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湖南省醴陵市第二中学2014-2015学年高中数学 练习题(6)(含解析)新人教A版选修2


高二数学(文)练习题(6)
一、选择题 2 1.已知集合 P={x︱x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( C ) A.(-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞) 2.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为( A ) A. k>4? B.k>5? C. k>6? D.k>7? 3.某校女子篮球队 7 名运动员身高(单位:厘米)分布的茎叶图如图,已 知记录的平均身高为 175cm, 但有 一名运动员的身高记录不清楚, 其末位数 记为 x ,那么 x 的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

4.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联 表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K ? 附表: 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是( A ) A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下 ,认为“爱好该项运动与性别无关” 5.已知直线 a , b 都在平面 ? 外, 则下列推断错误的是( C ) A. a // b, b // ? ? a // ? B. a ? b, b ? ? ? a // ?
2 2 n(ad ? bc)2 110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 30)2 算得,K ? ? 7.8 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 50 ? 60 ? 50

P( K 2 ? k ) k

0.050

0.010

0.001

C. a // ? , b // ? ? a // b D. a ? ? , b ? ? ? a // b 6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( D ) A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

D. 1

?( a ? 2 ) x ( x ? 2 ) ? 7.设函数 f ( x ) ? ? 1 x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围为( B ?( 2 ) ? 1( x ? 2) ? 13 13 A.(-∞,2) B.(-∞, ] C.(0,2) D.[ ,2) 8 8

)

1

8.已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 ? lg 8 ? lg 2, 则
x y

1 1 的最小值是( C ? x 3y
D.2 3



A.2

B.2 2

C.4

9. 用反证法证明命题: 若整数系数的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理实数根, 那么 a ,

b , c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( B )

A . 假设 a , b , c 都是偶数
C . 假设 a , b , c 至多有一个是偶数

B . 假设 a , b , c 都不是偶数 D . 假设 a , b , c 至多有两个偶数

n i{ , p } q 表示 p ,q 两者中的较小者, 10. 设m 若函数 f ( x) ? min{ 则满足 f ( x) ? 0 3 ? x, log2 x} ,
的 x 的取值范围是( A ) A. (0,1) U (3, ??) 二、填空 题: 11.复数 B. (1,3) C. (??,1) U(3, ??) D. (0,1) U ( , ??)

5 2

2 的模等于__________。 2 1? i

12.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 120°,则 a ? b ? 13.已知 ? 是第二象限角,且 sin( ? ? ? ) ? ? 14.已知幂函数 f ( x) ? (m2 ? 5m ? 7) xm 15 .将函数 f ( x) ? 2 cos( ?
2

r

r

r

r

r

r

r

r

7
? 24 7



3 ,则 tan2 ? 的值为 5

?6

在 (0, +?) 上单调递增,则实数 m 的值为



x 3

?
6

) 的图象向左平移
.
2

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g ( x) 的

图象,则 g ( x) 的解析式为 三、解答题。

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x ? sin(?x ? 期为 ? .

?
2

) ( ? ? 0 )的最小正周

2? ] 上的取值范围. 3 1 ? cos 2?x 3 1 1 ? 3 sin ?x ? cos ?x ? sin 2?x ? cos 2?x ? 解: (1) f ( x) ? 2 2 2 2
(1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x) 在区间 [0,

? sin( 2?x ?

?
6

)?

1 2 ? 2? ?? 2?
?? ? 1
????6 分

? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0
(2)解: f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 2? 4? ? ? 7? ? x ? [0, ] , ? 2 x ? [0, ] , ? 2 x ? ? [? , ] 2 3 3 6 6 6

2

? sin( 2 x ?

?

1 ) ? [? ,1] 6 2

3 ? f ( x) ? [0, ] 2

即 f ( x) 在区间 [0,

2? 3 ] 上的取值范围是 [ 0, ] . 3 2

17. (本小题满分 12 分)在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n (n=1,2,?,6)的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率。 解: (1)? x ?

1 6 ? xn ? 75 6 n?1
5 n ?1

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90, ??????3 分

s2 ?

1 1 ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 ,? s ? 7. ??????6 分 ? 6 n?1 6

6

(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5} , 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取 法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5},故所求概率为 . ??????12 分 18. (本题满分 12 分)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨, B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售 每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产 品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那 么在一个生产 周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少? 解:设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,利润为 z 万元 则有:

2 5

?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ?3x ? y ? 13 ? ?2 x ? 3 y ? 18
目标函数 z ? 5x ? 3 y

y
13 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如下图:

即y??

5 z x? 3 3

M(3,4) 9

作直线 l : y ? ?

O 5 x ,平移 l ,由图可知当 l 经过点 M 时,纵截距最大,即 z 取到最大值 3

解方程组 ?

? 3x ? y ? 13 得 x ? 3, y ? 4 ?2 x ? 3 y ? 18

? M (3,4)

Z max ? 5x ? 3 y ? 27

答:生产甲、乙两 种产品各 3 吨和 4 吨,能够产生最大利润 27 万元。 19. (本题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的 正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点. (1)求证:平面 A1 BD ? 平面 A1 ACC1 ; (2)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值. 解: (1) 又? BD ? AC, ? 正三棱住 ABC ? A1B1C1 , ? AA1 ? 底面 ABC,
3

A1 A ? AC ? A ,? BD ? 平面 A1 ACC1 ,又? BD ? 平面 A1B D ? 平面 A1B D ? 平面 A1 ACC1 (2)作 AM ? A1 D ,M 为垂足,由(1)知 AM ? 平面 A1 DB ,设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 MP, 则 ?APM 就是直线 A1 B 与平面 A1 B D 所成的角,??????9 分
AD=1, ? AA1 = 3 , ? 在 Rt ? AA1 D 中,?A1DA =

? 3 1 , , ? AM ? 1 ? sin60? ? AP ? AB1 ? 3 2 2

7, 2

?

3 AM 21 2 sin?AP M ? ? ? . AP 7 7 2

直线 AB1 与平面 A1 B D 所成的角的正弦值为

? cosx ), n ? (cos?, ? sin ? ) ,其中 0 ? ? ? π .函数 20 . (本小题满分 13 分)已知向量 m ? (sin x,

21 分????????12 7

分.

f ( x) ? m ? n 在 x ? π 处取最小值.

(1)求 ? 的值; (2)设 A , B , C 为 ?ABC 的三个内角,若 sin B ? 2 sin A , f (C ) ? 解: (1 )? f ( x) ? m ? n ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin(x ? ? ) 又 ? 函数 f ( x ) 在 x ? π 处取最小值,? sin(? ? ? ) ? ?1 , 即 又 0 ? ? ? π , ?? ? ????3 分

1 ,求 A . 2

sin ? ? ?1

??4 分

π ? f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x 2 π 1 1 ?0 ? C ? π , ?C ? . (2)∵ f (C ) ? ,? cos C ? 2 2 3 2π 2π ? A ? B ? C ? π ,∴ B ? ? A 代入 sin B ? 2 sin A 中,? sin( ? A) ? 2sin A , 3 3 ? sin
π 2π 2π 3 cos A ? cos sin A ? 2sin A , ? tan A ? , ? 0 ? A ? π ,? A ? . 6 3 3 3

π 2

log2 ( x ? 1) ( x ? 0) 上有一点列 Pn ( xn , yn )(n ? N * ) , 点 Pn x ?1 在 x 轴上的射影是 Qn ( xn ,0) ,且 xn ? 2xn?1 ? 1(n ? N * ) , x1 ? 1 . (1)求数列 {xn } 的通项公式; 1 1 1 (2)设梯形 Pn Qn Qn?1 Pn?1 的面积是 S n ,求证: ? ?L ? ? 4. S1 2S2 nSn
21. (本小题满分 13 分) 已知曲线 f ( x) ?

4

5


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