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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课堂探究学案新人教B版选修2_1

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2.1 曲线与方程

课堂探究 探究一 曲线与方程的概念问题 曲线与方程的定义表明:曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 的充分必要条件是曲线 C 上所有 点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解,并且以方程 F(x,y)=0 的实数解为坐标的点都在曲线 C 上,这是识别曲线和方程关系的基本依据. 判断点与曲线关系的方法 (1)从点的坐标角度 若点 M(x0,y0)在方程 f(x,y)=0 所表示的曲线 C 上,则 f(x0,y0)=0;或若 f(x0,y0)≠0, 则点 M(x0,y0)不在方程 f(x,y)=0 表示的曲线 C 上. (2)从方程的解的角度 若 f(x0,y0)=0,则点 M(x0,y0)在方程 f(x,y)=0 所表示的曲线 C 上;或若点 M(x0, y0)不在方程 f(x,y)=0 表示的曲线 C 上,则 f(x0,y0)≠0. 【典型例题 1】 如果曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解,那么以下说法 正确的是( ) A.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 B.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点有些不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 F(x,y)=0 的解 D.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 解析:由题意可知,曲线 C 上的所有点构成的集合是方程 F(x,y)=0 的解构成的集合 的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等. 据以上可知,选项 A,B,C 都是不正确的,只有选项 D 是正确的. 答案:D 探究二 曲线方程的求法 解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行: (1)建立恰当的坐标系:曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式, 首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立,直接影响曲线方程的繁简).

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(2)利用题目条件,建立等量关系:根据曲线上的点适合的条件列出等式,是求方程的 重要一环,常用到一些基本公式,如两点间的距离公式等,仔细审题,用已知条件和曲线的 特征,抓住与曲线上的任意点 M 有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简.
(3)挖掘题目隐含条件,避免“少解”与“多解”:在求曲线方程时,由于忽视了题目 中的隐含条件,出现不符合题意的点,或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、增加解, 因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除,将遗漏的点补上.
【典型例题 2】 已知平面上两个定点 A,B 之间的距离为 2a,点 M 到 A,B 两点的距离 之比为 2∶1,求动点 M 的轨迹方程.
思路分析:因为已知条件中未给定坐标系,所以需“恰当”建立坐标系.考虑到对称性, 由|AB|=2a,选 A,B 两点所在的直线为 x 轴,AB 中点为坐标原点,则 A(-a,0),B(a,0), 然后求解.
解:如图所示,以两定点 A,B 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标 系.
由|AB|=2a,可设 A(-a,0),B(a,0),M(x,y). 因为|MA|∶|MB|=2∶1, 所以 (x+a)2+y2∶ (x-a)2+y2=2∶1, 所以 (x+a)2+y2=2 (x-a)2+y2. 化简,得???x-53a???2+y2=196a2, 所以所求动点 M 的轨迹方程为 ???x-53a???2+y2=196a2. 【典型例题 3】 长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上移动,动点 C(x,y) 满足→AC=2C→B,求动点 C 的轨迹方程. 思路分析:A,B 分别在 x 轴、y 轴上移动,可设 A(x0,0),B(0,y0),又动点 C(x,y) 满足→AC=2C→B,代入即可得轨迹方程. 解:因为长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上移动, 故可设 A(x0,0),B(0,y0). 又因为动点 C(x,y)满足A→C=2→CB, 所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y),
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即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),

所以???x-x0=-2x, ??y=2y0-2y

??x0=3x, ????y0=32y.

又因为|AB|=3,

即 x02 ? y02 =9, 所以(3x)2+???32y???2=9. 整理得动点 C 的轨迹方程为 x2+y42=1.

方法总结 求曲线方程常见方法的注意点

(1)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等),可用定义直

接探求.

(2)相关点代入法:根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程,有时也

称代入法.其基本思想是,如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动,另一动点又

在某一条已知的曲线 C:f(x,y)=0 上运动,那么利用轨迹中的动点坐标(x,y)表示已知曲 线上的动点(x1,y1),再将它代入已知曲线 C 的方程 f(x,y)=0 即可求得动点轨迹方程.
(3)待定系数法:根据题意正确设出曲线方程,明确待定系数,寻找待定系数的方程时

一定要充分挖掘题中条件,特别注意隐含条件.

探究三 求曲线的交点问题 已知曲线 C1 和曲线 C2 的方程分别为 F(x,y)=0,G(x,y)=0,则点 P(x0,y0)是曲线

C1,C2 的交点 ? 点 P 的坐标(x0,y0)满足方程组?????FG((xx, ,yy))= =00, , 且方程组有几组不同的实

数解,两条曲线就有几个不同的交点;方程组没有实数解,两条曲线就没有交点. 【典型例题 4】试讨论圆 x2+(y-1)2=4 与直线 y=k(x-2)+4(k 为参数)交点的个数.

思路分析:只需把直线方程与圆方程联立,求方程组解的个数即可.

解:由?????yx= 2+k((yx--12))2+=44,, 得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0, Δ =4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]=4(12k-5). 当 Δ >0,即 k>152时,直线与圆有两个不同的交点;

当 Δ =0,即 k=152时,直线与圆有一个交点;

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当 Δ <0,即 k<152时,直线与圆没有交点. 探究四 易错辨析 易错点 忽视验证造成增解 【典型例题 5】 求以 A(-2,0),B(2,0)为直径端点的圆内接三角形的顶点 C 的轨迹方 程. 错解:设点 C 的坐标为(x,y). △ABC 为圆内接三角形且以 AB 为直径. ∴AC⊥BC,则 kAC·kBC=-1. ∵kAC=yx- +02,kBC=yx- -02,
yy ∴x+2·x-2=-1. 化简,有 x2+y2-4=0. 即点 C 的轨迹方程为 x2+y2-4=0. 错因分析:(1)在表述 kAC,kBC 时没有注意斜率不存在的情况. (2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上. 正解:设 C 的坐标为(x,y). ∵△ABC 为圆的内接三角形,且圆以线段 AB 为直径, ∴A→C⊥B→C,即→AC·→BC=0. 又A→C=(x+2,y),B→C=(x-2,y), ∴(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0. 又当 x=±2 时,A,B,C 共线,不构成三角形, ∴所求 C 点的轨迹方程为 x2+y2-4=0(x≠±2).
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