2. 设 p 为奇质数,证明: 1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 p ?1 1 4

?

a b

的分子 a 是 p 的倍数

3. p,q 均为正整数,使得 试证:1979︱p

p q

? 1?

1 2

?

1 3

?

?? ?

1 1318

?

1 1319

4. 求同时满足下列条件的一组整数 a,b 1)ab(a+b)不能被 7 整除 2) ( a ? b ) ? a ? b 能被 7 整除。
7 7 7

5. 是否存在 1000000 个连续整数,使得每一个都含有重复的质因子,即都能被某个质 数的平方所整除。 6.设 a , b ? N , a ? b ,则 [
a ?b
2 2

ab ? 1

]?{

[ [

a b a b

] ]?1

ba ba

7.设 a,b,c 为整数,且满足 完全平方数。

1 a

?

1 b

?

1 c

,试证:当(a,b.c)=1 时,a+b,a-c,b-c 均是

8.给定正整数 a,b,c,定义函数 f ( x , y , z ) ? ax ? bx ? cz , x , y , z ? Z 试求: f ( x , y , z ) 的最小正整数的值。 9.求 1988!中 6 的最高幂。 10.将与 105 互质的所有的正整数从小到大排列,试求出这个数列的第 1000 项。 三.练习题。 1. 试证:对于任意不小于 2 的整数 n, A ? 1 ? 2. 对于正整数 n 与 k,定义: F ( n , k ) ?
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n

不是整数。

?r
r ?1

n

2 k ?1

,求证: F ( n ,1) ︱ F ( n , k )

3. 数列 a 0 , a1, ? a n 满足:a 0 ? 0, a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? ( a ? 1) a n ?1 ,其中 n ? N , a ? N , P0 >2 是给定的质数,求满足下列两条件的 a 的最小值: 1)若 p 是质数,且 p≤ p 0 ,则 a p 能被 p 整除 2)若 p 是质数,且 p> p 0 ,则 a p 不能被 p 整除。 4. 若 n 是大于 1 的自然数,它有 r 个不同的质因数,则 ? ( n ) ?
a ?b
n n

n 2
r

5. 设 a , b , n ? N , a ? b , 且 n︱ a ? b ,则 n︱
n n

a?b a ?b
2 2

6. 设正整数 a 与 b,使得 ab+1 整除 a ? b ,求证:
2 2

ab ? 1

是某一个正整数的平方。

7. 已 知 : n 个 正 整 数 a i (1 ? i ? n ) 满 足 a 1 < a 2 < ? < a n ≤ 2n , 其 中 任 意 两 个
a i , a j ( i ? j ) 的最小公倍数都大于 2n,求证: a i > [

2n 3

]


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