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2015-2016高中数学 1.3.2第1课时 函数奇偶性的概念课件 新人教A版必修1


第一章 集合与函数概念

1.3.2 第1课时

奇偶性

函数奇偶性的概念

1.了解函数奇偶性的含义.(难点) 2.掌握判断函数奇偶性的方法.(重点、难点) 3.了解函数的奇偶性与函数图象的对称性之间的关 系.(易混点)

1.函数奇偶性的概念

(1)偶函数的定义.
任意 一 个 x , 都 有 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 的 _____ f(-x)=f(x) ,那么称函数y=f(x)是偶函数. ___________ (2)奇函数的定义. 任意 一 个 x , 都 有 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 的 ______ f(-x)=-f(x) ,那么称函数y=f(x)是奇函数. ______________

2.奇偶函数图象特点 原点 对称; (1)奇函数的图象关于______ y轴 对称. (2)偶函数的图象关于______

想一想

(1)判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区
间是否关于原点对称呢? 提示:由定义知,若x是定义域内的一个元素,-x也一定是 定义域内的一个元素,所以函数y=f(x)具有奇偶性的一个必不可 少的条件是:定义域在x轴上所示的区间关于原点对称.即:如

果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称的,
这个函数一定不具有奇偶性.例如:函数 f(x) = x3 在 R 上是奇函 数,但在[-2,1]上既不是奇函数也不是偶函数.

(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数? 提示:有.如f(x)=0,x∈(-a,a)(a>0). (3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)等于什么? 提示:根据奇函数定义,有f(-0)=-f(0),故f(0)=0. (4)常数函数一定是偶函数吗? 提示: 不一定.当定义域关于原点对称时才是,否则不 是.

(5)奇函数的图象一定过原点吗?
提示: 不一定,若0 在定义域内,则图象一定过原点,否 则不过原点.

1.函数的奇偶性与单调性的区别

(1) 奇偶性是反映函数在定义域上的对称性,是相对于函数
的整个定义域来说的,奇偶性是函数的“整体”性质. (2) 单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势, 此区间是定义域的子集,因此单调性是函数的“局部”性质. 2.奇函数、偶函数在x=0处的定义 若奇函数f(x)在原点处有意义,则由奇函数定义 f(-0)=-f(0),可得f(0)=0,偶函数则不一定.

3.奇函数、偶函数的图象特征 (1)

(2) 由奇、偶函数的图象特征可知:偶函数在关于原点对

称的区间上的单调性相反,奇函数在关于原点对称的区间上的
单调性相同.

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性: 3x (1)f(x)= 2 ;(2)f(x)=|x+1|+|x-1|; x +3 2x2+2x (3)f(x)= . x+1

思路点拨: 定义域是否关于原点对称 是 f?-x?=± f?x?? 是 奇?偶?函数 否 非奇非偶 否 非奇非偶

解:(1)f(x)的定义域是 R, 3?-x? 3x 又 f(-x)= =- 2 =-f(x), 2 ?-x? +3 x +3 ∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是 R, 又 f(-x)=|-x+1|+|-x-1| =|x-1|+|x+1|=f(x), ∴f(x)是偶函数.

(3)函数 f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), 不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数.

1 .函数根据奇偶性分为:奇函数,偶函数,既奇又偶函

数,非奇非偶函数.
2.用定义判断函数奇偶性的步骤为: ①求函数f(x)的定义域; ②判断函数 f(x) 的定义域是否关于原点对称,若不关于原 点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点 对称,则进行下一步;

③结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式; ④求f(-x); ⑤根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数 f(x)的奇偶性. 3 .函数的奇偶性也可以用图象法判断,即若函数的图象 关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于 y 轴对称,

则函数为偶函数.

4.还可以用如下性质判断函数的奇偶性: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)= 1-x2+ x2-1; 4-x2 (3)f(x)= . |x+2|-2

解:(1)函数定义域为 R, 又 f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
2 ? ?1-x ≥0 (2)由? 2 ? ?x -1≥0

,得 x=± 1,

此时 f(x)=0,x∈{-1,1}. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

2 ? ?4-x ≥0, (3)∵? ? ?|x+2|-2≠0,

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 此时 f(x)= = . x |x+2|-2 4-?-x?2 4-x2 又 f(-x)= =- x =-f(x), -x 4-x2 ∴f(x)= 为奇函数. |x+2|-2

分段函数奇偶性的判断

?x2+2x+3 ?x<0?, ? 已知函数 f(x)=?0 ?x=0?, ?-x2+2x-3 ?x>0?, ? 偶性.

试判断 f(x)的奇

定义域是否关 逐段验证f?-x? 断定f?x?是否 思路点拨: → → 于原点对称 是否等于± f?x? 具有奇偶性

解:函数 f(x) 的定义域为 R,关于原点对称.当 x<0 时,- x>0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3 =-x2-2x-3=-(x2+2x+3)=-f(x); 当x=0时,-x=0,f(-x)=f(0)=0=-f(x); 当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3 =x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).

∴f(x)是R上的奇函数.

1 .对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意 x 与- x 所满

足的对应关系,如x>0时,f(x)满足f(x)=-x2+2x-3,-x<0满
足的不再是f(x)=-x2+2x-3,而是f(x)=x2+2x+3. 2 .分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判 断.

2.判断函数

2 ? ??x+5? -4,x∈?-6,-1] f(x)=? 2 ? ? x - 5 ? -4,x∈[1,6? ?

的奇偶性.

解:f(x)的定义域为(-6,-1]∪[1,6),关于原点对称. 当 x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6),f(-x) =(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x), 当 x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1],f(-x) =(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x),

综上可知,对于 x∈(-6,-1]∪[1,6), 都有 f(-x)=f(x), 所以
2 ? ??x+5? -4,x∈?-6,-1] f(x)=? 2 ? ??x-5? -4,x∈[1,6?

是偶函数.

函数奇偶性的图象特征 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)

的大小.

比较f?-1?与 思路点拨: 偶函数 → 补全图象 → 比较大小 → f?-3?的大小 比较f?1?与 → 偶函数 → f?3?的大小

解:方法一:

∵函数 f(x)是偶函数, ∴其图象关于 y 轴对称,补全图象如图. 由图象可知 f(1)<f(3).

方法二:由图象可知f(-1)<f(-3). 又函数y=f(x)是偶函数, ∴f(-1)=f(1),f(-3)=f(3), ∴f(1)<f(3).

【互动探究】 只将本例中的“偶”改为“奇”呢? 解:方法一:∵函数f(x)是奇函数, ∴其图象关于原点对称,补全图象, 如图.

由图象可知 f(1)>f(3). 方法二:由图象可知 f(-1)<f(-3). 又函数y=f(x)是奇函数, ∴f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3), ∴-f(1)<-f(3),

∴f(1)>f(3).

奇、偶函数图象对称性的两大应用

应用一:巧作函数图象.
①奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y轴对称. ②根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇 偶函数在某区间的部分图象,画出其关于原点或 y 轴对称的另 一部分的图象问题.

应用二:求函数最值、单调性问题. 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性,可以利用图 象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题,也可以解 决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题,同时可以简化 解题过程.

3 .若函数 f(x) 是定义在 R上的偶函数,在 ( -∞ , 0] 上是减

函数,且f(2)=0,则使得f(x)>0的x的取值范围是(
A.(-∞,2) C.(-2,2) B.(2,+∞)

)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析:由于函数f(x)是定义在R上的偶函 数,所以它的图象关于 y轴对称.又它在(- ∞ , 0] 上是减函数,所以可知该函数在 (0 , +∞)上为增函数.根据这些特征及f(2)=0, 可作出它的图象 ( 如图) ,观察图象可得,使 f(x)>0 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ( - ∞ , - 2)∪(2,+∞). 答案:D

易错误区系列(四) 判断函数的奇偶性时,因忽略定义域 致误

判断函数 f(x)=(x-1)
2

1+x 的奇偶性. 1-x

【错解】f(x)=-

1+x ?1-x? · 1-x

=- ?1+x??1-x?=- 1-x2, ∴f(-x)=- 1-?-x?2=- 1-x2=f(x), ∴f(x)为偶函数.

【正解】函数f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对 称,故此函数既不是奇函数又不是偶函数. 【纠错心得】判断所给函数的奇偶性时,在求出函数的定 义域以前,不能化简函数的解析式,否则会导致函数的定义域 发生变化,得到错误结论.

?x+2?x<-1?, ? 【成功破障】判断函数 f(x)=?0?|x|≤1?, ?-x+2?x>1? ?

的奇偶性.

解:当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x); 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1, f(-x)=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1, f(-x)=0=f(x).

∴ 对定义域内的每个 x 都有 f( - x) = f(x) ,因此 f(x) 是偶函
数.


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