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三角函数与平面向量部综合试题二(含答案)

三角函数部分练习题二 一、填空题 ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? 1 、全国卷 ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , ???? ? | b |? 2 ,则 AD ? D 1? 1? 2? 2? 3? 3? 4? 4? (A) a ? b (B) a ? b (C) a ? b (D) a ? b 3 3 3 3 5 5 5 5 2、全国卷已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ? (A) ? 3 ,则 cos 2? ? 3 A 5 5 5 5 ( B) ? ( C) (D) 3 9 9 3 ??? ? ??? ? 3、湖南卷在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB?BC = 1 则 BC ? ___ . A. 3 B. 7 【答案】A C. 2 2 D. 23 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】由下图知 AB?BC = AB BC cos(? ? B) ? 2 ? BC ? (? cos B) ? 1 . ? cos B ? AB 2 ? BC 2 ? AC 2 1 .又由余弦定理知 cos B ? ,解得 BC ? 3 . ?2 BC 2 AB ? BC 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考 ??? ? ??? ? 查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法 .需要注意 AB, BC 的夹角为 ? B 的外角. 4 、广东卷对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? ? ? ? ? ?? .若平面向量 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? a, b 满 足 a ? b ? 0 , a 与 b 的 夹 角 ? ? ? 0, ? , 且 ? ? ? 和 ? ? ? 都 在 集 合 ? 4? ? ? ?n ? ? | n ? Z ? 中,则 a ? b ? C ?2 ? 5 2 ??? ? ??? ? ??? ? 5、广东卷若向量 BA ? (2,3) , CA ? (4,7) ,则 BC ? A A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. A. (?2, ?4) B. (3, 4) C. (6,10) D. (?6, ?10) ??? ? 3? 6、安徽卷在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 4 ???? 后,得向量 OQ 则点 Q 的坐标是() ( A) (?7 2, ? 2) ( B ) (?7 2, 2) (C ) (?4 6, ?2) ( D) (?4 6, 2) 【解析】选 A ??? ? 3 4 【方法一】设 OP ? (10 cos ? ,10sin ? ) ? cos ? ? ,sin ? ? 5 5 ???? 3? 3? 则 OQ ? (10 cos(? ? ),10sin(? ? )) ? (?7 2, ? 2) 4 4 ??? ? ???? ? 3? 【方法二】将向量 OP ? (6,8) 按逆时针旋转 后得 OM ? (8, ?6) 2 ???? ??? ? ???? ? 1 (OP ? OM ) ? (?7 2, ? 2) 则 OQ ? ? 2 7、辽宁卷已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π),则 tan ? = (A) ? 1 【答案】A (B) ? 2 2 (C) 2 2 (D) 1 ? ? 【解析一】? sin ? ? cos ? ? 2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4 ?? ? (0,? ),?? ? 3? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 4 【解析二】?sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, ?? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ? 3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 2 4 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以 及转化思想和运算求解能力,难度适中。 8、辽宁卷已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正确的是 (A) a∥b (C){0,1,3} 【答案】B 【解析一】由|a+b|=|a ? b|,平方可得 a ? b=0, 所以 a⊥b,故选 B (B) a⊥b (D)a+b=a ? b 【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a ? b|分别为以向量 a, b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为 |a+b|=|a ? b|,所以该平行四 边形为矩形,所以 a⊥b,故选 B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于 容易题。解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义 来解。 ??? ? 3? 9、安徽卷在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 4 ???? 后,得向量 OQ 则点 Q 的坐标是() ( A) (?7 2, ? 2) ( B ) (?7 2, 2) (C ) (?4 6, ?2) ( D) (?4 6, 2) 【解析】选 A ??? ? 3 4 【方法一】设 OP ? (10 cos ? ,10sin ? ) ? cos ? ? ,sin ? ? 5 5 ???? 3? 3? 则 OQ ? (10 cos(? ? ),10sin(? ? )) ? (?7 2, ? 2) 4 4 ??? ? ???? ? 3? 【方法二】将向量 OP ? (6,8) 按逆时针旋转 后得 OM ? (8, ?6) 2 ???? ??? ? ???? ? 1 (OP ? OM ) ? (?7 2, ? 2

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