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2015届高考数学二轮复习 专题检测10 化解抽象函数快捷有效的几个途径

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化解抽象函数快捷有效的几个途径

1.设 f(x)为偶函数,对于任意的 x>0,都有 f(2+x)=-2f(2-x),已知 f(-1)=4,那么

f(-3)=________.
答案 -8 解析 ∵f(x)为偶函数, ∴f(1)=f(-1)=4,f(-3)=f(3), 当 x=1 时,f(2+1)=(-2)·f(2-1), ∴f(3)=(-2)×4=-8,∴f(-3)=-8. 2.对于函数 y=f(x),x∈R, “y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ________条件. 答案 必要不充分 解析 若函数 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x).此时|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, 因此 y=|f(x)|是偶函数,其图象关于 y 轴对称,但当 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称时, 未必能推出 y=f(x)为奇函数,故“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数” 的必要不充分条件. 3. 若 f(x)为奇函数, 且在(-∞, 0)内是增函数, 又 f(-2)=0, 则 xf(x)<0 的解集为________. 答案 (-2,0)∪(0,2) 解析 因为 f(x)为奇函数,且 f(-2)=0, 所以 f(2)=0.

作出 f(x)大致图象,如图所示,由图象可知: 当-2<x<0 时,f(x)>0, 所以 xf(x)<0; 当 0<x<2 时,f(x)<0, 所以 xf(x)<0. 故不等式 xf(x)<0 的解集为(-2,0)∪(0,2).

1

1 4.已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 014) 4 =________. 1 答案 - 4 1 解析 令 x=1,y=0,由已知得 f(0)= , 2 1 2 1 2 令 x=y=1,则 f(2)=4f (1)-f(0)=4×( ) - 4 2 1 =- . 4 取 x=n,y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),① 同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n),② 联立①②,得 f(n+2)=-f(n-1), 所以 f(n+3)=-f(n),f(n+6)=-f(n+3)=f(n), 所以函数 f(x)的周期为 6,

f(2 014)=f(335×6+4)=f(4)
1 1 2 =4f (2)-f(0)=- .故填- . 4 4 5. 已知函数 y=f(x)和 y=g(x)的定义域及值域均为[-a, a](常数 a>0), 其图象如图所示, 则方程 f(g(x))=0 根的个数为________.

答案 6 解析 由 f(x)的图象可知方程 f(x)=0 有三个根,分别设为 x1,x2,x3,因为 f(g(x))=0, 所以 g(x)=x1,g(x)=x2 或 g(x)=x3,因为-a<x1<a,g(x)∈[-a,a],所以由 g(x)的图象 可知 y=x1 与 y=g(x)的图象有两个交点,即方程 g(x)=x1 有两个根,同理 g(x)=x2,g(x) =x3 各有两个根,所以方程 f(g(x))=0 有 6 个根. 6.如图,偶函数 f(x)的图象如字母 M,奇函数 g(x)的图象如字母 N,若方程 f(f(x))=0,

f(g(x))=0 的实根个数分别为 m,n,则 m+n=________.

2

答案 12 解析 由图象可知偶函数 f(x)的 1 个零点是 0, 另外 2 个零点分别在区间(-2, -1)与(1,2) 中, 值域是[-1,1]; 奇函数 g(x)的 1 个零点是 0, 另外 2 个零点分别在区间(-1,0)与(0,1) 中,值域是[-2,2].①只有当 f(x)=0 时,f(f(x))=0,故实根个数 m=3.②存在 3 个实 数 x,使 g(x)=0,f(g(x))=0;存在 3 个实数 x,使 g(x)∈(-2,-1),f(g(x))=0;存 在 3 个实数 x,使 g(x)∈(1,2),f(g(x))=0,故实根个数 n=9.从而 m+n=12. 7.若对于定义在 R 上的函数 f(x),存在常数 t(t∈R),使得 f(x+t)+tf(x)=0 对任意实 数 x 均成立,则称 f(x)是 t 阶回旋函数,则下列命题正确的是________.(填序号) 1 x ①f(x)=2 是- 阶回旋函数; 2 ②f(x)=sin(π x)是 1 阶回旋函数; ③f(x)=x 是 1 阶回旋函数; ④f(x)=logax 是 0 阶回旋函数. 答案 ② 解析 对于函数 f(x)=sin π x,由诱导公式可知当 t=1 时满足 f(x+1)+f(x)=sin π (x +1)+sin π x=0,故 f(x)=sin π x 是 1 阶回旋函数,②正确. 8.设 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数, 给出下列关于函数 y=f(x)的判断: ①y=f(x)是周期函数; ②y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③y=f(x)在[0,1]上是增函数; 1 ④f( )=0. 2 其中正确判断的序号是________. 答案 ①②④ 解析 由 f(x+1)=-f(x)可得 f(x+2)=f(x),①正确;因为 y=f(x)是定义在 R 上的偶 1 函数, 可知 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ②正确; 显然③错误; 由 f(- +1)=-f(- 2
3
2

1 1 1 1 )=-f( )=f( )得 f( )=0,④正确. 2 2 2 2 9. 函数 f(x)的定义域为 A, 若 x1, x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x)为单函数. 例 如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ②③ 解析 当 f(x)=x 时,不妨设 f(x1)=f(x2)=4,有 x1=2,x2=-2,此时 x1≠x2,故①不正 确;由 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2 可知,当 x1≠x2 时,f(x1)≠f(x2),故②正确;若 b∈B,b 有两个原象时,不妨设为 a1,a2,可知 a1≠a2,但 f(a1)=f(a2),与题中条件矛盾,故③正 确;函数 f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调,因而 f(x)不一定是单函 数,故④不正确.故答案为②③. 10.(2013·湖南)设函数 f(x)=a +b -c ,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,
x x x
2 2

c)∈M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为________.
(2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是____________.(写出所有正确结 论的序号) ①? x∈(-∞,1),f(x)>0; ②? x∈R,使 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则? x∈(1,2),使 f(x)=0. 答案 (1){x|0<x≤1} (2)①②③
x x x

解析 (1)∵c>a>0,c>b>0,a=b 且 a,b,c 不能构成三角形的三边, ∴0<2a≤c,∴ ≥2. 令 f(x)=0 得 2a =c ,即? ? =2. a
x x

c a

?c?x ? ?

c 1 c ∴x=log 2.∴ =log2 ≥1. a x a
∴0<x≤1. (2)①∵a,b,c 是三角形的三条边长,∴a+b>c.
4

∵c>a>0,c>b>0,∴0< <1,0< <1. ∴当 x∈(-∞,1)时,

a c

b c

??a? ?b? ? f(x)=ax+bx-cx=cx?? ?x+? ?x-1? ??c? ?c? ? a b a + b - c ? x x? >c ? + -1?=c · >0. c ?c c ?
∴? x∈(-∞,1),f(x)>0.故①正确. ②令 a=2,b=3,c=4,则 a,b,c 可以构成三角形. 但 a =4,b =9,c =16 却不能构成三角形,故②正确. ③∵c>a,c>b,且△ABC 为钝角三角形, ∴a +b -c <0, 又 f(1)=a+b-c>0,f(2)=a +b -c <0, ∴函数 f(x)在(1,2)上存在零点,故③正确. 11. 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2), 且当 x>1 时, f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解 (1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x2)=0,故 f(1)=0. (2)任取 x1、x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1. ∵当 x>1 时,f(x)<0. ∴f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,有 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. (3)由 f( )=f(x1)-f(x2), 9 得 f( )=f(9)-f(3). 3 而 f(3)=-1,∴f(9)=-2. ∵函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴原不等式为 f(|x|)<f(9). ∴|x|>9,∴x<-9 或 x>9, ∴不等式的解集为{x|x<-9 或 x>9}.
5
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x1 x2

x1 x2

x1 x2

x1 x2

12.设集合 Pn={1,2,?,n},n∈N ,记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数: ①A? Pn;②若 x∈A,则 2x?A; ③若 x∈?PnA,则 2x??PnA. (1)求 f(4); (2)求 f(n)的解析式(用 n 表示). 解 (1)当 n=4 时,符合条件的集合 A 为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故 f(4)=4. (2)任取偶数 x∈Pn,将 x 除以 2,若商仍为偶数,再除以 2,?,经过 k 次以后,商必为奇 数,此时记商为 m,于是 x=m·2 ,其中 m 为奇数,k∈N . 由条件知,若 m∈A,则 x∈A?k 为偶数; 若 m?A,则 x∈A?k 为奇数. 于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定. 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合,因此 f(n)等于 Qn 的子集个数. n? n+1? 当 n 为偶数(或奇数)时,Pn 中奇数的个数是 ?或 , 2 ? 2? ?
k
*

*

?2 所以 f(n)=? ?2

n 2

,n为偶数, ,n为奇数.

n ?1 2

6


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