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2016年重点中学自主招生数学模拟试卷


2016 年重点中学自主招生数学模拟试卷
2016.3 注:本卷共 6 页,3 大题,20 小题,满分 150 分

一、单项选择题(本大题分 5 小题,每小题 6 分,共 30 分)
1. (2009·桂林)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,将长为 2 的线段 QR 的两 端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果点 Q 从点 A 出发,沿图中所示 方向按 A?B?C?D?A 滑动到 A 止,同时点 R 从点 B 出发,沿图中所示方 向按 B?C?D?A?B 滑动到 B 止,在这个过程中,线段 QR 的中点 M 所经 过的路线围成的图形的面积为( A.2 B.4-π ) C.π D.π-1

2. (2010· “华约”自主招生)欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n 种颜色之一,使得以正 六边形的任何 3 个顶点作为顶点的三角形有 3 种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的 3 色 组合,则 n 的最小值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

3. (2001·全国高中数学联赛)已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝 康乃馨的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . A.2 枝玫瑰价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定

4. (2002·全国高中数学联赛)若实数 x, y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则 x2+y2 的最小值为( ) A. 2 B. 1 C. 3 D. 2

5. (2003·全国高中数学联赛)删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新 数列,这个新数列的第 2003 项是( ) A.2046 B.2047 C.2048 D.2049

二、填空题(本大题分 10 小题,每小题 6 分,共 60 分)
6. (2014·葫芦岛)如图,正三角形 ABC 的边长为 2,点 A,B 在半径为 2 的圆上, 点 C 在圆内,将正三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转,当点 C 第一次落在圆上时,点 C 运动的路线长是_________. 7. (2012· 深圳) 如图, Rt△ABC 中, ∠C=90°, 以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE, 且正方形对角线交于点 O,连接 OC,已知 AC=5,OC=6 2 ,则另一直角边 BC 的 长为_______.

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8. (2015?巴彦淖尔)如图,AB 为⊙O 的直径,AB=AC,BC 交⊙O 于点 D,AC 交⊙O 于点 E,∠

︵ ︵ BAC=45°,给出以下五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧AE是劣弧BD的
2 倍;⑤AE=BC,其中正确的序号是______. 9. (2013?烟台)如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=54°,点 D 为 AB 中点,且 OD⊥AB,∠BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O,将∠C 沿 EF(E 在 BC 上,F 在 AC 上)折叠,点 C 与点 O 恰好重合,则∠OEC 为________度. 10. (2012· 泰安) 如图, 在平面直角坐标系中, 有若干个横坐标分别为整数的点, 其顺序按图中 “→” 方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)?根据这个规律第 2012 个点的横坐标为_______. 11. (2007·内江)如图,某小区有东西方向的街道 3 条,南北方向的街道 4 条,从位置 A 出发沿街 道行进到达位置 B,要求路程最短,研究共有多少种不同的走法.小东是这样想的:要使路程最短, 就不能走“回头路” ,只能分五步来完成,其中三步向右行进,两步向上行进,如果用数字“1”表 示向右行进,数字“2”表示向上行进,那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法, 请你思考后回答:符合要求的不同走法共有_________种.

第 8 题图

第 9 题图

第 10 题图

第 11 题图

12. (2009·攀枝花)阅读下面的命题: ①中国国家男子足球队和巴西国家男子足球队比赛,中国国家男子足球队赢得比赛这一事件是不可 能事件; ②到三角形三顶点距离相等的点是这个三角形三边的中垂线的交点; ③一组数据-2,-1,0,1,2,3 的极差是 5,中位数是 0 和 1; ④如果三个正数 a、b、c 的三条线段满足 a+b>c,则一定可以围成一个三角形; ⑤若点 P 是△ABC 中∠ABC 的平分线和外角∠ACE 的平分线的交点,则∠BPC= ∠A. 以上命题中,正确的命题序号是_____________. (将正确的命题序号全部写上) 13. (2005·全国高中数学联赛)正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两顶点在 y=x2 上, 则正方形面积的最小值为_____________.
1 2

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14. (2013·乐山)对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为(x) .即当 n 为非负整数时,若 n- ≤ x<n+ ,则(x)=n.如(0.46)=0, (3.67)=4.给出下列关于(x)的结论: ①(1.493)=1;②(2x)=2(x) ;③若( x?1)=4,则实数 x 的取值范围是 9≤x<11; ④当 x≥0,m 为非负整数时,有(m+2013x)=m+(2013x) ;⑤(x+y)=(x)+(y) ; 其中,正确的结论有______________(填写所有正确的序号) . 15. (2010·茂名)小慧同学不但会学习,而且也很会安排时间干好家务活,煲饭、炒菜、擦窗等样 样都行,是爸妈的好帮手,某一天放学回家后,她完成各项家务活及所需时间如图. 家务项目 完成各项家 务所需时间 擦窗 5 分钟 洗菜 4 分钟 洗饭煲、洗米 炒菜(用煤气炉) 饭煲(用电饭煲) 3 分钟 20 分 钟 30 分 钟
1 2 1 2

1 2

小慧同学完成以上各项家务活,至少需要_______分钟. (注:各项工作转接时间忽略不计) .

三、简答题(本大题分 5 小题,16-17 每小题 15 分,18-20 每小题 20 分)
16.试求方程 x2-2x-4|x-1|+4=0 的四个根之和;当 1<b<5 时,再求方程 x2-2x-4|x-1|+b=0 的四个根之 和.

17. (2003·安徽)要将 29 个数学竞赛的名额分配给 10 所学校,每所学校至少要分到一个名额. (1)试提出一种分配方案,使得分到相同名额的学校少于 4 所; (2)证明:不管怎样分配,至少有 3 所学校得到的名额相同; (3)证明:如果分到相同名额的学校少于 4 所,则 29 名选手至少有 5 名来自同一学校.

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18. (2016·温州中学保送生测试)如图,已知两圆 C1,C2,求作以线段 AB 长为半径的圆 C3 与圆 C1,C2 均相切,并简要说明作图过程. (要求:用尺规作图,保留作图痕迹) A C1 C2 B

19.在半径为 4 的⊙O 中,点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点,OD⊥AC,垂足为 D,点 E 是射线 AB 上的任意一点,DF∥AB,DF 与 CE 相交于点 F,设 EF=x,DF=y. (1)如图 1,当点 E 在射线 OB 上时,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数定义域; (2)如图 2,当点 F 在⊙O 上时,求线段 DF 的长; (3)如果以点 E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切,求线段 DF 的长.

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20. (2014·宁波)木匠黄师傅用长 AB=3,宽 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设 计了四种方案: 方案一:直接锯一个半径最大的圆; 方案二:圆心 O1,O2 分别在 CD,AB 上,半径分别是 O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆; 方案三:沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆; 方案四:锯一块小矩形 BCEF 拼接到矩形 AEFD 下面,并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。 (1)写出方案一中的圆的半径; (2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大? (3)在方案四中,设 CE=x(0<x<1) ,圆的半径为 y, ①求 y 关于 x 的函数解析式; ②当 x 取何值时圆的半径最大?最大半径是多少?并说明四种方案中,哪一个圆形桌面的半径最 大?

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2016 年重点中学自主招生数学模拟试卷参考答案
2016.3

一、单项选择题(本大题分 5 小题,每小题 6 分,共 30 分)
1.B 2.B 3.A 4.B 5.C

二、填空题(本大题分 10 小题,每小题 6 分,共 60 分)
6.

?
3

7.7 8.①②④ 9.108 10.45 11.10 12.②⑤ 13.80 14.①③④ 15.33

三、简答题(本大题分 5 小题,16-17 每小题 15 分,18-20 每小题 20 分)
16.原方程可化为:(x2-2x+1)-4|x-1|+3=0,(x-1)2-4|x-1|+3=0, 设方程的四个实数根从小到大依次为 x1、x2、x3、x4,设函数 f(x)=(x-1)2-4|x-1|+3, ∴函数关于 x=1 对称,∴

x1 ? x4 x2 ? x3 ? ? 1 ,∴x1+x2+x3+x4=4, 2 2

同理,方程 x2-2x-4|x-1|+b=0 可化为: (x-1)2-4|x-1|+b-1=0, ∵函数 g(x)=(x-1)2-4|x|+b-1 的图象关于 x=1 对称,∴方程 x2-2x-4|x-1|+b=0 的四个根之和也为 4. 17. (1)答案不唯一,如:学校对应的名额可以分别是:1,1,1,2,2,2,3,3,7,7; (2)假设没有 3 所学校得到相同的名额,而每校至少要有 1 名,则人数最少的分配方案是:每两所 学校一组依次各得 1,2,3,4,5 个名额,总人数为 2×(1+2+3+4+5)=30,但现在只有 29 个名额, 故不管如何分配,都至少有 3 所学校分得的名额相同; (3)假设每所学校分得的名额都不超过 4,并且每校的名额不少于 1,则在分到相同名额的学校少 于 4 所的条件下,10 所学校派出的选手数最多不会超过 3×4+3×3+3×2+1×1=28,这与选手总数 是 29 矛盾,从而至少有一所学校派出的选手数不小于 5. 18.略 19. (1)连接 OC ∵AC 是⊙O 的弦,OD⊥AC,∴OD=AD. ∵DF//AB,∴CF=EF,∴DF=

1 1 AE= (AO+OE). 2 2

∵点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点,∴CO⊥AB. ∵EF=x,AO=CO=4,∴CE=2x,OE= CE 2 ? OC 2 = 4x 2 ? 16 =2 x 2 ? 4 . ∴y?

1? 2 2 ?4 ? 2 x ? 4 ? ? ? 2 ? x ? 4 (x≥2). ? 2?
1 CE=OF=4, 2

(2)当点 F 在⊙O 上时,连接 OC、OF,EF=

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∴OC=OB=

1 AB=4.∴DF=2+ 4 2 ? 4 =2+2 3 . 2

(3)当⊙E 与⊙O 外切于点 B 时,BE=FE. ∵CE2-OE2=OC2,∴(2x)2-(x+4)2=42,3x2-8x-32=0,∴ x1 ?
4?4 7 4?4 7 , x2 ? (舍去) . 3 3

1 1? 4?4 7? ? = 14 ? 2 7 . ∴DF= (AB+BE)= ? 8 ? ? ? 3 2 2? 3 ?
当⊙E 与⊙O 内切于点 B 时,BE=FE. ∵CE2-OE2=OC2,∴(2x)2-(4-x)2=42,3x2+8x-32=0,∴ x1 ? ∴DF=
?4?4 7 ?4?4 7 , x2 ? (舍去) . 3 3

2

1? ?4?4 7? 1 ? = 14 ? 2 7 . (AB-BE)= ? 8 ? ? ? 3 2? 3 2 ?

当⊙E 与⊙O 内切于点 A 时,AE=FE. ∵CE2-OE2=OC2,∴(2x)2-(4-x)2=42,3x2+8x-32=0,∴ x1 ? ∴DF=
2 7 ?2 1 AE= . 3 2 ?4?4 7 ?4?4 7 , x2 ? (舍去) . 3 3

20. (1)方案一中的最大半径为 1. 分析如下:因为长方形的长宽分别为 3,2,那么直接取圆直径最大为 2,则半径最大为 1; (2)如图 1,方案二中连接 O1,O2,过 O1 作 O1E⊥AB 于 E,方案三中,过点 O 分别作 AB,BF 的 垂线,交于 M,N,此时 M,N 恰为⊙O 与 AB,BF 的切点. 方案二:设半径为 r, 在 Rt△O1O2E 中, ∵O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB-O2A-O1C=3-2r, ∴(2r)2=22+(3-2r)2,解得 r= 方案三:设半径为 r, 在△AOM 和△OFN 中,
??A ? ?FON, ? ??OMA ? ?FNO.

13 . 12

∴△AOM△OFN,∴ ∴

OM FN , ? AM ON

r 2-r 6 ,解得 r= . ? 5 3-r r

比较可知,方案三半径较大;
第 7 页,共 6 页

(3)①∵EC=x,∴新拼图形水平方向跨度为 3-x,竖直方向跨度为 2+x. 类似(1) ,所截出圆的直径最大为 3-x 或 2+x 较小的. a.当 3-x<2+x 时,即当 1>x> b.当 3-x=2+x 时,即当 x=

1 1 时,y= (3-x); 2 2

1 1 1 5 时,y= (3- )= ; 2 2 2 4 1 1 时,y= (2+x). 2 2

c.当 3-x>2+x 时,即当 0<x< ②当 x> 当 x=

1 1 1 1 5 时,y= (3-x)< (3- )= ; 2 2 2 2 4

1 1 1 5 时,y= (3- )= ; 2 2 2 4 1 1 1 1 5 时,y= (2+x)< (2+ )= , 2 2 2 2 4 1 5 时,y 最大为 . 2 4

当 x<

∴方案四中,当 x= ∵1<

13 6 5 < < , 12 5 4

∴方案四时可取的圆桌面积最大.

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