当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学必修二全套教案

高中数学必修二全套教案


课题:柱、锥体的结构特征
教学目标: 通过实物模型,观察大量的空间图形,认识柱体、锥体的结构特征,并能运用这些特征描述现 实生活中简单物体的结构. 教学重点:让学生感受大量空间实物及模型,概括出柱体、锥体的结构特征 . 教学难点:柱、锥的结构特征的概括. 教学过程: 一、新课导入: 在现实生活中,我们的周围存在着各种各样的物体,它们具有不同的几何形状。由这些物体 抽象出来的空间图形叫做空间几何体。 下面请同学们观察课本 P2 图 1.1-1 的物体,它们具有什么样的几何结构特征?你能对它们进行分 类吗?分类的依据是什么? 学生观察思考,最后归类总结。 上图中的物体大体可分为两大类: (一)由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体 的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 (二)由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转 体,这条定直线叫做旋转体的轴。 这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。 二、讲授新课: 1. 棱柱的结构特征: 请同学们根据刚才的分类,再对比一下图 1.1-1 中(2)(5)(7)(9)中的几何体,并寻找它们的共 同特征。 (师生共同讨论,总结出棱柱的定义及其相关概念) (1)定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 (2)棱柱的有关概念: (出示右图模型,边对照模型边介绍) 棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底) ,其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧 面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

(3)棱柱的分类:按底面的多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 (4)棱柱的表示 用底面各顶点的字母表示,如右图的六棱柱可表示为“棱柱 ABCDEF ? A' B ' C ' D ' E ' F ' ” 思考 1:有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱?

答:不是棱柱。据反例。如右图几何体有两个面平行,其余各面都是平行四边形,但它不是棱柱。 2.棱锥的结构特征: 请同学们根据刚才的分类, 再对比一下图 1.1-1 中(14)(15)中的物体, 并寻找它们的共同特征。 (1)定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一公共点的三角形,由这些面所围成的几何体叫 做棱锥。 (2)棱锥的有关概念:棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形 面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 (3)棱锥的分类: 按底面的多边形的边数分,有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 (4)棱锥的表示:用底面各顶点的字母表示,如右图的四棱锥可表示为“棱锥 S ? ABCD ”

讨论:棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质?有什么共同的性质?
棱柱:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平 行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离 与高的比的平方. 3.圆柱、圆锥的结构特征: (1)观察图 1.1-1 中的(1) (3) (6) (8)的物体,并思考:圆柱、圆锥如何形成? (2) 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱; 以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. (3)圆柱、圆锥的有关概念: ( 参照课本图 1.1-7 和 1.1-8 的模型,边对照模型边介绍) 在圆柱中,旋转的轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,平行于 轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面 的母线。 圆锥中的轴、底面、侧面、母线,请学生自己仿照圆柱的定义归纳总结。 (4)圆柱、圆锥的表示方法: 圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母表示,例如图 1.1-7 中的圆柱表示为圆柱 O’O,图 1.1-8 中的 圆锥表示为圆锥 SO. (5)讨论:棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征? 圆柱和棱柱统称为柱体;棱锥和圆锥统称为锥体. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P7 1、2 题. 2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为 12cm,求圆锥的底面半径. 3.已知圆柱的底面半径为 3cm,,轴截面面积为 24cm,求圆柱的母线长. 四、归纳小结: 棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。 五、作业布置: 教材 P8 课后记: 习题 1.1,第 1 题

课题:台、球体及简单几何体的结构特征
教学目标: 通过实物模型,观察大量的空间图形,认识台体、球体及简单组合体的结构特征,并能运用 这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 教学重点:让学生感受大量空间实物及模型,概括出台体、球体及简单几何体的结构特征。 教学难点:台、球体及简单几何体的结构特征的概括 . 教学过程: 一、复习准备: 1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形,说出:定义、分类、表示。 2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形,说出各几何体的一些几何性质? 二、讲授新课: 1. 棱台与圆台的结构特征: (1)思考:用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体,所得几何体有何特征? (2)定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台;用一个平 行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台. 列举生活中的实例,并找出图 1.1-1 中哪些物体是棱台和圆台? (3)结合课本图 1.1-6 认识:棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点。 结合课本图认识:圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。 (4)棱台的分类及表示: 由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等; 棱台用表示底面各顶点的字母表示,例如图 1.1-6 中的棱台表示为棱台 ABCD-A’B’C’D’. (5) 圆台的表示: 圆台用表示它的轴的字母表示,例如图 1.1-9 的圆台表示为圆台 O’O. (6)讨论:棱台、圆台分别具有一些什么几何性质? 棱台:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯形;侧棱 的延长线相交于一点. 圆台:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长线交于一点;母 线长都相等. 棱台与圆台统称为台体。 2.球体的结构特征: (1) 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫球体,简称球. 列举生活中的实例,并找出图 1.1-1 中哪些物体是球体? (2)结合课本图 1.1-10 认识:球心、半径、直径. 在球中,半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (3) 球的表示: 球常用表示球心的字母表示,例如图 1.1-10 中的球表示为球 O。 (4) 讨论:球与圆柱、圆锥、圆台有何关系?(旋转体) 棱台与棱柱、棱锥有什么共性?(多面体) 3. 简单组合体的结构特征: (1)讨论:现实世界中物体表示的几何体,除了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外,还有 哪些物体存在? 例如矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成?灯管呢? (2) 定义:由简单几何体(如柱、锥、台、球等)组合而成的几何体叫简单组合体. 列举生活中的实例。 (3)简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图 1.1-11 中(1) (2)物体表示的几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图 1.1-11 中(3) (4)物体表示的几 何体。

三、巩固练习: 1. 练习:课本 P8 A 组 2~5 题. 2. 已知长方体的长、宽、高之比为 4∶3∶12,对角线长为 26cm, 则长、宽、高分别为多少? 3. 棱台的上、下底面积分别是 25 和 81,高为 4,求截得这棱台的原棱锥的高 4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体,求棱长为 a 的正四面体的高. 四、归纳小结: 本节课学习了台、球体及简单几何体的定义、表示;并探究了它们的性质及分类,重点要把 握它们的结构特征。 五、作业布置: 习题 1.1 B 组 第 1- 2 题 课后记:

课题:中心投影与平行投影 及简单几何体的三视图
教学目标: 1、了解中心投影和平行投影的原理; 2、能利用正投影绘制空间图形的三视图,并根据所给的三视图识别该几何体。 教学重点:投影的概念及三视图的画法。 教学难点:识别三视图所表示的空间几何体 . 教学过程: 一、新课导入: 1. 讨论:能否熟练画出上节所学习的几何体?工程师如何制作工程设计图纸? 2. 引入:从不同角度看庐山,有古诗: “横看成岭侧成峰,远近高低各不同。不识庐山真面目,只 缘身在此山中。 ” 对于我们所学几何体,常用三视图和直观图来画在纸上 . 三视图:观察者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形; 直观图:观察者站在某一点观察几何体,画出的空间几何体的图形. 用途:工程建设、机械制造、日常生活. 二、讲授新课: 1. 中心投影与平行投影: 我们知道,物体在灯光或日光的照射下,就会在地面或墙壁上产生影子,这是一种自然现象。 投影就是由这类自然现象抽象出来的。所谓投影,是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投 影面)投射,并在该面上得到图形的方法。生活中许多利用投影的例子,如手影表演,皮影戏等。 我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。 中心投影的优缺点:它能非常逼真的反映原来的物体,主要应用于绘画领域,也常用来概括 的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心,投影面和物体的相对位置改变时,直观图的 大小和形状亦将改变,因此在另外的一些领域,比如工程制图或技术图样,一般不采用中心投影。 我们把在一束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对 着投影面,可以分为斜投影和正投影两种。 (如图)

我们所讲的视图就是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。三视图就是从三个不同的 视角看空间物体的结构,只有这样才能客观的反映物体。所以我们在现实生活中,也要从多个角 度看待问题,否则就如瞎子摸象。 2. 柱、锥、台、球的三视图: (1)三视图的定义: 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)讨论:三视图与平面图形的关系? 画出长方体的三视图(教师在讲台上给出模型,并在黑板上画出三视图) 注意:一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边。

讨论:三视图中反应的长、宽、高的特点?“长对正” , “高平齐” , “宽相等” (3) 结合球、圆柱、圆锥的模型,从正面(自前而后) 、侧面(自左而右) 、上面(自上而下) 三个角度,分别观察,画出观察得出的各种结果. 即正视图、侧视图、俯视图:

(4)试画出:棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. (学生自己动手画图) (5)讨论: 三视图,分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)? 正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 (6) 讨论:根据以上的三视图,如何逆向得到几何体的形状. (试变化以上的三视图,说出相应几何体的摆放) 三、巩固练习: (1) 画出正四棱锥的三视图. (2)画出右图所示几何体的三视图. 右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图,试描述该物体的形状.

四、归纳小结: 今天我们学习了中心投影和平行投影,三视图的画法以及由三视图说实物。三视图画法里面 要注意“长对正” , “高平齐” , “宽相等” 。 五、作业布置: 1、画出右图三棱柱的三视图。 2.已知某物体的三视图如图所示,那么这个物体的形状是_______________.

正视图

侧视图

俯视图

课后记:

课题:简单组合体的三视图
教学目标: 能利用正投影绘制简单组合体的三视图, 并根据所给的三视图说出该几何体由哪些简单几何 体构成。 教学重点:简单组合体三视图的画法。 教学难点:识别三视图所表示的空间几何体 . 教学过程: 一、复习回顾: 1.中心投影与平行投影的概念: 中心投影:光由一点向外散射形成的投影。 平行投影:在一束平行光线照射下形成的投影。 2.三视图的概念: 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 在三视图中要注意: (1)要遵守“长对正” , “高平齐” , “宽相等”的规律; (2)要注意三视图的主视图反映上下、左右关系,俯视图反映前后、左右关系,左视图反映前后、 上下关系,方位不能错。 二、讲授新课: 1.简单组合体的三视图: 例 1:画出下列几何体的三视图。 分析:画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚。

例 2:如图:设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm) 。 (与学生一起观察物体,给于必要的阐述)

主 视图

左 视图

俯 视图

正前方

现在,我们已经学会了画物体的三视图,反过来,由三视图,你能说出是什么物体吗? 例 3:根据下列三视图,说出立体图形的形状。

(1)

(2)

(3)

解: (1)圆台; (2)正四棱锥; (3)螺帽。 例 4:下图是一个物体的三视图,试说出物体的形状。

主视图

左视图

俯视图

三、巩固练习: 课本第 15 页练习 四、归纳小结:

第 1—4 题。

今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。 重点要通过三视图识别所表示的几何体。 五、作业布置: 课本第 20-21 页 课后记: 习题 1.2 的第 1、2 题。

课题:空间几何体的直观图
教学目标: (1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 (2)对比方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 教学重点:用斜二测画法画空间几何体直观图。 教学难点:用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。 教学过程: 一、新课导入: 1. 提问:何为三视图?(正视图:自前而后;侧视图:自左而右;俯视图:自上而下) 2. 讨论:如何在平面上画出空间图形? 3. 引入:定义直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 把空间图形画在平面内,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关 系的图形 二、讲授新课: 1. 水平放置的平面图形的斜二测画法: (1)讨论:水平放置的平面图形的直观感觉?以六边形为例讨论. 例 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。 (师生共练,注意取点、变与不变 → 小 结:画法步骤)画法: ① 如图 1.2-10(1),在正六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴,对称轴 MN 所在直线 ' '' Y =450。 为 y 轴, 两轴相交于点 O。 在图 1.2-10(2)中, 画相应的 x’轴与 y’轴, 两轴相交于点 O’, 使 ?XO ② 在图 1.2-10(2)中,以 O’为中点,在 x’轴上取 A’D’=AD,在 y’轴上取 M’N’=

1 MN。以 2

点 N’为中点,画 B’C’平行于 x’轴,并且等于 BC;再以 M’为中点,画 E’F’平行于 x’轴,并且等于 EF。 ③连接 A’B’,C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线 x’轴和 y’轴,便获得正六边形 ABCDEF 水平放 置的直观图 A’B’C’D’E’F’(图 1.2-10(3)) 。 (2)给出斜二测画法的基本步骤: ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY,建立直角坐标系; ②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 O X ,O Y ,使 ?X 'O'Y ' =45 (或
’ ’ ’ ’ 0

135 ) ,它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不 变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半; ④擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线) 。 (3) 练习: 用斜二测画法画水平放置的正五边形. (4) 讨论:水平放置的圆如何画?(正等测画法;椭圆模板) 2. 空间图形的斜二测画法: (1) 讨论:如何用斜二测画法画空间图形? 例 2 用斜二测画法画长 4cm、宽 3cm、高 2cm 的长方体 ABCD-A’B’C’D’的直观图. (师生共练,建系→取点→连线,注意变与不变; 小结:画法步骤) 画法: 0 0 ① 画轴。如图 1.2-12,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点 O,使∠xOy=45 ,∠xOz=90 . ② 画底面。以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ=
‘ ‘

0

3 cm. 2

分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线,过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A,B, C,D,四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. ③ 画侧棱。过 A,B,C,D 各点分别作 z 轴的平行线,并在这些平行线上分别取 2cm 长的线段 AA’,BB’,CC’,DD’.

④ 成图。顺次连接 A’,B’,C’,D’,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线) , 就得到长方体的直观图。 (2)思考:如何根据三视图,用斜二测画法画它的直观图? 例 3 如图 1.2-13,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。 分析:有几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱,上部 是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱,再画出上部的 圆锥。 画法: ① 画轴。如图 1.2-14(1),画 x 轴、z 轴,使∠xOz=900。 ② 画圆柱的下底面。 在 x 轴上取 A,B 两点, 使 AB 的长度等于俯视图中圆的直径, 且 OA=OB。 选择椭圆模板中适当的椭圆过 A,B 两点,使它为圆柱的下底面。 ③ 在 Oz 上截取点 O’,使 OO’等于正视图中 OO’的长度,过点 O’作平行于轴 Ox 的轴 O’x’, 类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。 ④ 画圆锥的顶点。在 Oz 上截取点 P,使 PO’等于正视图中相应的高度。 ⑤ 成图。连接 PA’,PB’,AA’,BB’,整理得到三视图表示的几何体的直观图(图 1.2-14(2)) 强调:用斜二测画法画图,注意正确把握图形尺寸大小的关系。 (3)讨论:三视图与直观图有何联系与区别? 空间几何体的三视图与直观图有密切联系 . 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三 视图可以得到一个精确的空间几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸). 直观图是对空间几 何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象. 三、巩固练习: 1.探究 P19 奖杯的三视图到直观图. 2. 练习:P19 1~5 题 3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸:上、下底面边长 2cm、4cm; 高 3cm 四、归纳小结: 让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。 五、作业布置: 课本 P21 第 4、5 题。

课后记:

课题: 柱体、锥体、台体的表面积与体积(一)
教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。 (2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 (1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。 (2)让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。 教学要求 :了解柱、锥、台的表面积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关 实际问题. 教学重点:运用公式解决问题. 教学难点:理解计算公式的由来. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的表面积计算公式? 2. 讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式? 二、讲授新课: 1. 教学表面积计算公式的推导: ① 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和) ② 练习:1.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积.(教材 P24 页例 1) 2.一个三棱柱的底面是正三角形,边长为 4,侧棱与底面垂直,侧棱长 10, 求其表面积. ③ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表) 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线) , S 圆柱侧 =2 ? rl , S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇 形中心角为 ? ? ? 3600 ,S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) ,其 中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下 底周长,侧面展开图扇环中心角为 ? ? S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R2 ) . 求圆台的表面积. (变式:求切割之前的圆锥的表面积) 2. 教学表面积公式的实际应用: ① 例 2P25:一圆台形花盆,盘口直径 20cm,盘底直径 15cm,底部渗水圆孔直径 1.5cm,盘壁长 15cm.. 为美化外表而涂油漆,若每平方米用 100 毫升油漆,涂 200 个这样的花盘要多少油漆? 讨论:油漆位置?→ 如何求花盆外壁表面积? 列式 → 计算 → 变式训练:内外涂

r l

R?r ? 3600 , S 圆台侧 = ? (r ? R )l , l

④ 练习:一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母线与底面的夹角为 60°,

② 练习: 粉碎机的上料斗是正四棱台性, 它的上、 下底面边长分别为 80mm、 440mm, 高是 200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积. 三、巩固练习: 1. 已知底面为正方形,侧棱长均是边长为 5 的正三角形的四棱锥 S-ABCD,求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为 10、 20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为 1: 1,求截面的半径. (变式:r、R;比为 p:q) 3、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径 为 。
(答案:

2 3?

3a? m )

4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,求这个圆锥的表面积. 5. 圆锥的底面半径为 2cm,高为 4cm,求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值 . 6. 面积为 2 的菱形,绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少? 四 小结:表面积公式及推导;实际应用问题 五、作业:P28 1、2 课后记 P30 习题 2 题

课题:柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)
教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。 (2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。 教学要求 :了解柱、锥、台的体积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算和 解决有关实际问题. 教学重点:运用公式解决问题. 教学难点:理解计算公式之间的关系. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式? 2. 练习:正六棱锥的侧棱长为 6, 底面边长为 4, 求其表面积. 3. 提问:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式? 二、讲授新课: 1. 教学柱锥台的体积计算公式: ① 讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng,祖冲之的儿子)原理,教材 P30) ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? →给出柱体体积计算公式: V柱 ? Sh (S 为底面面积,h 为柱体的高)→ V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h ③ 讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系? 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系? ④ 根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式? →给出锥体的体积计算公式: V锥 ? Sh

1 3

S 为底面面积,h 为高)

⑤ 讨论:台体的上底面积 S’,下底面积 S,高 h,由此如何计算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积? ⑥ 给出台体的体积公式: V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h

1 3

(S, S 分别上、下底面积,h 为高)

'

→ V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h (r、R 分别为圆台上底、下底半径) ⑦ 比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与下 底相同时,台成为柱。因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应 公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

1 3

1 3

讨论:侧面积公式是否也正确? 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?

公式记忆: V锥 ? Sh

1 3 1 ' V台 ? (S ? S ' S ? S )h 3 1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3

2. 教学体积公式计算的运用: 例 1、一堆铁制六角螺帽,共重 11.6kg, 底面六边形边长 12mm,内空直径 10mm,高 10mm,估算 这堆螺帽多少个?(铁的密度 7.8g/cm3) 讨论:六角螺帽的几何结构特征? → 如何求其体积? → 利用哪些数量关系求个数? → 列式计算 → 小结:体积计算公式

② 练习:将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中,量得水面高度为 6cm;若将这些水 倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中,求水面的高度.

. 三、巩固练习: 1. 把三棱锥的高分成三等分,过这些分点且平行于三棱锥底面的平面,把三棱锥分成三部 分,求这三部分自上而下的体积之比。 2、棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡,截得这个棱台的棱锥的高为 35cm,求这 个棱台的体积。 (答案:2325cm )
3

3. 已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,它的轴截面的面积为 4,求圆锥的体积. 4. 高为 12cm 的圆台,它的中截面面积为 225π cm ,体积为 2800cm ,求它的侧面积。 5. 仓库一角有谷一堆,呈 1/4 圆锥形,量得底面弧长 2.8m,母线长 2.2m,这堆谷多重? 720kg/m3 四、小结:柱锥台的体积公式及相关关系;公式实际运用 五、作业:P28 2、3 题; P30 习题 3 题. 课后记
2 3

课题: 球的体积和表面积
一. 教学目标 1.知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导, 了解推导过程中所用的基本数学思想方法: “分割——求和 ——化为准确和” ,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 2.过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导, 从而得到一种推导球体积公式V=

4 π R3 和面积公式S= 3

4π R2 的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思 想。 二. 教学重点、难点 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 1. 2. 四. 教学设计 (一) 创设情景 ⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那 么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 ⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学 生推导球的体积和面积公式。 (二) 探究新知 1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片” , “小圆片”的体积 的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱 形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和 ——化为准确和”的方法来进行。 步骤:第一步:分割 如图:把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分,过这些等分点,用一组平行于底面的 平面把半球切割成 n 个“小圆片” , “小圆片”厚度近似为 如图: 得 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 教学用具:多媒体课件 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

R ,底面是“小圆片”的底面。 n

Vi ? ? ? r 2 i ?

R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]   (i ? 1、2 ??n) n n n
1 (1 ? 1 n )(2 ? n ) ] 6

第二步:求和

V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ?
第三步:化为准确的和 当 n→∞时, n →0 所以
1

(同学们讨论得出)

V半球=?R 3 (1 ?

1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3
V球 ?

得到定理:半径是R的球的体积

4 ?R 3 3
3

练习:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径(钢的密度是 7.9g/cm ) 2.球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以 不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和, 再由近似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 半径为 R 的球的表面积为 这个球的表面积是 S=4π R
2

练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则 。 (答案 50 元) (三)体积公式的实际应用: 例①:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5.0cm,求它的内径. (钢密度 7.9g/cm3) 讨论:如何求空心钢球的体积? → 列式计算 → 小结:体积应用问题. ② 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内 放入一个半径为 R 的球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求此时 容器中水的深 度. ③ 探究阿基米德的科学发现:图中所示的圆及其外切正方形绕图 中由虚线表示的 对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 面积也是圆柱全面积的 五、课堂小结: 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解 了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。 六、作业:1、P28 练习 1、2、3 2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 (答案: 3 3 : 1 积。 (答案:2500π cm )
2

2 ,球的表 3

2 . 3

。 3 :1)
2


2

⑵在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm 和 400π cm ,求球的表面 七、课后记

课题:平面
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)利用生活中的实物对平面进行描述; ( 2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图; ( 3)掌握 平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点:1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本 节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、教学过程 (一)实物引入、揭示课题 师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你们 能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时,教师对学生的活动给予 评价。 那么,平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的, 但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画)
0

D α A B

C

之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成一个 平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) β β

α

α

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形 的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投 影片) 课本 P41 图 2.1-4 说明 α ?A 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 ?B

点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解。 师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上,用事 实引导学生归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容,并加以解析) 符号表示为 A∈L B∈L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等?? 引导学生归纳出公理 2 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题,从而归纳出公理 3 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 4、教材 P43 例 1 用符号表示下列图形中点、线、面之间的位置关系 三、课堂练习:课本 P43 练习 1、2、3、4 四、课时小结: (师生互动,共同归纳) (1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么? 五、作业布置 (1)复习本节课内容; (2)预习:同一平面内的两条直线有几种位置关系. 课后记: α
A B

=> L

α

A
α ?
L

α ?

?

C

? β
P

?

L

课题:空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; ( 2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能 力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应 用。 2、过程与方法 (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 二、教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念;2、公理 4 及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何一个平 面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线 异面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

2、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在空 间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 例1、 空间四边形 ABCD,E 、F、H、G 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,求证:四边形 EFGH 是平行四边形 3 让学生观察、思考右图: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180
0

教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b' 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一 般取在两直线中的一条上;

?

② 两条异面直线所成的角θ ∈(0,2 ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)例 2(教材 P47 页例 3) (三)课堂练习 练习 1、2 (四)课堂小结在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? (五)课后作业 1、判断题: ( 1 )a ∥ b ( 2 )a ⊥ c 课后记: c⊥a => c⊥b b⊥c => a⊥b ( ( ) )

2、填空题:在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。

课题:空间直线与平面、平面与平面之间的 位置关系
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中直线与平面的位置关系; (2)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点:空间直线与平面 难点:用图形表达直线与平面 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考等,较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学过程: (一)复习引入: 1 空间两直线的位置关系
王新敞
奎屯 新疆

(1)相交; (2)平行; (3)异面 2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式: a // b, b // c ? a // c . 3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 (或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 , 那么这两条直线所成的锐角

a b

b a
a

b
A1 A

D1 B1 D B

C1 C

6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直 线
王新敞
奎屯 新疆

推理模式: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? AB 与 l 是异面直线

王新敞
奎屯

新疆

7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b , a?, b? 所 成的角的大小与点 O 的选择无关,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹 角) .为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上 垂直,记作 a ? b . (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示
王新敞
奎屯 新疆

8. 异面直线垂直: 如果两条异面直线所成的角是直角, 则叫两条异面直线垂直. 两条异面直线 a , b

a

α

a∩α =A

a ∥α

例 1 下列命题中正确的个数是( ) ⑴若直线 L 上有无数个点不在平面?内,则 L∥? (2)若直线 L 与平面?平行,则 L 与平面?内的任意一条直线都平行 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若直线 L 与平面?平行,则 L 与平面?内任意一条直线都没有公共点 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 联系生活中的实例找面面关系. 教学平面与平面的位置关系: ① 以长方体为例,探究相关平面之间的位置关系? ② 讨论得出:相交、平行。 →定义:平行:没有公共点; 相交:有一条公共直线。 →符号表示:α ∥β 、 →举实例:? ③ 画法:相交:?? 平行:使两个平行四边形的对应边互相平行 ④ 练习: 画平行平面;画一条直线和两个平行平面相交;画一个平面和两个平行平面相交 探究:A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系? B. 三个平面两两相交,可以有交线多少条? α ∩β =b

C. 三个平面可以将空间分成多少部分? D. 若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? 三、巩固练习 1.选择题 (1)以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? 其中正确命题的个数是 ( (A)0 个 (B)1 个 ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ④若 a∥?,b??,则 a∥b ) (C)2 个 (D)3 个

(2)已知 a∥?,b∥?,则直线 a,b 的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 (A)2 个 是( ) (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB?? ) ( ) (C)4 个 (D)5 个 (B)3 个

(3)如果平面?外有两点 A、B,它们到平面?的距离都是 a,则直线 AB 和平面?的位置关系一定 (A)平行

(4)已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l ( (A)与 m,n 都相交 (C)与 m,n 都不相交 教材 P51 练习 (四)归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识的层次。 (五)作业 1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。 2、教材 P51 习题 2.1 A 组第 5 题 课后记 (B)与 m,n 中至少一条相交 (D)与 m,n 中一条相交

学生独立完成后教师检查、指导

课题:直线与平面平行的判定
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理; (2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力; 2、过程与方法 学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行的判定定理。 二、教学重点、难点 重点、难点:直线与平面平行的判定定理及应用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实例,通过观察、思考、交流、讨论等,理解判定定理。 2、教学用具:投影仪(片) 四、教学思想 (一)创设情景、揭示课题 引导学生观察身边的实物, 如教材第 55 页观察题: 封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系?如何去确定这种关系呢?这就是我们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1. 教学线面平行的判定定理: ① 探究:有平面 ? 和平面外一条直线 a,什么条件可以得到 a// ? ? 分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。 判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ,则该直线与此平面平行. 符号语言:

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

例 1 求证::空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面 . →改写:已知:空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,求证:EF//平面 BCD. → 分析思路 → 学生试板演 例 2 在正方体 ABCD- A ’ B ’ C ’ D ’ 中,E 为 DD’中点,试判断 BD’与面 AEC 的位置关系,并说明理由. → 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练:还可证哪些线面平行 练习: Ⅰ、判断对错 直线 a 与平面 α 不平行,即 a 与平面 α 相交. ( ) 直线 a∥b,直线 b 平面 α,则直线 a∥平面 α. ( ) 直线 a∥平面 α,直线 b 平面 α,则直线 a∥b. ( )

Ⅱ 在长方体 ABCD- A ’ B ’ C ’ D ’ 中,判断直线与平面的位置关系(解略)
练习:教材第 56 页 1、2 题,让学生独立完成,教师检查、指导、讲评。 (四)归纳小结整理 1、同学们在运用该判定定理时应注意什么? 2、在解决空间几何问题时,常将之转换为平面几何问题。 (五)作业 1、教材第 64 页 习题 2.2 A 组第 3 题;2、预习:如何判定两个平面平行?

课题:平面与平面平行的判定
一、教学目标: 1、知识与技能:理解并掌握两平面平行的判定定理。 2、过程与方法:让学生通过观察实物及模型,得出两平面平行的判定。 二、教学重点、难点 重点:两个平面平行的判定。 难点:判定定理、例题的证明。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,得出两平面平行的判定。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、引入课题 引导学生观察、思考教材第 57 页的观察题,导入本节课所学主题。 (二)研探新知 ① 讨论:两个平面平行,其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系?一个平面内有两 条直线平行于一个平面,这两个平面有什么位置关系? ② 将讨论的结论用符号语言表示:a ? β ,b ? β ,a∩b=P,a∥α ,b∥α ,则β ∥α 。 ③ 以长方体模型为例,探究面面平行的情况. ④ 提出判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 a ? ? , b ? ? , a ? b ? A? ☆ 图形语言、文字语言、符号语言 ? ? ? // ? ; a∥?,b∥? ? ☆ 思想:线面平行→面面平行. ⑤ 讨论:水准器判断水平平面的方法及其原理。 ⑥ 出示例:平行于同一个平面的两个平面互相平行。 分析结果→以后待证→结论好处 → 变问:垂直于同一条直线的两个平面呢? ⑦ 讨论:A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这 两个平面是否平行? B. 平面α 上有不在同一直线上的三点到平面 β 的距离相等,则α 与β 的位置关系是怎样的?试 证明你的结论。 2. 教学例题: ① 例 1:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 , 求证:平面 AB1D1∥平面 C1BD. 分析:如何找线线平行→线面平行→面面平行? 师生共练,强调证明格式 小结:证明思想. 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 教师指出:判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 (三)自主学习、加深认识 练习:教材第 59 页 1、2、3 题。 (四)归纳整理、整体认识 1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 2、在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方,请向老师提出。 (五)作业布置:第 62 页习题 2.2 A 组第 7 题。

课题:直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用; (2)掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 2、过程与方法 学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质及应用。 二、教学重点、难点 重点:两个性质定理 。 难点: (1)性质定理的证明; (2)性质定理的正确运用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过类比、交流等,得出性质及基本应用。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 1. 教学线面平行的性质定理: ① 讨论:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交 线的位置关系如何? ② 给出线面性质定理及符号语言: l // ? , l ? ? ,? ? ? ? m ? l // m . ③ 讨论性质定理的证明: 又∵ m ? ? ,∴ l 和 m 没有公共点; 即 l 和 m 都在 ? 内,且没有公共点,∴ l // m . ④ 讨论: 如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线, 那 么这条直线是否在此平面内? 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条与平面有 何位置关系? 教学例题: 例 1:已知直线 a∥直线 b,直线 a∥平面α ,b ? α , 求证:b∥平面α 分析:如何作辅助平面? → 怎样进行平行的转化? → 师生共练 → 小结:作辅助平面; 转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行” ② 练习:一条直线和两个相交平面平行,求证:它和这两个平面的交线平行。 (改写成数学符号 语言→试证) 已知直线 a ∥平面 ? ,直线 a ∥平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? = b ,求证 a // b 例 2: 有一块木料如图, 已知棱 BC 平行于面 A′C′. 要经过木料表面 A′B′ C′D′ 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线?所画的线和面 AC 有 什么关系? 例 3:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也 平行于这个平面。 讨论:存在怎样的线线平行或线面平行? 怎样画线? 如何证明所画就是所求? 变式:如果 AD∥BC,BC∥面 A′C′,那么,AD 和面 BC′、面 BF、 ∵ l // ? ,∴ l 和 ? 没有公共点, a

β

b

α

c

b c a ? ? d ? ?

面 A′C′都有怎样的位置关系.为什么? 面面平行性质定理: ① 讨论:两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系?两个平面内的直 线有什么位置关系?当第三个平面和两个平行平面都相交,两条交线有什么关系?为什么? ② 提出性质定理:两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 ?∥? ? ③ 用符号语言表示性质定理: ? ? ? =a,? ? ? =b ? A

?

D

④ 讨论性质定理的证明思路. 教学例题: 例 4 已知平面 ? , ? , ?满足? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 求证:a // b 例 5:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个平面也相交. 讨论:如何将文字语言转化为图形语言和符号语言? → 如何作辅助平面? → 师生共同完成 例 6:求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.

?

B

C

→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言: 已知: ? // ? , AB , CD 是夹在两个平行平面 ? , ? 间的平行线段,求证: AB ? CD . → 分析:利用什么定理?(面面平行性质定理) 关键是如何得到第三个相交平面 ② 练习:若 ? // ? , ? // ? ,求证: ? // ? . (试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演) 在平面 ? 内取两条相交直线 a , b , 分别过 a , b 作平面 ? , ? ,使它们分别与平面 ? 交于两相交直线 a?, b? , ∵ ? // ? ,∴ a // a?, b // b? , 又∵ ? // ? ,同理在平面 ? 内存在两相交直线 a??, b?? ,使得 a? // a??, b? // b?? , ∴ a // a??, b // b?? , 三、巩固练习: 1. 两条直线被三个平行平面所截,得到四条线段. 求证:这四条线段对应成比例. 2. 已知 l , m 是两条异面直线, l // 平面 ? , l // 平面 ? , m // 面 ? , m // 平面 ? ,求证: ? // ? . *3. 设 P, Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D 、面 A1 B1C1 D1 的中心, 如图: (1)证明: PQ // 平面 AA 1B 1B ; (2)求线段 PQ 4. 课堂作业:书 P69 B 组 2、3 题。 5. 如图,b∥c,求证:a∥b∥c (试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演) 6. 设平面α 、β 、γ ,α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c, ∥b∥c. 四. 小结:线面平行的性质定理,转化思想;面面平行的性质定理及其它性质 ( ? // ? , a ? ? ? a // ? ) ;转化思想四、 五. 作业:P62 课后记: 4、5、6 题. 且 a//b. 求证: a 的长。 ∴ ? // ? .

课题:直线与平面垂直的判定
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 1、教师首先提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如: “旗 杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系” ,你能举出一些类似的例子吗?然后让学生回忆、思 考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、 接着教师指出: 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地面上的 射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L ⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图 2.3-1,直线与平面垂直时,它 们唯一公共点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L p α 图 2-3-1 2、老师提出问题,让学生思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没有比 较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图 2.3-2 试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) ,问

如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直?

B

D 图 2.3-2

C

(3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面) ,进行合 情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 老师特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 (三)实际应用,巩固深化 例 1:如图,已知 a // b, a ? ? ,求证: b ? ? (分析:线面垂直 ?线线垂直 ?线面垂直) 例 2 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求直线 A' B 和平面 A ' B ' C ' D ' 所成的角. (讨论 ?老师引导 ?学生版书) 巩固练习: 1. 平行四边形 ABCD 所在平面?外有一点 P,且 PA=PB=PC=PD, 求证:点 P 与平行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB、AD 2. 如图,已知 AP ? ? O 所在平面,AB 为 ? O 的直径,C 是圆周上的任意, 过点 A 作 AE ? PC 于点 E. 求证: AE ? 平面 PBC. (四)归纳小结,课后思考
王新敞
奎屯 新疆

小结:采用师生对话形式,完成下列问题: ①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定定理,体现 的教学思想方法是什么? 课后作业: ①课本 P69 练习 ②求证:如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。 思考题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和这个平面垂直,这个结论 对吗?为什么? 课后记:

课题:直线和平面垂直
一、教学目标:1.进一步掌握线面垂直的定义和判定定理; 2.熟练应用定理解决有关问题. 二、教学重、难点:定理应用. 三、教学过程: (一)复习:1.直线与平面垂直的定义;2.直线与平面垂直的判定定理; 3.练习:平行四边形 ABCD 所在平面 ? 外有一点 P ,且 PA ? PB ? PC ? PD , 求证:点 P 和平行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 BC 和 AB . (二)新课讲解: 例 1.过一点和已知平面垂直的直线只有一条. 已知:平面 ? 和一点 P 求证:过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条.
?
A B

?
A B

a

?

P

?
P

a

AP B , 证明: 不论 P 在平面 ? 内或外, 设直线 PA ? ? , 垂足为 A(或 P ) 若另一直线 PB ? ? , 设P
确定的平面为 ? ,且 ? ? ? ? a ∴ PA ? a, PB ? a 又∵ PA, PB 在平面 ? 内,与平面几何中的定理矛盾,所以过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条。 例 2.定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. (线面垂直的性质定理) 已知:如图, a ? ? , b ? ? 求证: a // b
a b b'

证明: (反证法)假定 b 不平行于 a ,则 b 与 a 相交或异面; (1)若 a 与 b 相交,设 a ? b ? A ,∵ a ? ? , b ? ? ∴过点 A 有两条直线与平面 ? 垂直, 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾,∴ a 与 b 不相交; (2)若 a 与 b 异面,设 b ? ? ? O ,过 O 作 b? // a , ∵a ?? ∴ b? ? ? 又∵ b ? ? 且 b ? b? ? O , ∴ a // b .
?

O

∴过点 O 有直线 b ? 和 b 垂直于 ? 与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, ∴ b 与 a 不异面,综上假设不成立, 说明:例 1 和例 2 结论可直接应用于其他的解题过程中. 例 3.已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 A ,直线 AP ? l ,求证: AP 在平面 ? 内. 证明:设 AP 与 l 确定的平面为 ? , 于是在平面 ? 内过点 A 有两条直线垂直于 l , 这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾,所以 AP 一定在平面 ? 内. 点到平面的距离:从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足间线段的长,叫做点到平面的距离。 四、课堂小结:直线与平面垂直的判定定理和性质定理. 五、作业:补充:如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上的一点, PA 垂直于 ? O 所在的平面, AF ? PC ,求证: FA ? 平面 PBC . P73 5、6 如果 AP 不在 ? 内,则可设 ? ? ? ? AM ,∵ l ? ? ,∴ l ? AM ,又∵ AP ? l ,
?
l A P M

?

P F A

课后记

C O

B

课题:平面与平面垂直的判定
课 型:新授课 一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互相垂直” 的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 二、教学重点、难点。 重点:平面与平面垂直的判定;难点:如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。 1、学法:实物观察,类比归纳,语言表达。2、教学用具:二面角模型(两块硬纸板) 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它 们有什么共同的特征? (二)研探新知 1、二面角的有关概念 归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示) 角 A 图形 顶点 O 边 边 B A 梭 l B α 从空间一直线出发的两个半平面所组 成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β β 二面角

从平面内一点出发的两条射线(半 定义 直线)所组成的图形 构成 表示 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB

2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二面角 大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先准备好的 二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 2.3-3) ,通过实验 操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平面的位置关系怎样? 承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (三)应用举例,强化所学 例 1: 如图, AB 是 ? O 的直径,PA 垂直于 ? O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点, 求证:平面 PAC ? 平面PBC . (讨论 ?师生共析 ?学生试写证明步骤 ?归纳:线线垂直 ?线面垂直 ?面面垂直) 练习:教材 P69 页探究题 例 2:已知空间四边形 ABCD 的四条边和对角线都相等,求平面 ACD 和平面 BCD 所在二面角的大小. (分析 ?学生自练) 练 习 : 如 图 , 已 知 三 棱 锥 D? A B C 的三个侧面与底面全等,且 ,求以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角 A B? A C ? 3, BC ?2 的大小? (四)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? (五)课后巩固,拓展思维 1、课后作业:自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平面 角互补。 2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥L”?为什么 ∠AOB 的大小与点 O 在 L 上的位置无关?

课题:直线与平面垂直、平面与平面 垂直的性质
课 型:新授课 一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 2、过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识; (2)性质定理的推理论证。 3、情态与价值 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理 能力。 二、教学重点、难点 两个性质定理的证明。 三、学法与用具 (1)学法:直观感知、操作确认,猜想与证明。 (2)用具:长方体模型。 四、教学设计 (一) 、复习准备: 1.直线、平面垂直的判定,二面角的定义、大小及求法. 2.练习:对于直线 m, n 和平面 ? , ? ,能得出 ? ? ? 的一个条件是(

)① m ? n, m // ? , n // ? ②

m ? n,? ? ? ? m, n ? ? ③ m // n, n ? ? , m ? ? ④ m // n, m ? ? , n ? ? .
3.引入:星级酒店门口立着三根旗杆,这三根旗杆均与地面垂直,这三根旗杆所在的直线之间具有 什么位置关系? (二) 、讲授新课: 1. 教学直线与平面垂直的性质定理: ①定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直 ?线线平行) ②练习: a, b, c 表示直线, M 表示平面,则 a // b 的充分条件是( )A 、

a ? c且b ? c B、 a // M 且b // M C、 a ? M 且b ? M D、 a, b与c 所在的角相等 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中两个不同的平面内,欲使 a // b , a , b 应满 a , b 例 1:设直线 分别在正方体
足什么条件?(分组讨论 ?师生共析 ?总结归纳) (判定两条直线平行的方法有很多:平行公理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中位 线定理、平行四边形等等) 2.教学平面与平面垂直的性质定理: ①定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(面面垂直 ? 线面垂 直) 探究:两个平面垂直,过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条. ②练习:两个平面互相垂直,下列命题正确的是( )

A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面 D、过一个平面内任意点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 例 2、如图,已知平面 ? , ? ,? ? ? ,直线 a 满足 a ? ? , a ? ? ,试判断直线 a 与平面 ? 的位置关 系.

④练习:如图,已知平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? a ,求证: a ? ? .

(三)、巩固练习: 1、下列命题中,正确的是( ) A、过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂 直 C、若 a , b 异面,过 a 一定可作一个平面与 b 垂直 D、 a , b 异面,过不在 a , b 上的点 M ,一定 可以作一个平面和 a , b 都垂直. 2、如图, P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面PAB, M 是PC 的中点, N 是AB 上的点,

AN ? 3NB. 求证: MN ? AB.
3、教材 P71、72 页 (四)巩固深化、发展思维 思考 1、设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平面α 具 有什么位置关系? (答:直线 a 必在平面α 内) 思考 2、已知平面α 、β 和直线 a,若α ⊥β ,a⊥β ,a 位置关系? 五、归纳小结,课后巩固 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? 六、作业: (1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直; (2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 课后记: α ,则直线 a 与平面α 具有什么

课题:三垂线定理(1)
一、课题:三垂线定理 二、教学目标:1.掌握科学的概念,了解射影、斜线的定义; 2. 掌握三垂线定理及其逆定理, 利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问 题。 三、教学重、难点:三垂线定理及其逆定理;三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系. 四、教学过程: (一)复习:平面几何中,点、线段在直线上射影的概念及性质: A B B
A B B A A A A0 A0 A0 A B A 0(B0) A 0 B0

A(A0 ) B0

A0

B0

B0

(二)新课讲解: 1.射影的有关概念: (1)点的射影:自一点 P 向平面 ? 引垂线,垂足 P? 叫做 P 在平面 ? 内的正射影(简称射影) 。 (2)图形的射影:如果图形 F 上所有点在一个平面内的射影构成图形 F ? ,则 F ? 叫做 F 在 这个平面内的射影. 2.斜线的有关概念: (1)斜线:如果一条直线和一个平面相交但不垂直,那么这条直线叫做平面的斜线; (2)斜足:斜线和平面的交点; (3)斜线段:斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段.由此,斜线段 AB 在平面内的射影仍为线 段,即为线段 A0 B . 3.三垂线定理: 定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直。 求证: a ? PA ; 证明:∵ PO ? ? ∴ PO ? a ,又∵ a ? OA, PO ? OA ? O ∴ a ? 平面 POA , ∴ a ? PA .
a O

A

?

A0

B

OA 是 PA 在平面 ? 内的射影, A PO, PA 分别是平面 ? 的垂线和斜线, 已知: 且 a ?O a ?? ,
P

?

A

说明: (1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;

PO ? ? , O ? ? ? ? (2)推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? PA . a ? ? , a ? OA ? ?
4.三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。 (证明 略)

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO . a ? ? , a ? AP ? ?
练习: Rt ? ABC 在平面 ? 内, ?C ? 90? , PC ? ? , CD ? AB 于点 D ,请指出图形中的直角三 角形。
P

? Rt ?ABC , Rt ?ADC , Rt ?BDC ? ? ? ? Rt ?PDA, Rt ?PDB ? ? Rt ?PCA, Rt ?PCB, Rt ?PCD ? ? ?
三.例题分析: 证明:∵点 O 是 ?ABC 的垂心,∴ AD ? BC

P
C

?

A

D

B

A O B D

C

例 1.已知:点 O 是 ?ABC 的垂心, PO ? 平面ABC ,垂足为 O ,求证: PA ? BC . 又∵ PO ? 平面ABC ,垂足为 O , PA ? 平面ABC ? A 所以,由三垂线定理知, PA ? BC . 例 2. 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的 角平分线上. 已知: ?BAC 在平面 ? 内,点 P ?? , PE ? AB, PF ? AC, PO ? ? ,垂足分别为 E, F , O, PE ? PF , 求证: ?BAO ? ?CAO . 证明:∵ PE ? AB, PF ? AC, PO ? ? , ∴ AB ? OE, AC ? OF (三垂线定理逆定理) ∵ PE ? PF , PA ? PA ,∴ Rt ?PAE ? Rt? AOF , ∴ AE ? AF ,又∵ AO ? AO , ∴ Rt ?AOE ? Rt ?AOF ∴ ?BAO ? ?CAO . 例 3.如图,道路两旁有一条河,河对岸有电塔 AB ,高 15m ,只有量角器和 尺作测量工具,能否测出电塔顶与道路的距离? 解:在道路边取点 C ,使 BC 与道路边所成的水平角等于 90 , 再在道路边取一点 D ,使水平角 ?CDB ? 45 ,
?
?
A P E O F C B

?

测得 C , D 的距离等于 20m , ∵ BC 是 AC 在平面上的射影,且 CD ? BC ∴ CD ? AC (三垂线定理) 因此斜线段 AC 的长度就是塔顶与道路的距离,
? ∵ ?CDB ? 45 , CD ? BC, CD ? 20m ,∴ BC ? 20m ,

P

在 Rt ?ABC 中得 | AC |?

AB2 ? BC2 ? 152 ? 202 ? 25(m),
A M B

N

答:电塔顶与道路距离是 25m . 四、课堂小结: 1.射影和斜线的有关概念;2.三垂线定理及其逆定理. 五、作业: 1.在正方体 AC1 中,求证:正方体的对角线 AC 1 垂直于平面 AB 1D 1.

D

C

2.如图, ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 M , N 分别是 AB, PC 的中点, 求证: AB ? MN .

课题:三垂线定理(2)
课 型:新授课 一、课题:三垂线定理(2) 二、教学目标:1.进一步明确三垂线定理及逆定理的内容; 2.能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线” ,并能正确应用. 三、教学重、难点:三垂线定理的应用。
D1 C1 B1

四、教学过程: (一)复习: 1.三垂线定理及其逆定理的内容; (二)新课讲解:

A1

D A B

C

2.练习:已知:在正方体 AC1 中,求证: (1) BD1 ? AC (2) BD1 ? B1C . 1 1; 例 1 . 点 A 为 ?BCD 所 在 平 面 外 的 一 点 , 点 O 为 点 A 在 平 面 B C D内 的 射 影 , 若

A C? B D , A? D

AB ? CD . B C ,求证:

A

证明:连结 OB, OC , OD ,∵ AO ? 平面BCD ,且 AC ? BD ∴ BD ? OC (三垂线定理逆定理)同理 OD ? BC ,∴ O 为 ?ABC 的垂心, ∴ OB ? CD , 又∵ AO ? 平面BCD ,∴ AB ? CD (三垂线定理)
B O C D

【练习】 : ?BCD 所在平面外的一点 A 在平面 BCD 内的射影 O 为 ?BCD 的垂心, 求证:点 B 在 ?ACD 内的射影 P 是 ?ACD 的垂心.

例 2. 已知: 四面体 S ? ABC 中,SA ? 平面ABC, ?ABC 是锐角三角形,H 是点 A 在面 SBC 上 的射影,求证: H 不可能是 ?SBC 的垂心. 证明:假设 H 是 ?SBC 的垂心,连结 BH ,则 BH ? SC , ∵ BH ? 平面SBC ∴ BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影, ∴ SC ? AB (三垂线定理) 又∵ SA ? 平面ABC , AC 是 SC 在平面 ABC 内的射影 ∴ AB ? AC (三垂线定理的逆定理) ∴ ?ABC 是直角三角形,此与“ ?ABC 是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立,所以, H 不可能是 ?SBC 的垂心. 例 3.已知:如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, E 是 CC1 的中点,
A A1 D1 B1 E
S

H A C

B

C1

D F B G

C

F 是 AC , BD 的交点,求证: A1F ? 平面BED .
证明: AA 1 ? 平面ABCD , AF 是 A 1 F 在面 ABCD 上的射影 又∵ AC ? BD ,∴ A 1 F ? BD 取 BC 中点 G ,连结 FG, B1G , ∵A 1B 1 ? 平面BCC1 B 1 , FG ? 平面BCC1 B 1 ,∴ B, G 为 A 1 F 在面 BCC1 B 1 上的射影, 又∵正方形 BCC1B1 中, E , G 分别为 CC1 , BC 的中点,∴ BE ? B1G , ∴ A1F ? BE (三垂线定理)又∵ EB ? BD ? B ,∴ A 1 F ? 平面BED . 五、课堂小结:三垂线定理及其逆定理的应用. 六、作业: 求证: PH ? 平面 ABC . 1.已知 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA, PB, PC 两两垂直, H 是 ?ABC 的垂心,

B F

A

C

E

D

2.已知 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA, PB, PC 两两垂直, 求证: P 在平面 ABC 内的射影 O 是 ?ABC 的垂心. 3.如图, ?ABC 是正三角形, F 是 BC 的中点,

DF ? 平面 ABC ,四边形 ACDE 是菱形,
求证: AD ? BE . 4.如图,过直角三角形 BPC 的直角顶点 P 作线段 PA ? 平面 BPC , 求证: P 在平面 ABC 内的射影 H 是 ?ABC 的垂心.
A

H P B C

本章复习(一)
课 型:复习课 1、知识与技能 (1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识; (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法 利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象学习为直观学习, 易于识记;同时凸现数学知识的发展和联系。 3 情态与价值 学生通过知识的整合、梳理,理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系,进一步培养 学生的空间想象能力和解决问题能力。 二、教学重点、难点 重点:各知识点间的网络关系; 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教学设计 (一)知识回顾,整体认识 1、本章知识回顾 (1)空间点、线、面间的位置关系; (2)直线、平面平行的判定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4) 一、教学目标

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 (二)整合知识,发展思维

平面与平面的位置关系

1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑推理的 基础。 公理 1——判定直线是否在平面内的依据; 公理 2——提供确定平面最基本的依据; 公理 3——判定两个平面交线位置的依据; 公理 4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题; 3、空间平行、垂直之间的转化与联系: 直线与直线平行

直线与平面平行

平面与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。 (三)应用举例,深化巩固 1、P.73 A 组第 1 题 (四) 、课堂练习: 1.选择题 (1)如图 BC 是 Rt⊿ABC 的斜边,过 A 作⊿ABC 所在平面?垂线 AP,连 PB、PC,过 A 作 AD⊥BC 于 D,连 PD,那么图中直角三角形的个数是 (A)4 个 (A)没有 答案: ( 1 )D 2.填空题 (1)边长为 a 的正六边形 ABCDEF 在平面?内,PA⊥?,PA=a,则 P 到 CD 的距离为 BC 的距离为 .
A
P

2、P.74 A 组第 6、8 题
A B D

?
C





(B)6 个 (B)有一条 (2) C

(C)7 个

(D)8 个 )

(2)直线 a 与平面?斜交,则在平面?内与直线 a 垂直的直线( (C)有无数条 (D)?内所有直线

,P 到

(2)AC 是平面?的斜线,且 AO=a,AO 与?成 60?角, OC??,AA'⊥?于 A' ,∠A'OC=45?,则 A 到直线 OC 的距离是 ∠AOC 的余弦值是 .
?


O A ′

7 14 2 答案: (1) 2 a , a ; (2) a, 2 4 4
3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BC1D. 分析:A1C 在上底面 ABCD 的射影 AC⊥BD, A1C 在右侧面的射影 D1C⊥C1D, 所以 A1C⊥BD, A1C⊥C1D,从而有 A1C⊥平面 BC1D. 课后作业 1、阅读本章知识内容,从中体会知识的发展过程,理会问题解决的思想方法; 2、P.76 B 组第 2 题。
A A1 D1

C

C1 B1

D

C

B

本章复习(二)
课 型:复习课 1.了解直线和平面的位置关系;掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理. 2.了解平面和平面的位置关系;掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理. 3.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关的 问题; 4.会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直,并会规范地写出解题过程。 二、例题分析: 例 1.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C,∴BD∥平面 B1D1C.同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G.从而得 B1E∥AG, 同理 GF∥AD.∴AG∥DF. ∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 说明 要证“面面平面”只要证“线面平面” ,要证“线面平行” ,只要证“线线平面” ,故问题最 A1 E A D D1 B
1

一、复习目标:

C1 F C

G

B

终转化为证线与线的平行. 小结: 例 2.如图,已知 M、N、P、Q 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点. A Q 求证:(1)线段 MP 和 NQ 相交且互相平分;(2)AC∥平面 MNP,BD∥平面 MNP. M 证明:(1) ∵M、N 是 AB、BC 的中点,∴MN∥AC,MN=

1 AC. 2

B N C

D

1 ∵P、Q 是 CD、DA 的中点,∴PQ∥CA,PQ= CA.∴MN∥QP,MN=QP, 2
MNPQ 是平行四边形.∴□MNPQ 的对角线 MP、NQ 相交且互相平分. (2)由(1),AC∥MN.记平面 MNP(即平面 MNPQ)为α .显然 AC?α .否则,若 AC?α , 由 A∈α ,M∈α ,得 B∈α ;由 A∈α ,Q∈α ,得 D∈α ,则 A、B、C、D∈α , 与已知四边形 ABCD 是空间四边形矛盾.

又∵MN?α ,∴AC∥α ,又 AC ?α ,∴AC∥α ,即 AC∥平面 MNP.同理可证 BD∥平面 MNP. 例 3.四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点,且 EF ?

2 AC , 2

?BDC ? 90? ,求证: BD ? 平面 ACD
2 1 1 1 // BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? AC ,∴在 ?EFG 中, EG 2 ? FG 2 ? AC 2 ? EF 2 FG ? 2 2 2 ? ∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , AC ? CD ? C ∴ BD ? 平面 ACD 例 2. 如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点,PA ? PB, CB ? 平面 PAB ,M 是 PC 的中点,N 是 AB 上的点, AN ? 3 NB ? P (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2 BC ? 4 时,求 MN 的长。 (1)证明:取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PC 的中点 M ∴ MQ // BC ,∵ CB ? 平面 PAB ,∴ MQ ? 平面 PAB ∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ PA ?PB , C ∴ PD ? AB ,又 AN ? 3 NB ,∴ BN ? ND N B ∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB 1 ? ( 2 ) ∵ ?APB ? 90 , PA ? PB, ∴ PD ? AB ? 2 , ∴ QN ? 1 , ∵ MQ ? 平 面 PAB . ∴ 2 1 MQ ? NQ ,且 MQ ? BC ? 1 ,∴ MN ? 2 2
课后作业: 1.在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA 1 、 CC1 相交于 E , F 两 点,则四边形 EBFD 1 的形状为 . (平行四边形) 2.如图,A,B,C,D 四点都在平面?,?外,它们在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行四边形 的四个顶点,在? 内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上,求证:ABCD 是平行四边形. 3.已知直线 a、b 和平面 M、N,且 a ? M ,那么( (A) b ∥M ? b⊥a )
C B11 B D

证明:取 CD 的中点 G ,连结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,∴ EG

// 1 AC ?

A

A

(B)b⊥a ? b∥M

(C)N⊥M ? a∥N (D) a ? N ? M ? N ? ? 4.如图, PA ? 矩形 ABCD 所在的平面, M , N 分别是 AB, PC 的中点, (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)求证: MN ? CD (3)若 ?PDA ?
P

S

?

4

,求证: MN ? 平面 PCD
M B

A

N D

A B C

C

5 . 如 图 , 已 知 SA, SB, SC 是 由 一 点 S 引 出 的 不 共 面 的 三 条 射 线 ,
0 ?A S C ? ? A S 4? B 5 ,

? SAB ? B ?S 6 ? C 0 , ? 90? ,求证: AB ? SC

课题:直线的倾斜角和斜率(1)
课 型:新授课 教学目标:
知识与技能 1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线的倾斜角的唯一性. 3.理解直线的斜率的存在性. 4.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观 1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示, 培养学生观察、 探索能力, 运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. 2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩 证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程:
1.直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, ?易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾 斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上 方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 .特别地,当直线 l 与 x 轴平行 ... 或重合时, 规定α = 0°. 问: 倾斜角α 的取值范围是什么? 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程 度. 直线 a∥b∥c, 那么它们的倾斜角 α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角 α 不能确定一 条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 和一个倾斜角 α ...P . ...... ..
O Y

a

b

c

P

X

2.直线的斜率:
一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也 就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.

例如, α =45°时, k = tan45°= 1; α =135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 3.直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公 式的推导.(略) 斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90, 直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分 母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

4.例题:
例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是 钝角还是锐角. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜 率确定; 或者 k=tanα =1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y-0)/(x-0),所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a.同理, 可 作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程 ) 5.练习: P86 1. 2. 3. 4.

课堂小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 直线的斜率公式.

课后作业: P89 课后记:

习题 3.1

1. 2. 3.4

课题:直线的倾斜角和斜率(2)
课 型:习题课 教学目标:
1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义 2.已知直线的倾斜角,会求直线的斜率 3.已知直线的斜率,会求直线的倾斜角 4.培养学生分析探究和解决问题的能力.
新疆
新疆

王新敞
学案

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

教学重点:直线的倾斜角和斜率的应用 教学难点:斜率概念理解与斜率公式的灵活运用 教学过程
1.复习:1)说出倾斜角和斜率的概念,它们都反映了直线的什么牲特征? 2) 斜率的计算公式是什么?

2.巩固练习:
1)已知直线的倾斜角,口答直线的斜率: (1) ? =0°; (2) ? =60°;(3) ? =90°; (4)150° 2).直线 l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是 3).过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ) A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 4).已知 A(2,3)、B(-1,4),则直线 AB 的斜率是 . 5).已知 M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线 MN 的倾斜角是 . 6).已知 O(0,0)、P(a,b)(a≠0),直线 OP 的斜率是 . k 7).已知 P ,当 时,直线 的斜率 = x1 ? x 2 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 1P 2

;当 x1 ? x 2 且

y1 ? y2 时,直线 P 1P 2 的斜率为 3.例题分析:
例 1.若三点 A(2,3) , B(3,?2) , C ( , m) 共线,求 m 的值
2

1 2

新疆

王新敞
学案

说明:本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系,为下节课的学习打基础 例 2.如果直线 l 经过 A(-1,2m)、B(2, m )二点,求直线 l 的斜率 K 的取值范围。 例 3. 若直线 l 的斜率为函 f (a) ? a2 ? 4a ? 3(a ? R)的最小值,判定直线的倾斜角是锐角还是钝角? 例 4.已知两点 A(-3,4)、B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点.求直线 l 的斜率 k 的取值范围.( k≤-1 或 k≥3)

4.提高练习 1.若直线 l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线 l 的斜率为
3 已知两点 A(x,-2),B(3,0),并且直线 AB 的斜率为

,倾斜角为 2.已知直线 l1 的倾斜角为 ? 1,则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 ? 2 为________.

1 ,则 x= 2

4 斜率为 2 的直线经过(3,5)、(a,7)、(-1,b)三点,则 a、b 的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3 5 已知两点 M(2,-3)、N(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 MN 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
新疆

王新敞
学案

3 3 3 3 或 k≤-4 B.-4≤k≤ C. ≤k≤4 D.- ≤k≤4 4 4 4 4 归纳小结:解题时,要重视数学思想方法的应用. 作业布置:完成全优设置相关练习. 课后记:
A.k≥

课题:两条直线的平行与垂直
课 型:新授课 教学目标:理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行 或垂直. 教学重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 教学难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜 率的关系问题. 注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况 , 在课堂上老师应提醒学生注意 解决好这个问题. 教学过程: (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念 , 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表 示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两 条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时, 两直线的倾斜角都 为 90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直 线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直.

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方 向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜角相等: α 1=α 2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tgα 1=tgα 2. 即 k1=k2. 反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°,∴α 1=α 2. 又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.

结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们 的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不 ........ 成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30), 甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方; 乙图的特征是 L1 与 L2 的交点 在 x 轴下方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2. 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

可以推出

, : α 1=90°+α 2.

L1⊥L2.

结论: 两条直线都有斜率 ,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之, ........ 如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1?k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. 例题分析:
例1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你 的结论. 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 2.已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明.

例 3.已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1?k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例 4.已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥ BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习 P89 练习 1. 2. 归纳小结: (1)两条直线平行或垂直的真实等价条件; (2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3)应用直线平行的条件, 判定三点共线. 作业布置:P89-90 习题 3.1:A 组 5. 8; 课后记:

课题:直线的点斜式、斜截式方程
课 型:新授课 教学目标: 1、知识与技能 (1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; (2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上, 通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 3、情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想,渗 透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。 教学重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 教学难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用 教学过程: 问 题 设计意图 师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直线,应 使学生在已有知识 学生回顾,并回答。然后 知道哪些条件? 和经验的基础上,探 教师指出,直线的方程,就 索新知。 是直线上任意一点的坐标 ( x, y) 满足的关系式。 2、直线 l 过
y P P0

P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 。设点 P( x, y) 是直 线 l 上的任意一点,请 建立 x, y 与 k , x0 , y0
之间的关系。

O

x

培养学生自主探索 的能力,并体会直线 的方程,就是直线上 任意一点的坐标 ( x, y) 满足的关系 式,从而掌握根据条 件求直线方程的方 法。

学生根据斜率公式, 可以 得到,当 x ?

k?

y ? y0 ,即 x ? x0 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x0 时,

3、 (1)过点 P ,斜率是 k 的 0 ( x0 , y0 )

使学生了解方程为 直线方程必须满两个 直线 l 上的点,其坐标都满足方程(1) 条件。 吗? 问 题 设计意图 (2)坐标满足方程(1)的点都在经过 使学生了解方程为 直线方程必须满两个 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 l 上吗? 条件。

(1) 教师对基础薄弱的学生 给予关注、引导,使每个学 生都能推导出这个方程。 学生验证,教师引导。

4、直线的点斜式方程能否表示坐标平 面上的所有直线呢? 5、 (1)x 轴所在直线的方程是什么? 轴所在直线的方程是什么? (2)经过点 P 且平行于 x 轴 0 ( x0 , y0 ) (即垂直于

y

y 轴) 的直线方程是什么?

使学生理解直线的点 斜式方程的适用范 围。 进一步使学生理解 直线的点斜式方程的 适用范围,掌握特殊 直线方程的表示形 式。

师生活动 学生验证,教师引导。然 后教师指出方程(1)由直 线上一定点及其斜率确定, 所以叫做直线的点斜式方 程,简称点斜式(point slope form). 学生分组互相讨论, 然后 说明理由。 教师学生引导通过画图分 析,求得问题的解决。

轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是什 么?

(3)经过点 P 且平行于 0 ( x0 , y0 )

y

y P0

y

O

x

P0

O
6、例 1 的教学。(教材 93 页) 学会运用点斜式方程 解决问题,清楚用点 斜式公式求直线方程 必须具备的两个条 件: (1) 一个定点; ( 2) 有斜率。同时掌握已 知直线方程画直线的 方法。 引入斜截式方程, 让学生懂得斜截式方 程源于点斜式方程, 是点斜式方程的一种 特殊情形。

x

教师引导学生分析要 用点斜式求直线方程应已 知那些条件?题目那些条 件已经直接给予, 那些条件 还有待已去求。 在坐标平面 内, 要画一条直线可以怎样 去画。 学生独立求出直线 l 的 方程: y ? kx ? b (2) 再此基础上,教师给出 截距的概念, 引导学生分析 方程(2)由哪两个条件确 定, 让学生理解斜截式方程 概念的内涵。 学生讨论, 教师及时给予 评价。 师生活动 学生思考回答,教师评价。

7、 已知直线 l 的斜率为 k , 且与

y轴

的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程。

8、观察方程

y ? kx ? b ,它的形式

具有什么特点? 问 题 9、 直线 y ? kx ? b 在 x 轴上的截距是 什么?

深入理解和掌握 斜截式方程的特点? 设计意图 使学生理解“截 距”与“距离”两个 概念的区别。 体会直线的斜截式 方程与一次函数的关 系.

10、 你如何从直线方程的角度认识一次 函数 y ? kx ? b ?一次函数中 k 和 b 的几何意义是什么?你能说出一次函 数 y ? 2 x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3 图象的特点吗?

学生思考、 讨论, 教师评价、 归纳概括。

11、例 2 的教学。(教材 94 页)

掌握从直线方程的 教师引导学生分析: 用斜 角度判断两条直线相 率判断两条直线平行、 垂直 互平行,或相互垂直; 结论。思考(1) l // l 时, 1 2 进一步理解斜截式方 k1 , k2 ; b1 , b2 有何关系? 程中 k , b 的几何意 (2) l1 ? l2 时, 义。 k1 , k2 ; b1 , b2 有何关系? 在此由学生得出结论:

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且 b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
12、课堂练习第 95 页练习第 1,2,3, 巩固本节课所学过的 4 题。 知识。 13、小结 使学生对本节课所学 的知识有一个整体性 的认识,了解知识的 来龙去脉。 学生独立完成, 教师检查反 馈。 教师引导学生概括: (1)本 节课我们学过那些知识点; (2)直线方程的点斜式、 斜截式的形式特点和适用 范围是什么?(3)求一条 直线的方程, 要知道多少个 条件? 学生课后独立完成。

14、 布置作业: 第 106 页第 1 题的 (1) 、 巩固深化 (2) 、 (3)和第 3、5 题

例 3.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来的位 置,求直线 l 的斜率.( -

1 ) 3

归纳小结: (1)本节课我们学过那些知识点; (2)直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用 范围是什么?(3)求一条直线的方程,要知道多少个条件? 作业布置:第 100 页第 1 题的(1) 、 (2) 、 (3)和第 3、5 题 课后记:

课题:直线的两点式和截距式方程
课 型:新授课 教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获得 新知识的特点。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 教学重点:直线方程两点式。 教学难点:两点式推导过程的理解 教学过程: 问 题 设计意图 师生活动 1、利用点斜式解答如下 遵循由浅及 教师引导学生:根据已有的知识,要求直线方程,应 问题: 深,由特殊 知道什么条件?能不能把问题转化为已经解决的问题 l (1)已知直线 经过两 到一般的认 呢?在此基础上,学生根据已知两点的坐标,先判断是 点P 1,2), P2 (3,5) ,求 知规律。使 否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方 1( 学生在已有 程: 直线 l 的方程. 的知识基础 3 (2)已知两点 上获得新结 (1) y ? 2 ? ( x ? 1) 2 P 论,达到温 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) y 2 ? y1 其中 故知新的目 ( x ? x1 ) (2) y ? y1 ? x ?x ( x ? x , y ? y ) , 的。
1 2 1 2
2 1

求通过这两点的直线方 程。

教师指出:当

y1 ? y2 时,方程可以写成 y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
教师引导学生通过画图、 观察和分析, 发现当 x1

由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的 两点式方程,简称两点式(two-point form). 2、若点

P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 中有 x1 ? x2 ,或 此时这两点的 y1 ? y2 ,
直线方程是什么?

问 题 3、例 3 教学 已知直线 l 与 x 轴的 交点为 A (a,0) , 与y轴 的交点为 B (0, b) , 其中

a ? 0, b ? 0 , 求直线 l
的方程。

使学生懂得 两点式的适 用范围和当 已知的两点 不满足两点 式的条件时 它的方程形 式。 设计意图 使学生学会 用两点式求 直线方程; 理解截距式 源于两点 式,是两点 式的特殊情 形。

时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为: x ?

? x2

x1 ;当 y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方程为: y ? y1 。

师生活动 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点?可以 用多少方法来求直线 l 的方程?那种方法更为简捷?然 后由求出直线方程:

x y ? ?1 a b 教师指出: a, b 的几何意义和截距式方程的概念。

4、例 4 教学 已知三角形的三个 顶点 A(-5,0) ,B(3, -3) ,C(0,2) ,求 BC 边所在直线的方程,以 及该边上中线所在直线 的方程。 5、课堂练习 第 97 页第 1、 2、 3 题。 6、小结

让学生学 会根据题目 中所给的条 件,选择恰 当的直线方 程解决问 题。

教师给出中点坐标公式, 学生根据自己的理解, 选择 恰当方法求出边 BC 所在的直线方程和该边上中线所在 直线方程。在此基础上,学生交流各自的作法,并进行 比较。

学生独立完成,教师检查、反馈。 增强学生对 直线方种四 种形式(点 斜式、斜截 式、 两点式、 截距式)互 相之间的联 系的理解。 巩固深化, 培养学生的 独立解决问 题的能力。 教师提出: (1)到目前为止,我们所学过的直线方程的 表达形式有多少种?它们之间有什么关系? (2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件?

7、布置作业

学生课后完成

归纳小结: 1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系? 2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件? 作业布置:第 100 页第 1 题的(4) 、 (5) 、 (6)和第 2、4 题 课后记:

课题:直线的一般式方程
课 型:新授课 教学目标: 1、知识与技能 (1)明确直线方程一般式的形式特征; (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距; (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 教学重点:直线方程的一般式。 教学难点:对直线方程一般式的理解与应用 教学过程: 问 题 设计意图 师生活动 1、 (1)平面直角坐标系中 使学生理解直线 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题 的每一条直线都可以用一 和二元一次方程 (1) ,即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出 个关于 x, y 的二元一次方 的关系。 的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题 (2) ,教师引导学生理解要判断某一个方程是否 程表示吗? 表示一条直线,只需看这个方程是否可以转化为 (2) 每一个关于 x, y 的二 直线方程的某种形式。为此要对 B 分类讨论,即 元一次方程 当 B ? 0 时和当 B=0 时两种情形进行变形。然后 Ax ? By ? C ? 0(A,B 由学生去变形判断,得出结论: 不同时为 0) 都表示一条直 关于 x, y 的二元一次方程,它都表示一条直 线吗? 线。 教师概括指出:由于任何一条直线都可以用一 个关于 x, y 的二元一次方程表示;同时,任何一 个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于 x, y 的二元一次方程

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)叫做直
2、 直线方程的一般式与其 他几种形式的直线方程相 比,它有什么优点? 问 题 使学生理解直线 方程的一般式的 与其他形 设计意图 式的不同点。 线的一般式方程, 简称一般式 (general form) . 学生通过对比、讨论,发现直线方程的一般式 与其他形式的直线方程的一个不同点是: 师生活动 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线, 而点斜式、 斜截式、 两点式方程, 都不能表示与 x 轴垂直的直线。 教师引导学生回顾前面所学过的与 x 轴平行和 重合、与 y 轴平行和重合的直线方程的形式。然 后由学生自主探索得到问题的答案。

3、在方程

使学生理解二元 A, 一次方程的系数 Ax ? By ? C ? 0 中, B,C 为何值时,方程表示 和常数项对直线 的位置的影响。 的直线 (1)平行于 x 轴; (2)平 行于 y 轴; (3)与 x 轴重 合; (4)与

y 重合。
学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指 出:对于直线方程的一般式,一般作如下约定: 一般按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列; x 项 的系数为正; x , y 的系数和常数项一般不出现

4、例 5 的教学 使学生体会把 已知直线经过点 A(6, 直线方程的点斜 式转化为一般 4 -4) ,斜率为 ? ,求直线 式,把握直线方 3 程一般式的特

的点斜式和一般式方程。 5、例 6 的教学 把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜 截式, 求出直线 l 的斜率以 及它在 x 轴与 y 轴上的截 距,并画出图形。

点。 使学生体会直线 方程的一般式化 为斜截式,和已 知直线方程的一 般式求直线的斜 率和截距的方 法。

分数;无特加要时,求直线方程的结果写成一般 式。 先由学生思考解答, 并让一个学生上黑板板书。 然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式, 求直线的斜率和截距的方法:把一般式转化为斜 截式可求出直线的斜率的和直线在 y 轴上的截 距。求直线与 x 轴的截距,即求直线与 x 轴交点 的横坐标,为此可在方程中令 y =0,解出 x 值, 即为与直线与 x 轴的截距。 在直角坐标系中画直线时,通常找出直线下 两个坐标轴的交点。 学生阅读教材第 105 页,从中获得对问题的理 解。

6、 二元一次方程的每一个 解与坐标平面中点的有什 么关系?直线与二元一次 方程的解之间有什么关 系? 7、课堂练习 第 99 练习第 2 题和第 3 (2) 问 题 8、小结

使学生进一步理 解二元一次方程 与直线的关系, 体会直解坐标系 把直线与方程联 系起来。 巩固所学知识和 方法。 设计意图 使学生对直线方 程的理解有一个 整体的认识。

学生独立完成,教师检查、评价。

巩固课堂上所学 的知识和方法。

师生活动 (1) 请学生写出直线方程常见的几种形式, 并 说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点和适用范 围。 (3)求直线方程应具有多少个条件? (4)学习本节用到了哪些数学思想方法? 学生课后独立思考完成。

归纳小结: (1)请学生写出直线方程常见的几种形式,并说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 (3)求直线方程应具有多少个条件? (4)学习本节用到了哪些数学思想方法? 作业布置:第 101 页习题 3.2 第 10,11 题 课后记:

课题:直线方程综合
课 型:习题课 教学目标:直线方程的各种形式及其在解题中的应用. 教学重点:直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化, 及各种形式在解题中的灵活运用. 教学难点:各种形式在解题中的灵活运用;加深对数学思想方法的理解与应用 教学过程: 一、复习回顾:直线方程的各种形式用适用范围 二.课前练习
1.下列四命题中的真命题是 A、经过定点 P( x0 , y0 ) 的直线都可以写成 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ; B.经过任意两个不同的点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 的直线都可以用

( y ? y1 )(x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 表示; x y C.不经过原点的直线都可以用 ? ? 1 表示; a b D.经过定点 A(0, b) 的直线都可以用 y ? kx ? b 表示;
2.若直线(2t–3)x+y+6=0 不经过第二象限,则 t 的取值范围是 ( A )(

3 3 3 3 , +∞) (B)(–∞, ) (C)[ , +∞] (D)(–∞, ) 2 2 2 2
.

3.过点 M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是 三、例题分析

例 1.已知在第一象限的 Δ ABC 中,A(1,1) 、B(5,1 ) , ?A ? AB 边的方程; (2)AC 和 BC 所在的直线方程. 例 2.求过点 P(-5,-4)且分别满足下列条件的直线方程: (1)与两坐标轴围成的三角形面积为 5; (2)与 x 轴 y 轴分别交于 A、B 两点,且|AP|:|BP|=3:5. 四、提高练习

?
3

, ?B ?

?
4

, 求: (1)

1.一条直线 l 被两条直线 4x+y+6=0 和 3x–5y–6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,则直线 l 的方程为(A)6x+y=0 (B)6x–y=0 (C)x+6y=0 (D)x–6y=0 2.设 A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0),直线 x=m 将△ABC 面积两等分,则 m 的值是 (A) 3 +1 (B) 3 –1 (C)2 3 (D) 3 3.若 A、B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标是 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x–y–1=0,则 直线 PB 的方程是 (A)2x–y–1=0 (B)x+y–3=0 (C)2x+y–7=0 (D)2x–y–4=0 4.直线 l 过原点,且平分平行四边形 ABCD 的面积,若平行四边形有两个顶点的坐标是 A(2, 3), C(–4,–1),则直线 l 的方程是 . 5.过点 P(–2, 2),且在第二象限与两坐标轴围成的三角形的面积最小时的直线的方程 是 . 6.在直线 3x–y+1=0 上有一点 A,它到点 B(1,–1)和点 C(2, 0)等距离,则 A 点坐标 为 .

归纳小结:直线方程的各种形式要根据条件灵活选用;分析问题要突出数学思想方法 的运用。 作业布置:习题 3.2 第 100 页 7、8、9 题,课外完成 B 组题

课题:两直线的交点坐标
课 型:新授课 教学目标:
知识与技能:1.直线和直线的交点 2.二元一次方程组的解 过程和方法: 1.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法. 2.掌握数形结合的学习法。 3.组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的直线系方程。

教学重点:判断两直线是否相交,求交点坐标 教学难点:两直线相交与二元一次方程的关系 教学过程:
一、情境设置,导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那么如果 两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 二.新课讲授 1.分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系 已知两直线 L1:A1x+B1y +C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系? 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。 几何元素及关系 代数表示 点A A(a,b) 直线 L L:Ax+By+C=0 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A 课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? 学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系? 1.若二元一次方程组有唯一解,L 1 与 L2 相交。 2.若二元一次方程组无解,则 L 1 与 L2 平行。 3.若二元一次方程组有无数解,则 L 1 与 L2 重合。 课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系? 例题讲解: 例 1:求下列两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0
得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 。 教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然后才进 行讲解。 同类练习:书本 104 页第 1,2 题。 例 2 :判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1)L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0 (2)L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0 (3)L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

课堂设问:当 ? 变化时,方程 3x+4y-2+ ? (2x+y+2)=0 表示何图形,图形有何特点?求出图形 的交点坐标。 (1)运用信息技术,当 ? 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生从直观上得出结论,同 时发现这些直线的共同特点是经过同一点。 (2)找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。 (3)结论:方程表示经过这两条直线 L1 与 L2 的交点的直线的集合。 例 3.已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证交点不可能 在第一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围.

a ?1 a2 ?1 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二象限内. a ?1 a ?1 a2 ?1 2 又因为 a 为任意实数时,都有 a ? 1 ? 1>0,故 ≠0 a ?1 a ?1 a2 ?1 , 因为 a ≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在 x 轴上 ,得交点(- ) a ?1 a ?1
解:解方程组若
新疆

王新敞
学案

例 4.(1)求经过直线 y=2x+3 和 3x-y+2=0 的交点,且垂直于第一条直线的直线的方程. (2) 设正数 a, b 满足 2ab=a+b,直线

x y ? ? 1 总过一定点,求定点的坐标。 a b

课堂练习: (1)已知三点 A(2, –3), B(4, 3), C(5,

m )在同一直线上,则 m 的值为 2
(C)(2, 3) (D)(-2, 3)

(2)不论 m 为何实数,直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点 (A)(1, -

1 ) 2

(B)(-2, 0)

(3)直线方程为(3m+2)x+y+8=0, 若直线不过第二象限,则 m 的取值范围是 (4)光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线所在的直线方程。 (5)求满足下列条件的直线方程:经过两直线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的交点,且和直线 3x-2y+4=0 垂直 归纳小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来解决, 并能进行应用。 作业布置:109 页 2、3、4、5 题 课后记:

课题:两点间距离
课 型:新授课 教学目标: 知识与技能:掌握直角坐标系两点间距离,会用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。 教学重点:两点间距离公式的推导 教学难点:应用两点间距离公式证明几何问题。 教学过程: 一、情境设置,导入新课 课堂设问一:回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ? 。 分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足分别为 N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, 0? ,直线 PN 1 1与P 2 N2 相交于点 Q。
平面直角坐标系中两点间距离公式: PP 1 2 ?
2 2 2

2

2

在直角 ? ABC 中, P 1P 2
2 2

M1 ? x1, 0? 过点 向 y 轴作垂线,垂足为 N2 ? 0,y2 ?
2 2 2

? PQ ? QP2 ,为了计算其长度,过点 P1 向 x 轴作垂线,垂足为 1
,于是有
2

PQ ? M 2 M 1 ? x2 ? x1 , QP2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 1
所以, P 1P 2
2

? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1

2

2

2

2

由此得到两点间的距离公式 PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

二、例题分析 例 1.点 A(-1,2) ,B (2, 7 ) ,在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 PA 的值。
解:设所求点 P(x,0) ,于是有
2 2

? x ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? x ? 2?
2

2

? 0? 7

?

?

2

由 PA ? PB 得 x ? 2 x ? 5 ? x ? 4 x ? 11 解得 x=1。 所以,所求点 P(1,0)且

PA ?

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

?2 2

通过例题,使学生对两点间距

离公式理解。应用。 例 2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 证明:以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0) 。 设B(a,0) ,D(b,c) ,由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c) ,因为
2 2 2, 2 AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC , AC ? ? a ? b ? +c BD =?b-a? +c

2

2

2

2

2



2 2 2 所以, AB +CD +AD +BC =2a+b+c
2 2
2 2









?

?
2 2 2 2

AC +BD =2a+b+c ? 2 2 2? 所以, AB +CD +AD +BC =AC +BD
因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

思考:同学们是否还有其它的解决办法?还可用综合几何的方法证明这道题。 课后练习 1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 2.在直线 x-3y-2=0 上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。 3. (1994 全国高考)点(0,5)到直线 y=2x 的距离是 归纳小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决 几何问题,建立直角坐标系的重要性。 作业布置:110 页 6、7、8 题 课后记:

课题:点到直线的距离公式
课 型:新授课 教学目标:
知识与技能: 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式; 能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 情感和价值: 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用 .
新疆

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

教学过程:教学过程 一、情境设置,导入新课:
前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的交点问题,两 点间的距离公式。 逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节, 我们将研究怎样由 l 点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 的距离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且 在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。

二、讲解新课:
1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C
新疆

王新敞
学案

A ?B
2

2

(1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,怎样用点的坐标和直线的方程直 接求点 P 到直线 l 的距离呢? 学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念, 即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾经解 y 决过的问题,一个自己熟悉的问题。 R P(x0,y0) 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 d 方案一: Q 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜 o x

B (A ≠ 0 ) ,根据点斜式写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求 A 出点 Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为 d
率为
新疆

S

l

新疆

王新敞
学案

此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二: 设 A≠0, B≠0, 这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交, 过点 P 作 x 轴的平行线, 交 l 于点 R( x1 , y0 ) ;
王新敞
学案

作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) , 由?

? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 得 x1 ? . A B ? Ax0 ? By2 ? C ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |= |PS|=| y0 ? y2 |= |RS|= PR ? PS
2 2

Ax0 ? By0 ? C A

Ax0 ? By0 ? C B
? A2 ? B 2 ?| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: d ?|R AB

S|=|PR|?|PS|

新疆

王新敞
学案

所以 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
新疆

可证明,当 A=0 时仍适用 这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力,意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。 例 1.求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。
王新敞
学案

解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 32 ? 02

?

5 3

例 2 .已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。 解:设 AB 边上的高为 h,则 S ? ABC =

1 AB ? h , AB ? 2

? 3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。AB 边所在直线方程为

y ? 3 X ?1 ? ,即 x+y-4=0。 1? 3 3 ?1
点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h,h=

?1 ? 0 ? 4
2

1 ?1 1 5 ?5 因此,S ? ABC = ? 2 2 ? 2 2

?

5 , 2

通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数 运算解决几何问题的优越性。 同步练习:108 页第 1,2 题。

4.课堂练习:
1.已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直线过点(2,3) ,求该 直线方程。 2.求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 3.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值:

归纳小结:点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为 点到直线的距离公式
新疆

王新敞
学案

作业布置: 110 页 6、7、8、9 课后记:

课题:两平行线间的距离
教学目标:使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点,并能运用这一公式,学习并领会寻找
点到直线距离公式的思维过程以及推导方法,教学中体现数形结合、转化的数学思想,培养学生 研究探索的能力.推导两平行线间的距离公式并能灵活运用。

教学重点:两平行线间的距离公式的研究探索过程.
教学难点:点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用 . 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:两点间的距离公式 2、点到直线的距离是什么?怎样正确运用这一公式? 3、讨论:两条平行直线间的距离怎样求? 二、讲授新课: 教学两条平行直线间的距离: 1)讨论:两条平行直线间的距离怎么求?(是指夹在两条平行直线间公垂线段的长) 2)可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2
新疆

王新敞

A ?B
2

学案

2

证明:设 P0 ( x0 , y0 ) 是直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 上任一点,则点 P0 到直线 Ax ? By ? C1 ? 0 的距离 为d ?

Ax0 ? By0 ? C1 A ?B
2 2

。又 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0 即 Ax0 ? By0 ? ?C2 ,∴d=

C1 ? C 2
新疆

王新敞
学案

A ?B
2

2

思考:若二平行线中 x,y 的系数不相同如何处理? 这一公式的本质是利用了等价转化思想。 例 1.已知直线 l1 : 2 x ? 7 y ? 8 ? 0, l2 : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 , l1 与 l2 是否平行?若平行,求 l1 与 l2 间的距离 例 2.求与直线 l : 5 x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程 例 3.求与两条平行直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, l2 : 2 x ? 3 y ? 18 ? 0 的距离相等的直线方程。 三、巩固练习: 1.若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,则 a 的值 2.求两条平行直线的距离, l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, l2 : 2 x ? 3 y ? 18 ? 0 3.过 B(3, 4) 作直线,使之与点 A(1,1) 的距离等于 2,求这条直线方程。 4.求过点 M (?2,1) ,且与 A(?1, 2), B (3,0) 距离相等的直线方程 归纳小结:二平行直线的距离公式是点到直线距离公式的一个应用;解题时,要重视数学思想和 方法的运用。 作业布置:110 页 B 组 4、5、8、9 课后记:

课题:直线的综合应用(1)
课 型:习题课 教学目标:巩固倾斜角、斜率等概念;熟练掌握直线方程的各种形式;能正确判定两 直线的位置关系。 教学重点:直线知识的掌握及应用 教学难点:数学思想方法在直线解题中的应用 教学过程: 一、知识回顾 1、倾斜角、斜率等概念 2、直线方程的各种形式 3、两直线的位置关系 4、距离公式 二、课前练习 1、直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 的倾斜角是( ) (A)30° (B)120° (C)60° (D)150° 2、直线 x-2y-2k=0 与 2x-3y-k=0 的交点在直线 3x-y=0 上,则 k 的值为( ) (A)1 (B)2 (C) ?1 (D)0 3、两直线 3x+2y+m=0 和(m2+1)x-3y-3m=0 的位置关系是( ) (A)平行 (B)相交 (C)重合 (D)视 M 而定 4、直线 3x+4y-12=0 和 6x+8y+6=0 间的距离是 5.下列说法正确的是 (A)若直线 l1 与 l2 的斜率相等,则 l1//l2 (B)若直线 l1//l2,则 l1 与 l2 的斜率相等 (C)若一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在,则它们一定相交 (D)若直线 l1 与 l2 的斜率都不存在,则 l1//l2 6.下列说法中不正确的是 (A)点斜式 y–y1=k(x–x1)适用于不垂直于 x 轴的任何直线 (B)斜截式 y=kx+b 适用于不垂直于 x 轴的任何直线 y ? y1 x ? x1 (C)两点式 适用于不垂直于 x 轴和 y 轴的任何直线 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y (D)截距式 ? ? 1 适用于不过原点的任何直线 a b 7.下列四个命题中,真命题的个数是 ①经过定点 P0(x0, y0)的直线,都可以用方程 y–y0=k(x–x0)来表示 ②经过任意两点的直线,都可以用方程(y–y1)(x2–x1)=(x–x1)(y2–y1)来表示 x y ③不经过原点的直线,都可以用方程 ? ? 1 来表示 a b ④经过点 A(0, b)的直线,都可以用方程 y=kx+b 来表示 (A)0 个 (B )1 个 (C)2 个 (D ) 4 个 8.经过点(–3, –2),在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 9.直线 bx+ay=1 在 x 轴上的截距是 1 1 (A) (B)b (C ) (D)|b| b |b|

10.两条直线 l1: y=kx+b, l2: y=bx+k( k>0, b>0, k≠b)的图象是下图中的

(A) (B) (C) (D) 三、例题分析 例 1.等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 和顶点 B 都在直线 2x+3y–6=0 上,顶点 A 的坐标是(1, –2),求边 AB, AC 所在的直线方程. 例 2.光线沿直线 l1: x–2y+5=0 的方向入射到直线 l: 3x–2y+7=0 上后反射出去, 求反射光线 l2 所在的直线方程. 例 3.求函数 y ? x2 ? 8x ? 20 ? x2 ? 1 的最小值 例 4.已知直线 L 过点 M( 1 , 2 ),求 L 的方程 (1)与坐标轴在第一象限所围成之三角形面积最小; (2)a、b 分别为 x 轴、y 轴上的截距,a+b 最小; (3)L 在 x 轴、y 轴上的交点分别为 A、B, |MA||MB|最小。 提高练习 2x y 1.直线 2 ? 2 ? 1 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 a b 1 (A)a2, –b2 (B)a2, ±b (C) a2, –b2 (D)±a, ±b 2 2、点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是坐标原点,则│OP│的最小值是( ) (A) 7 (B) 6 (C)2 2 (D) 5 3、设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后,反射光线所在的直线 方程是( ) (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)3x-2y+1=0 (D)x+2y+3=0 4.若点 P 是 x 轴上到 A(1, 2), B(3, 4) 两点距离的平方和最小的点,则点 P 的坐标 是 5 (A)(0, 0) (B)(1, 0) (C)( , 0) (D)(2, 0) 3 5.已知过点 A(1,1)且斜率为-m(m >0)的直线 l 与 x、y 轴分别交于 P、Q 两点,过 P、Q 作直线 2x+y=0 的垂线,垂足分别为 R、S,求四边形 PRSQ 的面积的最小值。 6. 三角形的一个顶点为(2,-7) ,由其余顶点分别引出的高线和中线分别为 , .求三角形三边所在直线的方程.

归纳小结:巧用性质解题是解析几何中的常用方法,关鍵是有效联想,合理构造。 作业布置:114 页 A 组各题 课后记:

课题:直线方程的综合应用(2)
课 型:习题课 教学目标:进一步加深掌握直线知识,并能灵活运用知识解决有关问题 教学重点:直线方程的综合运用 教学难点:解决问题的方法与策略 教学过程: 一、知识练习 1. 已知点 A(1,2)、B(3,1) ,线段 AB 的垂直平分线的方程是 (A). 4 x ? 2 y ? 5 (B). 4 x ? 2 y ? 5 (C). x ? 2 y ? 5 (D). x ? 2 y ? 5 2. 已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于 (A). 2 (B). 2 ? 2 (C). 2 ? 1 (D). 1+ 2 3. 直线 3 ? 2 x ? y ? 3 和直线 x ? ( 2 ? 3) y ? 2 的位置关系是 (A).相交但不垂直 (B).垂直 (C). 平行 (D).重合 4. 直线 y ? 1 与直线 y ? 3x ? 3 的夹角为 (A). 30 ? (B). 60 ? (C). 90 ? (D). 45 ? 5.过点 M(2, 1)的直线与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点,若 M 为线段 PQ 的中点,则 这条直线的方程为 (A)2x–y–3=0 (B)2x+y–5=0 (C)x+2y–4=0 (D)x–2y+3=0 6.点 P(a+b, ab)在第二象限内,则 bx+ay–ab=0 直线不经过的象限是 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 1 7.被两条直线 x–y=1, y=–x–3 截得的线段的中点是 P(0, 3)的直线 l 的方程 2 为 . 8.直线 l1:3x+4y–12=0 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,过 P(1,0)点作 直线 l 平分△AOB 的面积,则直线 l 的方程是 . 二、例题分析 例 1.已知定点 A(2,?5) ,动点 B 在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,求 B 的坐标. 解:如图。易知当 AB 的连线与已知直线垂直时, AB 的长度最短。直线 2 x ? y ? 3 ? 0 Y 的斜率 k ? 2 ? AB 的斜率 k AB ? ? 1 AB 的斜率的方程为: 2 1 X y ? 5 ? ? ( x ? 2), ? x ? 2 y ? 8 ? 0 2 13 ? ?x ? 2 y ? 8 ? 0 ? y ? ? 5 14 13 B 的坐标为 (? ,? ) ?? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ? x ? ?14 5 ? 例 2.已知直线 l 过点 P(3, 2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点, (1)求△ABO 的面积的最小值及其这时的直线 l 的方程; (2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值。 例 3.为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形 PQRC 的草坪,且 PQ∥ BC,RQ⊥BC,另外△AEF 的内部有一文物保护区不能占用,经测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m . (1)求直线 EF 的方程(4 分 ).

?

?

(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大?. 解: (1 ) 如图, 在线段 EF 上任取一点 Q, 分别向 BC,CD 作垂线. 由 y x y 题意,直线 EF 的方程为: + =1 P 30 20 D C 2 (2)设 Q(x,20- x),则长方形的面积 3 F Q R 2 S=(100-x)[80-(20- x)] (0≤x≤30) x 3 A E B 2 20 化简,得 S= - x2+ x+6000 (0≤x≤30) 3 3 50 配方,易得 x=5,y= 时,S 最大,其最大值为 6017m2 3 三、巩固练习 1.过点 M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是 . 2.在直线 3x–y+1=0 上有一点 A,它到点 B(1,–1)和点 C(2, 0)等距离,则 A 点坐标 为 . 3.一条直线 l 被两条直线 4x+y+6=0 和 3x–5y–6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原 点,则直线 l 的方程为 (A)6x+y=0 (B)6x–y=0 (C)x+6y=0 (D)x–6y=0 4.若直线(2t–3)x+y+6=0 不经过第二象限,则 t 的取值范围是 3 3 3 3 (A)( , +∞) (B)(–∞, ) (C)[ , +∞] (D)(–∞, ) 2 2 2 2 5.设 A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0),直线 x=m 将△ABC 面积两等分,则 m 的值是 (A) 3 +1 (B) 3 –1 (C)2 3 (D) 3 6.已知点 P(a, b)与点 Q(b+1, a–1)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是 (A)y=x–1 (B)y=x+1 (C)y=–x+1 (D)y=–x–1 7.过( 2 , 6 )且在 x, y 轴截距相等的直线方程为 归纳小结:数形结合及分类讨论思想是重要的数学思想,解题时要认真领会;解析几 何知识用于解决应用题有时很方便,要体会建模。 作业布置:114 页 B 组题 课后记:

课题: 圆的标准方程
课 型:新授课 1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程: (一)、情境设置: 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要 素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中, 任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示, 那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究: (二)、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。 (其中 a、b、r 都是 常数, r>0 )设 M(x,y) 为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出)
2 2 P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r

教学目标:



化简可得:

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
2 2 2



引导学生自己证明 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为圆的方程,得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 (三)、知识应用与解题研究 例 1. ( 课 本 例 1 ) 写 出 圆 心 为 A( 2 ,? 3 ) ,半径长等于 5 的圆的方程,并判断点

M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。
分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外(2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2 2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

例 2. (课本) ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B (7, ? 3),C (2,? 8), 求它的外接圆的方程. 师生共同分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角形有唯一的外接圆 .从圆的 标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定 a、b、r 三

个参数. 例 3. (课本 3)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆 心为 C 的圆的标准方程.

师生共同分析 : 如图 , 确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 . 圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和

B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆
心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例 2、例 3 可得出圆的标准方程的两种求法 (1)根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 的值,写出圆的标准 方程. ②﹑根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方 程. (四)、课堂练习(课本 P120 练习 1,2,3,4) 归纳小结: 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。 作业布置:课本 p124 习题 4.1A 组第 2,3,4 题. 课后记:

课题: 圆的一般方程
教学目标: 1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征, 由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.

2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。

教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确 定方程中的系数 D、E、F.
教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教学过程: 一、课题引入: 问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个 问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 二、探索研究:
新疆

王新敞
学案

请同学们写出圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理:x +y -2ax-2by+a +b -r =0.
取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a 2 ? b 2 ? r 2 得 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ①
2 2 2 2 2

2

2

2

这个方程是圆的方程. 反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗?

把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得 ( x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4



这个方程是不是表示圆? (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程② 表示以(D E 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; ,- )为圆心, 2 2 2

2 2 (2) 当 D ? E ? 4F ? 0 时, 方程只有实数解 x ? ? 2 2

D E D E ,y ? ? , 只表示一个点 (- , - ) ; 2 2 2 2
新疆

(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
2 2
2 2

王新敞
学案

综 上 所 述 , 方 程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 的 曲 线 不 一 定 是 圆
2 2

新疆

王新敞
学案

只有当

D ? E ? 4F ? 0 时 , 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 , 我 们 把 形 如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 2 ( D ? E ? 4F ? 0 )的方程称为圆的一般方程。如 ? x ? 1? ? y ? 4 2

我们来看圆的一般方程的特点: (启发学生归纳)

(1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0.

②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就 确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征比较明显,圆的 标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

(三)、知识应用与解题研究: 例 1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方 程的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4x ? 4 y ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 来说,这里的
2 2

9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4
例 2. (课本例)求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径 长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件 恰给出三点坐标,不妨试着先设出圆的一般方程
2 2
新疆

王新敞
学案

解:设所求的圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵ A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方

?F ? 0 ? 程,可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组.即 ? D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
2 2 解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 ∴所求圆的方程为: x ? y ? 8x ? 6 y ? 0
新疆 新疆

王新敞
学案

王新敞
学案

r?

1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 得圆心坐标为(4,-3). 2 2 2
新疆

王新敞
学案

或将 x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程,( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ,从而求出
2 2 2 2

圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3) ①、 ②、 ③、

新疆

王新敞
学案

学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: 根据提设,选择标准方程或一般方程; 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; 解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。
2

2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4

运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满
2 足方程 ? x ? 1? ? y ? 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条件, 2

求出点 M 的轨迹方程。 解:设点 M 的坐标是(x,y),点 A 的坐标是 ? x0 , y0 ? . 由于点B的坐标是? 4, 3?

且M是线段AB的重点,所以 x ?
2

x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2

于是有x0 ? 2x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 ①
2

因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上 运 动 , 所 以 点 A 的 坐 标 满 足 方 程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 , 即

? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4 ②
2

把①代入②,得
6

y

3? ? 3? ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 整理,得 ? ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?
2
-5

2

2

4

A
2

M

B
5

O

x

?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
课堂练习: p123 第 1、2、3 题 课堂小结 : 1.对方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆)
2 2
新疆

-2

-4

王新敞
学案

2.与标准方程的互化

新疆

王新敞
学案

3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。

新疆

王新敞
学案

课后作业:课本 p124 习题 4.1A 组第 6 题,B 组第 1,2 题 课后记:

课题:直线与圆的位置关系(第一课时)
课 型:新授课 教学目标:1、理解直线与圆的位置的种类; 2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; 3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 教学过程: 一、课题引入: 问题:初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有哪几类?在初中,我们怎样判断直线 与圆的位置关系呢?现在,如何用直线的方程与圆的方程判断它们之间的位置关系呢? 二、新课教学: (一).直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 方法 1: 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心

(?

D E , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: 2 2
(!)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离;(2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交. 方法 2: 判断直线 L 与圆 C 的方程组成的方程组是否有解.如果有两组实数解, 直线 L 与圆 C 相交; 如

果有一组实数解, 直线 L 与圆 C 相切; 如果没有实数解, 直线 L 与圆 C 相离. 例 1. (课本例) (二). 直线与圆的相交弦长求法. 例 2. (课本例) 课堂练习:课本 p128 p123 第 1、2、3、4 题 课堂小结 : 教师提出下列问题让学生思考: 1、判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? 2、如何求出直线与圆的相交弦长? 课后作业:课本 p132 习题 4.2A 组第 1,2,5 题。

课题:直线与圆的位置关系(第二课时)
课 型:习题课 教学目标:1、理解直线与圆的位置的种类; 2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; 3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 教学过程: 一.复习提问: 1、判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? 2、如何求出直线与圆的相交弦长? 二、作业讲评:前阶段的作业。 三.讲练结合: 1、求过点 M( ? 1,2 2 )且与圆 x2 ? y 2 ? 9 相切的直线方程。答案: x ? 2 2 y ? 9 ? 0 2、 已知圆的方程是 x ? y ? r , 求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。 答案:x0 x ? y0 y ? r 2
2 2 2

3、当 k 为何值时,直线 y=kx+10 与圆 x 2 ? y 2 ? 25 (1)相离; (2)相切; (3)相交

答案: (1) ? 3 ? k ?

(2) k ? ? 3 ; (3) k ? 3 或 k ? ? 3 3;

4、圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 l :x+y+1=0 的距离为 2 的点有几个?答案:3 个 5、若直线 y ? x ? k 与曲线 y ? 1 ? x 2 恰好有一个公共点,则 k 的取值范围是 答案: ?1 ? k ? 1 或 k ?
2 2

2

6、已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 20 ? 0 与直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 。 证明:不论 m 取何值时直线 l 与圆 C 总有两个交点。 7、已知点 A( ? 2,0) ,B(0,2) ,圆 x ? y ? 2 x ? 0 上一点 C,则△ABC 面积的最小值为
2 2

答案: 3 ? 2 课后作业:课本 p132 习题 4.2A 组第 4,6 题,B 组第 3 题。 课后记:

课题: 圆与圆的位置关系
课 型:新授课 教学目标: (1)理解圆与圆的位置关系的种类; (2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长; (3)会用连心线长判断两圆的位置关系. 教学重点、难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系. 教学过程: 一、新课引入: 问题 1:直线与圆的位置关系有哪几种?怎样判断?(引入课题) 问题 2:初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几类?(引入新课) 二、新课教学: 问题:判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗?(学生展开讨论) 例 1. (课本例 3)已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 =0 试判断圆 C1 与圆 C2 的关系。 小结: 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; 课堂练习:1.课本 p130 练习 ; 2.圆 x ? y ? 1和圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 16 的公切线有
2 2 2 2 2 2

3



3.求圆心为(2,1),且与已知圆 x ? y ? 3x ? 0 的公共弦所在直线过点(5, ? 2)的圆的方程. 答案: ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4
2 2

4.两圆 ? y ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 与 x ? y ? 2x ?13 ? 0 PQ 两点,则公共弦 PQ 的长为(6)
2 2 2 2

课后作业:课本 p132 习题 4.2A 组第 7,9,10 题。 课后记:

课题:直线与圆的方程的应用(第一课时)
课 型:新授课 教学目标: (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 教学重点、难点:直线与圆的方程的应用. 教学过程: 一、复习引入: 问题 1:如何判断直线与圆的位置关系 ?问题 2: 如何判断圆与圆的位置关系 ? 直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数学中有着广泛的应用, 这几节课我们将通过一些例 子学习直线与圆的方程在实际生活以及平面几何等方面的应用 二、新课教学: 例 1( .课本例 4)图 4。 2-5 是某圆拱形桥的示意图。 这个圆的圆拱跨度 AB=20m, 拱高 OP=4m, 建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2 P 2 的高度(精确到 0.01m). 小结方法: 用坐标法解决实际应用题的步骤: 第一步:将实际应用题转化为数学问题,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中 的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步: 将代数运算结果“翻译”成实际结论, . 例 2. (课本例 5)已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条 边所对边长的一半. 小结方法: 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问 题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译” 成几何结论. 课堂练习: 课本 p132 练习第 2,3,4 题; 课后作业:课本 p132 习题 4.2A 组第 8,11 题.B 组第 1 题 课后记:

课题:直线与圆的方程的应用(第二课时)
课 型:习题课 教学目标: (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 教学重点、难点:直线与圆的方程的应用. 教学过程: 一、作业讲评:课本 p132 习题 4.2A 组第 8,11 题.B 组第 1 题 二、讲练结合: 1. 如果方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0 )所表示的曲线关于直线 x ? y ? 0
2 2

对称,那么必有( B

)A.D=E

B.D+E=0

C.E+F=0

D. 以上都不对

2.从点 P(x,3)向圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1作切线,则切线长度的最小值等于 答案: 2 6 3. 自点 P(-3,-3)发出的光线经 x 轴反射,其反射光线正好与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1 相切,求入射
2 2

光线 l 所在的直线方程 .答案: 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 4. 已知圆 C 满足(1)截 y 轴所得弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段弧,其弧长之比为 3:1; (3) 圆心到直线 l :x ? 2y=0 的距离为
2 2

5 ,求该圆的方程。 5
2 2

答案: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 5.已知圆 C: x ? y ? r (r ? 0)与直线 l : x ? y ? 4 ? 0 , (1)试问 r 分别取何值时,圆 C 上
2 2 2

恰有一点到 l 的距离等于 1; 圆 C 上恰有两点到 l 的距离等于 1; 圆 C 上恰有三点到 l 的距离等于 1。 (2)圆 C 上最多有几个点到 l 的距离等于 1? 答案: (1) r ? 2 2 ?1 ; 2 2 ? 1 ? r ? 2 2 ? 1; r ? 2 2 ? 1 (2)最多有四个点。 6. 已知圆 O: x ? y ? 9 ,求过 A(1,2)所作的圆 O 的弦 MN 的中点 P 的轨迹.
2 2

答案:以(

1 5 ,1)为圆心, 为半径的圆. 2 2

课堂练习: 课本 p144 复习参考题 A 组第 6,8 题; B 组第 3 题; 课后作业:课本 p133 习题 4.2B 组第 2,4,5 题

课题:
教材分析:

4.3.1 空间直角坐标系(1)

解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,空间直角坐标系的建立是为以后 的《空间向量及其运算》打基础的.同时,在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一 节《异面直线》学习时,有些求异面直线所成角的大小,借助于空间向量来解答,要容易得多, 所以,本节课为沟通高中各部分内容知识,完善学生的认知结构起到很重要的作用. 课 型: 新授课 教学要求: 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点 的坐标确定方法. 教学重点:在空间直角坐标系中,确定点的坐标 教学难点:通过建立适当的直角坐标系,确定空间点的坐标 教学过程: 一.提出问题: 1.在初中, 我们学过数轴, 那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示? 2.在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标 系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?如何借助平面直角坐标系表示学生的座位 ? 能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗? 3.在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组 表示出来呢?(板书课题) 阅读课本 P 134 - P 135 内容 二、讲授新课: 1.空间直角坐标系: 如图4.3-1(课本), OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 O 为原点,分别以射线 OA,OC,O D ' 的 方向为正方向,以线段 OA,OC,O D ' 的长为单位长,建立三条数轴:x 轴,y 轴,z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系Oxyz.其中点O叫做坐标原点,x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 通过每 两个坐标轴的平面叫做坐标面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 将空间直角坐标系画在纸上时,x 轴与 y 轴、x 轴与 z 轴均成 135°,而 z 轴垂直于 y 轴, ,y 轴和 z 轴的长度单位相同,x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)的长度的一半,这样三条轴上的单 位长度在直观上大体相等. 2. 右手直角坐标系: 在空间直角坐标系中,让右手大拇指、食指和中指相互垂直时,大拇指指向 x 轴正方向,食 指指向 y 轴正方向,中指指向 z 轴正方向,则称这个坐标系为右手坐标系,如无特别说明,以后 建立的坐标系都是右手坐标系. 3.空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系: 1)已知 M 为空间一点,过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴,它们与 x 轴、y 轴 和 z 轴的交点分别为 P、Q、R,这三点在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标分别为 x,y,z.这样空间的 一点 M 就唯一确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y, z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z) . 2)反过来,一个有序数组 x,y,z,我们在 x 轴上取坐标为 x 的点 P 在 y 轴上取坐标为 y 的 点 Q,在 z 轴上取坐标为 z 的点 R,然后通过 P、Q、R 分别作 x 轴,y 轴,z 轴的垂直平面.这三 个平面的交点 M 即为有序数组 x,y,z 为坐标的点.数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x, y,z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 3)坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z) .我们通过这样的方法在空间直角坐标系内 建立了空间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系 4.例题 1 (课本例 1) : 在长方体 OBCD ? D, A, B, C , 中, OA ? 3, oC ? 4, OD, ? 2. 写出 D, , C , A, , B, 四 点坐标.(建立空间直角坐标系 ?写出原点坐标 ? 各点坐标)

讨论: 若以 C 点为原点,以射线 BC、CO、C C ' 方向分别为 ox、oy、oz 轴的正半轴,建立空间直 角坐标系,那么,各顶点的坐标又是怎样的呢? (得出结论:不同的坐标系的建立方法,所得的同一点的坐标也不同. ) 5.例题 2(课本例 2)题略 说明: 学生阅读,思考与例 1 的不同,教师引导学生解题的方法,图中没有坐标系,这给我 们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得 更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则 建立空间直角坐标系,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系 的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系. 三、巩固练习: 1.练习: P 136 1, 2,3. 2. 已知 M (2, -3, 4),画出它在空间直角坐标系中的位置. 3. 思考题:建立适当的直角坐标系,确定棱长为 3 的正四面体各顶点的坐标. 四.小结: 1.空间直角坐标系的建立. 2.空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 3.空间直角坐标系中点的位置的确定. 五.作业: 1.课本 P A组 2 138 习题 4.3 课后记:

课题:
教材分析:

4.3.1 空间直角坐标系(2)

解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,空间直角坐标系的建立是为以后 的《空间向量及其运算》打基础的.同时,在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一 节《异面直线》学习时,有些求异面直线所成角的大小,借助于空间向量来解答,要容易得多, 所以,本节课为沟通高中各部分内容知识,完善学生的认知结构起到很重要的作用. 课 型: 新授课 教学要求: 使学生熟练掌握求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标,熟记已知两点的中点坐标公式,会 求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标. 教学重点: 求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标,会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点坐标, 熟记已知两点的中点坐标公式. 教学难点:会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标 教学过程: 一、复习提问: 1.空间直角坐标系中点的坐标如何确定?已知点的坐标如何确定点的位置? 2.练习:在空间直角坐标系中,作出点(5,4,6) . 二、讲授新课: 1.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点: x 轴上的点的坐标的特点:P(m,0,0) ,纵坐标和竖坐标都为零. y 轴上的点的坐标的特点:P(0,m,0) ,横坐标和竖坐标都为零. z 轴上的点的坐标的特点:P(0,0,m) ,横坐标和纵坐标都为零. xOy 坐标平面内的点的特点:P(m,n,0) ,竖坐标为零. xOz 坐标平面内的点的特点:P(m,0,n) ,纵坐标为零. yOz 坐标平面内的点的特点:P(0,m,n) ,横坐标为零. 2.已知两点的中点坐标: 平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A( x1 , y1 , z1 ) ,B( x2 , y2 z2 ) ,则 AB 中点的坐标为(

x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z 2 , , ). 2 2 2

请同学门熟记以上公式. 3.一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 点 P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为 P ; 1 (-x,-y, -z) 点 P(x,y,z)关于坐标横轴(x轴)的对称点为 P ; 2 (x,-y, -z) 点 P(x,y,z)关于坐标纵轴(y轴)的对称点为 P ; 3 (-x, y,z ) 点 P(x,y,z)关于坐标竖轴(z轴)的对称点为 P ; 4 (-x, -y, -z) 点 P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为 P ; 5 (x,y, -z) 点 P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为 P ) 6 (-x, y,z; 点 P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为 P . 7 (x,-y,z) 点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐 标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不 变,竖坐标变为原来的相反数. 三、巩固练习: 1.课本 P 习题 4.3 A 组 1 138 2.已知点B(1,1,1) ,分别求出该点关于x轴、z轴、原点和xOy坐标平面的对称 点的坐标.

3.在空间直角坐标系O-xyz中,关于点(0, m ? 2 ,m)一定有下列结论( A.在xOy坐标平面上 B.在xOz坐标平面上 C.在yOz坐标平面上 D.以上都不对 四.小结: 1.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点 2.中点坐标公式 3.一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 五.作业 : 全优设计 P 1,2,4,5,6,7, 11 , 12 . 100 主动成长
2



课后记:

课题:

4.3.2 空间两点间的距离公式(1)

教材分析: 距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常设计距离,如飞机和轮船的航线的 设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算两点之间的距离, 所以本节内容为解决实际问题提供了方便. 课 型: 新授课 教学要求:使学生掌握空间两点的距离公式由来,及应用. 教学重点:空间两点的距离公式. 教学难点:空间两点的距离公式的推导 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:平面两点间的距离公式? 2. 给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的理由 . 3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式,你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗? 二、讲授新课: 1.空间两点的距离公式 (1) 设问: 你能猜想一下空间两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗?如何证明?, 因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上,经过原点 O 再作一条垂直于这个平面的直 线,因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式,考虑到此距离与竖坐标有关,猜想出空间两 点间的距离公式 | P 1P 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 . 故在介绍空间两点间的距离公式

时,没有直接呈现公式结论,而是先让学生猜想、证明,从中培养学生对陌生问题通过已学的类 似问题,要敢于提出猜想的意识. 在推导空间两点间的距离公式时,教材故意让学生经历一个从易到难,从特殊到一般的目 的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯. (2)学生阅读教材 P 136 - P 137 内容,教师给与适当的指导. 思考:1)点 M(x,y,z)与坐标原点 O(0,0,0)的距离? 2) M1,M2 两点之间的距离等于 0 ? M1=M2,两点重合,也即 x1=x2,y1=y2,z1=z2. 讨论:如果 OP 是定长 r,那么 x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? 2.例题 1:求点 P1(1, 0, -1)与 P2(4, 3, -1)之间的距离. 要求学生熟记公式并注意公式的准确运用 练习:求点 A(0,0,0)到B (5, 2,? 2)之间的距离 3.例题 2:已知 A(x,2,3)、B(5,4,7),且|AB|=6,求 x 的值. 分析:利用空间两点间的距离公式,寻找关于 x 的方程,解方程即得.
2 2 2 解:|AB|=6,∴ ( x ? 5) ? (2 ? 4) ? (3 ? 7) ? 6

即 ( x ? 5) ? 16 ,解得 x=1 或 x=9
2

∴x=1 或 x=9 总结:求字母的值,常利用方程的思想,通过解方程或方程组求解. 练习:已知 A(2,5,-6),在 y 轴上求一点 B,使得|AB|=7. 答案:B(0,2,0)或 B(0,8,0). 4.思考:1.在 z 轴上求与两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)等距离的点.

2. 试在 xOy 平面上求一点,使它到 A(1,-1,5)、B(3,4,4)和 C(4,6,1)各点的距离相等. 三. 巩固练习: 1. P 138 练习 1、3 2.已知三角形的顶点为 A(1,2,3) ,B(7,10,3)和 C(4,10,0) .试证明 A 角为直角. 四.小结: 1.空间两点的距离公式的推导. 2.公式的应用 五.作业 1.课本 P 第 2,4 题 138 练习 2.课本 P 138 习题 4.3 课后记: A组 第3题 B组 第1题

课题:
教材分析:

4.3.2 空间两点间的距离公式(2)

距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常设计距离,如飞机和轮船的航线的 设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算两点之间的距离, 所以本节内容为解决实际问题提供了方便. 课 型: 新授课 教学要求:使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用. 教学重点:空间两点的距离公式的应用. 教学难点:空间两点的距离公式的应用. 教学过程: 一.复习提问: 1.两点间的距离公式. 二.例题讲解: 1.例题 1.在四面体 P-ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,求点 P 到平面 ABC 的距 离. 解:根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz,则 P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a). 过 P 作 PH ? 平面 ABC,交平面 ABC 于 H,则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离. PA=PB=PC,∴H 为 ? ABC 的外心, 又 ? ABC 为正三角形,∴H 为 ? ABC 的重心.由定比分点公式,可得 H 点的坐标为 ( , H

x

a a a , ) 3 3 3

∴|PH|= (0 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ?

a

a

a

3 3

3

3

3

a .∴点 P 到平面 ABC 的距离为

3 a. 3

2.例题 2.在棱长为 a 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中,求异面直线 BD1与CC1 间的距离. 解:以 D 为坐标原点,从 D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴,建立如图所求的空间直角坐 标系. 设 P、Q 分别是直线 BD1 和 CC1 上的动点,其坐标分别为(x, y, z)、(0, a, z1 ),则由正方 体的对称性,显然有 x=y. z 要求异面直线 BD1与CC1 间的距离, 的最短距离. 设 P 在平面 AC 上的射影是 H,由在

D1

C1 B1
P Q C B y

即求 P、 Q 两点间

A1

z a?x PH BH ? ,所以 ? ,∴x=a-z, a a D1 D BD

D A x

? BDD ! 中,

H

∴P 的坐标为(a-z, a-z, z)
2 2 2 ∴|PQ|= ( a ? z ) ? z ? ( z ? z1 )

= ( z ? z1 ) 2 ? 2( z ? ∴当 z ? z1 ?

a 2 a2 ) ? 2 2

a 2 时,|PQ|取得最小值,最小值为 a. 2 2

∴异面直线 BD1与CC1 间的距离为

2 a. 2

3.例题 3.点 P 在坐标平面 xOy 内,A 点的坐标为(-1,2,4),问满足条件|PA|=5 的点 P 的轨迹是 什么? 分析:因点 P 一方面在坐标平面 xOy 内,另一方面满足条件 |PA|=5,即点 P 在球面上,故点 P 的 轨迹是坐标平面 xOy 与球面的交线. 解:设点 P 的坐标为(x, y, z). 点 P 在坐标平面 xOy 内,∴z=0
2 2 2 |PA|=5,∴ ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? ( z ? 4) ? 5 ,

即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 4) 2 =25, ∴点 P 在以点 A 为球心,半径为 5 的球面上, ∴点 P 的轨迹是坐标平面 xOy 与以点 A 为球心, 半径为 5 的球面的交线, 即在坐标平面 xOy 内的圆,且此圆的圆心即为 A 点在坐标平面 xOy 上射影 A? (-1,2,0). 点 A 到坐标平面 xOy 的距离为 4,球面半径为 5, ∴在坐标平面 xOy 内的圆 A? 的半径为 3. ∴点 P 的轨迹是圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) =9,z=0.
2 2

小结: 对于空间直角坐标系中的轨迹问题, 可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类 比解决. 三:巩固练习: 1.课本 P 139 习题 4.3 B 组 第 2 题 2.点 P 在坐标平面 xOz 内,A 点的坐标为(1,3,-2),问满足条件|PA|=5 的点 P 的轨迹方程. 答案:点 P 的轨迹方程是 ( x ? 1) ? ( z ? 2) =16,y=0.
2 2

四.小结 1.空间两点的距离公式的应用. 五.作业 1.课本 P B组 第 3 题 139 习题 4.3 课后记:

课题:空间几何体复习
教材分析: 本节可是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳,从整体上来把握本章知识,使学生的基 本知识系统化和网络化,基本方法条理化. 课 型:复习课 1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结 构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构; 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别 上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的 直观图; 3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同 表示形式; 4.完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线 条等不作严格要求) . 教学重点:1.空间几何体的结构特征.2.由三视图还原为实物图.3.面积和体积的计算 教学难点:1.由三视图还原为实物图.2.组合体的结构特征. 教学过程: 一.知识要点: 学生阅读教材 P 34 的小结部分. 二.典例解析 1.例 1. (1)平面 A.一条直线 教学要求:

? 的斜线

AB 交 ? 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 A ) C.一个椭圆 ) D.双曲线的一支

?于

点 C,则动点 C 的轨迹是(

B.一个圆

(2)定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ?? , PB ? ? , C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点,且

PC ? AC. 那么,动点在平面 ? 内的轨迹是( B
A.一条线段,但要去掉两个点 C.一个椭圆,但要去掉两个点

B.一个圆,但要去掉两个点 D.半圆,但要去掉两个点

(3)正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是平面 ABCD 内的一个 动点,且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是[ A. 圆 间想象能力. 2.例 2. (两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放 棱长为 1 的正方体内, 使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的 某一个平面平行,且各顶点 均 ZAI 在正方体的面上,则这样 ... 的几何体体积的可能值有( D ) B.双曲线 C.两个点 D.直线 点评:该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空 C ]

A. 1 个

B .2 个

C .3 个

D.无穷多个

点评:本题主要考查空间想象能力,以及正四棱锥的体积.正方体是大家熟悉的几何体,它 的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转化. 3.例 3.表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原正方体 中相互异面的有 3 对.

图 9— 1 点评:解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形,较强的考察了空 间想象能力. 4.例 4.如图 9—1,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H,I,J 分别为 AF, AD, BE, DE 的中点.将△ABC 沿 DE, EF, DF 折成三棱锥以后, GH 与 IJ 所成角的度数为 ( A.90° B.60° C.45° D.0° B )

点评:在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了 空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想 象能力的主要方向. 5.例 5.?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B ?C ? 的面积为 3 , 那么△ABC 的面积为_______________. 点评:该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对 应关系.特别底和高的对应关系. 6.例 6. (1)如图,在正四面体 A-BCD 中,E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心, 则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是( C ) D.②④

A

A.①③

B.②③④

C.③④

B

F?

G?

?

E

C

D









(2)E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的 面上的射影可能是 ② (要求:把可能的图的序号都 填上). .

点评:考查知识立足课本,对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等 方面要求较高,体现了加强能力考查的方向. 7.例 7.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是 正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是 ①3; ②4; 点评:该题将计算蕴涵于射影知识中,属于 的综合题目. ①③④⑤ D C B A D1 ③5; ④6; ⑤7 难得 B1 以上结论正确的为______________________(写出所有正确结论的编号) . C1 A1

?
A1

8.例 8.某物体的三视图如下,试判断该几何体 的形状 解析:该几何体为一个正四棱锥分析:三视图是从三 个不同的方向看同一物体得到的三个视图. 点评:主视图反映物体的主要形状特征,主要体 现物体的长和高,不反映物体的宽.而俯视图和主视 图共同反映物体的长要相等. 左视图和 俯视图共同反 映物体的宽要相等. 据此就不难得出该几何体的形状. 三.课堂小结: 本节课复习了:第一章知识结构 图.2.三视图和体积、面积的有关问题。 3.空间几何体的概念。 四.作业 教材 P 35 复习参考题 课后记:

课题:点、直线、平面之间的位置关系复习
教材分析: 前面学习了空间点、直线、平面之间的位置关系,直线、平面平行的判定及其性质,直线、 平面垂直的判定及其性质等内容; 通过本节学习进一步巩固前面学习的内容, 突出重点总结归律, 使原来的知识更系统,使原来的方法更清晰,形成完整的知识结构和方法体系。 课 型:复习课 教学要求: 1.理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系. 2.熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题. 3.通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力,学会用数学方法认识世界改造世界. 教学重点:总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。 教学难点:总结求二面角的方法。 教学过程: 一.知识要点: 学生阅读教材 P76 的小结部分. 二.典例解析: 1.例 1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点,O 为 AC 与 BD 的交点(如图) ,求证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H; (3)A1O⊥平面 BDF; (4)平面 BDF⊥平面 AA1C。 解析: (1)欲证 EG∥平面 BB1D1D,须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的 直线,构造辅助平面 BEGO’及辅助直线 BO’,显然 BO’即是。 (2)按线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行的思路,在平面 B1D1H 内寻 找 B1D1 和 O’H 两条关键的相交直线, 转化为证明: B1D1∥平面 BDF, O’H ∥平面 BDF。 (3)为证 A1O⊥平面 BDF,由三垂线定理,易得 BD⊥A1O,再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另一 条直线。 猜想 A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得: A1O +OF =A1F ? A1O⊥OF。
2 2 2

(4)∵ CC1⊥平面 AC∴ CC1⊥BD 又 BD⊥AC∴ BD⊥平面 AA1C 又 BD ? 平面 BDF ∴ 平面 BDF⊥平面 AA1C 评注:化“动”为“定”是处理“动”的思路 2.例 2.如图,三棱锥 D—ABC 中,平面 ABD、平面 ABC 均为等腰直角 三角形,∠ABC=∠BAD=90 ,其腰 BC=a,且二面角 D—AB—C=60 。 (1) 求异面直线 DA 与 BC 所成的角; (2) 求异面直线 BD 与 AC 所成的角; 解析: (1) 在平面 ABC 内作 AE∥BC,从而得∠DAE=60
0 0 0 0

∴ DA 与 BC 成 60 角

(2)

过 B 作 BF∥AC,交 EA 延长线于 F,则∠DBF 为 BD 与 AC 所成的角
0 2 2 2 2

由△DAF 易得 AF=a,DA=a,∠DAF=120 ∴ DF =a +a -2a ?( ? △ DBF 中,BF=AC= 2 a∴ cos∠DBF=

1 2 )=3a ∴ DF= 3 a 2

1 1 ∴ 异面直线 BD 与 AC 成角 arccos 4 4

3.例3.如图,斜三棱柱 ABC—A’B’C’中,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA’与底面相邻两边 AB、AC 都成 45 角,求此三棱柱的侧面积和体积。 解析:在侧面 AB’内作 BD⊥AA’于 D 连结 CD ∵ AC=AB,AD=AD,∠DAB=∠DAC=45 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=90 ,BD=CD∴ BD⊥AA’,CD⊥AA’ ∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面,在 Rt△ADB 中,BD=AB?sin45 = ∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=( 2 +1)a,△DBC 的面积= ∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=( 2 +1)ab∴ V= S ?DBC ?AA’=
a2 4
0 0 0 0

2 a 2

a 2b 4

评注:求斜棱柱的侧面积有两种方法,一是判断各侧面的形状,求各侧面的面积之和,二是 求直截面的周长与侧棱的乘积,求体积时同样可以利用直截面,即 V=直截面面积?侧棱长。 4.例4.在三棱锥 P—ABC 中,PC=16cm,AB=18cm,PA=PB=AC=BC=17cm,求三棱锥的体积 VP-ABC。 解析: 取 PC 和 AB 的中点 M 和 N ∴ VP?ABC ? VP?AMB ? VC?AMB ?
2 2 2 2

1 ? PC ? S?AMB 3

在△AMB 中,AM =BM =17 -8 =25?9 ∴ AM=BM=15cm,MN =15 -9 =24?6 ∴ S△AMB=
2 2 2

1 1 1 2 3 ?AB?MN= ?18?12=108(cm )∴ VP-ABC= ?16?108=576(cm ) 2 2 3

评注: 把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法, 这样分割的结果, 一方面便于求体积,另一方面便于利用体积的相关性质,如等底等高的锥体的体积相等,等底的两 个锥体的体积的比等 三.课堂小结:1.复习巩固.2.规律总结.3.思想升华. 四.作业 教材 P78 复习参考题 课后记

课题:直线与方程复习
教材分析: 本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳,从整体上来把握本章,使学生基本知识 系统化和网络化,基本方法条理化。本章内容大致分为三个部分: (1)直线的倾斜角和斜率; ( 2) 直线方程; (3)两条直线的位置关系。可采用分单元小结的方式,让学生自己回顾和小结各单元 知识。再此基础上,教师可对一些关键处予以强调。比如可重申解析几何的基本思想——坐标法, 并用解析几何的基本思想串联全章知识,使全章知识网络更加清晰。指出本章学习要求和要注意 的问题,可让学生阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容。教师重申坐标法、函数 与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊 地位。 课 型:复习课 通过总结和归纳直线与方程的知识, 对全章知识内容进行一次梳理, 突出知识间的内在联系, 进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学 生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,培养分析讨论的思想和抽象思维能 力。 教学重点: 1.直线的倾斜角和斜率. 2.直线的方程和直线的位置关系的应用. 3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学难点: 1. 数形结合和分类讨论思想的渗透和理解. 2. 处理直线综合问题的策略. 教学过程: 二.知识要点: 学生阅读教材 P 113 的小结部分. 二.典例解析 1.例 1.下列命题正确的有 ⑤ : ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α <180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点 A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等; ⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1. 2 . 例 2. 若 直 线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 直 线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 , 则 l1与l 2 相交 时 ,
2

教学要求:

a_________; l1 // l 2 时,a=__________;这时它们之间的距离是________; l1 ? l 2 时, a=________ .

答案: a ? 2且a ? ?1 ; a ? ?1 ;

2 6 5 ;a ? 3 5

3.例 3.求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 P(2,-1)且与直线 2x+3y+12=0 平行; (2)经过点 Q(-1,3)且与直线 x+2y-1=0 垂直; (3)经过点 R(-2,3)且在两坐标轴上截距相等; (4)经过点 M(1,2)且与点 A(2,3)、B(4,-5)距离相等; 答案: (1)2x+3y-1=0 (3)x+y-1=0 或 3x+2y=0 (2)2x-y+5=0 (4)4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0

4.例 4.已知直线 L 过点(1,2) ,且与 x,y 轴正半轴分别交于点 A、B (1)求△AOB 面积为 4 时 L 的方程; 解: 设A(a,0),B(0,b) ∴L 的方程为 ∴a,b>0 ∵点(1,2)在直线上 B ① ∵b>0 ∴a>1 O A x y (1,2)

x y ? ?1 a b

1 2 ∴ ? ?1 a b

2a ∴b ? a?1

1 2a 1 (1) S△AOB= ab = a ? =4 2 a?1 2
∴a=2 这时 b=4

∴当 a=2,b=4 时 S△AOB 为 4。此时直线 L 的方程为

x y ? ? 1 即 2x+y-4=0 2 4

(2)求 L 在两轴上截距之和为 3 ? 2 2 时 L 的方程. 2) a ?

2a ? 3? 2 2 a?1

∴a ?

2 ?1

这时 b ? 2 ? 2

∴L 在两轴上截距之和为 3+2 2 时,直线 L 的方程为 y=- 2 x+2+ 2 5.例 5.已知△ABC 的两个顶点 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2),求顶点 C 的坐标. 解: ∵ k BH ?

2?4 ?2 5?6

∴ k AC ? ?

即 x+2y+6=0

(1)又∵ k AH

1 1

更多相关文档:

高中数学必修二全套教案.doc

高中数学必修二全套教案 - 课题:柱、锥体的结构特征 课型:新授课 教学目标:

人教版高中数学必修二教案(完整版).doc

人教版高中数学必修二教案(完整版) - 第一章:空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观...

高中数学必修二全套教案.doc

高中数学必修二全套教案 - 课题:柱、锥体的结构特征 教学目标: 通过实物模型,

人教版高中数学必修二全册教案.doc

人教版高中数学必修二全教案 - 新课标高中数学必修 2 教案 目录 第一章:空

高中数学必修二全册教案.doc

高中数学必修二全教案 - 高中数学必修二全教案,高中数学必修一教案6,高一数学必修二知识点总结6,高中数学必修二第二章教案6,高中数学必修1-5教案6,高一数学...

高中数学必修2教案(全册).doc

高中数学必修2教案(全册) - 高中数学必修 2 教案(全册) 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题 (一)教学目标 1、知识与技能:理解命题的概念...

高中数学必修二全套教案.doc

高中数学必修二全套教案 - 课题:柱、锥体的结构特征 教学目标: 通过实物模型,

高中数学必修2全套精品教案有三维目标.doc

高中数学必修2全套精品教案有三维目标 - 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

高中数学人教版必修2全套教案.doc

高中数学人教版必修2全套教案 - 第一章:空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球

【下载】高中数学必修二全套教案 - 实用_图文.doc

【下载】高中数学必修二全套教案 - 实用 - 课题:柱、锥体的结构特征 教学目标

人教版高中数学必修二教案全套.doc

人教版高中数学必修二教案全套 - 高中数学必修 2 教案全套 第一章:空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物...

人教版高中数学必修2-全册教案_图文.doc

人教版高中数学必修2-全册教案 - 按住 Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全

新编人教A版高中数学必修2全套教案精编_图文.doc

新编人教A版高中数学必修2全套教案精编 - 高中数学教案(人教 A 版必修全套)

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修二全册教案.doc

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修二全教案 - (此文档为 word 格式

高中数学新人教版A必修2全部教案.doc

高中数学新人教版A必修2全部教案 高中数学全套精品教案高中数学全套精品教案隐藏&

(北师大版)数学必修2全套教案.doc

(北师大版)数学必修2全套教案 - (北师大版)数学必修 2 全套教案 (北师大版)数学必修 2 全套教案 2.1.1 直线的倾斜角和斜率 教学目标: 知识与技能 (1) ...

高中数学人教版必修2全套教案.doc

高中数学人教版必修2全套教案 - 第一章:空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球

人教版高中数学必修二-全册教案.doc

人教版高中数学必修二-全册教案_数学_高中教育_教育专区。按住 Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放第一章:空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征...

高中数学必修二全部学案12_图文.doc

高中数学必修二全部学案12 - 高中数学必修 2 学案---鞍山三中高一数学备课

新课标人教版高中数学必修2全册教案学案同步练习课堂巩....doc

新课标人教版高中数学必修2全教案学案同步练习课堂巩固【附答案] - 第一章 立

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com