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2.1.2求曲线的方程ppt_图文

圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程 1.会根据图形建立适当的坐标系. 2.会用直接法求简单的曲线方程. 基础梳理 1.设P点的坐标为(x,y),点P到点M(-1,2)的距离为 ?x+1? +?y-2? . __________________ 2.设P点的坐标为(x,y),点P到x轴的距离为 | y| . ______ 3.设P点的坐标为(x,y),点P到直线x-y+1=0的距 |x-y+1| 离为________ . 2 2 2 4.已知两点A(-2,0),P(x,y),则 (-2-x,-y) ________________. → PA = 5.已知 → PA → =(2,4),则 =(x,y-1), PB →→ PA· PB 2x+4(y-1) = ______________. 自测自评 1.已知A(2,5)、B(3,-1),则线段AB的方程是( D ) A.6x+y-17=0 B.6x+y-17=0(x≥3) C.6x+y-17=0(x≤3) D.6x+y-17=0(2≤x≤3) 2.若点M到两坐标轴的距离的积为2011,则点M的轨 迹方程是( C ) A.xy=2011 C.xy=±2011 B.xy=-2011 D.xy=±2011(x>0) 3.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则 动点C的轨迹方程是( B ) A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0 B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0 C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0 D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0 方程的曲线 过点P(2,4)作两条互相垂直的 直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B 点,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解析:法一:设点M的坐标为(x,y) ∵M为线段AB的中点. ∴A(2x,0),B(0,2y). 又∵P(2,4). → → ∴ PA=(2x-2,-4), PB=(-2,2y-4), → → ∵l1⊥l2,∴ PA ⊥ PB . ∴ PA· PB =(2x-2)×(-2)+(-4)×(2y-4)=0, → → 即x+2y-5=0. ∴M点的轨迹方程是x+2y-5=0. 法二:设M的坐标为(x,y),则A、 B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结 PM. ∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|. 而|PM|= ?x-2?2+?y-4?2, |AB|= ?2x?2+?2y?2. ∴2 ?x-2?2+?y-4?2= 4x2+4y2, 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程. 跟踪训练 1.若A、B两点的坐标分别是(1,0)、(-1,0),且 kMA· kMB=-1,则动点M的轨迹方程是什么? 答案:x2+y2=1(x≠±1) 求曲线的方程(题目中已有坐标系) 设A、B两点的坐标是(0,0),(2,2),求线段AB的垂 直平分线的方程. 解析:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点, 也就是点M属于集合 P={M︱ |MA|=|MB|}. 由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为: = x 2+ y 2 = ?x - 2 ?2+ ?y - 2 ?2 将上式两边平方,整理得: x+y=2① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平分线上每一点的坐标 都是方程①解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解,即 x1+y1=2,x1=2-y1. 点M1到A、B的距离分别是 2 2 |M 1A |= x2 + y = 2 y 1 1 1- 4 y1+ 4 |M 1B |= ?x1- 2?2+ ?y1- 2?2= 2y2 1- 4 y 1+ 4 ∴|M1A|=|M1B| 即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程. 点评:一般在高中阶段第二段证明可以省略,如有特 殊情况,可适当予以说明. 跟踪训练 2.已知一曲线在x轴上方,它上面的每一点到点A(0,2) 的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程. 分析:设出动点坐标,利用两点间的距离公式得到点 A的距离,再减去x轴的距离,利用差为2列出等式,即可 以整理出方程. 解析:设曲线上任一点的坐标为M(x,y),作MB⊥x 轴,B为垂足,则点M属于集合P={M||MA|-|MB|=2}. 由距离公式,点M适合的条件可表示为 x 2 + ?y - 2 ?2 -y=2,化简得x2=8y. ∵曲线在x轴上方,∴y>0. 显然(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线. ∴所求曲线的方程为x2=8y(y≠0). 求曲线的方程(题目中没有坐标系) 两个定点A、B的距离为4,求到这两点距离平 方之和等于16的点M的轨迹方程. 解析:以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立直 角坐标系 设M点的坐标为(x,y),A(-2,0),B(2,0) 依题意:|MA|2+|MB|2=16, 即(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16, 化简得x2+y2=4. 所以M的轨迹方程为x2+y2=4. 跟踪训练 3.已知△ABC中,三边c>b>a,且a、b、c成等差数 列,b=2,试求点B的轨迹方程. 解析:如下图,以AC所在的直线为x轴,AC的垂直平 分线为y轴建立平面直角坐标系. 由于b=|AC|=2, 则A点坐标为(-1,0),C点坐标为(1,0). 因为a、b、c成等差数列, 所以2b=a+c. 即4=|BC|+|AB|. 设B点坐标为(x,y), 则|AB|= ?x+1?2+y2. |BC|= ?x-1?2+y2. 所以 4= ?x+1?2+y2+ ?x-1?2+y2. 移项,两边平方并整理, 得 4-x=2 ?x-1?2+y2. 两边再平方,并整理,得 3x2+4y2=

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