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广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016-2017学年高二(上)9月月考数学试卷(理科)(解析版).doc

2016-2017 学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二 (上)9 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.命题“若 A? B, 则 A=B”与其逆命题、 否命题、 逆否命题这四个命题中, 真命题有 ( A.0 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 )

【考点】四种命题的真假关系. 【分析】 先判断原命题的真假, 再判断逆命题的真假, 然后由原命题和逆否命题是等价命题, 逆命题和否命题是等价命题来判断逆否命题和否命题的真假. 【解答】解:原命题:“若 A? B,则 A=B”是假命题, ∵原命题和逆否命题是等价命题, ∴逆否命题一定是假命题; 逆命题:“若 A=B,则 A? B”是真命题, ∵逆命题和否命题是等价命题. ∴否命题一定是真命题. 故选 B.

2.已知向量 , ,则“ ∥ ”是“ + = ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件



D.既不充分也不必要条件

【考点】平行向量与共线向量;相等向量与相反向量. 【分析】利用向量共线的充要条件得到 要条件的定义判断出是必要不充分条件 【解答】解:必要性: + = ? =﹣ ,从而有 ∥ ; ? ,通过举反例反之推不出;利用充

充分性:当 ∥ 时,可以取 =2 ,从而 + =3 ,当 ≠ 时 + ≠ . 综上,“ ∥ ”是“ + = ”的必要不充分条件. 故选 B

3.若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题

) C.﹁p 是真命题 D.﹁q 是真命题

B.p∨q 是假命题

【考点】复合命题的真假. 【分析】根据题意,由复合命题真假表,依次分析选项即可作出判断. 【解答】解:∵p 是真命题,q 是假命题, ∴p∧q 是假命题,选项 A 错误; p∨q 是真命题,选项 B 错误; ¬p 是假命题,选项 C 错误; ¬q 是真命题,选项 D 正确. 故选 D.

4.命题“存在 x∈(0,+∞) ,ln x=x﹣1”的否定是( A.任意 x∈(0,+∞) ,ln x≠x﹣1 C.存在 x∈(0,+∞) ,ln x≠x﹣1 【考点】命题的否定.



B.任意 x?(0,+∞) ,ln x=x﹣1 D.存在 x?(0,+∞) ,ln x=x﹣1

【分析】利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以“存在 x∈(0,+∞) ,ln x=x﹣1”的否定是: 任意 x∈(0,+∞) ,ln x≠x﹣1, 故选:A.

5.当 m∈N*,命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是( A.若方程 x2+x﹣m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x﹣m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x﹣m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x2+x﹣m=0 没有实根,则 m≤0 【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可.



* 2 【解答】解:由逆否命题的定义可知:当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实 2 根”的逆否命题是:若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0.

故选:D.

6.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【考点】充要条件.



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B.

7.给出下列命题,其中真命题为( A.对任意 x∈R, 是无理数



B.对任意 x,y∈R,若 xy≠0,则 x,y 至少有一个不为 0 C.存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除 D.x>1 是 <1 的充要条件 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A,对任意 x∈R, 是可以是有理数;

B,对任意 x,y∈R,若 xy≠0,则 x,y 至少有一个为 0; C,存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除,它们是 3 和 19 的公倍数; D,x<0 时, <1 也成立. 【解答】解:对于 A,对任意 x∈R, 是可以是有理数,故 A 错;

对于 B,对任意 x,y∈R,若 xy≠0,则 x,y 至少有一个为 0,故 B 错; 对于 C,存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除,它们是 3 和 19 的公倍数,故 C 正确; 对于 D,x<0 时, <1 也成立,故 D 错. 故答案选:C.

8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 【考点】正弦定理. 【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可. 【解答】解:由正弦定理可知 ? = , B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件



∵△ABC 中,∠A,∠B,∠C 均小于 180° ,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c, ∴a,b,sinA,sinB 都是正数, ∴“a≤b”?“sinA≤sinB”. ∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件. 故选:A.

9.已知 p:

>0;q:lg(

+

)有意义,则¬p 是¬q 的(



A.充分不必要条件 C.充要条件 【考点】充要条件. 【分析】解不等式 件 q:

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

,易得条件 p 对应的集合 P,根据函数定义域的求法,易得到条 有意义的集合 Q,根据集合 P 与 Q 之间的包含关系,结合“谁

小谁充分,谁大谁必要”的原则,易确定条件 p 与条件 q 的关系,进而根据互为逆否命题真 假相同易得答案. 【解答】解:∵条件 p: ∴P=(﹣1,+∞) 又∵条件 q: ∴Q=(﹣1,1] ∵Q?P ∴q 是 p 的充分不必要条件 又由互为逆否命题真假性相同

p 是? q 的充分不必要条件 故? 故选 A

10.已知命题 p:若 x>y,则﹣x<﹣y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2,在命题①p∧q;②p ∨q;③p∧(¬q) ;④(¬p)∨q 中,真命题是( A.①③ B.①④ C.②③ ) D.②④

【考点】复合命题的真假. 【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到 结论. 【解答】解:根据不等式的性质可知,若若 x>y,则﹣x<﹣y 成立,即 p 为真命题, 当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x >y 不成立,即命题 q 为假命题, 则①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q 为假命题, 故选:C.
2 2

11.已知命题 p:? x>0,总有(x+1)ex>1,则¬p 为( A.? x0≤0,使得(x0+1)e C.? x>0,总有(x+1)ex≤1 【考点】命题的否定;全称命题. 【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题 p 的否定. ≤1

) ≤1

B.? x0>0,使得(x0+1)e D.? x≤0,总有(x+1)ex≤1

【解答】解:根据全称命题的否定为特称命题可知,¬p 为? x0>0,使得(x0+1)e 故选:B.

≤1,

12.不等式组

的解集记为 D,有下列四个命题: p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2 p4:? (x,y)∈D,x+2y≤﹣1

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3 其中真命题是( A.p2,p3 ) B.p1,p4

C.p1,p2

D.p1,p3

【考点】命题的真假判断与应用;二元一次不等式的几何意义.

【分析】作出不等式组 【解答】解:作出图形如下:

的表示的区域 D,对四个选项逐一分析即可.

由图知,区域 D 为直线 x+y=1 与 x﹣2y=4 相交的上部角型区域, p1:区域 D 在 x+2y≥﹣2 区域的上方,故:? (x,y)∈D,x+2y≥﹣2 成立; p2:在直线 x+2y=2 的右上方和区域 D 重叠的区域内,? (x,y)∈D,x+2y≥2,故 p2: ? (x,y)∈D,x+2y≥2 正确; p3:由图知,区域 D 有部分在直线 x+2y=3 的上方,因此 p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3 错 误; p4:x+2y≤﹣1 的区域(左下方的虚线区域)恒在区域 D 下方,故 p4:? (x,y)∈D,x+2y ≤﹣1 错误; 综上所述,p1、p2 正确; 故选:C.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是 圆的切线到圆心的 距离等于半径 . 【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】利用逆否命题的关系写出结果即可. 【解答】解:命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是:圆的切线 到圆心的距离等于半径. 故答案为:圆的切线到圆心的距离等于半径.

14.命题 p:? x∈R,x2+1>0 的否定是 ? x∈R,x2+1≤0 . 【考点】命题的否定. 【分析】本题中的命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,由规则写出否定命题即可
2 【解答】解:∵命题“? x∈R,x +1>0” 2 2 ∴命题“? x∈R,x +1>0”的否定是“? x∈R,x +1≤0” 2 故答案为:? x∈R,x +1≤0.

15.若不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 a∈R 恒成立.则 x 的取值范围是 {﹣ 2,0} . 【考点】函数恒成立问题.
2 2 2 【分析】将不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 转化为(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4<0,令 f 2 2 (a)=(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4,则 f(a)是可看做为关于 a 的一次函数,所以不等式(a

2 ﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 a∈R 恒成立等价于

,解之即可确

定 x 的取值范围.
2 【解答】解:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0, 2 2 可转化为(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4<0, 2 2 令 f(a)=(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4,

则 f(a)是可看做为关于 a 的一次函数,
2 ∴等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 a∈R 恒成立

等价于 解得,x=0 或 x=﹣2, ∴x 的取值范围是{﹣2,0}. 故答案为:{﹣2,0}.



16.已知命题 p:|x2﹣x|≠6,q:x∈N,且“p 且 q”与“﹁q”都是假命题,则 x 的值为 3 . 【考点】复合命题的真假. 【分析】先根据已知判定出 p 假 q 真,列出方程组组,求出 x 的值.

【解答】解:∵“p 且 q”与“﹁q”都是假命题, 知 p 假 q 真,得 解得 x=3 故答案为:3.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 17. (1)写出命题:“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断

它们的真假;
2 (2)已知集合 P={x|﹣1<x<3},S={x|x +(a+1)x+a<0},且 x∈P 的充要条件是 x∈S,

求实数 a 的值. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;四种命题间的逆否关系. 【分析】 (1)根据四种命题之间的关系和定义直接写出即可; (2)根据充要条件的定义建立方程关系即可求解 a 的值. 【解答】解: (1)命题:“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆命题:
2 若 x=1 或 x=2,则 x ﹣3x+2=0 为真命题. 2 否命题:x ﹣3x+2≠0,则 x≠1 且≠2,为真命题. 2

逆否命题:若 x≠1 且≠2,则 x ﹣3x+2≠0,是真命题.
2 (2)∵集合 P={x|﹣1<x<3},S={x|x +(a+1)x+a<0},且 x∈P 的充要条件是 x∈S, 2 ∴x=﹣1,3 是对应方程 x +(a+1)x+a=0 两个根,

2

∴由根与系数之间的关系得







∴实数 a 的值为﹣3.

18.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)至少有一个整数,它既能被 11 整除,又能被 9 整除; (2)? x∈{x|x>0},x+ ≥2;

(3)? x∈{x|x∈Z},log2x>2. 【考点】特称命题;全称命题. 【分析】通过量词判断(1) (2) (3)是全称命题还是特称命题,并且判断真假即可. 【解答】解: (1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题; (2)命题中含有全称量词“? ”,是全称命题,真命题; (3)命题中含有存在量词“? ”,是特称命题,真命题.

19.设 p:关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0};q:函数 y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为 R,如果 P、q 中有且只有一个正确,求 a 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】分别判断命题 p,q 为真命题时的等价条件,然后利用 P、q 中有且只有一个正确, 求 a 的取值范围.
x 【解答】解:若 x 的不等式 a >1 的解集是{x|x<0},所以 0<a<1.即 p:0<a<1. 2 2 要使函数 y=lg(ax ﹣x+a)的定义域为 R,则 ax ﹣x+a>0 恒成立.

若 a=0,则不等式为 x<0,不满足条件. 要使 ax ﹣x+a>0 恒成立,则 若 P、q 中有且只有一个正确, 则若 p 真 q 假,则 0<a<1 且 a 若 p 假 q 真,则 a≥1 或 a≤0 且 a 综上 a 的取值范围 a≥1 或 0<a ,此时解得 0<a ,此时解得 a≥1. . . .
2

,解得 a

,即 p:a



20.已知命题 p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0) ,若 p 是 q 的充分不必要条 件,求实数 m 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】先解出命题 p,q 下的不等式,得:命题 p:x<﹣2,或 x>10,命题 q:x<1﹣m, 或 x>1+m,由 p 是 q 的充分不必要条件便得: 范围. ,解该不等式组即得 m 的取值

【解答】解:解 x ﹣8x﹣20>0 得 x<﹣2,或 x>10,解 x ﹣2x+1﹣m >0 得 x<1﹣m,或 x>1+m; ∵p 是 q 的充分不必要条件; ∴ ,解得 0<m≤3;

2

2

2

∴实数 m 的取值范围为(0,3].

2 2 21. 已知命题 P: 方程 x ﹣2mx+m=0 没有实数根; 命题 Q: 对于任意的 x∈R, 都有 x +mx+1

≥0. (1)写出命题 Q 的否定“¬Q”; (2)如果 P 或 Q 为真命题,P 且 Q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假;命题的否定. 【分析】 (1)利用命题的否定即可得出;
2 (2)对于命题 P:方程 x ﹣2mx+m=0 没有实数根,则△<0,解得 m 范围.对于命题 Q: 2 对于任意的 x∈R,都有 x +mx+1≥0.则△1≤0.由于 P 或 Q 为真命题,P 且 Q 为假命题,

可得 P,Q 两命题应一真一假,即 P 真 Q 假或 P 假 Q 真.
2 【解答】解: (1)¬Q:? x∈R,x +mx+1<0. 2 2 (2)对于命题 P:方程 x ﹣2mx+m=0 没有实数根,则△=4m ﹣4m<0,解得 0<m<1. 2 2 对于命题 Q:对于任意的 x∈R,都有 x +mx+1≥0.则△1=m ﹣4≤0,解得﹣2≤m≤2.

∵P 或 Q 为真命题,P 且 Q 为假命题, ∴P,Q 两命题应一真一假,即 P 真 Q 假或 P 假 Q 真. 则 或 ,

解得﹣2≤m≤0 或 1≤m≤2.

22.已知函数 f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且 a≠﹣2) . (I)若 f(x)能表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)的和,求 g(x)和 h(x) 的解析式;
2 (Ⅱ)命题 P:函数 f(x)在区间[(a+1) ,+∞)上是增函数;命题 Q:函数 g(x)是减

函数.如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围.

【考点】偶函数;命题的真假判断与应用;函数解析式的求解及常用方法;奇函数. 【分析】 (I)根据题意可知 f(x)=g(x)+h(x) ,再根据奇偶性求出 f(﹣x) ,从而建立 方程组,解之即可求出 g(x)和 h(x)的解析式;
2 (II)先对函数 f(x)进行配方求出对称轴,根据在区间[(a+1) ,+∞)上是增函数,建

立关系式可求出 a 的范围,然后根据函数 g(x)=(a+1)x 是减函数,建立关系求出 a 的范 围,从而分别求出命题 P 为真的条件和命题 Q 为真的条件,最后根据命题 P、Q 有且仅有 一个是真命题求出 a 的范围即可. 【解答】解: (I)∵f(x)=g(x)+h(x) ,g(﹣x)=﹣g(x) ,h(﹣x)=h(x) ∴f(﹣x)=﹣g(x)+h(x)

2 解得 g(x)=(a+1)x,h(x)=x +lg|a+2|

(II)∵函数 f(x)=
2 在区间[(a+1) ,+∞)上是增函数,

+lg|a+2|

∴(a+1) ≥﹣

2

解得 a≥﹣1 或 a≤﹣ 且 a≠﹣2

又由函数 g(x)=(a+1)x 是减函数,得 a+1<0,∴a<﹣1 且 a≠﹣2 ∴命题 P 为真的条件是:a≥﹣1 或 a≤﹣ 且 a≠﹣2 命题 Q 为真的条件是:a<﹣1 且 a≠﹣2. 又∵命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,∴a>﹣


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