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曲边梯形的面积及汽车行驶的路程


探究思考1
问题1:你能求出下面图像的面积吗? 问题2:第三幅图的面积应该怎么求呢?

y

y

y

0

x

0

x

o

x

直线

几条线段连成的 折线

曲线

探究思考1

曲边梯形:在直角坐标系中,由连续曲线
y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所 围成的图形叫做曲边梯形。
y y=f (x)

x=a
O a

x=b
b x

探究思考1

P

放大

P

再放大

P

因此,我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线,也就是说:在点P 附近,曲线可以

看作直线(即在很小范围内以直代曲)。

求曲边梯形的面积的数学思想:
y

O

1

x

方案1

方案2

方案3

以直代曲

探究思考1
y = f ( x) y

A1

O

a

b

x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1。

探究思考1
y = f ( x) y

A1 O a

A2 b x

用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得
A ? A1+ A2

探究思考1
y = f ( x) y

A1 O a

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得
A ? A1+ A2+ A3+ A4

探究思考1
y

y = f ( x)

A1 O

Ai

An

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形的

a

b x

面积代替小曲边梯形的面积,于是曲边梯形的面积A近
似为 A ? A1+ A2 + ? ? ? + An —— 以直代曲,无限逼近

探究思考1

y

不足近似
y
y ? x2

O

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 n

2 n

k n

n n

x

y?x

2

过剩近似
? ?

O

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 n

2 n

k n

n n

x

小结:求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面
积的方法
1、分割 2、近似代替 y 把这些矩形面积相加 3、求和 4、取极限

作为整个曲边形面积S 的近似值。

有理由相信,分 点越来越密时,即分 割越来越细时,矩形 面 积 和 的 极限 即 为
曲边形的面积。

o

x

例1:求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所 围成的曲边梯形的面积。
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:

y

因此, 我们有理由相信, 这 个曲边三角形的面积为:
n ??

n i ?1 i ?1 1 Sn ? ? ?S ? ? f ( )?x ? ? ( )2 n n n i ?1 i ?1 i ?1 n ' i n

S ? lim S n ? 1 ? 1 ?? 1? lim ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ?? 6 n? ? n ?? 1 ? . y ? x2 3

O

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 n

2 n

k n

n n

x

1 ?1? 1 ?2? 1 ? n ?1 ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? n ?n? n ?n? n ? n ? n 1 ? 3 (12 ? 22 ? L ? (n ? 1)2 ) n 1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? 3? n 6 1 ? 1 ?? 1 ? ? ?1 ? ?? 2 ? ? . 6 ? n ?? n ?

2

2

2

求曲边梯形面积的步骤:

一、分割(均匀)

二、近似代替
三、求和

四、取极限

探究思考2
思考 1: 已知物体运动路程与时间的关系怎样求物 体的运动速度?

(t)=6t+0. 例如 S(t)=3t +2. 则 v(t)= S?
思考 2:已知物体运动速度为 v(常量)及时间 t,怎 么求路程?

2

S=vt 直接求出

探究思考2
思考 3: 如果汽车 做变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)=-t2+2。那么 它在 0≤t≤1 这段 时 间 内行 驶的路 程 S 是多少呢?
v
2

v(t ) = - t 2 + 2

O

1

t

探究思考2
思考 4:结合求曲边梯形面积的过程,你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0,t=1,v=0 和曲线 v=-t2+2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系? 图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积,从而汽车行 驶的路程 S ? lim S n 在数
n ??

值上就等于相应曲边梯形 面积.

探究思考2
思考 3: 如果汽车 做变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)=-t2+2。那么 它在 0≤t≤1 这段 时 间 内行 驶的路 程 S 是多少呢?

解:1.分割 在时间区间 ? 0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间

? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:
? 1? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ,1? 记 第 i 个 区 间为 ? ? n? ?n n? ? n ? i i ?1 1 ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ?t ? ? ? ? n n n ? n n? ? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ,1? 上行 把汽车在时间段 ?0 , ? , ? , ? ,?, ? ? n? ?n n? ? n ? 驶的路程分别记作: ?S1 , ?S 2 ,?, ?S n

显然, S ? ? ?Si
i ?1

n

( 2 ) 近 似 代 替 当 n 很 大 , 即 ?t 很 小 时 , 在 区 间 ? i ?1 i ? 2 , v t ? ? t ? 2 的值变化很 上,可以认为函数 ?? ? ? ? n n? 小, 近似的等于一个常数, 不妨认为它近似的等于左端
i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 点 处的函数值 v ? ? ? ?? ? ? 2 ,从物理意义 n ? n ? ? n ? ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) 上的 上看,即使汽车在时间段 ? ? n n? i ?1 速度变化很小, 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? ? ?? ? ? 2 作匀速直线运动 ? n ? ? n ?
2 2

即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” ,于是的用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ?Si , 则有
2 ? ? 1 i ?1 ? i ?1 ? ? ? ?Si ? ?Si? ? v ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? 2? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ? n

? i ?1 ? 1 2 ? ?? ? ? ? (i ? 1, 2, ?, n) ① ? n ? n n

2

(3 )求和
n

由①得,
n n

2 ? i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ? S n ? ? ?Si? ? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ? n ? n n? ?

1 ?1? 1 ? n ?1 ? 1 = ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 n ?n? n ? n ? n 1 ?2 2 2 = ? 3 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 2 =? 3 n 6 3 ? n ? ? 2n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? S n ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 2 3 ? n ? ? 2n ?

2

2

(4)取极限

当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 , 即 ?t 趋 向 于 0 时 ,
1 ? 1 ?? 1 ? S n ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 趋向于 S , 3 ? n ? ? 2n ? 1 ? i ?1 ? 从而有 S ? lim S n ? lim ? ? v ? ? n ?? n ?? ? n ? i ?1 n
n

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? lim ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ?? ? 3 ? n ? ? 2n ? ? 3

练习:

?i ?1 i ? 2 , ? ? f ( x ) ? x 1、当n很大时,函数 在区间 ? n n ?

上的值,可以用( C )近似代替
1 A. f ( ) n

B. D.

C. f ( i )
n

2 f( ) n

f ?0 ?

?xi , xi ?1 ? 上的 2、在“近似代替”中,函数f(x)在区间 C 近似值等于( ) A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 ) C.可以是该区间内任一点的函数值 f (?i )(?i ? ?xi , xi ?1 ?) D.以上答案均不正确

3、求直线

y?x

3

x ? 0, x ? 2, y ? 0与曲线
所围成的曲边梯形的面积。

三、作业:


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