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第二章 2.7 函数的图像


第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.7 函数的图象

内容 索引

基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函 数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点 连线,画出函数的图象.

2.图象变换
(1)平移变换 f(x)+k

f(x+h)

f(x-h)

f(x)-k
答案

(2)对称变换 关于x轴对称 -f(x) ; ①y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=_______ 关于y轴对称 f(-x); ②y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ―→y=______ 关于原点对称 f(-x) ; ③y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=- _______ 关于y=x对称 logax(a>0且a≠1) ④y=a (a>0 且 a≠1)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=_________________.
x

保留x轴上方图象 |f(x)| ⑤y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=_____. 将x轴下方图象翻折上去
答案

保留y轴右边图象,并作其 f(|x|) . ⑥y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y = _____ 关于y轴对称的图象 (3)伸缩变换
1 a>1,横坐标缩短为原来的a倍,纵坐标不变 f(ax) . ①y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y = _____ 0<a<1,横坐标伸长为原来的1 a倍,纵坐标不变

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变 af(x) ②y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y = _____ . 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变

答案

知识拓展
1. 左右平移仅仅是相对 x 而言的,即发生变化的只是 x 本身,利用 “左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再 进行变换. 2. 上下平移仅仅是相对 y 而言的,即发生变化的只是 y 本身,利用 “ 上加下减 ”进行操作.但平时我们是对 y=f(x)中的f(x) 进行操作, 满足“上加下减”.

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( × ) (2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( × ) (3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( × ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线 x=1对称.( √ ) (5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1) 的图象.( × )
答案

2

考点自测
? π π? ? ? - , x,x∈? 2 2?的图象大致是( ? ?

1.函数 f(x)=2x-4sin

)

1 2 3 4 5

解析答案

2.函数f(x) 的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex关于y
轴对称,则f(x)的解析式为( D )

A.f(x)=ex+1
C.f(x)=e-x+1

B.f(x)=ex-1
D.f(x)=e-x-1

解析

与y=ex图象关于y轴对称的函数为y=e-x.

依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得y=e-x的图象.

∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位得到.
∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
1 2 3 4 5
解析答案

3.已知函数f(x)=e|ln x|,则函数y=f(x+1)的大致图象为( D )

解析

当x≥1时,f(x)=eln x=x,其图象为一条直线;
-ln x

当 0<x<1 时,f(x)=e

1 =x.

函数y=f(x+1)的图象为函数y=f(x)图象向左平移1个单位长度后得到的.
故选D.
1 2 3 4 5
解析答案

4.点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为 l的图形运动一周, O, P两点连 线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图,那么点P所走的图形是( C )

1 2 3 4 5

答案

? ?log2x?x>0?, 5.已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 f(x)-a=0 有两个实根, ? ?2 ?x≤0?,

(0,1] 则实数 a 的范围是________. 解析 当x≤0时,0<2x≤1,

所以由图象可知要使方程f(x)-a=0有两个实根,

即函数y=f(x)与y=a的图象有两个交点,
所以由图象可知0<a≤1.

1 2 3 4 5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

作函数的图

例1 作出下列函数的图象:
(1)y=|lg x|;

? ?lg x,x≥1, y=|lg x|=? ? ?-lg x,0<x<1,

作出图象如图1.

解析答案

x+2 (2)y= ; x-1
解 3 3 因 y=1+ ,先作出 y=x的图象, x-1

将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,

x+2 即得 y= 的图象,如图 2. x-1

解析答案

(3)y=x2-2|x|-1.

2 ? x ? -2x-1 y=? 2 ? ?x +2x-1

?x≥0?, ?x<0?.

图象如图3.

解析答案

引申探究
作函数y=|x2-2x-1|的图象.
2 ? x ? -2x-1 ?x≥1+ 2或x≤1- 2? y=? 2 如下图 ? ?-x +2x+1 ?1- 2<x<1+ 2?



思维升华

解析答案

跟踪训练1
作出下列函数的图象.

(1)y=|x-2|· (x+1);

解析答案

x+2 (2)y= . x+3



x+2 1 1 y= =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个 x x+3 x+3

单位,再向上平移 1 个单位得到,如下图所示.

解析答案

题型二

识图与辨图
(1)(2015· 课标全国 Ⅱ) 如图,长方形 ABCD 的边

例2

AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之 和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )

解析答案

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x) 的图象为( )

解析答案

跟踪训练2
(1)(2015· 浙江)函数 ( D )
? 1? ? ? f(x)=?x- x?cos ? ?

x (-π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为

解析

1 ∵f(x)=(x- )cos x,∴f(-x)=-f(x), x

1 ∴f(x)为奇函数,排除 A,B;当 x=π 时,f(x)= -π<0,排除 C.故选 D. π
解析答案

(2)现有四个函数:①y=xsin x;②y=xcos x;③y=x|cos x|;④y=x· 2x

的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函
数序号安排正确的一组是( )

A.④①②③ C.③④②①

B.①④③② D.①④②③
解析答案

题型三

函数图象的应用

(1)(2015· 安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x 1 - -a|-1的图象只有一个交点,则a的值为________. 2 例3 解析 ∵|x-a|≥0恒成立,

∴要使y=2a与y=|x-a|-1只有一个交点,必有2a=-1,

1 解得 a=- . 2

解析答案

? ?sin πx,0≤x≤1, (2)已知函数 f(x)=? 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b) ? ?log2 015x,x>1.

=f(c),则 a+b+c 的取值范围是(

)

A.(1,2 015) C.[2,2 016]

B.(1,2 016) D.(2,2 016)

解析答案

跟踪训练3
1 (1)设定义在[ -1,7] 上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则关于函数 y= f?x? 的单调区间表述正确的是( )

A.在[-1,1]上单调递增 B.在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增 C.在[5,7]上单调递增 D.在[3,5]上单调递增
解析答案

(2)若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解,则实数a的取值范围 是________. 解析 在同一坐标系中画出函数f(x)=2-x2,
? ? 9 ? ? - , 2 ? ? 4 ? ?

g(x)=|x-a|的图象,
如图所示.

若a≤0,则其临界情况为折线g(x)=|x-a|与抛物线f(x)=2-x2相切.
由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0, 9 由 Δ=1+4· (a+2)=0,解得 a=-4;

若a>0,则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2), ? ? 9 ? ? 此时 a=2.结合图象可知,实数 a 的取值范围是?-4,2?. ? ?
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高频小考点

高频小考点

2.高考中的函数图象及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图象 典例 函数f(x)=2x+sin x的部分图象可能是( )

思维点拨
定函数图象.

根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确

思维点拨

解析答案

温馨提醒

二、函数图象的变换问题
典例 若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致

为(

)

思维点拨

解析答案

温馨提醒

三、函数图象的应用
典例 (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )

A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)

C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

思维点拨 画出函数f(x)的图象观察.

思维点拨

解析答案

(2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒
成立,则实数a的取值范围是________.

思维点拨 利用函数f(x),g(x)图象的位臵确定a的范围.

思维点拨

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数 图象的位臵和形状:(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、 周期性、单调性等;(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、 伸缩变换等. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对 称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意

图象与函数解析式中参数的关系.

方法与技巧

(2)用图

函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供
了 “ 形 ” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要

工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究含参数
的方程或不等式解集的情况.

失误与防范

1.函数图象平移的方向和大小: 函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言,如从 f(-2x)的图象到 1 f(-2x+1)的图象是向右平移2个单位. 2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合 思想的运用.

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练出高分

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1.(2014· 浙江)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图
象可能是( )

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2.为了得到函数 y =2x- 3 -1 的图象,只需把函数 y=2x的图象上所有
的点( A )

A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
向右平移3个单位长度 y=2x-3 向下平移1个单位长度 y= y=2x ————————— → —————————→

解析

2x-3-1.故选A.
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m 1 3.直线 l:y= n x-n的图象经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件 是( B )

A.m>1且n<1 C.m>0且n<0

B.mn<0 D.m<0且n<0

m 1 解析 因为直线 y= x- 经过第一、二、四象限, n n m 1 故 n <0 且-n>0,即 m>0 且 n<0,
但此为充要条件,因此其一个必要不充分条件为mn<0.故选B.
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4.已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实 根,则实数 k 的取值范围是( B ) 1 A.(0, ) 2 1 B.( ,1) 2 C.(1,2) D.(2,+∞)

解析

先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,

当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,
1 当直线 g(x)=kx 过 A 点时斜率为2,
1 故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为( ,1). 2
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5.(2015· 北京)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,
则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( )

A.{x|-1<x≤0}
B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|-1<x≤1}
D.{x|-1<x≤2}

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(2,8] 6.已知函数 f(x)的图象如图所示, 则函数 g ? x ?=log 2 f ? x ? 的定义域是________.

解析

当 f(x)>0 时,函数 g ? x ?=log 2 f ? x ? 有意义,

由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8].

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7.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2, 6 10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为________. 解析 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.

令x+2=10-x,得x=4. 当x=4时,f(x)取最大值, f(4)=6.

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8. 设 f(x) = |lg(x - 1)| , 若 0<a<b , 且 f(a) = f(b) , 则 ab 的 取 值 范 围 是 (4,+∞) ______________. 解析 由于函数f(x)=|lg(x-1)|的图象如图所示. (由于a<b),所以ab>4. 由f(a)=f(b)可得-lg(a-1)=lg(b-1), 解得ab=a+b> 2 ab

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x 9.已知函数 f(x)= . 1+x

(1)画出f(x)的草图;



1 函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=-x的图象向左平移 1 个单位后,
再向上平移1个单位得到的,图象如图所示.

x 1 f(x)= =1- , 1+x x+1

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(2)指出f(x)的单调区间. 解 由图象可以看出,函数f(x)有两个单调递增区间:

(-∞,-1),(-1,+∞).

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10.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.

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11.函数 y=f(x)的图象如图所示, 则函数 y= log 1 f ? x ? 图象大致是(
2



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ax+b 12.(2015· 安徽)函数 f(x)= 2的图象如图所示,则下列结论成立的 ?x+c? 是( )

A.a>0,b>0,c<0
B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0
D.a<0,b<0,c<0
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13.设函数y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间
(-∞,0)是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x-1)f(x)≤0的解集为

_______________________.

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?2 ? , x ≥ 2 , 14.已知函数 f(x)=?x 3 ? ? x - 1 ? , x<2. ?

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不

(0,1) 同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示, 结合图象可以看出, 若f(x)=k有两个不同的实根, 也即函数y=f(x)的图象与y=k有两个不同的交点, 故k的取值范围为(0,1).
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15.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x 1 +2|.若函数 y=f(x)-a 在区间[ -3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是________.

解析答案

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本课结束
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