当前位置:首页 >> 数学 >> 2015高中数学 第1部分 1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5_图文

2015高中数学 第1部分 1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5_图文

1.2 1.2.2

理解教材新知

知识点
题型一 题型二 题型三

第 一 章

正、 余弦 定理 在三 角形 中的 应用

突破常考题型

跨越高分障碍 应用落 实体验 随堂即时演练

课时达标检测

1.2.2

正、余弦定理在三角形中的应用

三角形的面积公式
[提出问题]
在△ABC 中,若 AC=3,BC=4, C=60° . 问题 1:△ABC 的高 AD 为多少?
3 3 提示:AD=AC· sin C=3×sin 60° = . 2

问题 2:△ABC 的面积为多少?
1 1 3 3 提示:S△ABC= BC· AD= ×4× =3 3. 2 2 2
问题 3:若 AC=b,BC=a,你发现△ABC 的面积 S 可 以直接用 a,b,C 表示吗? 1 提示:能.S= absin C. 2

[导入新知]

三角形的面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示 a 边上的高). 2 a a

1 1 1 (2)S= absin C= 2bcsin A = 2acsin B . 2

[化解疑难]

1 三角形的面积公式 S= absin C 与原来的面积公式 S 2 1 = a· h(h 为 a 边上的高)的关系为: 2 h=bsin C, 实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上的高.

三角形的面积计算
[例 1] 在△ABC 中, 已知 C=120° , AB=2 3, AC=2,

求△ABC 的面积.

[解]

AB AC 由正弦定理知 = , sin C sin B

2 3 2 即 = , sin 120° sin B 1 所以 sin B= , 2

由于 AB>AC, 所以 C>B,故 B=30° . 从而 A=180° -120° -30° =30° . 所以△ABC 的面积 1 S= AB· AC· sin A 2 1 = · 2 3· 2· sin 30° 2 = 3.

[类题通法] 1. 求三角形面积时, 应先根据题目给出的已知条件选择最 简便、 最快捷的计算方法, 这样不仅能减少一些不必要的计算, 还能使计算结果更加接近真实值. 1 2. 事实上, 在众多公式中, 最常用的公式是 S△ABC= absin 2 1 1 C= bcsin A= acsin B,即给出三角形的两边和夹角(其中某边 2 2 或角需求解)求三角形面积,反过来,给出三角形的面积利用上 述公式也可求得相应的边或角,应熟练应用此公式.

[活学活用] 1. (1)在△ABC 中, 若 A=60° , b=16, S△ABC=64 3, 则 c=________. (2)在△ABC 中,若 a=3,b=2,c=4,则其面积等于________.

1 解析:(1)由已知得 S△ABC= · bc· sin A, 2 1 即 64 3= ×16×c×sin 60° ,解得 c=16. 2

b2+c2-a2 4+16-9 11 (2)由余弦定理得 cos A= = = , 2bc 2×2×4 16 所以 sin A= 3 15 1-cos A= , 16
2

1 1 3 15 3 15 于是 S△ABC= bcsin A= ×2×4× = . 2 2 16 4

答案:(1)16

3 15 (2) 4

三角形中的恒等式证明问题
a-ccos B sin B [例 2] 在△ABC 中,求证: = . b-ccos A sin A c?a2+c2-b2? a- 2ac [解] 法一:左边= c?b2+c2-a2? b- 2bc
a2-c2+b2 2b b 2Rsin B sin B = ·2 2 = = = =右边, 2a b -c +a2 a 2Rsin A sin A 其中 R 为△ABC 外接圆的半径. a-ccos B sin B ∴ = . b-ccos A sin A

sin A-sin Ccos B 法二:左边= sin B-sin Ccos A sin ?B+C?-sin C· cos B = sin ?A+C?-sin C· cos A sin Bcos C sin B = = =右边,(cos C≠0) sin Acos C sin A a-c· cos B sin B ∴ = . b-c· cos A sin A

[类题通法] 解决此类问题, 既要用到三角形中特有的恒等变形公 式, 又要用到任意角三角函数的恒等变形公式,两者要结 合,灵活运用.三角形边和角的相互转换公式,主要是正 弦定理、 余弦定理这两个定理, 因此这类题型都可用不同 的途径求解.

[活学活用] 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,求证: a b ?cos B cos A? ? ?. - - = c a ? b a ? b

a2+c2-b2 证明: 由余弦定理的推论得 cos B = , cos A = 2ac b2+c2-a2 ,代入等式右边,得 2bc
2 2 2 2 ?a2+c2-b2 b2+c2-a2? 2 a - 2 b a - b a b ? ? 右边= c ? = = ab = b - a - 2ab 2abc 2abc ? ? ?

a b ?cos B cos A? =左边,∴b-a=c? b - a ?. ? ?

三角形中的综合问题
[例 3] (2012· 江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对

边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C. (1)求 cos A; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c.

[ 解]

(1)由 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C,

得 3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1, 1 即 cos(B+C)=- , 3 1 从而 cos A=-cos(B+C)= . 3 1 2 2 (2)由于 0<A<π,cos A= ,所以 sin A= . 3 3

1 又 S△ABC=2 2,即 bcsin A=2 2,解得 bc=6. 2 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 得 b2+c2=13,
? ?bc=6, 解方程组? 2 2 ? ?b +c =13, ? ?b=2, 得? ? ?c=3, ? ?b=3, 或? ? ?c=2.

[类题通法] 解决三角形的综合问题,除灵活运用正、余弦定 理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、 三角恒等变换、方程等知识.因此,掌握正、余弦定 理,三角函数的公式和性质是解题关键.

[活学活用] 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

? ??? ? A 2 5 ??? AC =3. 且满足 cos = , AB · 2 5
(1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

A 2 5 解:(1)∵cos = , 2 5 3 4 ∴cos A=2cos -1= ,sin A= . 2 5 5
2A

??? ? ??? ? AC =3,得 bccos A=3,∴bc=5, 又由 AB ·
1 ∴S△ABC= bcsin A=2. 2 (2)∵bc=5,b+c=6, ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=20, ∴a=2 5.

2. 破解多边形中的几何问题

[典例]

(12 分)如图, 在四边形 ABCD 中,

??? ? ??? ? 1 AC =1, AC=CD= AB=1, AB · 2
3 sin∠BCD= . 5 (1)求 BC 边的长; (2)求四边形 ABCD 的面积.

[解题流程]
(1)要求 BC 的长,“寻找”利用正、余 弦定理中的量; (2)求四边形 ABCD 的面积, 把四边形视 为两个三角形.
??? ? ???? (1)由 AB · AC = 1,可求∠ BAC

的大小,进

而利用余弦定理求出 BC 的长. (2)由(1)可求出∠ACB 的大小,又知 sin∠ 3 BCD= ,利用三角公式可求∠ACB 的正弦 5 值,从而求出面积.

??? ? ??? ? AB · → 得∠ BAC 的大小 ―→ AC = 1― ??? ? 余弦定理求 BC ∠ ACB 的大小 ― →sin

∠ACD 的大小―→两三角形面积― →四 边形的面积.

[规范解答]

??? ? ??? ? 1 (1) ∵ AC = CD = AB = 1 , ∴ AB ·AC = 2
???? ? ???? ? AB ·AC · cos∠BAC=2cos∠BAC=1,
1 ∴cos∠BAC= ,∴∠BAC=60° .(3 分) 2 在 △ABC 中,由余弦定理有: BC2 = AB2 + AC2 - 1 2AB· AC· cos∠BAC=2 +1 -2×2×1× =3, ∴BC 2
2 2

[名师批注] 向量数量积运 算公式易用 错,在 △ABC ??? ? ??? ? 中, AB 和 AC 夹角有时误认 为∠ ABC,从 而不得分.

= 3(6 分) (2)由(1)知,在△ABC 中有:AB2=BC2+AC2, ∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB=90° ,(7 分)

1 1 3 ∴S△ABC= BC· AC= × 3×1= .(8 分) 2 2 2 又∠BCD=∠ACB+∠ACD=90° +∠ACD, 3 3 sin∠BCD= ,∴cos∠ACD= ,(9 分) 5 5 4 从而 sin∠ACD= 1-cos ∠ACD= , (10 分) 5
2

[名师批注] 利用了诱导公式 求 cos∠ACD,求 解时对取正负号 不把握.

1 1 4 ∴ S△ACD= AC· CD· sin∠ ACD= ×1×1× = 2 2 5 2 .(11 分) 5 ∴S
四边形

3 2 + = ABCD = S△ABC + S△ACD = 2 5

4+5 3 .(12 分) 10

[活学活用] 2 7 在△ABC,中,AB=2,cos C= ,D 是 7 5 7 AC 上一点,AD=2DC,且 cos∠DBC= . 14 ??? ? ??? ? CB . 求:(1)∠BDA 的大小;(2) AD · 5 7 2 7 解:(1)由已知得 cos∠DBC= ,cos C= ,从 14 7
21 21 而 sin∠DBC= ,sin C= , 14 7 5 7 2 7 21 ∴cos∠BDA=cos(∠DBC+∠C)= × - 14 7 14 21 1 π × = ,∴∠BDA= . 7 2 3

(2)设 DC=x, 则 AD=2x, AC=3x, 设 BC=a, 则在△DBC x a 中,由正弦定理得 = , sin∠DBC sin∠BDC ∴a= 7x. 在△ABC 中,由余弦定理,得 4=(3x)2+( 7x)2-2· 3x· 7
???? ? ???? ? 2 7 x· .解得 x=1,∴ AC =3, BC = 7. 7

? ???? ? 2 7? ??? ? ??? ? ???? ? CB = AD · CB cos(π-C)=2× 7×? ∴ AD · =-4. - ? 7 ? ? ?

[随堂即时演练] 3 1.已知△ABC 的面积为 ,且 b=2,c= 3,则 A 的大小为( 2
A.60° 或 120° C.120° B.60°

)

D.30° 或 150° 1 3 1 解析:由 S△ABC= bcsin A 得 = ×2× 3×sin A, 2 2 2
3 所以 sin A= , 2 故 A=60° 或 120° ,故选 A.

答案:A

AC cos B 2.在△ABC 中,若AB= ,则( cos C A.A=C C.B=C B.A=B D.以上都不正确

)

AC sin B cos B 解析:∵AB= = sin C cos C ∴sin Bcos C=cos Bsin C ∴sin(B-C)=0 又∵-π<B-C<π, ∴B-C=0,即 B=C.

答案:C

3.等腰△ABC 中,顶角 A=120° ,腰长 AB=1,则底边 BC 长 为________.

解析:易知∠B=∠C=30° , BC 1 由正弦定理知: = , sin 120° sin 30° ∴BC= 3. 答案: 3

4.三角形的两边分别为 3 cm,5 cm,它们所夹角的余弦值 为方程 5x2 - 7x- 6=0 的根,则这个三角形的面积为 ________.
3 解析: 方程 5x -7x-6=0 的两根为 x1=2, x2=- , 5
2

3 因此两边夹角的余弦值等于- , 5 4 并可求得正弦值为 , 5 于是三角形面积 1 4 S= ×3×5× =6(cm2). 2 5

答案:6 cm2

5.在△ABC 中,若 B=30° ,AB=2 3,AC=2,求△ABC 的 面积.

解:∵AB=2 3,AC=2,B=30° , 1 2 3× 2 ABsin B 3 ∴根据正弦定理,有 sin C= AC = = , 2 2 又∵AB>AC,∴C>B,则 C 有两解,

(1)当 C 为锐角时,C=60° ,A=90° , 1 ∴S△ABC= AB· ACsin A=2 3. 2 (2)当 C 为钝角时,C=120° ,A=30° , 1 ∴S△ABC= AB· ACsin A= 3. 2 综上可知,△ABC 的面积为 2 3或 3.


更多相关文档:

...余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5_图文....ppt

2015高中数学 第1部分 1.2.2正余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5 - 1.2 1.2.2 理解教材新知 知识点 题型一 题型二 题型三 第一章 正、...

...正余弦定理在三角形中的应用课件新人教A版必修5_图....ppt

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时正余弦定理在三角形中的应用课件新人教A版必修5 - ?第2课时 正、余弦定理在三角形中的应 用 自主学习 新知突破 ...

...余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5_图文....ppt

【三维设计】高中数学 第一部分 1.2 第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5 - 第二 课时 考点一 把握热点考向 第一章解三角形 考点...

...余弦定理在三角形中的应用课件新人教A版必修5_图文.ppt

2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2.2正余弦定理在三角形中的应用课件新人教A版必修5 - 【课标要求】 1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形...

...余弦定理在实际应用中的应用课件新人教A版必修5_图....ppt

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时正余弦定理在实际应用中的应用课件新人教A版必修5 - ?1.2 应用举例 ?第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用 ...

...余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5.ppt

高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第2课时 正、余弦定理在三角...

...解三角形 1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用讲义 ....ppt

2017-2018年度高中数学 第一章 解三角形 1.2.2 正余弦定理在三角形中的应用讲义 新人教A版必修5 - 【课标要求】 1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算...

...应用举例 第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用_....ppt

高中数学人教A版必修5课件:第一章 1-2 应用举例 第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用 - 课前预习巧设计 第一章解三角形 1.2 应用举例 第二 课时 ...

...余弦定理在实际应用中的应用课件 新人教A版必修5_图....ppt

高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用课件 新人教A版必修5 - 1.2 应用举例 第1课时 正、余弦定理在实际应用中...

...应用举例 第4课时《正、余弦定理在三角形中的应用》....ppt

高中数学人教A版必修5课件 1-2 应用举例 第4课时《正、余弦定理在三角形中的应用》 - 目标导航 1.掌握三角形的面积公式. 2.会用正、余弦定理计算三角形中的...

...余弦定理在实际问题中的应用课件新人教A版必修5_图....ppt

高中数学第一章解三角形2节应用举例第1课时正余弦定理在实际问题中的应用课件新人教A版必修5 - 第 1 课时 正、余弦定理在实际问题中的应用 [核心必知] 1....

...定理和余弦定理1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5_图....ppt

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5 - 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 学习目标:1...

2019-2020学年高中数学 第1部分 1.2.2正、余弦定理在三....doc

2019-2020学年高中数学 第1部分 1.2.2正余弦定理在三角形中的应用课时跟踪检测 新人教A版必修5.doc.doc_数学_高中教育_教育专区。2019-2020 学年高中数学 ...

...章解三角形1.1.2余弦定理(1)课件新人教A版必修5_图....ppt

高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(1)课件新人教A版必修5 - 余弦定理(一) 一、实际应用问题 隧道工程设计,经常需要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上...

...第一章解三角形1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5_图....ppt

2018年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5 - 1.1.2 余弦定理 预习课本P5~6,思考并完成以下问题 (1)余弦定理的内容是什么? (2)已知...

高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理二课件新人教B版....ppt

高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理二课件新人教B版必修5_数学_高中教育_教育专区。第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 [学习目标] 1.熟练掌握...

...第2课时 余弦定理课件 新人教A版必修5_图文.ppt

高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理2课时 余弦定理课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。新课标导学数学必修5 人教A版 第一章...

...解三角形 1.1.2 余弦定理(2)课件 新人教A版必修5_图....ppt

高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(2)课件 新人教A版必修5_其它课程_高中教育_教育专区。余弦定理() 1 一、余弦定理 1.三角形任何一边的平方...

....1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5.ppt

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5 - 1.1.2 余弦定理 学习目标 1.了解余弦定理的推导过程, 掌握余弦定理及其...

人教版A版高中数学必修5:1.1.2 余弦定理(2)_图文.ppt

人教版A版高中数学必修5:1.1.2 余弦定理(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人教版A版 高中数学必修5 第一章《解三角形》 1.1.2 余弦定理 复习回顾 ...

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com