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二轮专题 不等式

高考专题训练(五)不等式 一、选择题: 1. (2013· 浙江卷)设集合 S={x|x>-2}, T={x|x2+3x-4≤0}, 则(? RS)∪ T=( A.(-2,1] B.(-∞,-4]C.(-∞,1] D.[1,+∞) ) D.2a>2b ) )

值为 12,则实数 k=________. 1 |a| 8.(2013· 天津卷)设 a+b=2,b>0,则当 a=________时,2|a|+ b 取得最小值. 9.(2013· 全国卷Ⅱ )设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: 1 (1)ab+bc+ac≤3; a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥1.

2.已知 a<b,则下列不等式正确的是( 1 1 A.a>b B.a2>b2 C.2-a>2-b

1 1 3.(2013· 天津一模)已知 a>0,b>0,则a+b+2 ab的最小值是( A.2 B.2 2 C.4 D.5

4.(2013· 天津卷)设变量 x,y

?3x+y-6≥0, 满足约束条件?x-y-2≤0, ?y-3≤0,
D.2

则目标函数 z=y

a-2 1 1 10.已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-2ax-3,g(a)=6a3+5a-7. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递增区间;

-2x 的最小值为( A.-7 B.-4

) C.1

(2)若函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调,且 x∈ [-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立, 求实数 a 的取值范围. 表示的平面区域内存

5.(2013· 北京卷)设关于 x,y 的不等式组?x+m<0,

?

2x-y+1>0,

?y-m>0

在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是( 4? 1? ? ? A.?-∞,3? B.?-∞,3? ? ? ? ? 2? ? C.?-∞,-3? ? ? 5? ? D.?-∞,-3? ? ?

)

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.将答案填在题中横线上. x+1 6.不等式 x ≤3 的解集为________. 高考专题训练(五)不等式 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选 若 z 的最大 项中,只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内. 1. (2013· 浙江卷)设集合 S={x|x>-2}, T={x|x2+3x-4≤0}, 则(? RS)∪ T =(
1

?x+y-2≥0, 7.(2013· 浙江卷)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ?2x-y-4≤0,

)

A.(-2,1] -4] C.(-∞,1] ∞) 解析

B.(-∞, 4.(2013· 天津卷)设变量 x,y D.[1,+ -2x 的最小值为( )

?3x+y-6≥0, 满足约束条件?x-y-2≤0, ?y-3≤0,
B.-4 D.2

则目标函数 z=y

T={x|-4≤x≤1},? RS={x|x≤-2},由集合

A.-7 C.1 解析

的运算性质,得(? RS)∪ T={x|x≤1}. 答案 C ) B.a2>b2 D.2a>2b

如图当目标函数 y=2x+z 经过点(5,3)时,z 取得最小值-7.

2.已知 a<b,则下列不等式正确的是( 1 1 A.a>b C.2-a>2-b 解析 答案

答案

A 组

5.(2013· 北京卷)设关于 x,y 的不等式

∵ a<b,∴ -a>-b,∴ 2-a>2-b. C )

?2x-y+1>0, ?x+m<0, ?y-m>0
围是( )

表示的平面区域内存在



1 1 3.(2013· 天津一模)已知 a>0,b>0,则a+b+2 ab的最小值是( A.2 C.4 解析 1 1 a+b+2 ab≥2 1 ab+2 ab≥2 B.2 2 D.5 2 1 2 ab=4. ab·

P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值



4? ? A.?-∞,3? ? ? 2? ? C.?-∞,-3? ? ?

1? ? B.?-∞,3? ? ? 5? ? D.?-∞,-3? ? ?

1 1 ? ?a=b, 当且仅当? 1 ? ? ab=

即 a=b=1 时,等号成立, ab,

解析

由题意可知 x-2y=2 与不等式组所表示的平面区域必须存在公共点,可

2 得 m<0 且点(-m,m)在直线 x-2y-2=0 的下方,故-m-2m-2>0,即 m<-3. 答案 C

1 1 因此a+b+2 ab的最小值为 4. 答案 C

xy 6.(2013· 山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 z 取得最大值 2 1 2 时, x+ y- z 的最大值为(
2

)

A.0 9 C.4 解析

B.1 D.3 xy xy 1 1 x 4y z =x2-3xy+4y2=x 4y ≤4-3,当且仅当y= x 时即 x=2y 时“=”成 y+ x -3
2

2

b |a| a 1 3 · = + 1≥ - + 1 = 4|a| b 4|a| 4 4, b |a| 当且仅当4|a|= b ,a<0 时等号成立,此时 a=-2. 答案 -2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 ?1 ? 立,此时 z=2y ,x+y- z =-y2+y =-?y-1?2+1,故当y =1,即 y=1 时 x+ y- z 有 ? ? 最大值 1,故选 B. 答案 B

10.(2013· 全国卷Ⅱ )设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: 1 (1)ab+bc+ac≤3; a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥1. 解 (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.将答案填在题中横线上. x+1 7.不等式 x ≤3 的解集为________. 解析 答案 x+1 -2x+1 1 由 x ≤3 得 x ≤0,解得 x<0 或 x≥2.
? ? ? 1 ?x?x<0,或x≥ 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤3. a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), 若 z 的最大 a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 所以 + + ≥1. b c a a-2 1 1 11.已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-2ax-3,g(a)=6a3+5a-7. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调,且 x∈ [-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立, 求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)当 a=1 时,f(x)=3x3-2x2-2x-3,定义域为 R,f′(x)=x2-x-2=(x-

?x+y-2≥0, 8.(2013· 浙江卷)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ?2x-y-4≤0,
值为 12,则实数 k=________. 解析

画出线性约束条件满足的可行域,易知在点(4,4)处 z=kx+y 取得最大值,

4k+4=12,解得 k=2. 答案 2

1 |a| 9.(2013· 天津卷)设 a+b=2,b>0,则当 a=________时,2|a|+ b 取得最小值. 解析 1 |a| 2 |a| a+b |a| a b |a| a 因为 a+b=2,b>0,2|a|+ b =4|a|+ b = 4|a| + b =4|a|+4|a|+ b ≥4|a|+

2)(x+1).
3

令 f′(x)>0,得 x<-1 或 x>2. ∴ 函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(2,+∞). (2)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-a. ∵ 函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调, ∴ -a∈ (-2,0),即 0<a<2. 又∵ 函数在(-2,-a)上,f′(x)>0,在(-a,0)上,f′(x)<0,当 x 变化时,f′(x)与 f(x) 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) f(-2) -2 (-2,-a) + -a 0 极大值 (-a,0) - ↘ f(0) 0

∴ f(x)在[-2,0]上有唯一的极大值点 x=-a. ∴ f(x)在[-2,0]上的最大值为 f(-a). ∵ 当 x∈ [-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立,等价于 f(-a)<g(a), a-2 2 1 1 ∴ -3a3+ 2 · a +2a2-3<6a3+5a-7. 1 3 2 1 3 ∴ 6a +a -3<6a +5a-7. ∴ a2-5a+4<0,解得 1<a<4. 综上所述,a 的取值范围是(1,2).

4


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