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四川省2016届高三“零诊”考试数学(文)试题及答案


数学(文科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合题目要求。 ) 1.已知集合 A? {x|? -1<x<2},B? {x|? -3<x<? 1}, 则 A ? B =( ) A. (?-3,2) B. (1,2) C.(?-1,1) D. (?-3,?-1) 2.若复数 z 满足 z ?

2 1? i

(i 为虚数单位),则 z=(

)

A. 1+i B.1-i C.?-1+i D. ?-1-i 3. 已知平面α ∥平面β ,若直线 m,n 分别在平面α ,β 内,则 m,n 的关系可能是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 4. 已知 p:x>1,p:x>1 或 x<-1,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 为大力提倡“厉行节约,反对浪费” ,巴中市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否做 到 “光盘”行动,得到如下联表: 做不到“光盘”行动 男 女 经计算 附表: (K2≥k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 45 30 做到“光盘”行动 10 15

参照附表,得到的正确结论是( ) A. 在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’行动 与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’行动 与性别无关” C. 有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关” D. 有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别无关” 6. 下列函数中,是偶函数且在区间(0,?∞)上单调递减的函数是( ) A.

f ( x) ?

1 ? x
2

x B. f ( x) ? ( )

1 3

C. f ( x) ? x ? 1

D.f(x)=lg|x|

7. 若抛物线 y2 =2px 的焦点与圆 x2+y2-4x=0 的圆心重合,则 p 的值为( ) A. ?-2, B.2 C. ?-4 D.4 8. 若某几何体的三视图如图所示,则这几何体的直观图可能是( )

9. 已知 g(x)=sin2x 的图像,要得到 f(x)=sin(2x将 g(x)的图像( A. 向右平移 )

? ),只需 4

? ? 个单位 B. 向左平移 个单位 8 8 ? ? C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 4 4

10.若某程序框图如右图所示,则该程序 运行后输出 i 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8

?x ? y ?1? 0 ? 11.实数 x,y 满足约束条件 f ( x ) ? ? x ? y ? 1 ? 0 ? , ? x-3y+3 ? 0 ?
则 z=x+2y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.7 D.8 12. 设函数 f ( x ) ? ? 围是( )

? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 1( x ? 0) ? ,在[-2,2]上的最大值为 2,则实数 a 的取值范 ax ? ?e (x>0)

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上) 13.已知双曲线 的离心率为 .

14.已知

,则 t=

.

15.观察下列等式:

根据以上规律可得 12+22+32+...+n2 =?

.

16. 已知点 A(-1,? 1) ,若点 P(a , b)为第一象限内的点,且满足|AP| = 2 2 ,则 ab 的最 大值为 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 如下图,直三棱柱 ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,E 是棱 C1 的 中点,且 CF⊥AB,AC=BC. (I)求证:CF∥平面 AEB1; (II)求证:平面 AEB1⊥平面 ABB1A1.

18.(本小题满分 12 分) 交通指数是指交通拥堵指数或交通运行指数(Traffic Performance Index,即“TPI”),是 反应道路畅通或拥堵的概念性数值,交通指数的取值范围为 0~10,分为五级:0~ 2 畅通,2~4 为基本畅通,4~6 轻度畅通,6~8 为中度拥堵,8~10 为严重拥堵.高峰 时段,巴中市交通指挥中心随机选取了市区 40 个交通路段,依据交通指数数据绘 制的频率分布直方图如图所示:

(I) 求出图中 x 的值,并计算这 40 个路段中为“中度拥堵”的有多少个? (II) 在我市区的 40 个交通路段中用分层抽样的方法抽取容量为 20 的样本. 从这 个样本路段的“基本畅通”和“严重拥堵”路段中随机选出 2 个路段,求其中只 有一个是“严重拥堵”路段的概率.

19. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}满足:a1=1, a2+a6=14;正项等比数列{bn}满足:b1=2, b3 =8.. (I) 求数列{an},{bn}的通项公式 an,·bn; (II)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 20. (本小题满分 12 分)

C: 椭圆 G

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 4 3 ,焦距为 4 2 . a 2 b2

(I) 求椭圆 G 的方程; (II) 若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点, 且点 P(-3,2)在线段 AB 的垂 直平分线上,求? PAB的面积. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

ln x ?x. a2 2 a2
时,求 a 的取值范围.

(I)若曲线 f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求函数 f(x)的单调区间; (II)当 f(x)的最大值大于 1-

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合. 已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 方程 x2-14x+mn=0 的 两个根. (I) 证明:C,B,D,E 四点共圆; (II)若∠A=90°,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知 曲线 ,曲线 , (t 为参数).

(I)写出 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (II)设 C1 和 C2 的交点为 P,求点 P 在直角坐标系中的坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+2|+|x-2|. (I) 求不等式 f(x)≥6 的解集; (II) 若 f(x) ≥a2-3a 在 R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高中 2013 级零诊考试参考答案 文科数学 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 题号 1 2 3 4 答案 C B D A 题号 7 8 9 10 答案 D B A B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.
6 2

5 C 11 C

6 C 12 D

; 14.

2

;

15.

n( n ? 1)( 2n ? 1) ; 16. 6

1

.

三、解答题 17. 证明: C1 (I)取 AB1 的中点 G,连结 EG,FG; ∵CC1∥BB1 且 CC1=BB1,又∵E 为 CC1 的中点, A1 ∴CE∥FG 且 CE=FG, E 从而,四边形 CEGF 为平行四边形; 即 CF∥EG, 又∵EG ? 面 AEB1,CF ? 面 AEB1 G ∴CF∥平面 AEB1. C (II)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, 且 CF ? 面 ABC, A F ∴CF⊥AA1; 又∵CF⊥AB 且 AB ? BB1=B, ∴CF⊥平面 ABB1A1. 由(1)有 CF∥EG,∴EG⊥平面 ABB1A1. 又∵EG ? 面 AEB1,∴平面 AEB1⊥平面 ABB1A1. 18. (12 分) 解:(I)由已知有 0.05×3+0.10×2+0.15×1+0.20×1+ x ×1=1, 所以 x =0.30; ∵40×(0.20×1+0.30×1)=20,∴这 40 个路段中为“中度拥堵”的有 20 个. (II) 由(1)可知: 容量为 20 的样本中“基本畅通”与“严重拥堵”路段分别为 2 个,3 个 记 2 个“基本畅通”与 3 个“严重拥堵”的路段分别为 A1,A2;B1,B2,B3; 从中随机选出 2 个路段的基本情况为: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 个, 其中只有一个是“严重拥堵”路段为: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 6 个, 6 3 ? . 所以只有一个是“严重拥堵”路段的概率 P ? 10 5 19. 解

B1

B

(I)∵ a1 ? 1, a 2 ? a6 ? 2a 4 ? 14 ? a1 ? 1, a 4 ? 7 ? d ?

a 4 ? a1 ? 2,? a n ? 2n - 1; 4 ?1

?? 2 b3 ? q ? ?4 又∵ b1 ? 2, b3 ? 8 ? ?? ? q ? 2,? bn ? 2 n ; b1 ? ? q?0 ?
因此数列 {an } , {bn } 的通项公式 an ? 2n ? 1, (II)由(I)有 an ? bn ? (2n ? 1) ? 2 n ,

bn ? 2n .

Tn ? 1 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? 7 ? 2 4 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n , 2Tn ? 1 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? 5 ? 2 4 ? 7 ? 2 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,
两式相减,得 - Tn ? 1? 21 ? 2 (22 ? 23 ? 24 ? ? ? ? ? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2n?1
? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 (1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? -6 ? (3 ? 2n)2 n?1 1? 2

?Tn ? 6 ? (2n ? 3) ? 2n?1.

20.解: (I)由已知 2a ? 4 3, 2c ? 4 2 ,得 a ? 2 3, c ? 2 2 ,则 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 从而椭圆 G 的方程为
x2 y2 ? ? 1. 12 4

? y ? x?m ? (II)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,联立 ? x 2 y 2 得 4 x 2 ? 6mx ? 3m 2 ? 12 ? 0 , ? ? 1 ? ? 12 4

因为直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点, 所以 ? ? (6m) 2 ? 4 ? 4 ? (3m2 ? 12) ? 0 ,即 m 2 ? 16 ; 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB 的中点 Q(

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ), 2 2

3m ? x1 ? x2 ? ? ? 3m m 2 , ); 因为 ? , 所以 Q ( ? m 4 4 ? y1 ? y 2 ? x1 ? x2 ? 2m ? 2 ?
又因为 P(?3 ,2) 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 PQ ? AB ; 又因为 AB 斜率为 1,所以 k PQ ? ?1 ,即 m ? 2 (满足要求);

? x1 ? x 2 ? ?3 3 1 从而 ? , 即 | x1 ? x2 |? 3 , 中点 Q (? , ) , 2 2 ? x1 ? x 2 ? 0

因此 ?PAB 的面积为 S ?PAB ? 21.解:由已知有 f ' ( x) ?

1 9 2 | x1 ? x 2 | ? | PQ |? 2 2

1 1? a2 ? x ? 1 ? ( x ? 0) ; a2 ? x a2 ? x
1? x ? 0 得 x ? 1; x

(I)因为 f ' (1) ? 0 所以 a 2 ? 1 ,即 f ' ( x) ?

因此函数 f ( x) 的单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1,??) .
1 2 ( a ? 0) , a2 1 1 则函数 f ( x) 的在区间 (0, 2 ) 单调递增,在区间 ( 2 ,?? ) .单调递减; a a 1 1 1 1 1 即 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值,最大值为 f ( 2 ) ? 2 ln 2 ? 2 ; a a a a a 1 2 因此 f ( 2 ) ? 1 ? 2 等价于 ln a 2 ? a 2 ? 1.......... ...(*); a a

(II)令 f ' ( x) ? 0 得 x ?

令 t ? a 2 (t ? 0) ,构造函数 g (t ) ? ln t ? t ,则(*)式等价于 g (t ) ? ln t ? t ? 1 ; 因为函数 g (t ) ? ln t ? t 在 (0,??) 为增函数且 g (1) ? 1 , 所以当 0 ? t ? 1 时有 g (t ) ? 1 ,当 t ? 1 时有 g (t ) ? 1 ; 即 ln a 2 ? a 2 ? 1.......... ...(*)等价于 0 ? a 2 ? 1 即 ? 1 ? a ? 0 或 0 ? a ? 1 ;
2 时, a 的取值范围 (?1,0) ? (0,1) . a2 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. 解: C (I)连结 DE,由题意在△ADE 和△ACB 中: AD×AB=mn AD ? AB ? mn ? AE ? AC , G H AD AE E ? 即 ,又因为 ?DAE ? ?CAB , AC AB 从而△ADE∽△ACB. 故 ?ADE ? ?ACB ,即 ?EDB ? ?ECB ? ? ;

因此当 f ( x) 的最大值大于 1 -

所以 C , B, D, E 四点共圆.

A

D F

B

(II) 当 m ? 4, n ? 6 时,方程 x 2 ? 14x ? mn ? 0 的两个根为 x1 ? 2, x2 ? 12 , 即 AD=2,AB=12; 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F 分别作 AC,AB 的垂线相交于 H 点,连结 DH .

因为 C , B, D, E 四点共圆,所以 C , B, D, E 所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 因为 ?A ? 900 ,所以 GH∥AB,HF∥AC. 从而 HF ? AG ? 5 , DF ? 23. 解: (I) C1 的直角坐标方程: x ? y ? 3 ? 0 ; C2 的普通方程: y ? x2 ? 1( x ? 0) . (II) P(2,5) 24. 解:
? - 2 x, x ? -2 ? x ? ?2 ?? 2 ? x ? 2 ? (I) 因为 f ( x ) ? ?4, - 2 ? x ? 2, 所以原不等式等价于 ? 或 ? 或 ?? 2 x ? 6 ? 4?6 ? 2 x, x ? 2 ?
1 (12 ? 2) ? 5 ,所以 C , B, D, E 所在圆的半径为 5 2 . 2

?x?2 ,解得 x ? ?3 或 x ? ? 或 x ? 3 .因此不等式解集为 (??,?3] ? [3,??) . ? ?2 x ? 6
(II) 由题意得,关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 2 |? a 2 ? 3a 在 R 恒成立, 因为 | x ? 2 | ? | x ? 2 |?| ( x ? 2) ? ( x ? 2) |? 4 ,所以 a 2 ? 3a ? 4 ,解得 ? 1 ? a ? 4 . 因此满足条件的 a 的取值范围为 [?1, 4] .


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