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2011暑期高一第07讲函数的奇偶性(学生卷)

第七讲

函数的奇偶性

【知识要点】 1.一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就叫做偶函 数.如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就叫做奇函数. 判断函数奇偶性的步骤: (1)先判断定义域是否关于原点对称 (2)再根据定义是否满足 f (? x) ? f ( x) 或者 f (? x) ? ? f ( x)

2.奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数; 偶函数的图象关于 y 轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数;

【典型例题】 题型一:函数奇偶性的判断 例题:判断以下函数的奇偶性:

3x ? 4 x?2 ② f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|
① f ( x) ?

? ? x 2 ? x, x ? 0 ? ③ f ( x) ? ? 2 ? x ? x, x ? 0 ?

题型二:奇偶性的应用 例题:若 f ( x) ? (m -1) x2 ? mx ? 3( x ? R) 是偶函数,则 f ( x ) 的增区间是_____________;

题型三:函数奇偶性与解析式 例题:设函数 F ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, F ? x ? ? x ? x ,求 F ? x ? 在 R 上的表达式.
2

题型四:函数性质综合 例题:已知函数 f ? x ? 对一切实数 x, y ? R 都有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,又

f ? 3? ? ?2
(1) 试判定该函数的奇偶性; (2) 是判断该函数在 R 上的奇偶性; (3)求 f ? x ? 在 ? ?12,12? 上的最大值和最小值.

【课堂巩固】 1.函数 f ? x ? ? x ( A.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 2.函数 f ? x ? ? x ? 5x (
2

) B.是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

) B.是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 ) D. y ? x3

A.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 3.下列函数是偶函数的是( A. y ? x , x ???1, 2?
2

B. y ? x2 ? x, x ? R C. y ? 2 x ?1, x ? R

4.函数 y ?

1 ? x2 是( | x ? 3 | ?3

) (B)偶函数不是奇函数 (D)非奇非偶函数

(A)奇函数不是偶函数 (C)奇函数又是偶函数
2

5.函数 y ? x ? x ? a ? x ? R ? 为奇函数,则 a 等于( A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? ?1 D. a ? 1



6.如果奇函数 f ? x ? 在区间 ?3,7? 上是增函数,且最小值为 5,那么 f ? x ? 在区间 ? ?7, ?3? 上是( A 增函数,且最小值为-5 C 减函数,且最小值为-5 B.增函数,且最大值为-5 D.减函数,且最大值为-5



7.已知 f ? x ? ? ax ? bx ? 8 ,且 f ? ?2? ? 10 ,则 f ? 2 ? 的值为(
3



A.-26

B.-18

C.-10

D.10

8.若 f ( x ) 是奇函数,且在(-∞,0)内是增函数,又 f (?2) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集是( (A) (?2,0) ? (0, 2) (C) (??, ?2) ? (2, ??) (B) (??, ?2) ? (0,2) (D) (?2,0) ? (2, ??)



9.已知函数 f ? x ? ? x ?1 ,则 f ? x ? 的图象关于_______对称.
2

10.若函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? 2? 为偶函数,则 a ? ____________ .

11.判断下列函数的奇偶性:

2 ______________________; 2 ?1 x x ? (a ? 0, a ? 1) __________________; (2) f ( x) ? x a ?1 2
(1) f ( x) ? 1 ?
x

a ? 2x ? a ? 2 12.若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a=______________; 2x ? 1
13.若奇函数 y ? f ? x ? ? x ? R且x ? 0? .当 x? ? 0, ??? 时, f ? x ? ? x ?1,求使 f ? x ?1? ? 0 的 x 的取值 范围.

14.设函数 f ? x ? ? x ? x ? 2 ?1, x ? R .
2

(1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性;

(2)求函数 f ? x ? 的最小值.

15. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对任意的 a, b ? R 都满足 f ? ab? ? af ?b? ? bf ? a ? , (1)求 f ? 0? , f ?1? 的值; (2)判断 f ? x ? 的奇偶性,


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