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数列高考试题汇总 教师版_图文


数列高考试题汇总 教师版

一、选择题 1. (2013 年普通高等学校大纲版数学(理) )已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ?
?10 (A) ?6 1 ? 3

4 ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 C 3

?

?

(B)

1 ?1 ? 3?10 ? 9

?10 (C) 3 1 ? 3

?

?

?10 (D) 3 1+3

?

?

2. (2013 年普通高等学校考试新课标Ⅱ卷数学 (理) ) 等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? (A) 【答案】C 3. (2013 年高考新课标 1(理) )设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ? ( C ) A.3 B.4 C.5 D.6

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

4. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 【答案】D (B) p3 , p4

p2 : 数列?nan ?是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4 【答案】A

错误!未指定书签。5. (2013 年高考江西卷(理) )等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 6. (2012 年高考(新课标)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A. 7 B. 5 C. ?? D. ??

?



【答案】D【解析】由于 a5 a6 ? a4 a7 ? ?8, 又因为 a4 ? a7 ? 2 ,所以两根分别是 4,-2。求解出 q ? ?2或 ?
3

1 2


7. (2012 年高考(浙江理) )设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误 的是( .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 答案:C 【解析】若首项 a1 ? 0, d ? 0 ,满足{S n}是递增数列,但是有 S1<0 8. (2012 年高考(重庆理) )在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =( A.7 B.15 C.20 D.25 )

答案:B 【解析】由于 s5 ?

5(a1 ? a5 ) 5(a 2 ? a 4 ) ? ? 15 2 2
-1-

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9. (2012 年高考(辽宁理) )在等差数列{an}中,已知 a 4 ?a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 s11 =( A.58 B.88 C.143 D.176



答案:B 【解析】由于, a4 ? a8 ? a1 ? a11 ? 16 因此可得 s11 ?

11(a1 ? a11 ) ? 11* 8 ? 88 2


10. (2012 年高考(福建理) )等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B【解析】由于, a1 ? a5 ? 2a3 ? 10 ,则 a3 ? 5 ,因此可得 公差 d=2 11. (2012 年高考 (大纲理) ) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? A.

?

1 ? ( ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?



100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

答案:A【解析】 s5 ?

5(a1 ? a5 ) ? 15, a5 ? 5, 那么a1 ? 1,由此可得等差数列的通 项a n ? a1 ? (n ? 1)d ? n 将通 2

项“裂项相消”

1 1 1 1 ,故 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 100 s100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 3 4 100 101 101 101
12. (2012 年高考(安徽理) )等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 a7 ? ( A. 4 B. 5
2



C. ?

D. ?

【答案】D 【解析】由于 a3 a11 ? a7 ? 16, 则a7 ? 4或者是? 4。又因为各项都是正数,所以 a7 ? 4 。 13. (2012 年高考(辽宁文) )在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】B 【解析】 ( )

a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
14. (2012 年高考(福建文) )数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos A.1006 B.2012 C.503 D.0

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2012 等于 ( 2



【答案】A 【解析】由 an

? ?2 ? 4 ? 6 ?

n? ,可得 S2012 ? 1? 0 ? 2 ?1 ? 3 ? 0 ? 4 ?1 ? 2 ? 2010 ? 2012 ? 2 ? 503 ? 1006 ? n cos

? 2012 ?1

15.(2012 年高考(大纲文) )已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn ? ( A. 2
n ?1



B. ?

?3? ? ?2?

n ?1

C. ?

?2? ? ?3?

n ?1

D.
-2-

1 2 n ?1

数列高考试题汇总 教师版 答案 B 【解析】由 Sn 当n

? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ?


1 1 S1 ? 2 2

? 2 时,有 Sn ? 2an?1

Sn?1 ? 2an



3 1 3 an , 故该数列是从 第二项起以 为首项 , 以 2 2 2 1 3 ?1 (1 ? ( ) n ?1 ) ( n ? 1) 3 ? 2 an ? ? 1 3 , 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 n?2 3 2 ? ( ) ( n ? 2) 1? ?2 2 2 3 1?1 当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( ) ,故选答案 B 2
①-②可得 an

? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

为公 比的等比数 列 , 故数列通 项 公式为

16. (2012 年高考(北京文) )已知 {an } 为等比数列.下面结论中正确的是 A. a1 ? a3 ? 2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2
【答案】B 【解析】当 时, a3
2 2 2 B. a1 ? a3 ? 2a2





D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2
A 选项错误;当

a1 ? 0, q ? 0 时 , 可 知 a1 ? 0, a3 ? 0,a2 ? 0, 所 以

q ? ?1 时 ,C

选项错误;当 q

?0

? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾.因此根据均值定理可选 B。


17. (2012 年高考安徽文)公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 ? ( A. 1 B. 2 C. ? D. ?
2 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

【答案】选

A

【解析】 a3a11

二、填空题 18. (2012 年高考(课标文) )等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q =_______
【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等比数列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0

得,

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q
*

19. ( 2012 年高考(江西文) )等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 公比不为 1 。若 a1 ? 1 , 且对任意的 n ? N 都有

an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 ? _________________。
【答案】11 【解析】由已知可得公比 q ? ?2, a1

? 1 ,可得 S5 ?

1 ? (?2)5 ? 11 . 1 ? (?2)
1 2 ,则 a1a3 a5 ? _________. 2

20. (2012 年高考(广东文) )(数列)若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

-3-

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解析:

1 1 ?1? 1 2 4 2 . a2 a4 ? a3 ? ,所以 a1a3 a5 ? a3 ? ? ? ? . 4 4 2 ?2?

2

21. (2012 年高考 (北京文) ) 已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ?
【解析】

1 , S ? a3 ,则 a2 ? ________; Sn =________. 2 2 1 1 S2 ? a3 ,所以 a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? ? a2 ? a1 ? d ? 1 , S n ? n(n ? 1) 2 4

22. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 , 则 nS n 的最小值为________. 【答案】 ?49 23 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 招 生 考 试 江 苏 卷 ( 数 学 ) ) 在 正 项 等 比 数 列 {an } 中, a5 ?

1 , a ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值为_____________. 2 6

【答案】12 24. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项 和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____ 【答案】 64 25. (2013 年上海市春季高考数学试卷)若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn = __________. 【答案】

5 2 7 n ? n 6 6

26. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)在等差数列 【答案】 20 27. (2013 年高考陕西卷(理) )观察下列等式:
12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10 照此规律, 第 n 个等式可为_______.

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.

( - 1) n ? 【答案】 1 - 2 ? 3 - ? ?
2 2 2 n -1 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) 2

28. (2013 年 高考新课标 1(理) )若数列{ an }的前 n 项和为 Sn= 【答案】 an = (?2)
n ?1

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3

.

29. (2013 年高考北京卷 (理) ) 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_______;前 n 项和 Sn=___________.
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【答案】2, 2

n ?1

?2

30. (2013 年普通 高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知等比数列 ?an ? 是递增数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,若

a1,a3 是方程 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 的两个根,则 S6 ? ____________.
【答案】63 三、解答题 31. (2013 年高考四川卷(理) )在等差数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项,求数列 {an } 的首项、公差及 前 n 项和. 【答案】解:设该数列公差为 d ,前 n 项和为 s n .由已知,可得

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? .
2

所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 , 解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ?an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ?

3n 2 ? n 2

32 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙 江数学(理)试题)在公差为 d 的等差数列 {an } 中 , 已知 a1 ? 10 , 且

a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列.
(1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1)2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
(Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0? | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ?an ?
②当12 ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ? (a12 ? a13 ? ?an ) 11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? an ) ? 2 ? ? ? 2 2 2

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? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? ? ; 2 n ? 21 n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
33. (2013 年高考湖北卷(理) )已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式 ; (II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. am

【答案】解:(I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,
n ?2

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; am 5

1 1 若q ? 3, ? ? a1 a2

m 1 9 ? ?1? ? 9 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . am 10 ? ? ? 3? ? ? 10

34. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 (理) 试题) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 由

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn . n 2

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 , d ? 2 an ? 2n ? 1 (n ? N * )
Tn ? ? ? n 2n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

n 2
n ?1

?

n ?1 2n ?2
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故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 ) n ? 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1

35. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) ).设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d ? 0) , Sn 是其前 n 项和.记 bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数. n2 ? c

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ); (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 . 【答案】证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d ? 0) , Sn 是其前 n 项和 ∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∴左边 = S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a ∴左边=右边∴原式成立

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

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(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d 1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?

nSn 1 1 3 2 ? ∴ (d1 ? d )n ? (b1 ? d1 ? a ? d )n ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒成立 2 2 2 n ?c

1 ? ?d 1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d 1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d 1 ? 由③式得: c ? 0 法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1)d ? 2a , bn ? . 2 2

d? 3d ? ? ? 2 即: ? a ? ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ? ?
由此: S n ? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ).

2

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 n2 ? c
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故 c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列. 36. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学)等差数 列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数
2

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列,求 ?an ? 的通项式. 【答案】

37. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)已知首项为 为 Sn (n ? N *) , 且 S3

3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和 2

+ a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列.

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ? 【答案】
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

38 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn . 已 知

a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3
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(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 【答案】.(1) 解:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

当 n ? 1 时,上式显然成立.

?an ? n2 , n ? N *

(3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,? 1 1 1 ? ? ? an 12 22

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1? ? 1 1 ? ? n ? 2? ? n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 ? ? a1 a2

?

?

1 1 1 ? 1? ? ? 2 n 1? 3 2 ? 4

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1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 ?

1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

39. ( 2012 年 高 考 ( 天 津 文 ) ) ( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 ?an ? 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , ?bn ? 是 等 比 数 列 , 且

a1 ? b1 , a4 ? b4 ? 27, S4 ? b4 =10 .
(I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)记 Tn =a1b1 +a2b2 +
解:(1) 设等差数列

+anbn ( n ? N * )证明: Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N * , n ? 2)

?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由 a1 ? b1 ? 2 ,得 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q3 , S4 ? 8 ? 6d ,由条件得方程

3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27 ? ?d ? 3 n * 组? ,故 an ? 3n ?1, bn ? 2 (n ? N ) ?? 3 ? ? ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 10

(2)证明;由(1)得

Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? 8 ? 23 ? 2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? 8 ? 24 ?
由①-②得,

? (3n ?1) ? 2n

① ②

? (3n ?1) ? 2n?1

?Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?

? 3 ? 2 n ? (3n ? 1) ? 2 n ?1

6 ? (1 ? 2n ) ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 1? 2

? ?(3n ? 4) ? 2n ?1 ? 8
即 Tn

? 8 ? (3n ? 4) ? 2n?1 ,而当 n ? 2 时, an?1bn?1 ? (3n ? 4) ? 2n?1
? 8 ? an?1bn?1 (n ? N * , n ? 2)
1 . 2

所以 Tn

40. (2012 年高考(陕西文) )已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=(1)若

a

3

=

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4
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(Ⅱ)证明:对任意 k ? N? ,

a ,a
k

k ?2

,

a

k ?1

成等差数列.

n 41. (2012 年高考(江西文) )已知数列 an 的前 n 项和 Sn ? kc ? k (其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6=8a3

? ?

(1)求 an;

(2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

【解析】 (1)当 n 则 an

? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
2

a6 c6 ? c5 ? ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a =4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c3 ? c 2
当 n=1 时, a1 综上所述 an (2)

? S1 ? 2

? 2n (n ? N * )

nan ? n2n ,则
? n2 n (1) ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)
所以 Tn (1)-(2)得

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ? n2n?1

? 2 ? (n ?1)2n?1

42. (2012 年高考(湖北文) )已知等差数列 ?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (1) 求等差数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和.
解析:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,

? ?

由题意得 ?

?3a1 ? 3d ? ? 3, ?a1 ? 2, ?a1 ? ?4, 解得 ? 或? d )? 8. ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a 1 ? 2

所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 , 或

an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 . 故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 .
(Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a 3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a 3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列, - 12 -

数列高考试题汇总 教师版 满 足 条 件 . 故 | an |?| 3n ? 7 |? ?

??3n ? 7, n ? 1, 2, ? 3n ? 7, n ? 3.

记 数 列 { | an | } 的 前 n 项 和 为 Sn . 当

n ? 1 时 , S1 ?| a1 |? 4 ; 当 n ? 2

时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,

Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ?

? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ?

? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2
?4, ? n ? 1, 11 n2 ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2

综上, Sn ? ? 3

43. (2012 年高考(大纲文) )已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.
.解:(1)由 a1

n?2 an . 3

? 1与 Sn ?

n?2 an 可得 3

S2 ?

2?2 3? 2 2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 , S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 3

故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 . (2)当 n

n?2 n ?1 an ① Sn ?1 ? an ?1 ② 3 3 n?2 n ?1 an ? an ?1 即 ①-②可得 S n ? S n ?1 ? 3 3
? 2 时, S n ?

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

故有 an

?

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a2 n ?1 n ? a1 ? ? ? a1 n ?1 n ? 2

3 n2 ? n ? ?1 ? 1 2



12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2

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44.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且有 Sn ? an ? 1 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? (2n ? 1)an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

(2)错位相减法。 Tn ? 3 ?

2n ? 3 2n 2 an ? 1(n ? N * ) ; (1)求数列 ?an ? 的通项公式; 3

45.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ?

(2)若数列 n an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 。

?

?

46.已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项;

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(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? an log 1 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。
2

47. 已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? 7, a5 ? 16 。数列 ?bn ? 是各项为正数的数列,且 b1 ? 2 ,点 (log2 bn , log2 bn?1 ) 在 直线 y=x+1 上; (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn 。

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48.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 ; (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log3 a1 ? log 3 a2 ?... ? log 3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和。 ? bn ?

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49.已知数列 1,3,6,?的各项是由一个等比数列 ?an ? 和一个等差数列 ?bn ? 的对应项相加而得到,其中等差数列的首项 为 0; (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn 。

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