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【高中数学】2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案:2.3.3 等比数列的前n项和(一)


2.3.3 学习目标 等比数列的前 n 项和(一) 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前 n 项和公式 解决有关等比数列的一些简单问题. 知识点一 等比数列的前 n 项和公式的推导 思考 对于 S64=1+2+4+8+…+262+263,用 2 乘以等式的两边,可得 2S64=2+4+8+… +262+263+264,对这两个式子作怎样的运算能解出 S64? 梳理 设等比数列{an}的首项是 a1,公比是 q,前 n 项和 Sn 可用下面的“错位相减法”求得. Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. 则 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. 由①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn. a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= . 1-q 当 q=1 时,由于 a1=a2=…=an,所以 Sn=na1. 结合通项公式可得: 等比数列前 n 项和公式 a ?1-q ? a -a q ? ? 1-q = 1-q ?q≠1?, S =? ? ?na ?q=1?. 1 n 1 n n 1 ① ② 知识点二 等比数列的前 n 项和公式的应用 思考 要求等比数列前 8 项的和: (1)若已知其前三项,用哪个公式比较合适? (2)若已知 a1,a9,q 的值.用哪个公式比较合适? 梳理 一般地,使用等比数列求和公式时需注意: (1) 一定不要忽略 q=1 的情况; a1?1-qn? a1-anq (2) 知道首项 a1、 公比 q 和项数 n, 可以用 ; 知道首尾两项 a1, an 和 q, 可以用 ; 1-q 1-q (3) 在通项公式和前 n 项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可 求其余两个. 类型一 等比数列前 n 项和公式的应用 命题角度 1 前 n 项和公式的直接应用 例 1 求下列等比数列前 8 项的和: 1 1 1 (1) , , ,…; 2 4 8 1 (2)a1=27,a9= ,q<0. 243 反思与感悟 求等比数列前 n 项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意 q =1 是否成立. 跟踪训练 1 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. 命题角度 2 通项公式、前 n 项和公式的综合应用 例 2 在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求 Sn. 反思与感悟 (1)应用等比数列的前 n 项和公式时,首先要对公比 q=1 或 q≠1 进行判断,若 两种情况都有可能,则要分类讨论. (2)当 q=1 时,等比数列是常数列,所以 Sn=na1;当 q≠1 时,等比数列的前 n 项和 Sn 有两 a1?1-qn? a1-anq 个公式. 当已知 a1, q 与 n 时, 用 Sn= 比较方便; 当已知 a1, q 与 an 时, 用 Sn= 1-q 1-q 比较方便. 跟踪训练 2 在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求 a3 和 q. 类型二 等比数列前 n 项和的实际应用 例 3 某商场今年销售计算机 5 000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30 000 台?(结果保留到个位) 反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目,尤其是一些关键词:“平均每年的销售量比上一 年的销售量增加 10%”.理解题意后,将文字语言向数字语言转化,建立数学

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