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2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷(数学理)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 1 卷)
数 学 (理工类)
第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的一项。
2 1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B= x ?2 ? x ? 2 ,则 A ? B =

?

?

A .[-2,-1]
【答案】 :A

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

2 【解析】 :∵A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 }= x x ? ?1 或 x ? 3 ,B= x ?2 ? x ? 2 ,

?

?

?

?

∴ A ? B = x ?2 ? x ? 1 ,选 A..

?

?

2.

(1 ? i )3 = (1 ? i ) 2
B .1 ? i

A .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i

【答案】 :D 【解析】 :∵

(1 ? i )3 2i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,选 D.. = ?2i (1 ? i ) 2

3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数
【答案】 :C

D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

【解析】 :设 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,则 F (? x) ? f (? x) g (? x) ,∵ f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,∴

F (?x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?F ( x) , F ( x) 为奇函数,选 C.

4.已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为
2 2

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m
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【答案】 :A 【解析】 :由 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) ,得

x2 y 2 ? ? 1 , c2 ? 3m ? 3, c ? 3m ? 3 3m 3

设F

?

3m ? 3, 0 ,一条渐近线 y ?

?

3 x ,即 x ? my ? 0 ,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离 3m

d?

3m ? 3 = 3 ,选 A. . 1? m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

【答案】 :D 【解析】 :4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 2 ? 16 种,
4

1 1 2 周六、 周日都有同学参加公益活动有两种情况: ①一天一人一天三人有 C4 ②每天 2 人有 C4 A2 ? 8 种; ?6

8?6 7 ? ;或间接解法:4 位同学都在周六或周日参加 16 8 16 ? 2 7 ? ;选 D. 公益活动有 2 种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 16 8
种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 6.如图, 圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ]上的图像大致为

【答案】 :B 【解析】 :如图:过 M 作 MD⊥OP 于D,则 PM= sin x ,OM= cos x ,在 Rt ?OMP

中,MD=

OM PM cos x sin x ? ? cos x sin x OP 1

?

1 1 sin 2 x ,∴ f ( x) ? sin 2 x (0 ? x ? ? ) ,选 B. . 2 2
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7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

【答案】 :D 【解析】 :输入 a ? 1, b ? 2, k ? 3 ; n ? 1 时: M ? 1 ?

1 3 3 ? , a ? 2, b ? ; 2 2 2 2 8 3 8 3 3 15 8 15 n ? 2 时: M ? 2 ? ? , a ? , b ? ; n ? 3 时: M ? ? ? , a ? , b ? ; 3 3 2 3 2 8 8 3 8 15 n ? 4 时:输出 M ? . 选 D. 8

8.设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?
【答案】 :B

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

【解析】 :∵ tan ? ?

sin ? 1 ? sin ? ? ,∴ sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?

? ? ? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? 2 2 2 2 ?2 ?
∴? ? ? ?

?
2

? ? ,即 2? ? ? ?

?
2

,选 B

9.不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3
【答案】 :C

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

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【解析】 :作出可行域如图:设 x ? 2 y ? z ,即 y ? ?

1 z x ? ,当直线过 A ? 2, ?1? 时, 2 2

zmin ? ?2 ? 2 ? 0 ,∴ z ? 0 ,∴命题 p1 、 p2 真命题,选 C.

10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若

FP ? 4FQ ,则 | QF | =
A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

【答案】 :C 【解析】 :过 Q 作 QM⊥直线 L 于 M,∵ FP ? 4FQ ∴

PQ

QM PQ 3 3 ? ,又 ? ? ,∴ QM ? 3 ,由抛物线定义知 QF ? QM ? 3 PF 4 4 PF 4

选C

11.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为
3 2

A .(2,+∞)
【答案】 :B

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

2 【解析 1】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 , a

当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
2 a
2

要使 f ( x ) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 B
3 2 【解析 2】 :由已知 a ? 0 , f ( x ) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3

1 1 ? x x3

有唯一的正零根,令 t ?

1 3 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 y ? ?t ? 3t 有唯一 x

3 2 的交点且交点在在 y 轴右侧记 f (t ) ? ?t ? 3t , f ?(t ) ? ?3t ? 3 ,由 f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 ,

t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; ,
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t ??1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 B

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A .6 2
【答案】 :C

B .4 2

C .6

D .4

【解析】 :如图所示,原几何体为三棱锥 D ? ABC , 其中 AB ? BC ? 4, AC ? 4 2, DB ? DC ? 2 5 ,

DA ?

?4 2 ?

2

? 4 ? 6 ,故最长的棱的长度为 DA ? 6 ,选 C

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题 -第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 【答案】 : ? 20
r 8?r r 【解析】 : ( x ? y) 展开式的通项为 Tr ?1 ? C8 x y (r ? 0,1,
8

.(用数字填写答案)

,8) ,

7 6 2 6 ∴ T8 ? C8 xy7 ? 8xy7 , T7 ? C8 x y ? 28x2 y6

∴ ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 7 的项为 x 8xy7 ? y 28x2 y 6 ? ?20x2 y 7 ,故系数为 ? 20。

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 【答案】 :A 【解析】 :∵丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过 B 城市,乙说:我没去过 C 城市 ∴三人同去过同一个城市应为A,∴乙至少去过A,若乙再去城市 B,甲去过的城市至多两个,不可能比
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.

乙多,∴可判断乙去过的城市为A.

15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? 【答案】 : 90
0

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

【解析】 :∵ AO ?
0

1 ( AB ? AC ) ,∴O 为线段 BC 中点,故 BC 为 O 的直径, 2
0

∴ ?BAC ? 90 ,∴ AB 与 AC 的夹角为 90 。

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C , 则 ?ABC 面积的最大值为 【答案】 : 3 【解析】 :由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , 即 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,由及正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ∴ b ? c ? a ? bc ,故 cos A ?
2 2 2

.

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,∴ ?A ? 600 ,∴ b2 ? c 2 ? 4 ? bc 2bc 2

1 4 ? b2 ? c2 ? bc ? bc ,∴ S ?ABC ? bc sin A ? 3 , 2
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

…………6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an?2 ? an ? 4 知

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数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2m? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2
*

∴ an ? 2n ? 1( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. ………12 分

18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果 得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,其中 ? 近似为样 本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii) 某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 (187.8,212.2) 的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.
2 若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

【解析】 :(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为

2

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x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200
s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33
2 2 2

? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02
2 2 2

? 150
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而

…………6 分

P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826

………………9 分

(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意知 X

B(100,0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26

………12 分

19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 BB 1C1C 为菱形, AB ? B 1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值. 【解析】 :(Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面

BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,
故 B1C ? AO 又 B1O ? CO ,故

AC ? AB1

………6 分 又

(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO= 因为 AB= 故 OA⊥ ,所以 ?BOA ? ?BOC ,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直.

以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为

?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=

,则

? ? ? 3? 3 ? 3 ? A? ? 0, 0, 3 ? ? , B ?1,0,0 ? , B1 ? ? 0, 3 , 0 ? ? ,C ? ? 0, ? 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ?
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? ? ? 3 3? 3? 3 ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ?
设 n ? ? x, y, z ? 是平面的法向量,则

? ?n ? ? ?n

? 3 3 y? z?0 ? AB1 ? 0 ? 3 3 ,即 ? A1 B1 ? 0 ?x ? 3 z ? 0 ? 3 ?
? ?m A1 B1 ? 0 ? ?n B1C1 ? 0

所以可取 n ? 1, 3, 3

?

? ?

设 m 是平面的法向量,则 ?

,同理可取 m ? 1, ? 3, 3

?

则 cos n, m ?

nm n m

?

1 1 ,所以二面角 A ? A . 1B 1 ? C1 的余弦值为 7 7

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆 2 a b 2

的焦点,直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【解析】 :(Ⅰ) 设 F ? c,0? ,由条件知

2 2 3 ,得 c ? 3 ? c 3



c 3 , ? a 2
……….6 分

x2 ? y 2 ? 1. 所以 a=2 , b ? a ? c ? 1 ,故 E 的方程 4
2 2 2

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4
2

2 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ?

3 8k ? 2 4k 2 ? 3 时, x1,2 ? 4 1 ? 4k 2

从而 PQ ?

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1 4k 2 ? 3 1 ? 4k 2

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又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

2 k 2 ?1

,所以 ? OPQ 的面积

S?OPQ

1 4 4k 2 ? 3 , ? d PQ ? 2 1 ? 4k 2

设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

当且仅当 t ? 2 , k ? ?

7 等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方程为: 2
…………………………12 分

y?

7 7 x?2 或 y ? ? x ? 2. 2 2

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x

y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .
【解析】 :(Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? , f ?( x) ? ae ln x ?
x

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e x x x

由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ,故 a ? 1, b ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? e ln x ?
x

……………6 分

2 2e x ?1 ?x ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? e x
, 所以当 x ? ? 0, ? 时,g ?( x) ? 0 , 当 x ? ? , ?? ? 时,g ?( x) ? 0 ,

x) ? x n l ?x 设函数 g ( x) ? x ln x , 则 g ?(

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

故 g ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增,从而 g ( x) 在 ? 0, ??? 的最小值 为 g( ) ? ? . 设函数 h( x) ? xe
?x

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 e

1 e

……………8 分

?

2 ?x ,则 h?( x) ? e ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, e

h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 ? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减,从而 h( x) g ( x) 在 ? 0, ??? 的最小值
为 h(1) ? ? . 综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . ……………12 分

1 e

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第 10 页 共 10 页

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方 框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线 交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形. 【解析】 :.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以 ? D= ? CBE, 由已知得, ? CBE= ? E , 所以 ? D= ? ……………5 分 知 MN⊥ 所以 O
N

(Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=

在 MN 上, 又 AD 不是 O 的直径, M 为 AD 中点, 故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD, 所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又 ? CBE= ? E, 故 ? A= ? 10 分 由(Ⅰ( ) 1) 知 ? D= ? E, 所以△ADE 为等边三角形. ……………

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0
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o

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分
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(Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
…………10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab

故 a3 ? b3 ? 3 a3 b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
3 3

………5 分

(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2
……………10 分

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 1 卷)

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