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2015-2016学年高中数学 2.4 等比数列课时作业11 新人教A版必修5


课时作业(十一)

等比数列

A 组 基础巩固 n 1.若等比数列{an}满足 anan+1=16 ,则公比为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 n 2 2 解析:由 anan+1=16 ,知 a1a2=16,a2a3=16 ,后式除以前式得 q =16,∴q=±4.∵a1a2 2 =a1q=16>0,∴q>0,∴q=4. 答案:B 2.在等比数列{an}中,a2 010=8a2 007,则公比 q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:∵a2 010=8a2 007,∴q = 答案:A 1 3. 随着市场的变化与生产成本的降低, 每隔 5 年计算机的价格降低 , 2000 年价格为 8 100 3 元的计算机到 2015 年时的价格应为( ) A.900 元 B.2 200 元 C.2 400 元 D.3 600 元 ?2?3 解析:a4=8 100·? ? =2 400. ?3? 答案:C 1 a4+a5 4.各项都是正数的等比数列{an}中,a2, a3,a1 成等差数列,则 的值为( ) 2 a3+a4 A. C. 5-1 1- 5 1+ 5 B. 或 2 2 2 5+1 1- 5 D. 2 2
3

a2 010 =8,∴q=2. a2 007

1 解析:设{an}公比为 q,∵a2, a3,a1 成等差数列, 2 ∴a3=a1+a2, 2 ∴a1q =a1+a1q. 2 ∴q -q-1=0, 1± 5 解得 q= . 2 1+ 5 ∵数列各项都是正数,∴q>0,∴q= , 2 ∴

a4+a5 1+ 5 =q= .故选 C. a3+a4 2

答案:C 5.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 2 2 解析:由题意知(3x+3) =x(6x+6),即 x +4x+3=0,解得 x=-3 或 x=-1(舍去), 所以等比数列的前三项是-3,-6,-12,则第四项为-24. 答案:A 6.在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线 y=2x 上,则 a4 的值为( ) A.7 B.8
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C.9 D.16 解析:∵点(an,an+1)在直线 y=2x 上,∴an+1=2an, ∵a1=1≠0,∴an≠0, ∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 3 ∴a4=1×2 =8. 答案:B 7.若数列{an}为等比数列,且 a1+a2=1,a3+a4=4,则 a9+a10=________. 解析:∵{an}是等比数列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,a9+a10 为等比数列,∴a9+ a10=1×44=256. 答案:256 2 1 8.若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 2 1 解析:当 n=1 时,S1= a1+ ,∴a1=1. 3 3 1? 2 2 1 ?2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an+ -? an-1+ ?= (an-an-1), 3? 3 3 3 ?3 ∴an=-2an-1,即

an =-2, an-1

∴{an}是以 1 为首项的等比数列,其公比为-2, n-1 n-1 ∴an=1×(-2) ,即 an=(-2) . n-1 答案:(-2) 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求证:{an}是等比数列,并求出通项公式. 证明:∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1, ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an. ∴an+1=2an, 又∵S1=2a1+1=a1,∴a1=-1≠0. 又由 an+1=2an 知 an≠0,

an+1 =2,∴{an}是等比数列, an n-1 n-1 ∴an=-1×2 =-2 . 10.数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a5,a8,a13 是等比数列{bn}中相邻的三项,若 b2=5,求 bn. 解:∵{an}是等差数列, ∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d, 又 a5,a8,a13 是等比数列{bn}中相邻的三项, 2 2 ∴a8=a5a13,即(a1+7d) =(a1+4d)·(a1+12d),解得 d=2a1. a8 5 设等比数列{bn}的公比为 q(q≠0),则 q= = , a5 3
∴ 5 又 b2=b1q=5,即 b1=5,解得 b1=3, 3 ?5?n-1 ∴bn=3·? ? . ?3? B 组 能力提升 11. 已知等比数列{an}中, a3a11=4a7, 数列{bn}是等差数列, 且 b7=a7, 则 b5+b9 等于( A.2 B.4 C.8 D.16 2 解析:∵a3a11=a7=4a7,a7≠0,∴a7=4,b7=4. ∵{bn}是等差数列,∴b5+b9=2b7=8,故选 C. 答案:C

)

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12.已知等比数列{an}为递增数列,且 a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 an=________. 2 解析:根据条件求出首项 a1 和公比 q,再求通项公式,由 2(an+an+2)=5an+1? 2q -5q+2 1 2 9 2 4 2 9 =0? q=2 或 , 由 a5=a10=a1q >0? a1>0, 又数列{an}递增, 所以 q=2.a5=a10>0? (a1q ) =a1q 2 n ? a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为 an=2 . n 答案:2 1 1 1 a c 13.设 a,b,c 是实数,3a,4b,5c 成等比数列,且 , , 成等差数列,求 + 的值.

2

a b c

c a

解:∵3a,4b,5c 成等比数列, 2 ∴16b =15ac. ① 1 1 1 ∵ , , 成等比数列,

a b c b a c b

2 1 1 ∴ = + . ② 4 由①,得 2·15ac=64. ③

?1 1?2 ②代入③,得? + ? ·15ac=64, ?a c?
64 c a 34 ∴? 2+ 2+ ?ac= ,∴ + = . 15 a c 15 ?a c ac? 1 14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,an+1=
?Sn? ? ?是等比数列. ?n?

?1

2?

n+2 Sn(n=1,2,3,…).求证:数列 n

证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= ∴Sn+1-Sn=

n+2 Sn, n

n+2 Sn, n ∴n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn, ∴nSn+1=2(n+1)Sn, Sn+1 S1 ?Sn? ∴ =2? ?,又∵ =1≠0, n+1 ? n ? 1 ?Sn? ∴数列? ?是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. ?n?

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