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2014届高考数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质教学案


三角函数的图象与性质
考纲要求 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及 ? π π? 与 x 轴的交点等),了解正切函数在区间?- , ?内的单调性. ? 2 2? 知识梳理: 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x

y=tan x

图象

定义域

x∈R

x∈R

x∈R 且 x≠ +

π 2 kπ ,k∈Z

在区间______上递增 k∈Z; 在区间______上递 k∈Z; 单调性 在区间______上递减,k∈Z x=________(k∈Z)时, y max =1; x=________(k∈Z)时, y min =-1 在区间______上递,k∈Z x=_______ _(k∈Z)时, y max =1; x=_______(k∈Z)时, y min =-1 ______ ________,图像关于 _____对称 ______

在区间______上递增, k∈Z

最值

无最值

值域 奇偶性 最小正 周期

y ? ______
_______,图像关于 ____对称 ______

______ _______,图像关于 _____对称 ______

2.函数的对称性: (1)通过观察图像,试着写出正弦函数的两条对称轴:________、_______ 结论: 正弦函数以及余弦函数的图像有____条对称轴, 并且与函数图像交于图像的最___ 点或最____点。每两条对称轴之间相差_____个周期。 余弦函数具有类似的性质。 正切函数没有对称轴。 (2)通过观察图像,试着写出正弦函数的两个对称中心:________、________ 结论:正弦函数以及余弦函数的图像有____个对称中心,这些对称中心恰好是图像与 x 轴的交点。每两个对称轴之间相差_____个周期。 余弦函数具有类似的性质(k 是任意整数)。 对 称 性 对称 中心 对称 轴 ( k? ,0)

(k? ?
X= k?

?
2

,0)

(

X=

?
2

k? ,0) 2

? k?

无对称轴

1

对应练习:

? π? 1.函数 y=cos?x+ ?,x∈R( ). 3? ? A.是奇函 数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数_ D.既是奇函数又是偶函数 ?π ? 2.下列函数中,在? ,π ?上是增函数的是( ?2 ? A.y=sin x B.y=cos x C.y=sin 2x D.y=cos 2x

).

π? ? 3.函数 y=cos?2x+ ?的图象的一条对称轴方程是( 2? ? π A.x=- 2 π B.x=- 4 π C.x= 8 D.x=π

).

π π 4.函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图象的相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 4 4

f? ?的值是( 4
A.0 C.-1

?π ? ? ?

). B.1 π D. 4 ).

1? ? 5. 已知函数 y=sin x 的定义域为[a, b], 值域为?-1, ?, 则 b-a 的值不可能是( 2 ? ? π 2π A. B. 3 3 4π C.π D. 3

【例 2-1】 已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ), x∈R, 其中 ω >0, -π <φ ≤π .若 f(x) π 的最小正周期为 6π ,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( ). 2 A.f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数 C.f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 D.f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 ? ? π? 2?π 【例 2-2】设 a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos ? -x?满足 f?- ?=f(0), ?2 ? ? 3? ?π 11π ?上的最大值和最小值. 求函数 f(x)在? , 24 ? ?4 ? 方法提炼
2

1.熟记 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基 础. 2.求形如 y=Asin(ω x+φ )+k 的单调区间时,只需把 ω x+φ 看作一个整体代入 y =sin x 的相应单调区间即可, 注意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数. 求 y=Acos(ω x+φ ) +k 和 y=Atan(ω x+φ )+k 的单调区间类似. 请做演练巩固提升 3 三 、三角函数的周期性和奇偶性及对称性 π? ? 【例 3-1】设函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?,给出以下四个论断: 2? ? ①它的最小正周期为 π ; π ②它的图象关于直线 x= 成轴对称图形; 12 π ? ? ③它的图象关于点? ,0?成中心对称图形; ?3 ? ? π ? ④在区间?- ,0?上是增函数. ? 6 ? 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条件 , 另 两 个 论 断 作 为 结论 , 写 出 你 认 为 正 确 的一 个 命 题 __________(用序号表示即可). 2 2 【例 3-2】(2012 湖北高考)设函数 f(x)=sin ω x+2 3sin ω x·cos ω x-cos ω x ?1 ? +λ (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω ,λ 为常数,且 ω ∈? ,1?. ?2 ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; ?π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ,0?,求函数 f(x)的值域. ?4 ? 方法提炼 1.求 三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义; 2π (2) 利用公式: y = Asin(ω x + φ ) 和 y = Acos(ω x + φ ) 的最小正周期为 ,y= |ω | π tan(ω x+φ )的最小正周期为 ; |ω | (3)利用图象. 2.三角函数的对称性: 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象 只是中心 对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 请做演练巩固提升 1 不注意 A,ω 的符号,易把单调性 弄反或把区间左右的值弄反

? ?π ?? 【典例】设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤?f? ??对一 ? ? 6 ?? 切 x∈R 恒成立,则 ?11π ?=0 ①f? ? ? 12 ? ? ?7π ?? ? ?π ?? ②?f? ??<?f? ?? ? ? 10 ?? ? ? 5 ?? ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数 π 2π ? ? ④f(x)的单调递增区间是?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? ⑤存在经过 点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交.
3

以 上结论正确的是__________(写出正确结论的编号). π ? ?π ?? 解析:由 f(x)≤?f? ??对一切 x∈R 恒成立知,直线 x= 是 f(x)的对称轴, 6 ? ? 6 ??

b? ? 2 2 又 f(x)= a +b sin(2x+φ )?其中tan φ = ?的周期为 π ,

?

a?

π 3 ?11 ? ?π 3π ? ∴f? π ?=f? + ?可看作 x= 的值加了 个周期. 4 ? 6 4 ?12 ? ? 6 ?11 ? ∴f? π ?=0,故①正确. ?12 ? 7π 2π π π π π ∵ - = , - = , 10 3 30 5 6 30 7π π ∴ 和 与对称轴的距离相等. 10 5 ? ?7π ?? ? ?π ?? ∴?f? ??=?f? ??,故②不正确. ? ? 10 ?? ? ? 5 ?? π ? π ? ∵x= 是对称轴,∴sin?2× +φ ?=±1. 6 6 ? ? π π ∴ +φ =± +2kπ ,k∈Z. 3 2 π 5π ∴φ = +2kπ 或 φ =- +2kπ ,k∈Z. 6 6 b 1 ∵tan φ = = , a 3 ∴a= 3b. π? 5π ? ? ? ∴f(x)=2|b|sin?2x+ ?或 f(x)=2|b|sin?2x- ?. 6 6 ? ? ? ? ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数,故③正确. π? π ? ? π ? 由以上知,f(x)=2|b|sin?2x+ ?的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z, 6? 6 ? ? 3 ? 5 π 2 π ? ? ? ? f(x)=2|b|sin?2x- π ?的单调递增区间为? +kπ , +kπ ?,k∈Z, 6 ? 3 ? ?6 ? 由于 f(x)的解析式不确定, ∴单调递增区间也不确定,故④不正确.

b? ? 2 2 ∵f(x)=asin 2x+bcos 2x= a +b sin(2x+φ )?其中tan φ = ?,

?

a?

∴- a +b ≤f(x)≤ a +b . 又∵ab≠0,∴a≠0,b≠0. 2 2 2 2 ∴- a +b <b< a +b . ∴过点(a,b)的直线必与函数 f(x)的图象相交,故⑤不正确. 答案:①③

2

2

2

2

答题指导:
1.在解答本题时易犯以下两点错误: (1)在求④中 f(x)的单调递增区间时,运算化简不准确,而使判断错误; (2)对于⑤的判断不是根据推导,而是凭借印象想当然做出判断,而使解答错误. 2.解决三角函数性质的问题时,还有以下几点在备考时要高度关注: (1)化简时公式应用要准确; (2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面; (3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域.

4

1 . (2012 大纲全国高考 ) 若函数 f(x) = sin (

x+φ
3

(φ ∈[0,2π ]) 是偶函数,则 φ =

). π 2π A. B. 2 3 3π 5π C. D. 2 3 2.函数 y=ln(sin x-cos x)的定义域 为__________. ? π? 3.函数 y=2sin?x- ?的单调递增区间为__________. 4? ? 4.已知函数 f(x)=2sin cos + 3cos . 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; ? π? (2)令 g(x)=f?x+ ?,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 3? ? 5.已知函数 f(x)=sin x(cos x- 3sin x). (1)求函数 f(x)的最小正周期;

x

x

x

π? ? (2)将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 a?0<a< ?个单位,向下平移 b 个单位,得到 2? ? 函数 y=f(x)的图象,求 a,b 的值; (3)求函数 f(x)的单调增区间.

5

参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1.f(x+T)=f(x) 2.{y|-1≤y≤1} {y|-1≤y≤1} R ?-π +2kπ ,π +2kπ ? ? 2 ? 2 ? ? ?π +2kπ ,3π +2kπ ? ?2 ? 2 ? ? π ? π ? [(2k-1)π ,2kπ ] [2kπ ,(2k+1)π ] ?- +kπ , +kπ ? 2 2 π



π +2kπ 2

2kπ

π +2kπ

? 2 π ? ? 奇 偶 奇 (kπ ,0),k∈Z ?kπ + ,0?,k∈Z 2 ? ?
2π π

?

+2kπ

?kπ ,0?,k∈Z x=kπ +π ,k∈Z x=kπ ,k∈Z 2π ? 2 ? 2 ? ?

基础自测 1.C 解析:∵f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x), ? π? ∴f(x)=cos?x+ ?,x∈R 既不是奇函数,也不是偶函数. 3? ? ?π ? ?π ? 2.D 解析:y=sin x 和 y=cos x 在? ,π ?上是减函数,y=sin 2x 在? ,π ?上 ?2 ? ?2 ? π ? ? 不单调,y=cos 2x 在? ,π ?上是增函数. ?2 ? π kπ π π 3.B 解析:令 2x+ =kπ (k∈Z).即 x= - (k∈Z),检验知,x=- , 2 2 4 4 故选 B. π π ?π ? ? π? 4.A 解析:由题意,周期 T= ,∴ω = =4.则 f? ?=tan?4× ?=tan π =0. 4? 4 T ?4? ? 故选 A. ?2π ,4π ?, 5.A 解析:画出函数 y=sin x 的草图(图略),分析知 b-a 的取值范围为? 3 ? ? 3 ? 故选 A. 考点探究突破
?sin 2x>0, ? 【例 1】解:(1)依题意有? 2 ?9-x ≥0, ?

π ? ?kπ <x<kπ + ,k∈Z, 2 解得? ? ?-3≤x≤3, 即函数的定义域为 ? ? π π? ?x?-3≤x<- ,或0<x< ? 2 2? ? ? (2)设 sin x=t,则 t∈?-

.

2 2? , ?. 2 2? 2 2? ? ? 1?2 5 2 ∴y=1-sin x+sin x=-?t- ? + ,t∈?- , ?. ? 2? 4 2? ? 2 1 π 5 故当 t= ,即 x= 时,ymax= , 2 6 4
6

? ?

2 π 1- 2 ,即 x=- 时,ymin= . 2 4 2 【例 2-1】A 解析:∵函数 f(x)的最小正周期为 6π , 2π 1 π ∴ =6π ,得 ω = ,在 x= 时,函数 f(x)取得最大值, ω 3 2 1 π π ∴ × +φ =2kπ + . 3 2 2 π 又∵-π <φ ≤π ,∴φ = . 3 1 π ? ? ∴f(x)=2sin? x+ ?. 3? ?3 π 1 π π 由 2kπ - ≤ x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 3 2 5 1 得 6kπ - π ≤x≤6kπ + π (k∈Z). 2 2 5 π? ? ∴f(x)的增区间是?6kπ - π ,6kπ + ?(k∈Z). 2 2? ? 5 π ? ? 取 k=0,得?- π , ?是 f(x)的一个增区间, 2? ? 2 ∴函数 f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数. 当 t=- 【例 2-2】解:f(x)=asin xcos x-cos x+sin x= sin 2x-cos 2x. 2 3 a 1 ? π? 由 f?- ?=f(0)得- · + =-1,解得 a=2 3. 2 2 2 ? 3? π? ? 因此 f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x- ?. 6? ? π ?π π ? ?π π ? 当 x∈? , ?时,2x- ∈? , ?,f(x)为增函数, 6 ?3 2? ?4 3? ?π 11π ?时,2x-π ∈?π ,3π ?,f(x)为减函数, 当 x∈? , ? ? ? 24 ? 4 ? 6 ?2 ?3 ?π 11π ?上的最大值为 f?π ?=2. 所以 f(x)在? , ?3? 24 ? ?4 ? ? ? π 11 π ? ? ? ?= 2, 又因 f? ?= 3,f? ? ?4? ? 24 ? ?π 11π ?上的最小值为 f?11π ?= 2. 故 f(x)在? , ? ? 24 ? 24 ? ?4 ? ? 【例 3-1】①②? ③④(答案不唯一,也可填①③? ②④) 解析:若把①②作条件可 2π 知 ω = =2, π π π π ω x+φ =2× +φ =kπ + ,取 φ = . 12 2 3 π? ? 因此 f(x)=sin?2x+ ?, 可验证③④都是正确的,因此①②? ③④, 3? ? 同理可验证①③? ②④. 2 2 【例 3-2】解:(1)因为 f(x)=sin ω x-cos ω x+2 3sin ω x·cos ω x+λ =-cos π? ? 2ω x+ 3sin 2ω x+λ =2sin?2ω x- ?+λ , 6? ? π? ? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin?2ω π - ?=±1. 6? ?
7
2 2

a

π π 所以 2ω π - =kπ + (k∈Z), 6 2 k 1 即 ω = + (k∈Z). 2 3 5 ?1 ? 又 ω ∈? ,1?,k∈Z,所以 ω = . 6 ?2 ? 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ,0?, ?4 ? ?π ? 得 f? ?=0, ?4? ?5 π π ? 即 λ =-2sin? × - ? ?6 2 6 ? π =-2sin =- 2,即 λ =- 2. 4 ?5 π ? 故 f(x)=2sin? x- ?- 2,函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2]. 6? ?3 演练巩固提升 x+φ 1.C 解析:∵f(x)=sin 是偶函数, 3 ∴f(0)=±1. φ φ π ∴sin =±1.∴ =kπ + (k∈Z). 3 3 2 3π ∴φ =3kπ + (k∈Z). 2 3π 又∵φ ∈[0 ,2π ],∴当 k=0 时,φ = .故选 C. 2
? ?π ? 5 2.?x? +2kπ <x< π +2kπ ,k∈Z? 4 ? ?4 ?

解析:由已知得 sin x-cos x>0, 即 sin x>cos x.

?π 5 ? 在[0,2π ]内满足 sin x>cos x 的 x 的集合为? , π ?. ?4 4 ? 又正弦、余弦函数的周期为 2π ,
? π ? ? ∴所求定义域为?x? +2kπ <x< ? ? ?4 ? 5 π +2kπ ,k∈Z?. 4 ?

π 3π ? π π π ? 3.?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 解析:由 2kπ - ≤x- ≤2kπ + (k∈Z),得 4 4 ? 2 4 2 ? π 3π 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z), 4 4 ∴函数的单调递增区间为 ?2kπ -π ,2kπ +3π ?(k∈Z). ? 4 4 ? ? ? x x ?x π ? 4.解:(1)f(x)=sin + 3cos =2sin? + ?, 2 2 ?2 3 ?

8

2π ∴f(x)的最小正周期 T= =4π . 1 2 ?x π ? 当 sin? + ?=-1 时,f(x)取得最小值-2, ?2 3 ? ?x π ? 当 sin? + ?=1 时,f(x)取得最大值 2. ?2 3 ? ?x π ? (2)由(1)知 f(x)=2sin? + ?, ?2 3 ? ? π? 又 g(x)=f?x+ ?, 3? ? ?1? π ? π ? ∴g(x)=2sin? ?x+ ?+ ? 3? 3? ?2? x π x ? ? =2sin? + ?=2cos . 2 ?2 2 ? ∴g(-x)=2cos?- ?=2cos =g(x), 2 ? 2? ∴函数 g(x)是偶函数. 5.解:f(x)=sin x(cos x- 3sin x) 2 =sin xcos x- 3sin x 1 1-cos 2x = sin 2x- 3× 2 2 1 3 3 = sin 2x+ cos 2x- 2 2 2 π? 3 ? =sin?2x+ ?- . 3? 2 ? 2π (1)f(x)的最小正周期 T= =π . 2 (2)将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 a 个单位得 y=sin 2(x+a)的图象,再向下平移 b 个单位,得函数 y=sin(2x+2a)-b 的图象, π 3 依题意得 a= ,b= . 6 2 π π π 5π π (3)由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)得,kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 2 3 2 12 12 5π π? ? 所以 f(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12? ?

? x?

x

9


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