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2011广东 各地 一模 理数 打包 (下)


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江门市 2011 年高考模拟考试


参考公式:锥体的体积公式 V =

学(理科)
1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 A = x | x = a + (a 2 ? 1)i , a ∈ R , i 是虚数单位 ,若 A ? R ,则 a = A. 1
B. ? 1 C. ± 1 D. 0

{

}

⒉若四边形 ABCD 满足 AB + CD = 0 , ( AB ? AD) ? AC = 0 ,则该四边形一定是
A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

⒊某社区现有 480 个住户,其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户,其他 为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了
6 户,则该社区本次被抽取的总户数为 A. 20 B. 24 C. 30 D. 36

⒋直线 x =

π
3

,x =

π
2

都是函数 f ( x) = sin(ωx + ? )(ω > 0 , ? π < ? ≤ π ) 的对称轴,

且函数 f (x) 在区间 [ , ] 上单调递减,则 3 2
A. ω = 6 , ? = C. ω = 3 , ? =

π

π

5

5

π

D. ω = 3 , ? = ? 2 2 ⒌一个底部水平放置的几何体,下半部分是圆柱,

π

2

B. ω = 6 , ? = ?

π π
2
6 6 6 6
侧视图

上半部分是正四棱锥,其三视图如图 1 所示, 则这个几何体的体积 V =
A. 54π + 30 C. 66π B. 69π D. 54π + 24
a

正视图

图1 俯视图

⒍ a 、 b 、 c > 0 , ln a 、 ln b 、 ln c 成等差数列”是“ 2 、 2 b 、 2 c 成等比数列” “

高三文科数学第 1 页(共 4 页)

的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
y

D.既不充分也不必要条件

⒎在平面直角坐标系 xOy 中, ax + by + c = 0 与 ax 2 + by 2 = c 所 表示的曲线如图 2 所示,则常数 a 、 b 、 c 之间的关系可能是
A. c < a < 0 且 b > 0 C. a > c > 0 且 b < 0 B. c < a < 0 且 b < 0 D. A 或 C
O

x

图2

⒏已知平面区域 D = {( x , y ) | ?1 ≤ x ≤ 2 , ? 1 ≤ y ≤ 2} , z = ax + y ( a 是常数) ,
?P ( x0 , y 0 ) ∈ D ,记 z = ax0 + y 0 ≥

5 1 为事件 A ,则使 p ( A) = 的常数 a 有 2 8
D. 3 个以上

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐已知 X ~ N ( ? , σ 2 ) , P ( ? ? σ < X ≤ ? + σ ) = 0.68 ,
P ( ? ? 2σ < X ≤ ? + 2σ ) = 0.95 ,某次全市 20000 人
开始 输入 a1 , a 2 , L

参加的考试,数学成绩大致服从正态分布
N (100 , 100) ,

s = a1 , i = 2
i = i +1

则本次考试 120 分以上的学生约有

人.
s>0
否 输出 i

s = s + ai
是 结束 图3

⒑图 3 是讨论三角函数某个性质的程序框图,若输入
i a i = sin π (i ∈ N + ) ,则输出 i = 11
2



⒒设抛物线 C : y = 4 x 的准线与对称轴相交于点 P , 过点 P 作抛物线 C 的切线,切线方程是 .

⒓在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 在映射 f : ( x , y ) → (2 y , 1 ? x) 作用下的 象 集 为 四 边 形 A / B / C / D / , 若 ABCD 的 面 积 S = 1 , 则 A / B / C / D / 的 面 积
S/ =

. (请填写所有真命题的序号) .

⒔以下命题中,真命题的序号是

? ①回归方程 y = ?2 + 1.5 x 表示变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 1.5 个单位.
②已知平面 α 、 β 和直线 m ,若 m // α 且 α ⊥ β ,则 m ⊥ β . . ③“若 x 2 < 1 ,则 ? 1 < x < 1 ”的逆否命题是“若 x < ?1 或 x > 1 ,则 x 2 > 1 ”

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④若函数 y = f (x) 与函数 y = g (x) 的图象关于直线 y = x 对称, f (a ) = b ,若 1 f / (a ) = 2 ,则 g / (b) = . 2 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ?x = 1 ? t ? x = cos θ ⒕ (坐标系与参数方程选做题) 若直线 ? ( t ∈ R 为参数) 与圆 ? ? y = 2t ? y = sin θ + a ( 0 ≤ θ < 2π , θ 为参数, a 为常数且 a > 0 )相切,则 a = ⒖(几何证明选讲选做题)如图 4, P 是圆 O 外 一点,直线 PO 与圆 O 相交于 C 、 D , PA 、 PB 是圆 O 的切线,切点为 A 、 B 。若 PC = CD = 1 , 则四边形 PADB 的面积 S = .
图4


B

P

C

? O
A

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 14 分)如图 5,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680km 的 空中 B 处,为避开直飞途中的雷雨云层,飞机在 A 处沿与原飞行方向成 θ 角的 方向飞行,在中途 C 处转向与原方向线成 45 o 角的方向直飞到达 B 处.已知
sin θ = 5 . 13

C

⑴在飞行路径 ?ABC 中,求 tan C ; ⑵求新的飞行路程比原路程多多少 km .
(参考数据: 2 = 1.414 , 3 = 1.732 )

θ

45o
B
图5

A

⒘(本小题满分 12 分)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分, 初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机 会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛:答对 3 题者直接进入 决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相同,并且相互
1 之间没有影响,答题连续两次答错的概率为 . 9

⑴求选手甲可进入决赛的概率; ⑵设选手甲在初赛中答题的个数为 ξ ,试求 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望.
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⒙(本小题满分 14 分)如图 6, ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为 6 的正方体, E 、 F 分别是棱 AB 、 BC 上的动点,且 AE = BF . ⑴求证: A1 F ⊥ C1 E ; ⑵当 A1 、 E 、 F 、 C1 共面时,求: ① D1 到直线 C1 E 的距离; ②面 A1 DE 与面 C1 DF 所成二面角的余弦值.
A
图6

D1 A1 B1

C1

D F E

C

B

⒚ (本小题满分 14 分) 已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1 (?1 , 0) 、F2 (1 , 0) 的距离之和为常数,曲线 C 的离心率 e = ⑴求圆锥曲线 C 的方程; ⑵设经过点 F2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A 、B , 试证明在 x 轴上存 在一个定点 P ,使 PA ? PB 的值是常数. ⒛ (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n }(n ∈ N + ) ,a1 = 0 ,a n+1 = 2a n + n × 2 n (n ≥ 1) . ⑴求数列 {a n } 的通项; ⑵ 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 试 用 数 学 归 纳 法 证 明
S n = 2 n ?1 × (n 2 ? 3n + 4) ? 2 . 21(本小题满分 14 分)设 y = f (x) 是定义在区间 (a , b) ( b > a )上的函数,若

1 . 2

对 ?x1 、 2 ∈ (a , b) , x 都有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |≤| x1 ? x 2 | , 则称 y = f (x) 是区间 (a , b) 上的平缓函数. ⑴试证明对 ?k ∈ R , f ( x) = x 2 + kx + 1 都不是区间 (?1 , 1) 上的平缓函数; ⑵若 f (x) 是定义在实数集 R 上的、周期为 T = 2 的平缓函数,试证明对 ?x1 、

x 2 ∈ R , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |≤ 1 .

理科数学评分参考
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一、选择题 二、填空题
2

CBBA DDAC ⒐ 500 ⒑ 22 ⒒ x ± y + 1 = 0(对一个 3 分,全对 5 分) ⒓

⒔①④(正确选项一个 3 分,全对 5 分;错误选项一个扣 3 分,2 个扣 5
分,扣完为止)

⒕ 2 + 5 (答 2 ± 5 给 3 分,其他 0 分) ⒖

2 2 3

三、解答题 ⒗⑴ sin θ =
5 5 , θ 是锐角,所以 tan θ = ……1 分, 13 12 tan θ + tan 45 0 …… 4 1 ? tan θ ? tan 45 0

tan C = tan[π ? (θ + 45 0 )] = ? tan(θ + 45 0 ) …… 2 分, = ?

5 +1 17 分, = ? 12 = ? ……5 分. 5 7 1 ? ×1 12 17 2 AB AC BC ⑵ sin C = sin(θ + 45 0 ) = ……7 分, 由正弦定理 = = …… 0 26 sin C sin 45 sin θ AB 9 分,得 AC = × sin 45 0 = 520 ……11 分, BC = 200 2 ……13 分,新的飞行 sin C

路程比原路程多 AC + BC ? AB = 520 + 200 2 ? 680 = 122.8(km) ……14 分. ⒘⑴设选 手甲 任答一 题,正确 的概 率为 p ,依题意 (1 ? p ) 2 =
p=

1 …… 1 分, 9

2 2 8 ……2 分,甲选答 3 道题目后进入决赛的概率为 ( ) 3 = ……3 分,甲 3 3 27

2 1 8 选 答 4 道 、 5 道 题 目 后 进 入 决 赛 的 概 率 分 别 为 C 32 ( ) 3 ? = 、 3 3 27 1 16 2 2 C4 ( )3 ( ) 2 = ……5 分,所以,选手甲可进入决赛的概率 3 3 81 8 8 16 64 P= + + = ……6 分. 27 27 81 81 8 1 1 ⑵ ξ 可取 3,4,5……7 分,依题意 P (ξ = 3) = + = ……8 分, 27 27 3 2 1 2 1 2 1 10 P (ξ = 4) = C 32 ( ) 2 ? ? + C 32 ( ) 2 ? ? = ……9 分, 3 3 3 3 3 3 27 1 2 2 1 8 2 2 2 1 P (ξ = 5) = C 4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? + C 4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? = ……10 分, 3 3 3 3 3 3 27

高三文科数学第 5 页(共 4 页)

(或 P (ξ = 5) = 1 ? [ P (ξ = 3) + P (ξ = 4)] = 所以, ξ 的分布列为:

8 ……10 分) 27
4 10 27 5 8 27

ξ
P

3
1 3

……11 分 1 10 8 107 Eξ = 3 × + 4 × + 5× = ……12 分. 3 27 27 27

⒙⑴以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 则 C 设 则 直角坐标系……1 分, A1 (6 , 0 , 6) 、 1 (0 , 6 , 6) , AE = m , E (6 , m , 0) ,
F (6 ? m , 6 , 0) ……2 分,从而 A1 F = (? m , 6 , ? 6) 、C1 E = (6 , m ? 6 , ? 6) …… 3 分,直接计算知 A1 F ? C1 F = 0 ,所以 A1 F ⊥ C1 E ……5 分.

⑵①当 A1 、 、 、 1 共面时, E F C 因为底面 ABCD // A1 B1C1 D1 , 所以 A1C1 // EF ……
6 分,所以 EF // AC ,从而 E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点……7 分,设 D1 到直

线 C1 E 的 距 离 为 h , 在 ?C1 D1 E 中 , C1 E = 6 2 + 6 2 + 3 2 = 9 , C1 E × h C1 D1 × BC1 ,解得 h = 4 2 ……9 分. = 2 2 ② 由 ① 得 , E (6 , 3 , 0) 、 F (3 , 6 , 0) , 设 平 面 A1 DE 的 一 个 法 向 量 为

?n ? DE = 6a + 3b = 0 ? n1 = (a , b , c) , 依题意 ? 1 ……10 分, 所以 n1 = (?1 , 2 , 1) …… ?n1 ? DA1 = 6a + 6c = 0 ?
11 分,同理平面 C1 DF 的一个法向量为 n 2 = (2 , ? 1 , 1) ……13 分,由图知,面

A1 DE 与面 C1 DF 所成二面角的余弦值 cos θ =
分.

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n 2 |

=

π 1 (即 θ = )……14 3 2

⒚⑴依题意,设曲线 C 的方程为 分,e =
4 分.

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )……1 分, c = 1 ……2 a2 b2

c 1 x2 y2 = ,a = 2 ……3 分,b = a 2 ? c 2 = 3 , 所求方程为 + = 1 …… a 2 4 3

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⑵ 当 直 线 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 其 方 程 为 y = k ( x ? 1) … … 5 分 , 由
? x2 y2 =1 ? + 3 ?4 ? y = k ( x ? 1) ? 8k 2 ……6 分,得 (3 + 4k ) x ? 8k x + 4(k ? 3) = 0 ……7 分,从而 x A + x B = , 3 + 4k 2
2 2 2 2

x A ? xB =

4(k 2 ? 3) ……8 分,设 P(t , 0) ,则 PA ? PB = ( x A ? t )( x B ? t ) + y A y B 3 + 4k 2 3t 2 ? 12 + (?5 ? 8t + 4t 2 )k 2 … … 10 3 + 4k 2

= (k 2 + 1) x A x B ? (t + k 2 )( x A + x B ) + (k 2 + t 2 ) = 分, 当

3t 2 ? 12 ? 5 ? 8t + 4t 2 11 135 = t , = 时……11 分, ?k ∈ R , ? PB = ? 对 PA …… 3 4 8 64

3 12 分;当 AB ⊥ x 轴时,直线 AB 的方程为 x = 1 , x A = x B = 1 , y A ( y B ) = ± …… 2 13 分,对 t = 11 9 9 135 , PA ? PB = ( x A ? t )( x B ? t ) + y A y B = ? =? ,即存在 x 轴 8 64 4 64

上的点 P (

11 135 , 0) ,使 PA ? PB 的值为常数 ? ……14 分. 8 64

⒛⑴(方法一)由 a n+1 = 2a n + n × 2 n 得 分,所以

a n +1 a a an? ? nn 1 = n , nn 1 ? n ?1 = n ? 1 …… 2 n ? ? 2 2 2 2 2

an a an? an? a a a = ( nn 1 ? n ?1 ) + ( n ?1 ? n ? 2 ) + L + ( 2 ? 1 ) + a1 ……3 分, n ?1 ? 2 2 n ?3 2 20 2 2 2 2 2 n(n ? 1) , a n = 2 n ? 2 × n(n ? 1) ……5 分. 2

= (n ? 1) + (n ? 2) + L + 1 ……4 分, =

(方法二)由 a n+1 = 2a n + n × 2 n 得 a n = 2a n ?1 + (n ? 1) × 2 n ?1 ,
a n?1 = 2a n ? 2 + (n ? 2) × 2 n ? 2 ……1 分,2a n ?1 = 2 2 a n? 2 + (n ? 2) × 2 n ?1 ……3 分, ……, 2 n ? 2 a 2 = 2 n ?1 a1 + 1 × 2 n?1 , 累加得 a n = [(n ? 1) + (n ? 2) + L + 1] × 2 n ?1 = 2 n ?2 × n(n ? 1)

……5 分. ⑵ n = 1 时,左边 S1 = a1 = 0 ,右边 2 n ?1 × (n 2 ? 3n + 4) ? 2 = 1 × (1 ? 3 + 4) ? 2 = 0 , 左边=右边,命题成立……7 分; 设 n = k (k ∈ N + ) 时,命题成立,即 S k = 2 k ?1 × (k 2 ? 3k + 4) ? 2 …… 8 分,则

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S k +1 = S k + a k +1





9





= 2 k ?1 × (k 2 ? 3k + 4) ? 2 + 2 k ?1 × k (k + 1) = 2 k (k 2 ? k + 2) ? 2 2 k × [(k + 1) 2 ? 3(k + 1) + 4] ? 2 ,从而 n = k + 1 时,命题成立……11 分. 综上所述,数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 2 n ?1 × (n 2 ? 3n + 4) ? 2 ……12 分.

21.⑴ ?x1 、 x 2 ∈ (?1 , 1) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |=| x1 + x 2 + k | × | x1 ? x 2 | ……1 分。
1 若 k ≥ 0 , 则 当 x1 、 x 2 ∈ ( , 1) 时 , x1 + x 2 + k > 1 … … 2 分 , 从 而 2

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |>| x1 ? x 2 | ……3 分;
1 若 k < 0 ,则当 x1 、 x 2 ∈ (?1 , ? ) 时, x1 + x 2 + k < ?1 , | x1 + x 2 + k |> 1 …… 4 2

分,从而 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |>| x1 ? x 2 | ,所以对任意常数 k , f ( x) = x 2 + kx + 1 都不是 区间 (?1 , 1) 上的平缓函数……5 分. ⑵若 x1 、 x 2 ∈ [0 , 2] ,①当 | x1 ? x 2 |≤ 1 时, | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |≤| x1 ? x 2 |≤ 1 …… 6 分 ; ② 当 | x1 ? x 2 |> 1 时 , 不 妨 设 0 ≤ x1 < x 2 ≤ 2 , 根 据 f (x) 的 周 期 性 ,
f ( 0) = f ( 2)





7





| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |=| f ( x1 ) ? f (0) + f (2) ? f ( x 2 ) |≤| f ( x1 ) ? f (0) | + | f (2) ? f ( x 2 ) |
……9 分, ≤| x1 | + | 2 ? x 2 |= x1 + 2 ? x 2 = 2 ? ( x 2 ? x1 ) < 1 ……11 分,所以对 ?x1 、

x 2 ∈ [0 , 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |≤ 1 ……12 分.
对 ?x1 、 x 2 ∈ R ,根据 f (x) 的周期性(且 T = 2 ) ,存在 p1 、 p 2 ∈ [0 , 2] ,使

f ( x1 ) = f ( p1 ) 、 f ( x 2 ) = f ( p 2 ) ,从而 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |=| f ( p1 ) ? f ( p 2 ) |≤ 1 …… 14
分.

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珠海市 2010—2011 学年度第一学期学生学业质量监测 高三理科数学试题和答案
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的. 1.(集合) 已知集合 A={x|x 2 -2x-3<0} , 集合 B = {x | 2 x +1 > 1} ,则 CB A = A . A. [3, +∞) B. (3, +∞) C. ( ?∞, ?1] U [3, +∞) D. (?∞, ?1) U (3, +∞ ) ) B

2.(函数) 下列函数中,既是偶函数又在 ( 0, +∞ ) 上单调递增的是( . A. y = x3 B. y = ln x C. y =

1 x2

D. y = cos x

3.(直线与平面) 已知 α 、β 、 γ 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,下列命题中正确 . 命题是( )C A. α ⊥ β , l ⊥ β , l // α 若 则 C.若 l ⊥ α , l // β ,则 α ⊥ β B. l 上有两个点到 α 的距离相等, l // α 若 则 D.若 α ⊥ β , α ⊥ γ ,则 γ ⊥ β

4. . (等比数列)若 lg x + lg x 2 + L + lg x 9 + lg x 10 = 110 , lg x + lg 2 x + L + lg 9 x + lg10 x 则 的值是 C A.1022 B.1024 C.2046 D.2048

5. (三角求值 三角求值)已知 tan(α + 三角求值 A. ?

π
4

) = 2 ,则 cos 2α =D 3 5
C. ?

3 5

B.

4 5

D.

4 5

6. (概率与统计)为了了解某地区高三学 生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名 年龄为 17.5 岁—18 岁的男生体重(kg) , 得到频率分布直方图如右图:根据上图可 得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5] 的学生人数是 C A.20 B.30 C.40 D.50 7. (逻辑)下列命题错误的是 B A.命题“若 lg x = 0 ,则 x = 1 ”的逆否命题为“若 x ≠ 1 ,则 lg x ≠ 0 ” B.若 p ∧ q 为假命题,则 p, q 均为假命题 C.命题 p : ?x ∈ R ,使得 sin x > 1 ,则 ?p : ?x ∈ R ,均有 sin x ≤ 1

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D. x > 2 ”是“ “

1 1 < ”的充分不必要条件 x 2

8.(直线与圆 C 关于直线 l : x ? 2 y + 1 = 0 对称且圆心在 x 轴上,圆 C 与 y 轴相切,则圆 . 直线与圆 直线与圆)圆

C 的方程为 B
A. ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 C. x + ( y ? ) =
2 2

B. ( x + 1) 2 + y 2 = 1 D. x + ( y +
2

1 2

1 4

1 2 1 ) = 2 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 填空题: 小题, 14~ 题是选做题, 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. (平面向量)已知△ABC,D 为 AB 边上一点,若 9.

uuur uuu uuu 1 uuu r r r uuu r AD = 2 DB, CD = CA + λ CB, 则λ = 3



2 3

10. 10 (函数)定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) = f ( x + 2) ,且 f (1) = 2 ,则

f (2011) ? f (2010) =
2 2

. 2
开始

11. 11.以双曲线

x y ? = 1 的顶点和焦点分别作焦点和两个顶点的椭 4 5


k=6 , s=1
是 否

圆标准方程是

x2 y2 + =1 9 5

12.若右图框图所给程序运行的结果为 S=360,那么判断框中应填入 的关于 k 的判断条件是 K< ?(填自然数)3

s=s×k k=k-1 -

输出 s 结束

13. 已 知 ?ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c 且

a = 2, cos B =

4 , b = 3 ,则 sin A = 5



2 5

14. 坐标系与参数方程选做题)若 P (2, ?1) 为曲线 ? . 坐标系与参数方程选做题) (坐标系与参数方程选做题 (

? x = 1 + 5 cos θ ( 0 ≤ θ < 2 π )的弦的 ? y = 5sin θ

中点,则该弦所在直线的倾斜角为_____________.45 度或 45°或 15. 几何证明选讲选做题) . 几何证明选讲选做题) (几何证明选讲选做题 (

π
4

如右图, 在梯形 ABCD 中,AD // BC ,BD 与 AC 相交于 O , O 的直线分别交 AB 、CD 过 于 E 、 F ,且 EF // BC ,若 AD =12, BC =20,则 EF = .15

高三文科数学第 10 页(共 4 页)

小题, 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤. 说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16. 本小题满分12分) . 本小题满分 分 (本小题满分 (

f ( x) = 3 cos 2 ω x + sin ω x cos ω x ,其中 ω > 0 ,
且 f ( x ) 的图像在 y 轴右侧第一个最高点的横坐标为 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; ; (Ⅱ)写出 f ( x ) 的单调递减区间(只写结果不用写出步骤) (Ⅲ)由 y = sin x 的图象,经过怎样的变换,可以得到 f ( x ) 的图象? 解: (Ⅰ) f ( x ) = .

π
6



3 cos 2 ω x + sin ω x cos ω x = 3 ?

1 + cos 2ω x 1 + sin 2ω x ……1 分 2 2

π 3 = sin(2ω x + ) + ………………………………………………………………………2 分 3 2
6 1 ∴ 2 ? ω + = ,解得 ω = ………………………………………………………3 分 6 3 2 2
∵ f ( x ) 的图像在 y 轴右侧第一个最高点的横坐标为

π

π

π

π

∴ f ( x ) = sin( x +

π
3

)+

3 ……………………………………………………………4 分 2

(Ⅱ) f ( x ) 的单减区间是 (2kπ + . (Ⅲ)将 y = sin x 向左平移

π
6

,kπ + 2

π
3

7π ),k ∈ Z ……………………8 分 6

个单位,纵坐标不变;………………………10 分

再向上平移

3 个单位,横坐标不变,就得到 f ( x ) 的图象。………………12 分 2

17. ( 17. 本小题满分 12 分) ( 某种项目的射击比赛,开始时在距目标 100m 处射击,如果命中记 6 分,且停止射击; 若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已经在 150m 处,这时命中记 3 分,且 停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已经在 200m 处,若第三 次命中则记 1 分,并停止射击;若三次都未命中,则记 0 分,且不再继续射击.已知射手甲 在 100m 处击中目标的概率为 否击中目标是相互独立的. (Ⅰ)分别求这名射手在 150m 处、200m 处的命中率;
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 1 页(共 4 页)

1 ,他的命中率与其距目标距离的平方成反比,且各次射击是 2

(Ⅱ)设这名射手在比赛中得分数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 解:⑴由题意,这名选手距目标 xm 处的命中率 Px =

k , x2

Q p100 =
∴ p150

1 ,∴ k = 5000 ,………………2 分 2 5000 2 5000 1 = = , p200 = = 2 9 150 200 2 8
2 1 , 。 9 8
……………5 分

即这名射手在 150m 处、 200m 处的命中率分别为 ⑵由题意 ξ ∈ {6,3,1, 0} ,……………6 分

记 100m,150m, 200m 处命中目标分别为事件 A, B, C 由⑴知 P (ξ = 6) = P ( A) =

1 , 2

1 2 1 × = ,……………7 分 2 9 9 1 7 1 7 P (ξ = 1) = P ( A ? B ? C ) = × × = ,……………8 分 2 9 8 144 49 P (ξ = 0) = 1 ? P (ξ = 6) ? P (ξ = 3) ? P (ξ = 1) = ,……………9 分 144 P (ξ = 3) = P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) =
所以随机变量 ξ 的分布列为

ξ
P
10 分

6
1 2

3
1 9

1 7 144

0 49 144

Eξ = 6 ×

1 1 7 49 487 + 3 × + 1× + 0× = 2 9 144 144 144

……………12 分

18.(本小题满分 14 分) ( 如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD ⊥ 平面 ABCD , NB ⊥ 平面 ABCD , 且 MD = NB = 1,

uuu r
(1)以向量 AB 方向为侧视方向,侧视图是什么形状? (2)求证: CN // 平面 AMD ; (3) (理)求面 AMN 与面 NBC 所成二面角的余弦值. 【解析】 (1)因为 MD ⊥ 平面 ABCD , NB ⊥ 平面 ABCD , BC = MD = NB ,所以侧视图是正方形及其两条对角线;(4 分)
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 2 页(共 4 页) A
M N

D B

C

(2)Q ABCD 是正方形, BC // AD,∴ BC // 平面 AMD ;(5 分) 又 MD ⊥ 平面 ABCD , NB ⊥ 平面 ABCD ,∴ MD // NB,∴ NB // 平面 AMD ,(6 分) 所以平面 BNC // 平面 AMD ,故 CN // 平面 AMD ;(8 分)
M N

为坐标原点, , , (理科)以 D 为坐标原点,DA,DC,DM 分别为 x,y,z 轴建立图示空间直角坐标系,则: 理科) , , 轴建立图示空间直角坐标系, A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0). N (1,1,1), M (0,0,1),

AM = (?1,0,1), AM = (0,1,1), AB = (0,1,0)(9 分)
r

uuu r

uuu r

uur

D O

C

?AM n = 0 A ??x + z = B 0 ? 设平面 AMN 的一个法向量为 n = (x ,y ,z ),由 ? uuu r 得: ? (10 分) r ?y +z = 0 ?AN n = 0 ? r 令 z=1 得: n = (1, ?1,1).
易知:

uuu r r

AB = (0,1,0)是平面 NBC 的一个法向量. (12 分) 的一个法向量
= ?1 3 = ? 3 (13 分) 3

uur

uur r cos AB ,n

∴面 AMN 与面 NBC 所成二面角的余弦值为 19.(本小题满分 14 分) ( 已知直线 l : y = x + 1 与曲线 C : 坐标原点.

3 (14 分) 3

x2 y2 + = 1 (a > 0, b > 0) 交于不同的两点 A, B ,O 为 a2 b2

(Ⅰ)若 | OA |=| OB | ,求证:曲线 C 是一个圆; (Ⅱ)若 OA ⊥ OB ,当 a > b 且 a ∈ [

6 10 , ] 时,求曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 2 2

(Ⅰ)证明:设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

Q | OA |=| OB |


x1 + y1 = x 2 + y 2
2 2 2
2 2 2 2

2

即: x1 + y1 = x 2 + y 2
2 2 2

2

∴ x1 ? x 2 = y 2 ? y1

--------2 分
理科数学第 3 页(共 4 页)

高中毕业班质量监测试题

Q A, B 在 C 上
x y x y ∴ 12 + 12 = 1 , 22 + 22 = 1 a b a b
∴两式相减得: x1 ? x 2 =
2 2
2 2 2 2

a2 2 2 ( y 2 ? y1 ) 2 b

----------------4 分



a2 = 1 即: a 2 = b 2 2 b

---------------5 分 ----------------6 分

∴曲线 C 是一个圆

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,

Qa >b>0 ∴曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 Q OA ⊥ OB


----------7 分

y1 y 2 ? = ?1 即: y1 y 2 = ? x1 x 2 x1 x 2

----------8 分

将 y = x + 1 代入 b 2 x 2 + a 2 y 2 ? a 2 b 2 = 0 整理得:

(b 2 + a 2 ) x 2 + 2a 2 x + a 2 ? a 2 b 2 = 0
∴ x1 + x 2 = ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x1 ? x 2 = a2 + b2 a2 + b2


---------------10 分

Q A, B 在 l 上

y1 ? y 2 = ( x1 + 1)( x 2 + 1) = x1 ? x 2 + x1 + x 2 + 1

又Q y1 y 2 = ? x1 x 2 ∴ 2 x1 ? x 2 + x1 + x 2 + 1 = 0 ∴2 ?

a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 + (? 2 ) +1 = 0 a2 + b2 a + b2
2 2 2

∴ a + b ? 2a b = 0
2

∴ a 2 + a 2 ? c 2 ? 2a 2 (a 2 ? c 2 ) = 0

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理科数学第 4 页(共 4 页)

∴ 2a ? 2a + c ? 2a c = 0
4 2 2 2 2

∴c =
2

2a 2 (a 2 ? 1) 2a 2 ? 1 c 2 2(a 2 ? 1) 1 = = 1? 2 2 2 a 2a ? 1 2a ? 1
6 10 , ] 2 2
---------------12 分

∴e =
2

Q a ∈[
2

∴ 2a ? 1 ∈ [ 2,4] ∴1 ?

1 3 ∈[ , ] 2a ? 1 2 4
2

1

e ∈[

2 3 , ] 2 2

------------14 分

20.(本小题满分 14 分) ( 某地区预计从 2011 年初开始的第 x 月,商品 A 的价格 f ( x ) =

1 2 ( x ? 12 x + 69) ( 2

x ∈ N , x ≤ 12 ,价格单位:元) ,且第 x 月该商品的销售量 g ( x ) = x + 12 (单位:万件).
(1)2011 年的最低价格是多少?(2)2011 年的哪一个月的销售收入最少? 【解析】 (1)Q f ( x ) =

1 [( x ? 6) 2 + 33],∴ 当 x = 6 时, f (x) 取得最小值, 2 即第 6 月的价格最低,最低价格为 16.5 元;………………………4 分
(2)设第 x 月的销售收入为 y (万元) ,依题意有

y=

1 2 1 ( x ? 12 x + 69)( x + 12) = ( x 3 ? 75 x + 828) ,………………………6 分 2 2 1 3 (3 x 2 ? 75) = ( x + 5)( x ? 5) ,……………………………………7 分 2 2

Q y′ =

所以当 1 ≤ x ≤ 5 时 y ′ ≤ 0 , y 递减;…………………………………………9 分

当 5 ≤ x ≤ 12 时 y ′ ≥ 0 , y 递增,……………………………………………11 分

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所以当 x = 5 时, y 最小,即第 5 个月销售收入最少. ……………………13 分

答:2011 年在第 5 月的销售收入最低. ………………………………………14 分 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x ) 的图象经过点 (1, λ ) ,且对任意 x ∈ R ,都有 f ( x + 1) = f ( x ) + 2. 数列

{a n }满足 a1 = λ ? 2, a n+1 = ?

?2 n

. f (a n ), n为偶数 ?

, n为奇数

(1)当 x 为正整数时,求 f (n) 的表达式; (2)设 λ = 3 ,求 a1 + a 2 + a3 + L + a 2 n ; (3)若对任意 n ∈ N ,总有 a n a n +1 < a n +1 a n + 2 ,求实数 λ 的取值范围.
*

【解析】 (1)记 bn = f ( n) ,由 f ( x + 1) = f ( x ) + 2 有 bn +1 ? bn = 2 对任意 n ∈ N 都成立,
*

又 b1 = f (1) = λ ,所以数列 {bn } 为首项为 λ 公差为 2 的等差数列,………2 分 故 bn = 2 n + λ ? 2 , 即 f ( n) = 2n + λ ? 2. ………………………………………………………………………4 分 (2)由题设 λ = 3 若 n 为偶数,则 a n = 2
n ?1

; ………………………………………………………5 分
n?2

若 n 为奇数且 n ≥ 3 ,则 an = f ( an ?1 ) = 2an ?1 + λ ? 2 = 2 ? 2

+ λ ? 2 = 2n ?1 + λ ? 2 ,

= 2 n?1 + 1 …………………………………………6 分
又 a1 = λ ? 2 = 1 ,

1 ? ? n ?1 即 an = ?2 + 1 ? 2n ?1 ?

n =1 n为奇数且n ≥ 3 n为偶数

a1 + a 2 + a3 + L + a 2 n = (a1 + a 3 + L + a 2 n ?1 ) + (a 2 + a 4 + L + a 2 n )

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= (20 + 2 2 + L + 2 2 n ? 2 + n ? 1) + (21 + 23 + L + 22 n ?1 ) = (1 + 21 + 22 + L + 22 n ?1 ) + n ? 1
= 2 2 n + n ? 2. ………………………………9 分
(3)当 n 为奇数且 n ≥ 3 时,

a n+1 a n+ 2 ? a n a n +1 = a n +1 (a n + 2 ? a n ) = 2 n [2 n +1 + λ ? 2 ? (2 n ?1 + λ ? 2)] = 3 ? 2 2 n ?1 > 0 ;…………………10 分
当 n 为偶数时, a n +1 a n + 2 ? a n a n +1 = a n +1 ( a n + 2 ? a n ) = ( 2 + λ ? 2)( 2
n n +1

? 2 n?1 )]

= 3 ? 2 n ?1 (2 n + λ ? 2) ,……………11 分
因为 a n a n +1 < a n +1 a n + 2 ,所以 2 + λ ? 2 > 0 ,…………………………12 分
n

Q n为偶数, n ≥ 2 , ∴
∵ 2 + λ ? 2 单增∴ 4 + λ ? 2 > 0
n

即 λ > ?2 ………………………………………………………………………13 分 故 λ 的取值范围为 ( ?2,+∞). …………………………………………………14 分

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理科数学第 7 页(共 4 页)

广东省茂名市 2011 届高三一 广东省茂名市 2011 届高三一模 高三理科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟。 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用 2B 铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3.试题不交,请妥善保存,只交答案纸和答题卡。

选择题, 第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的。 1. 已知全集 U = R , 集合 A = {x | x < ?2 或 x > 4 },B = {x | ?3 ≤ x ≤ 3} , (CU A) I B = 则
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A. {x | ?3 ≤ x ≤ 4} C. {x | ?3 ≤ x ≤ ?2 或 3 ≤ x ≤ 4} 2.已知复数 z = 1 + i ,则 A.

B. {x | ?2 ≤ x ≤ 3} D. {x | ?2 ≤ x ≤ 4}

1 ?i 2
2

z +1 = z2 1 B. + i 2

C. ?

3.设函数 f ( x ) = cos ( x +

π

A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为

) ? sin 2 ( x + ), x ∈ R ,则函数 f ( x) 是 4 4
D.最小正周期为

π

1 ?i 2

D. ?

1 +i 2

π

B.最小正周期为 π 的偶函数

2 r uuur uuuu uuur uuuu uuur uuuu r r 4.若 M 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 ( MB ? MC ) ? ( MB + MC ) ? ( MB + MC ? 2
uuur MA) = 0 ,则 ? ABC 的形状为
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现要从下层 8 件中取 2 件调整到 上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 A.420 B.560 C.840 D.20160 6.已知 0 < a < 1 ,则函数 y = a ? | log a x | 的零点的个数为
| x|

2

的奇函数

π

的偶函数

A.1

B.2

C.3

D.4

7.设 a ,b 是两条直线, α , β 是两个平面,则 a ⊥ b 的一个充分条件是 A. a ⊥ α , b // β , α ⊥ β C. a ? α , b ⊥ β , α // β 8.设函数 f ( x ) = 于 A. a
2

B. a ⊥ α , b ⊥ β , α // β D. a ? α , b // β , α ⊥ β

|x| a +b a ?b ,对于任意不相等的实数 a, b ,代数式 + ? f (a ? b) 的值等 x 2 2
B. b
2

C. a 、 b 中较小的数

D. a 、 b 中较大的数

9.由方程 x x + y y = 1 确定的函数 y = f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 上是 A.奇函数 B.偶函数 C.减函数
2

D.增函数

10. 已知抛物线 y 2 = 2 px 的焦点 F 与双曲线 x ?

y2 = 1 的右焦点重合, 抛物线的准线与 x 轴 3

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的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |= A.4 B.8 C.16

2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为
D.32

11.从区间(0,1)上任取两个实数 a 和 b ,则方程 2a ? x = A.

3 4

B.

2 3

C.

1 2

b 有实根的概率为 x 1 D. 3

12.已知函数 f = ( x), y = g ( x ) 的导函数图象如下图,则 y = f ( x ), y = g ( x ) 的图象可能是

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分。 13.一个多面题中某一条棱的正视图、侧视图、俯视图长度分别为 a, b, c ,则这条棱的长为 _______。 14.若数列 {an } 满足 2an = 2an ?1 + d ( n ≥ 2) , 且 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 的方差为 4,则 d =________。

15.如右图所示的程序框图输出的结果是____________。

16.已知圆 C 的圆心与点 M (1, ?2) 关于直线 x ? y + 1 = 0 对称,并且圆 C 与 x ? y + 1 = 0 相 切,则圆 C 的方程为______________。 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 tan A = 3 ,

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cos C =

5 。 5

(1)求角 B 的大小; (2)若 c = 4, 求 ?ABC 面积

18. (本小题满分 12 分)已知集合 A = {x | x 2 ? 7 x + 6 ≤ 0, x ∈ N ? } ,集合 B = {x || x ? 3 |≤ 3,

x ∈ N ? } ,集合 M = {( x, y ) | x ∈ A, y ∈ B}
(1)求从集合 M 中任取一个元素是(3,5)的概率; (2)从集合 M 中任取一个元素,求 x + y ≥ 10 的概率; (3)设 ξ 为随机变量, ξ = x + y ,写出 ξ 的分布列,并求 Eξ 。

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD = 60 ,

°

Q 为 AD 的中点。
(1)若 PA = PD ,求证:平面 PQB ⊥ 平面 PAD ; (2)点 M 在线段 PC 上, PM = tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (3)在(2)的条件下,若平面 PAD ⊥ 平面 ABCD,且 PA = PD = AD = 2 , 求二面角 M ? BQ ? C 的大小。

20. (本小题满分 12 分)等差数列 {an } 中, a1 = 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为

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正数, b1 = 1 ,且 b2 + S 2 = 12 , {bn } 的公比 q = (1)求 an 与 bn ; (2)证明:

S2 b2

1 1 1 1 2 ≤ + +…+ < 3 S1 S 2 Sn 3

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为

2 , 2

uuur uuuu r P 是椭圆在第一象限弧上一点,且 PF1 ? PF2 = 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线
PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值;

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) =

1 ( x > ?1 且 x ≠ 0 ) ( x + 1) ln( x + 1)

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 值域 (3)已知 2 x +1 > ( x + 1) 对任意 x ∈ ( ?1, 0) 恒成立,求实数 m 的取值范围。
m 1

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高三理科数学参考答案
一、选择题:1B 2A 3A 4C 5C 二、填空题:13. 6B 7C 8D 9C 10B 11D 12B 14. ±2 15.5 16. ( x + 3) + ( y ? 2) = 8
2 2

a2 + b2 + c2 2

17.解: (1)由 cos C =

5 2 5 ∴ sin C = ,∴ tan C = 2 5 5
tan A + tan C =1 1 ? tan A tan C

Q tan B = ? tan( A + C ) = ?
又 0 < B < π ,∴ B = (2)由正弦定理

π
4

b c c = 可得, b = × sin B = 10 , sin B sin C sin C

由 sin A = sin( B + C ) = sin( 所以 ? ABC 面积 S ?ABC =

π
4

+ C ) 得, sin A =

3 10 10

1 bc sin A = 6 2 1 36

18.解: (1)设从 M 中任取一个元素是(3,5)的事件为 B,则 P ( B ) = 所以从 M 中任取一个元素是(3,5)的概率为

1 36

(2)设从 M 中任取一个元素, x + y ≥ 10 的事件为 C ,有 (4,6)(6,4)(5,5)(5,6)(6,5)(6,6) , , , , , 则 P(C)=

1 1 ,所以从 M 中任取一个元素 x + y ≥ 10 的概率为 6 6

(3) ξ 可能取的值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

1 2 3 4 5 6 , P (ξ = 3) = , P(ξ = 4) = , P(ξ = 5) = , P(ξ = 6) = , P(ξ = 7) = 36 36 36 36 36 36 5 4 3 2 1 P(ξ = 8) = , P(ξ = 9) = , P(ξ = 10) = , P(ξ = 11) = , P(ξ = 12) = 36 36 36 36 36 P(ξ = 2) =

ξ 的分布列为

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理科数学第 13 页(共 4 页)

ξ
P

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

Eξ = 2 ×

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × + 7 × + 8 × + 9 × + 10 × + 11× + 12 × = 7 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

19.解: (1)连 BD,四边形 ABCD 菱形, ∵AD⊥AB, ∠BAD=60° △ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,AD⊥PQ 又 BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面 PQB, AD ? 平面 PAD ∴平面 PQB⊥平面 PAD (2)当 t =

1 时, PA // 平面 MQB 3

下面证明,若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,∴

AQ AN 1 = = BC NC 2

Q PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC I 平面 MQB = MN ,∴ PA // MN

PM AN 1 = = PC AC 3

即: PM =

1 PC 3

∴t =

1 3

(3)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD。 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD, 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的坐标 系,则各点坐标为 A(1,0,0) ,B( 0, 3, 0 ) ,Q(0,0,0) ,P(0,0, 3 ) 设平面 MQB 的法向量为 n = ( x, y,1) ,可得

r

r uuu r r uuu r r ?n ? QB = 0 ?n ? QB = 0 ? ? ,Q PA // MN ,∴ ? r uuu ,解得 n = ( 3, 0,1) r uuuu r r ? ?n ? MN = 0 ?n ? PA = 0 ? ? ur 取平面 ABCD 的法向量 m = (0, 0,1)
ur r 1 cos < m, n >= , 故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60° 2

?q + 3 + a2 = 12 ? 20.解: (I)由已知可得 ? 3 + a2 ?q = q ?

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理科数学第 14 页(共 4 页)

解直得, q = 3 或 q = ?4 (舍去) a2 = 6 ,

∴ an = 3 + (n ? 1)3 = 3n
(2)证明:Q S n =

bn = 3n ?1

n(3 + 3n) 1 2 2 1 1 ∴ = = ( ? ) 2 S n n(3 + 3n) 3 n n + 1



1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 + +…+ = (1 ? + ? + ? + … + ? ) = (1 ? ) S1 S 2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n +1 3 n +1
1 1 1 2 1 2 ≤ ∴ ≤ (1 ? )< n +1 2 3 3 n +1 3

Q n ≥ 1 ∴0 <


1 1 1 1 2 ≤ + +…+ < 3 S1 S 2 Sn 3 y 2 x2 y 2 x2 + 2 = 1 ,由题意可得 a = 2, b = 2, c = 2 2 ,方程为 + =1 a2 b 4 2

21. (1) 设椭圆方程为

F1 (0, 2), F2 (0, ? 2) ,设 P ( x0 , y0 )( x0 > 0, y0 > 0)
则 PF1 = ( ? x0 , 2 ? y0 ), PF2 = ( ? x0 , ? 2 ? y0 ),

uuur

uuuu r

uuur uuuu r 2 2 ∴ PF1 ? PF2 = x0 ? (2 ? y0 ) = 1
Q 点 P ( x0 , y0 ) 在曲线上,则
2 2 x0 y0 + = 1. 2 4 2 ∴ x0 = 2 4 ? y0 2

从而

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) = 1 ,得 y0 = 2 ,则点 P 的坐标为 (1, 2) 2

(2)由(1)知 PF1 // x 轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数,设 PB 斜率为 k ( k > 0) ,

? y ? 2 = k ( x ? 1) ? 2 则 PB 的直线方程为: y ? 2 = k ( x ? 1) 由 ? x 得 y2 =1 ? + ?2 4
(2 + k 2 ) x 2 + 2k ( 2 ? k ) x + ( 2 ? k )2 ? 4 = 0
设 B ( xB , y B ), 则 xB =

2k (k ? 2) k 2 ? 2 2k ? 2 ?1 = 2 + k2 2 + k2
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 15 页(共 4 页)

同理可得 x A =

k 2 + 2 2k ? 2 4 2k ,则 x A ? xB = 2 2+k 2 + k2
8k 2 + k2

y A ? yB = ? k ( xA ? 1) ? k ( xB ? 1) =
所以:AB 的斜率 k AB =

y A ? yB = 2 为定值 x A ? xB

22.解: (1)Q f '( x) = ?

ln( x + 1) + 1 ( x + 1) 2 ln 2 ( x + 1)

∴ 当 f '( x) > 0 时,即 ln( x + 1) + 1 < 0, ?1 < x < e ?1 ? 1
当 f '( x ) < 0 时,即 ln( x + 1) + 1 > 0, 0 > x > e ? 1 或 x > 0 故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?1, e ?1 ? 1) 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (e ?1 ? 1, 0), (0, +∞ ) (2)由 f '( x ) = 0 时,即 ln( x + 1) + 1 = 0, x = e ?1 ? 1 ,由(1)可知 f ( x ) 在 ( ?1, e ?1 ? 1) 上递增, 在 (e ?1 ? 1, 0) 递减,所以在区间(-1,0)上,当 x = e ? 1 时, f ( x ) 取得极大值, 即最大值,为 f (e ?1 ? 1) = ? w 在区间 (0, +∞ ) 上, f ( x ) > 0
?1 ?1

∴ 函数 f ( x) 的值域为 (?∞, ?e) U (0, +∞ )
(3)Q 2
1 x +1

> ( x + 1)m > 0, x ∈ (?1, 0) ,两边取自然对数得,
对 x ∈ ( ?1, 0) 恒成立

1 ln 2 > m ln( x + 1) x +1

∴m >

ln 2 ( x + 1) ln( x + 1)

则 m 大于

ln 2 的最大值, ( x + ) ln( x + 1)
?1

由(2)可知,当 x = e ? 1 时,

ln 2 取得最大值 ?e ln 2 ( x + 1) ln( x + 1)
理科数学第 16 页(共 4 页)

高中毕业班质量监测试题

所以 m > ?e ln 2

绝密★启用前

试卷类型:A

汕头市2010~2011学年度普通高中毕业班教学质量监测试题 学年度普通高中毕业班教学质量监测试题 汕头市

理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,20小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答选择题前,考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内,框线外的部分不计分. 4.考试结束后,监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回,试卷由考生自己 保管. 参考公式: 参考公式: 锥体的体积公式 V =

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( A ? B ) = P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
k k n?k

概率 Pn ( k ) = C n p (1 ? p )

第Ⅰ卷 (选择题 满分40分)
一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的)
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 17 页(共 4 页)

1.

若复数 (a ? 3a + 2) + ( a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为(
2

) D. -1

A. 1

B.

2

C. 1或2

2.设全集 U 是实数集 R ,M={x|x2>4},N={x| 1 < x ≤ 3 }, 则图中阴影部分表示的集合是( A.{x|-2≤x<1 } C.{x|1<x≤2 } )

B.{x|-2≤x≤2} D.{x|x<2} ) B. y =

3.下列函数中,最小值为2的是( A. y =

x2 + 2 +

1 x2 + 2

x2 +1 x

C. y = x ( 2 2 ? x)(0 < x < 2 2 )

2 D. y = x + 2 x2 +1

2 4. a 为函数 y = sin x + 3 cos x( x ∈ R ) 的最大值, 设 则二项式 (a x ? 1 ) 6 的展开式中含 x x 项的系数是( )

A.192 数是( )

B.182

C.-192

D.-182

5.若 m 、 n 为两条不重合的直线, α 、 β 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题个 ①若 m 、 n 都平行于平面 α ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 α ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 α 、 β 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ⊥ α ,则 n ⊥ β ; ④ m 、 n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产 能耗 y (吨)的几组对应数据:

x
y
A. 3

3 2.5

4

5 4

6 4.5

t
C. 3.5

根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为 $ = 0.7 x + 0.35 , 那么表中 t 的值为( ) y

r 2 r r r r r r r r 7.已知方程 ax + bx + c = 0 ,其中 a 、b 、c 是非零向量,且 a 、b 不共线,则该方程(
A.至多有一个解 C.至多有两个解 B.至少有一个解 D.可能有无数个解 Y

B. 3.15

D. 4.5

)

8.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( 4) = 1 , f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导函 数,已知 y = f ' ( x ) 的图像如图所示,若两个正数 a 、 b 满足
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 18 页(共 4 页)

O

X

f (2a + b) < 1 ,则
1 1 A. ( , ) 5 3

b +1 的取值范围是( a +1 1 B. ( ?∞, ) ∪ (5,+∞) 3

) C. ( ,5)

1 3

D. (?∞,3)

第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)
二、填空题:(本大题共6小题,每小题5分,满分30分) 填空题: 9.高三(1)班共有56人,学生编号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的方法抽取一个 容量为4的样本, 已知6, 48的同学在样本中, 34, 那么还有一位同学的编号应为 10.在等比数列 {a n } 中,首项 a1 =

. .

2 a , 4 3

=∫

4 1

(1 + 2 x ) dx ,则公比 q 为

11.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“ONE”,“WORLD”,“ONE”, “DREAM”的四张卡片随机排成一排,若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM” , 则 孩 子 会 得 到 父 母 的 奖 励 , 那 么 孩 子 受 奖 励 的 概 率 为

. .

12.已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA、PB、PC两两互相垂直, 则三棱锥 P ? ABC 的侧面积的最大值为 13.在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项,4为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 1 为 3 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则 tan C = ①a +b > c + h ,
2 4 2 4 2 4 2 4


3 3

14.设直角三角形的两条直角边的长分别为 a ,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有 ②a +b < c + h ,
3 3

③a +b > c + h , 其中正确结论的序号是

④a +b < c + h .
5 5 5 5

;进一步类比得到的一般结论是

.

三、解答题:(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题: 15.(本题满分12分) 已知向量 a = (sin

r

r r x x x x r b a· , cos ), b = (cos , 3 cos ) ,函数 f ( x ) = a b b , 3 3 3 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足 b = ac ,且边b所对的角为 x ,试求 x 的范围及函
2

数 f ( x ) 的值域. 16.(本小题满分12分) 四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2,把它们放在一个盒子里,从中任意摸出
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 19 页(共 4 页)

两个小球,它们所标有的数字分别为 x 、 y ,记 ξ = x + y ; (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望;
2

求事件 A 发 (Ⅱ)设“函数 f ( x) = x ? ξx ? 1 在区间 ( 2,3) 上有且只有一个零点”为事件 A ,

生的概率. 17.(本小题满分14分) 已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形. (Ⅰ)求此几何体的体积; (Ⅱ)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ)探究在 DE 上是否存在点Q,使得 AQ ⊥ BQ ,并说明理由.

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理科数学第 20 页(共 4 页)

18.(本小题满分14分) 某商场以100元/件的价格购进一批衬衣,以高于进货价的价格出售,销售期有淡季与旺 季之分,通过市场调查发现: ①销售量 r (x ) (件)与衬衣标价 x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关系: r ( x) = kx + b1 , 在销售淡季近似地符合函数关系:r ( x) = kx + b2 , 其中 k < 0, b1、b2 > 0且k、b1、b2 为常数; ②在销售旺季,商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润; ③若称①中 r ( x ) = 0 时的标价 x 为衬衣的“临界价格”,则销售旺季的“临界价格”是销售淡 季的“临界价格”的1.5倍. 请根据上述信息,完成下面问题: (Ⅰ)填出表格中空格的内容: 数量关系 销售关系 旺季 淡季 标价(元/件) 销售量 r (x ) (件)(含 销售总利润 y (元)与标价 x (元/件)的函数关系式

k 、 b1 或 b2 )

x x

r ( x) = kx + b1

(Ⅱ)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元/件? 19.(本小题满分14分) 已知数列 {a n } 满足如图所示的程序框图. (Ⅰ)写出数列 {a n } 的一个递推关系式; (Ⅱ)证明: {a n +1 ? 3a n } 是等比数列, 并求 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {n( a n + 3
n ?1

开始

输入 n

a1 = 1 , a2 = 1, i = 1

)} 的前 n 项和 Tn .
ai + 2 = 5ai +1 ? 6a i i = i +1

i≥n
20.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + a ln x. (Ⅰ)若函数 f ( x)在区间(0,1) 上是单调函数, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当t ≥ 1时,不等式 f (2t ? 1) ≥ 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.
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输出 ai + 2

结束
理科数学第 21 页(共 4 页)

汕 头 市 2010— — 2011 学 年 高 中 毕 业 班 教 学 质 量 监 测
理科数学参考答案及评分意见 一、选择题:本小题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 A 6 A 7 A 8 C

二、填空题 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 填空题
1 9. 20; 10. 11. ; 12. 3; 18; 13. 1; 14. ②④, a n + b n < c n + h n (n ∈ N *) 。 12 答提示: 解答提示:

一、选择题:1.由 a 2 ? 3a + 2 = 0 且 a ? 1 ≠ 0 得 a = 2 ,选 B; 选择题: 2.依题意,M={x|x<-2 或 x>2}, CR M = { x ?2 ≤ x ≤ 2} ,CRM∩N={x|1<x≤2 } . 选 C; 3. y =
x2 +1 无最小值, y = x(2 2 ? x)(0 < x < 2 2 ) 也没最小值,(有最大值 2), x

排 B 、 C ; y = x2 + 2 +
x2 + 2 x2 +1

1 x2 + 2

≥2 , 但 等 号 不 成 立 , 排 A ;

y=

= x2 +1 +

1 x2 +1

≥ 2 , x = 0 时取等号。选 D;

4.因为 sin x + 3 cos x = 2 sin( x +

π
3

) ,由题设知 a = 2 . 1
x

则二项展开式的通项公式为 Tr +1 = C 6r (a x ) 6? r ? (?

) r = (?1) r ? C 6r ? a 6? r ? x 3?r ,

1 令 3 ? r = 2 ,得 r = 1 ,含 x 2 项的系数是 ?C6 25 = ?192 ,选 C;

5.①为假命题,②为真命题,在③中 n 可以平行于 β ,也可以在 β 内,是假命 题,④中, m 、 n 也可以不互相垂直,为假命题;故选 A。 6.
由 y = 0.7 x + 0.35得

2.5 + t + 4 + 4.5 3+ 4+5+ 6 11 + t = 0.7 × + 0.35 ? = 3.5 ? t = 3 , 4 4 4

选 A;

r r r r r 7.由于 a , b 不共线,所以 c = ma + nb(m, n ∈ R, 且m, n是唯一的) ,则
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 22 页(共 4 页)

? x 2 = ?m , 故该方程至多有一个解,选A ; ? ? x = ?n
8.解:观察俯像,可知 f (x) 在 (?∞,0] 上是减函数, 在 [0,+∞) 上是增函数,由 f (2a + b) < 1 = f (4) ,可得

b 4

?2 a + b < 4 ? ,画出以 (a, b) 为坐标的可行域(如俯所示 ?a > 0 ?b > 0 ?
阴影部分) ,而
b +1 可看成 (a, b) 与 ( ?1,?1) 连线的斜 a +1

?1 O ?1 2 a

率,可求得 C 为所求,故选 C。 二、填空题:9.将高三(1)班 56 人用系统抽样抽取 4 人,每部分应为 14 人, 填空题: 填空题 故所选编号均间隔 14,还有一位同学编号 20。 10.由题设可得 a 4 = 18, q 3 = 27 ,从而 q = 3 ; 11.四张卡片排成一排一共有 12 种不同排法,其中只有一种会受奖励,故孩子 受奖励的概率为
1 。 12

12.依题意知,PA,PB,PC 两两垂直,以 PA,PB,PC 为棱构造长方体,则该长方体 的对角线即为球的直径,所以

PA2 + PB 2 + PC 2 = 4 R 2 = 36, 1 1 PA2 + PB 2 PB 2 + PC 2 PC 2 + PA2 ( PA PB + PB PC + PC PA) ≤ ( ) = 18, + + 2 2 2 2 2 当PA = PB = PC = 2 3时,取等号. S=
1 13.依设有 ?4 + 4 tan A = 4, tan 3 B = 9,解得 tan A = 2, tan B = 3 , 3 tan A + tan B 所以 tan C = ? tan ( A + B ) = ? =1. 1 ? tan A tan B

14. 在直角三角形中, a = c sin A, b = c cos A, ab = ch, 故 h = c sin A cos A,
a n + b n = c n sin n A + cos n A , a n + b n ? c n ? h n = c n sin n A + cos n A ? 1 ? sin n A cos n A = c n sin n A ? 1 ? 1 ? cos n A < 0,

(

)

(

)

(

)(

)

有 a n + b n < c n + h n ,故填②④ a n + b n < c n + h n (n ∈ N *) 。
三、解答题:
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 23 页(共 4 页)

15.解:
v v x x x x 1 2x 3 2x ( ) f ( x) = a ? b = sin cos + 3 cos cos = sin Ⅰ + (1 + cos ) 3 3 3 3 2 3 2 3 KK 3 分 1 2x 3 2x 3 2x π 3 = sin + = sin( + ) + cos + 2 3 2 3 2 3 3 2

令 2kπ ?

2x π π 5π π ≤ x ≤ 3kπ + , (k ∈ Z ) . + ≤ 2kπ + ,解得, 3kπ ? 2 3 3 2 4 4 5π π 故函数 f (x) 的单调递增区间为 [3kπ ? ,3kπ + ], (k ∈ Z ) . KK KK 6 分 4 4 ≤

π

(Ⅱ) Q b 2 = ac, cos x = ∴

a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac ? ac 1 = ≥ = . KK KK 8 分 2ac 2ac 2ac 2

1 π π 2 x π 5π ≤ cos x < 1, < x ≤ ,∴ < 0 + ≤ , 2 3 3 3 3 9
π
3 < sin( 2x π + ) ≤1, 3 3

∴ sin

KK KK 10 分

∴ 3 < sin(

2x π 3 3 3 + )+ ≤ 1+ 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 + ]. 3 3 2 2 2
KK KK 12 分

π 3 综上所述, x ∈ (0, ], f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 + ]. 3 2

16.解: (Ⅰ)由题意可知随机变量 ξ 的可能取值为 2,3,4,从盒子中摸出两个
2 小球的基本事件总数为 C 4 = 6 ,

KK KK 2


当 ξ = 2 时,摸出小球所标的数字为 1,1, P(ξ = 2) = 1 , 6 1 当 ξ = 4 时,摸出小球所标的数字为 2,2, P(ξ = 4) = , 6 1 1 2 可知,当 ξ = 3 时, P(ξ = 3) = 1 ? ? = ; KK KK 5 分 6 6 3

得 ξ 的分布列为:

ξ
P

2 1 6

3 2 3

4 1 6
KK KK 7 分

1 2 1 Eξ = 2 × + 3 × + 4 × = 3 ; 6 3 6

( Ⅱ ) 由 “ 函 数 f ( x) = x 2 ? ξx ? 1 在 区 间 (2,3) 上 有 且 只 有 一 个 零 点 ” 可 知
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 24 页(共 4 页)

f (2) f (3) < 0 ,即 (3 ? 2ξ )(8 ? 3ξ ) < 0 ,解得

3 8 <ξ < , 2 3

又 ξ 的可能取值为 2,3,4,故 ξ = 2 ,
1 ∴ 事件 A 发生的概率为 。 6
EC = BC = AC = 4 , BD = 1 ,

KK KK 12 分

17 . 解 : Ⅰ ) 由 该 几 何 体 的 三 俯 俯 可 知 AC 垂 直 于 底 面 BCED , 且 (

1 1 1 40 ∴ S BCED = × (4 + 1) × 4 = 10 , V = S BCED ? AC = × 10 × 4 = , 2 3 3 3 40 此几何体的体积为 ; KK KK KK KK 5 分 E 3

解法一: (Ⅱ)过点 B 作 BF // ED 交 EC 于 F ,连接
AF ,则 ∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所

F D









?BAF





AB = 4 2


C B

BF = AF = 16 + 9 = 5 ,
BF 2 + AB 2 ? AF 2 2 2 ∴ cos ∠ABF = = ;即异面直 A 2 BF ? AB 5

线 DE 与 AB 所成角的余弦值为

2 2 。 KK KK 9 分 5

(Ⅲ)在 DE 上存在点 Q,使得 AQ ⊥ BQ ;取 BC 中点 O ,过点 O 作 OQ ⊥ DE 于 点 Q ,则点 Q 为所求点; 连接 EO 、 DO ,在 Rt?ECO 和 Rt?OBD 中,
E

Q

EC OB = = 2 ,∴ Rt?ECO ∽ Rt?OBD , CO BD
C O

Q D

∴ ∠CEO = ∠BOD ,

Q

∠EOC + ∠CEO = 90 0

B


A

∴ ∠EOC + ∠DOB = 90 0 , ∠EOD = 90 0 ,

Q

OE = CE 2 + CO 2 = 2 5



OD = OB 2 + BD 2 = 5 ,∴ OQ =

OE ? OD 2 5 ? 5 = = 2, ED 5

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理科数学第 25 页(共 4 页)

∴ 以 O 为圆心, BC 为直径的圆与 DE 相切,切点为 Q ,连接 BQ 、 CQ ,可得
BQ ⊥ CQ ;

Q AC ⊥ 平面BCED , BQ ? BCED ,∴ AC ⊥ BQ ,∴ BQ ⊥ ACQ , Q AQ ? 平面ACQ ,∴ AQ ⊥ BQ ;
解法二: (Ⅰ)同上。 (Ⅱ)以 C 为原点,以 CA 、 CB 、 CE 所在直
KK KK KK KK 14 分

z
线为 x 、 y 、 z 轴建立如俯所示的空间直角坐 标 系 , 则 A(4,0,0) , B (0,4,0) , D (0,4,1) ,
E (0,0,4) ,得 DE = (0,?4,3) , AB = (?4,4,0) , uuur uuu r uuur uuu r DE ? AB 2 2 cos < DE , AB >= uuur uuu = ? , 又异面直 r 5 DE ? AB
D E

C

B

y

线 DE 与 AB 所成角为锐角,可得异面直线
A

DE 与 AB 所成角的余弦值为

2 2 。 5

x

(Ⅲ)设存在满足题设的点 Q ,其坐标为 (0, m, n) , 则 AQ = (?4, m, n) , BQ = (0, m ? 4, n) , QD = (0,4 ? m,1 ? n) ,

Q AQ ⊥ BQ ,∴ m(m ? 4) + n 2 = 0

①;

Q 点 Q 在 ED 上,∴ 存在 λ ∈ R(λ > 0) 使得 EQ = λ QD ,
即 (0, m, n ? 4) = λ (0,4 ? m,1 ? n) ,化简得 m = ②代入①得 (
4λ 4+λ ,n = 1+ λ 1+ λ

②,

λ+4 2 16λ ) = ,得 λ2 ? 8λ + 16 = 0 , λ = 4 ; 2 1+ λ (1 + λ )
16 8 , )。 5 5

∴ 满足题设的点 Q 存在,其坐标为 (0,
18.解: (Ⅰ)

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 26 页(共 4 页)

数量关系 销售关系

标价 (元/ 销售量 r (x)(件) 销售总利润 y (元)与标价 x 件) (含 k 、 b1 或 b2 ) (元/件)的函数关系式

旺季

x

r ( x) = kx + b1 r ( x) = kx + b2
KK KK KK 6 分

y = kx 2 ? (100k ? b1 ) x ? 100b1 y = kx 2 ? (100k ? b2 ) x ? 100b2

淡季

x

(Ⅱ)在(Ⅰ)的表达式 y = kx 2 ? (100k ? b1 ) x ? 100b1 中,由 k < 0 可知, 在销售旺季,当 x =
100k ? b1 b = 50 ? 1 时,利润 y 取得最大值; 2k 2k 100k ? b2 b = 50 ? 2 时,利润 y 取得最大值. KK 7 分 2k 2k

在销售淡季,当 x =

下面分销售旺季和淡季进行讨论: 由②知,在销售旺季,商场以 140 元/件的价格出售时,能获得最大利润. 因此在销售旺季,当标价 x = 50 ? b1 = 140 时,利润 y 取得最大值。此时, 2k
KK KK KK KK 10 分

b1 = ?180k ,销售量为 r ( x) = kx ? 180k .

令 kx ? 180k = 0 得 x = 180 ,故在销售旺季,衬衣的“临界价格”为 180 元/件. ∴由③知,在销售淡季,衬衣的“临界价格”为 120 元/件.可见在销售淡季,当 标价 x = 120 时, r ( x) = kx +b 2 = 0 ,∴ 120k + b2 = 0 ,∴ b2 = ?120k . KK 12 分 ∴在销售淡季,当 x = 50 ? b2 120k = 50 + = 110 时,利润 y 取得最大值, 2k 2k

故在销售淡季,商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为 110 元/件.
KK KK 14 分

19.解: (Ⅰ)由程序框俯可知, a1 = a2 = 1 , an + 2 = 5an +1 ? 6an KK KK 2 分 (Ⅱ)由 an + 2 ? 3an +1 = 2(an +1 ? 3an ) , 且 a2 ? 3a1 = ?2 可知,数列 {a n +1 ? 3a n } 是以 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,可
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 27 页(共 4 页)

得 a n+1 ? 3a n = ?2 n ,即

a n +1 3a n a a 1 3 a 1 = ? ,Q n +1 ? 1 = ( n ? 1) ,又 1 ? 1 = ? , n +1 n n +1 n 2 2 2 2 2 2 2?2 2

∴ 数列 {

an 1 3 ? 1} 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, n 2 2 2



an 1 3 ? 1 = ? ( ) n?1 , a n = 2 n ? 3 n ?1 n 2 2 2

KK KK

9分

(Ⅲ)Q n(a n + 3 n ?1 ) = n ? 2 n ,

∴ Tn = 1 ? 2 + 2 ? 2 2 + ... + n ? 2 n ①,
2Tn = 1 ? 2 2 + 2 ? 2 3 + ... + n ? 2 n +1 ②,

两式相减得 Tn = (?2 ? 2 2 ? ... ? 2n ) + n ? 2n +1 =? 2 (1 ? 2n ) 1? 2 + n ? 2 n +1 = 2 ? 2 n +1 + n ? 2n +1 = (n ? 1)2 n +1 + 2
KK KK KK 14 分

20.解: (Ⅰ)函数 f ( x)的定义域是(0, +∞) , f ′( x) = 2 x + 2 + a 2 x2 + 2 x + a = , x x

………………1 分 …………3 分

因为函数 f ( x) 在区间(0,1)上为单调函数 所以只需 f ′( x) ≥ 0或f ′( x) ≤ 0 在区间(0,1)上恒成立, 即 a ≥ ?(2 x 2 + 2 x)或a ≤ ?(2 x 2 + 2 x) 在区间(0,1)上恒成立,…………5 分 解得 a ≥ 0, 或a ≤ ?4; 故实数 a 的取值范围是 (?∞, ?4] ∪ [0, +∞) (Ⅱ)不等式 f (2t ? 1) ≥ 2 f (t ) ? 3 可化为 2t 2 ? 4t + 2 ≥ a ln t 2 ? a ln(2t ? 1) 即 2t 2 ? a ln t 2 ≥ 2(2t ? 1) ? a ln(2t ? 1) 记 g ( x) = 2 x ? a ln x( x ≥ 1) ,要使上式成立 只须 g ( x) = 2 x ? a ln x( x ≥ 1) 是增函数即可 …………12 分 …………10 分 …………7 分

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理科数学第 28 页(共 4 页)

即 g '( x) = 2 ?

a ≥ 0 在 [1, +∞) 上恒成立, a ≤ 2 x 在 [1, +∞ ) 上恒成立, a ≤ 2 , 即 故 x

实数 a 的取值范围是 (?∞, 2] 。

………………14 分

2010— 汕 头 市 2010 — — 2011 学 年 高 中 毕 业 班 教 学 质 量 监 测 理 科 数 学 试 卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,20 小题,满分 150 分.考试时间 120 分 钟. 注意事项: 注意事项: 1.答选择题前,考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内,框线外的部分不计分. 4.考试结束后,监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回,试卷由考生自 己保管. 参考公式: 参考公式: 锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( A ? B ) = P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次 的概率 Pn ( k ) = C n p (1 ? p )
k k n?k

第Ⅰ卷 (选择题 满分 40 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的) 1. 若复数 (a 2 ? 3a + 2) + ( a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A. 1 B. 2
2

) -1

C. 1 或 2

D.

2.设全集 U 是实数集 R ,M={x|x >4},N={x| 1 < x ≤ 3 },则俯中阴影部分表示的集合是 ( )

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理科数学第 29 页(共 4 页)

A.{x|-2≤x<1 }

B.{x|-2≤x≤2} )

C.{x|1<x≤2 }

D.{x|x<2}

3.下列函数中,最小值为 2 的是( A. y =

x2 + 2 +

1 x2 + 2

B. y =

x2 +1 x
x2 + 2 x2 +1 1 x ) 6 的展开式中

C. y = x ( 2 2 ? x )(0 < x < 2 2 )

D. y =

4.设 a 为函数 y = sin x + 3 cos x( x ∈ R ) 的最大值,则二项式 (a x ?

含 x 项的系数是( A.192

2

) B.182 C.-192 D.-182

5.若 m 、 n 为两条不重合的直线,α 、 β 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题个 数是( )

①若 m 、 n 都平行于平面 α ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 α ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 α 、 β 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ⊥ α ,则 n ⊥ β ; ④ m 、 n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的 生产能耗 y (吨)的几组对应数据

x
y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

t

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 $ = 0.7 x + 0.35 ,那么表中 t 的值为 y ( A. 3 ) B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5

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理科数学第 30 页(共 4 页)

7.已知方程 ax + bx + c = 0 , 其中 a 、b 、c 是非零向量, a 、b 不共线, 且 则该方程 (
2

r

r

r

r

r

r

r

r

r



A.至多有一个解 C.至多有两个解

B.至少有一个解 D.可能有无数个解

Y

8.定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ( 4) = 1 , f ' ( x ) 为 f (x ) 的导函数,已

O
知 y = f ' ( x ) 的俯像如俯所示,若两个正数 a 、b 满足 f ( 2a + b) < 1 ,则

X

b +1 的取值范围是( ) a +1 1 1 1 A. ( , ) B. ( ?∞, ) ∪ (5,+∞) 5 3 3

C. ( ,5)

1 3

D. (?∞,3)

第 II 卷(非选择题 满分 110 分) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 填空题: 9.高三(1)班共有 56 人,学生编号依次为 1,2,3,…,56,现用系统抽样的方法抽取一 个容量为 4 的样本, 已知 6, 34, 的同学在样本中, 48 那么还有一位同学的编号应为 10.在等比数列 {a n } 中,首项 a1 = 。 。

2 , a4 = 3

∫ (1 + 2 x ) dx ,则公比 q 为
4 1

11.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏, 让孩子把分别写有 “ONE” WORLD” ONE” DREAM” , “ , “ , “ 的四张卡片随机排成一排,若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM” ,则孩子 会得到父母的奖励,那么孩子受奖励的概率为 12.已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在半径为 3 的球面上, PA, PB, PC 两两互相垂直, 且 则三棱锥 P ? ABC 的侧面积的最大值为 。

13.在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则 tan C = 。

1 为 3

14.设直角三角形的两条直角边的长分别为 a ,b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则有 ① a + b > c + h ,② a + b < c + h ,③ a + b > c + h ,
2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4

④a +b < c + h .
5 5 5 5

其中正确结论的序号是

;进一步类比得到的一般结论是

.

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三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题: 15.(本题满分 12 分) 已知向量 a = (sin

r

v v x x r x x , cos ), b = (cos , 3 cos ) ,函数 f ( x) = a b , 3 3 3 3

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b = ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及函
2

数 f (x ) 的值域.

16.(本小题满分 12 分) 四个大小相同的小球分别标有数字 1、1、2、2,把它们放在一个盒子里,从中任意摸 出两个小球,它们所标有的数字分别为 x 、 y ,记 ξ = x + y ; (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)设“函数 f ( x) = x 2 ? ξx ? 1 在区间 ( 2,3) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率。

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理科数学第 32 页(共 4 页)

17.(本小题满分 14 分) 已知几何体 A ? BCDE 的三俯俯如俯所示,其中俯俯俯和侧俯俯都是腰长为 4 的等腰 直角三角形,正俯俯为直角梯形。

E
4 1 4 正视图 4 侧视图

D

C

B

A

俯视图 (Ⅰ)求此几何体的体积; (Ⅱ)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ)探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ⊥ BQ ,并说明理由。

18.(本小题满分 14 分) 某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣, 以高于进价的价格出售, 销售期有淡季与旺季 之分,通过市场调查发现: ① 销售量 r (x ) (件)与衬衣标价 x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关系:

r ( x) = kx + b1 , 在 销 售 淡 季 近 似 地 符 合 函 数 关 系 : r ( x) = kx + b2 , 其 中 k < 0, b1、b2 > 0且k、b1、b2 为常数;

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理科数学第 33 页(共 4 页)

② 在销售旺季,商场以 140 元/件的价格销售能获得最大销售利润; ③ 若称①中 r ( x ) = 0 时的标价 x 为衬衣的“临界价格” ,则销售旺季的“临界价格” 是销售淡季的“临界价格”的 1.5 倍. 请根据上述信息,完成下面问题: (Ⅰ)填出表格中空格的内容; 数量关系 标价(元/件) 销售关系 (含 k 、 b1 或 b2 ) /件)的函数关系式 销售量 r (x ) (件) 销售总利润 y (元) 与标价 x (元

旺季

x

r ( x) = kx + b1

淡季

x

(Ⅱ)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元/件?

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足如俯所示的程序框俯.

开始

输入 n

(Ⅰ)写出数列 {a n } 的一个递推关系式; (Ⅱ)证明: {a n +1 ? 3a n } 是等比数列, 并求 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {n( a n + 3
n ?1

a1 = 1 , a2 = 1 , i = 1

)} 的前 n 项和 Tn 。

a i + 2 = 5ai +1 ? 6ai

i = i +1

i≥n




输出 ai + 2

20. (本小题满分 14 分)
结束
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 34 页(共 4 页)

已知函数 f ( x) = x + 2 x + a ln x.
2

(Ⅰ)若函数 f ( x)在区间(0,1) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 t ≥ 1时,不等式 f (2t ? 1) ≥ 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。

汕 头 市 2010— — 2011 学 年 高 中 毕 业 班 教 学 质 量 监 测 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题:本小题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 A 6 A 7 A 8 C

二、填空题 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 填空题 9.20; 10.3; 11. 解答提示: 解答提示: 一、选择题:1.由 a ? 3a + 2 = 0 且 a ? 1 ≠ 0 得 a = 2 ,选 B; 选择题:
2

1 ; 12.18; 13.1; 14.②④, a n + b n < c n + h n (n ∈ N *) 。 12

2.依题意,M={x|x<-2 或 x>2}, C R M = x ?2 ≤ x ≤ 2 ,CRM∩N={x|1<x≤2 } .选 C; 3. y =

{

}

x2 +1 无最小值, y = x ( 2 2 ? x )(0 < x < 2 2 ) 也没最小值,(有最大值 2),排 B、 x

C



y = x2 + 2 +
x2 + 2 x2 +1

1 x2 + 2 1 x2 +1

≥2



















A



y=

= x +1 +
2

≥ 2 , x = 0 时取等号。选 D;

4.因为 sin x + 3 cos x = 2 sin( x +

π
3

) ,由题设知 a = 2 . 1
x

r 则二项展开式的通项公式为 Tr +1 = C 6 ( a x ) 6? r ? ( ?

) r = (?1) r ? C 6r ? a 6? r ? x 3? r ,令

1 3 ? r = 2 ,得 r = 1 ,含 x 2 项的系数是 ?C6 25 = ?192 ,选 C;

5.①为假命题,②为真命题,在③中 n 可以平行于 β ,也可以在 β 内,是假命题,④中,

m 、 n 也可以不互相垂直,为假命题;故选 A。
6.

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理科数学第 35 页(共 4 页)

由 y = 0.7 x + 0.35得
选 A;

2.5 + t + 4 + 4.5 3+ 4+5+ 6 11 + t = 0.7 × + 0.35 ? = 3.5 ? t = 3 , 4 4 4
r r r

7.由于 a , b 不共线,所以 c = ma + nb ( m, n ∈ R , 且m, n是唯一的) ,则

r

r

? x 2 = ?m , 故该方程至多有一个解,选A ; ? ? x = ?n
8. 观察俯像, 解: 可知 f (x ) 在 (?∞,0] 上是减函数, [0,+∞ ) 在

b 4

?2 a + b < 4 ? 上是增函数,由 f ( 2 a + b ) < 1 = f ( 4) ,可得 ?a > 0 , ?b > 0 ?
b +1 画出以 ( a, b) 为坐标的可行域 (如俯所示阴影部分) 而 , a +1
可看成 ( a, b) 与 ( ?1,?1) 连线的斜率,可求得 C 为所求,故选 C。

?1 O ?1 2 a

二、填空题:9.将高三(1)班 56 人用系统抽样抽取 4 人,每部分应为 14 人,故所选编号 填空题: 填空题 均间隔 14,还有一位同学编号 20。 10.由题设可得 a 4 = 18, q 3 = 27 ,从而 q = 3 ; 11.四张卡片排成一排一共有 12 种不同排法,其中只有一种会受奖励,故孩子受奖励的概 率为

1 。 12

12.依题意知,PA,PB,PC 两两垂直,以 PA,PB,PC 为棱构造长方体,则该长方体的对角线即 为球的直径,所以

PA2 + PB 2 + PC 2 = 4 R 2 = 36, 1 1 PA2 + PB 2 PB 2 + PC 2 PC 2 + PA2 S = ( PA PB + PB PC + PC PA) ≤ ( + + ) = 18, 2 2 2 2 2 当PA = PB = PC = 2 3时,取等号.
13.依设有 ?4 + 4 tan A = 4, tan 3 B = 9,解得 tan A = 2, tan B = 3 , 所以 tan C = ? tan ( A + B ) = ?

1 3

tan A + tan B =1. 1 ? tan A tan B

14. 在直角三角形中, a = c sin A, b = c cos A, ab = ch, 故 h = c sin A cos A,

a n + b n = c n sin n A + cos n A ,
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 36 页(共 4 页)

(

)

a n + b n ? c n ? h n = c n sin n A + cos n A ? 1 ? sin n A cos n A = c n sin n A ? 1 ? 1 ? cos n A < 0,
有 a n + b n < c n + h n ,故填②④ a n + b n < c n + h n (n ∈ N *) 。 三、解答题: 解答题 15.解:

(

)

(

)(

)

v v x x x x 1 2x 3 2x ( ) f ( x) = a ? b = sin cos + 3 cos cos = sin Ⅰ + (1 + cos ) 3 3 3 3 2 3 2 3 KK 3 分 1 2x 3 2x 3 2x π 3 = sin + cos + = sin( + ) + 2 3 2 3 2 3 3 2
令 2 kπ ?

2x π π 5π π ≤ x ≤ 3kπ + , (k ∈ Z ) . + ≤ 2kπ + ,解得, 3kπ ? 2 3 3 2 4 4 5π π 故函数 f (x ) 的单调递增区间为 [3kπ ? ,3kπ + ], ( k ∈ Z ) . KK KK 6 分 4 4 ≤ (Ⅱ) Q b 2 = ac, cos x = a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac ? ac 1 = ≥ = . KK KK 8 分 2ac 2ac 2ac 2

π



1 π π 2 x π 5π , ≤ cos x < 1, < x ≤ ,∴ < 0 + ≤ 2 3 3 3 3 9
π
3 < sin( 2x π + ) ≤1, 3 3

∴ sin

KK KK 10 分

∴ 3 < sin(

2x π 3 3 3 即 f (x ) 的值域为 ( 3 ,1 + + )+ ≤ 1+ ]. 3 3 2 2 2

综上所述, x ∈ (0,

π
3

], f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 +

3 ]. 2

KK KK 12 分

16.解: (Ⅰ)由题意可知随机变量 ξ 的可能取值为 2,3,4,从盒子中摸出两个小球的基
2 本事件总数为 C 4 = 6 ,

KK KK 2 分

当 ξ = 2 时,摸出小球所标的数字为 1,1, P (ξ = 2) =

1 , 6 1 当 ξ = 4 时,摸出小球所标的数字为 2,2, P (ξ = 4) = , 6 1 1 2 可知,当 ξ = 3 时, P (ξ = 3) = 1 ? ? = ; KK KK 5 分 6 6 3

得 ξ 的分布列为:

ξ

2

3

4

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理科数学第 37 页(共 4 页)

P

1 6

2 3

1 6

1 2 1 Eξ = 2 × + 3 × + 4 × = 3 ; 6 3 6

KK KK 7 分

(Ⅱ)由“函数 f ( x) = x 2 ? ξx ? 1 在区间 ( 2,3) 上有且只有一个零点”可知 f ( 2) f (3) < 0 , 即 (3 ? 2ξ )(8 ? 3ξ ) < 0 ,解得

3 8 <ξ < , 2 3

又 ξ 的可能取值为 2,3,4,故 ξ = 2 ,

∴ 事件 A 发生的概率为

1 。 6

KK KK 12 分

17.解: (Ⅰ)由该几何体的三俯俯可知 AC 垂直于底面 BCED ,且 EC = BC = AC = 4 ,

BD = 1 , ∴ S BCED =

1 1 1 40 , × (4 + 1) × 4 = 10 , V = S BCED ? AC = × 10 × 4 = 2 3 3 3 40 此几何体的体积为 ; KK KK KK KK 5 分 E 3
F D

解法一: (Ⅱ)过点 B 作 BF // ED 交 EC 于 F ,连接 AF , 则 ∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成角,在

?BAF 中, AB = 4 2 , BF = AF = 16 + 9 = 5 , ∴ cos ∠ABF =

BF 2 + AB 2 ? AF 2 2 2 ;即异面直线 = 2 BF ? AB 5 2 2 。 KK KK 9 分 5
A

C

B

DE 与 AB 所成角的余弦值为

(Ⅲ)在 DE 上存在点 Q,使得 AQ ⊥ BQ ;取 BC 中点 O ,过点 O 作 OQ ⊥ DE 于点 Q , 则点 Q 为所求点; 连接 EO 、 DO ,在 Rt?ECO 和 Rt?OBD 中, E

Q

EC OB = = 2 ,∴ Rt?ECO ∽ Rt?OBD , CO BD
C , A O

Q D

∴ ∠CEO = ∠BOD ,
Q

∠EOC + ∠CEO = 90 0

B

∴ ∠EOC + ∠DOB = 90 0 , ∠EOD = 90 0 ,

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理科数学第 38 页(共 4 页)

Q ∴ OQ =

OE = CE 2 + CO 2 = 2 5
OE ? OD 2 5 ? 5 = = 2, ED 5



OD = OB 2 + BD 2 = 5



∴ 以 O 为圆心,BC 为直径的圆与 DE 相切,切点为 Q ,连接 BQ 、CQ ,可得 BQ ⊥ CQ ; Q AC ⊥ 平面BCED , BQ ? BCED ,∴ AC ⊥ BQ ,∴ BQ ⊥ ACQ , Q AQ ? 平面ACQ ,∴ AQ ⊥ BQ ;
解法二: (Ⅰ)同上。 (Ⅱ)以 C 为原点,以 CA 、 CB 、 CE 所在直线为

KK KK KK KK 14 分

x 、 y 、 z 轴建立如俯所示的空间直角坐标系,则
A( 4,0,0) , B (0,4,0) , D (0,4,1) , E (0,0,4) ,得

z
E

DE = (0,?4,3)



AB = (?4,4,0)



uuur uuu r uuur uuu r DE ? AB 2 2 cos < DE , AB >= uuur uuu = ? ,又异面直 r 5 DE ? AB
线 DE 与 AB 所成角为锐角,可得异面直线 DE 与

D

C

B

y

2 2 。 AB 所成角的余弦值为 5
(Ⅲ)设存在满足题设的点 Q ,其坐标为 (0, m, n ) ,

A

x

则 AQ = (?4, m, n) , BQ = (0, m ? 4, n) , QD = (0,4 ? m,1 ? n) ,

Q AQ ⊥ BQ ,∴ m(m ? 4) + n 2 = 0

①;

Q 点 Q 在 ED 上,∴ 存在 λ ∈ R (λ > 0) 使得 EQ = λ QD ,
即 (0, m, n ? 4) = λ (0,4 ? m,1 ? n ) ,化简得 m = ②代入①得 (

4λ 4+λ ,n = 1+ λ 1+ λ

②,

λ+4 2 16λ ,得 λ 2 ? 8λ + 16 = 0 , λ = 4 ; ) = 2 1+ λ (1 + λ )
16 8 , )。 5 5

∴ 满足题设的点 Q 存在,其坐标为 (0,
18.解: (Ⅰ)

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 39 页(共 4 页)

数量关系 销售关系

标价(元/ 件)

销售量 r (x ) (件) 销售总利润 y(元) 与标价 x(元 (含 k 、 b1 或 b2 ) /件)的函数关系式

旺季

x

r ( x) = kx + b1 r ( x) = kx + b2
KK KK KK 6 分

y = kx 2 ? (100k ? b1 ) x ? 100b1 y = kx 2 ? (100k ? b2 ) x ? 100b2

淡季

x

(Ⅱ)在(Ⅰ)的表达式 y = kx 2 ? (100k ? b1 ) x ? 100b1 中,由 k < 0 可知, 在销售旺季,当 x =

100k ? b1 b = 50 ? 1 时,利润 y 取得最大值; 2k 2k 100k ? b2 b = 50 ? 2 时,利润 y 取得最大值.KK 7 分 2k 2k

在销售淡季,当 x =

下面分销售旺季和淡季进行讨论: 由②知,在销售旺季,商场以 140 元/件的价格出售时,能获得最大利润. 因此在销售旺季,当标价 x = 50 ? 销售量为 r ( x ) = kx ? 180 k .

b1 = 140 时,利润 y 取得最大值。此时, b1 = ?180k , 2k
KK KK KK KK 10 分

令 kx ? 180k = 0 得 x = 180 ,故在销售旺季,衬衣的“临界价格”为 180 元/件. ∴由③知, 在销售淡季, 衬衣的 “临界价格” 120 元/件.可见在销售淡季, 为 当标价 x = 120 时, r ( x) = kx +b 2 = 0 ,∴ 120k + b2 = 0 ,∴ b2 = ?120k . KK 12 分 ∴在销售淡季,当 x = 50 ?

b2 120k = 50 + = 110 时,利润 y 取得最大值, 2k 2k

故在销售淡季,商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为 110 元/件. KK KK 14 分 19.解: (Ⅰ)由程序框俯可知, a1 = a2 = 1 , an + 2 = 5an +1 ? 6an KK KK 2 分 (Ⅱ)由 an + 2 ? 3an +1 = 2( an +1 ? 3an ) , 且 a2 ? 3a1 = ?2 可知,数列 {a n +1 ? 3a n } 是以 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,可得

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 40 页(共 4 页)

a n +1 ? 3a n = ?2 n ,即

a n +1 3a n a a 1 3 a 1 = ? ,Q n +1 ? 1 = ( n ? 1) ,又 1 ? 1 = ? , n +1 n n +1 n 2 2 2 2 2 2 2?2 2

∴ 数列 {

an 1 3 ? 1} 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, n 2 2 2
KK KK 9 分



an 1 3 ? 1 = ? ( ) n ?1 , a n = 2 n ? 3 n ?1 n 2 2 2

(Ⅲ)Q n ( a n + 3 n ?1 ) = n ? 2 n ,

∴ Tn = 1 ? 2 + 2 ? 2 2 + ... + n ? 2 n ①,

2Tn = 1 ? 2 2 + 2 ? 2 3 + ... + n ? 2 n +1 ②,
两式相减得 Tn = ( ?2 ? 2 2 ? ... ? 2 n ) + n ? 2 n +1

=?

2 (1 ? 2n ) 1? 2

+ n ? 2 n +1 = 2 ? 2 n +1 + n ? 2n +1 = (n ? 1)2 n +1 + 2

KK KK KK 14 分
………………1 分

20.解: (Ⅰ)函数 f ( x)的定义域是(0, +∞) ,

f ′( x) = 2 x + 2 +

a 2 x2 + 2 x + a = , x x

…………3 分

因为函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数 所以只需 f ′( x) ≥ 0或f ′( x) ≤ 0 在区间(0,1)上恒成立, 即 a ≥ ?(2 x 2 + 2 x)或a ≤ ?(2 x 2 + 2 x) 在区间(0,1)上恒成立,…………5 分 解得 a ≥ 0, 或a ≤ ?4; 故实数 a 的取值范围是 ( ?∞, ?4] ∪ [0, +∞ ) (Ⅱ)不等式 f (2t ? 1) ≥ 2 f (t ) ? 3 可化为 2t 2 ? 4t + 2 ≥ a ln t 2 ? a ln(2t ? 1) 即 2t 2 ? a ln t 2 ≥ 2(2t ? 1) ? a ln(2t ? 1) 记 g ( x ) = 2 x ? a ln x ( x ≥ 1) ,要使上式成立 只须 g ( x ) = 2 x ? a ln x ( x ≥ 1) 是增函数即可 …………12 分 …………10 分 …………7 分

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 41 页(共 4 页)

即 g '( x ) = 2 ?

a ≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立,即 a ≤ 2 x 在 [1, +∞ ) 上恒成立,故 a ≤ 2 , x
………………14 分

实数 a 的取值范围是 ( ?∞, 2] 。

2010—2011 学年度上学期中山市镇区高中高三联考
数学(理科)试卷
第 Ⅰ 卷 (选择题) 一、 选择题:本大题共8小题,每小题 5 分,满分40 分.在每小题给出的四个选项中.

只有一项是符合题目要求的. 1.全集 S={0,1,3,5,7,9},CSA={0,5,9},B={3,5,7}则 A∩B= A. {3,5} B. {3,7} C. {3,5,7} D. ? 2、等比数列 {a n } 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an = A. 4n -1 B. 4n C. 3
n

D. 3

n -1

3、已知 a ∈ R ,则“ a > 2 ”是“ a 2 > 2a ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4、下列关系中正确的是 A. ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 3 1 1 ) <( ) 3 <( ) 3 2 5 2
2 1 2

2

2

1

B. ( ) 3 <(
2

1 2

1

1 3 1 ) <( ) 3 2 5
2 1

2

2

1 1 1 C. ( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 5 2 2

1 1 1 D. ( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 5 2 2

5、已知简谐运动 f ( x ) = A sin(ω x + ? ), (| ? |< 则该简谐运动的最小正周期和初相 ? 分别为 A. T = 6π , ? = C. T = 6, ? =

π
2

) 的部分图象如右图示,
y

π
6

B. T = 6π , ? = D. T = 6, ? =

π
3

2 x o -2 1 4

π
6

π

3

6、设向量 a 和 b 的长度分别为 4 和 3,夹角为 60°,则| a + b |的值为 A. 37 B. 13 C. 37 D. 13

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 42 页(共 4 页)

7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,线段 BB1 与线段 AD1 所成角的余弦值为 A.

2 3

B.

3 2

C.

1 2

D.

2 2

8、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成”函数,给出下列 函数,其中与 f ( x ) = sin x + cos x 构成“互为生成”函数的为 A. f 2 ( x) = sin x C. f 3 ( x) = B. f1 ( x) = D. f 4 ( x ) =

2 sin x + 2
x x x 2 cos (sin + cos ) 2 2 2

2(sin x + cos x)

第 Ⅱ 卷 (非选择题)
二、填空题。 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.函数 y=lg( x ? 4 x ? 21 ) 的定义域是
2

10.已知向量 a = (3, 4) , b = (2, x ) ,如果向量 a 与 b 垂直,则 x 的值为 11、若 tan α = 2 ,则 cos 2α = 12、给出下列五个命题:①不等式 x ? 4ax + 3a < 0 的解集为 {x | a < x < 3a} ;②若函数
2 2

r

v

r

r

y = f ( x + 1) 为偶函数, y = f ( x) 的图象关于 x = 1 对称; 则 ③若不等式 | x ? 4 | + | x ? 3 |< a
的解集为空集,必有 a ≥ 1 ;④函数 y = f ( x) 的图像与直线 x = a 至多有一个交点。 其中所有正确命题的序号是______________ 13、由抛物线 y = x 2 和直线 y = 1 所围成图形的面积为______________ 14、函数 y =| x + 2 | + | x ? 1| 的最小值为 三、解答题: (本大题共 6 题,共 80 分, ) 15、在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AB=5 6 ,AC=14, DC=6,求 AD 的 长.

16、某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件 和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大?

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 43 页(共 4 页)

17、已知函数 f ( x ) = mx 3 + nx 2 ( m, n ∈ R )在 x = 2 时有极值,其图象在点 (1 , f (1)) 处的 切线与直线 3x + y = 0 平行。 (1)求 m,n 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间。

18、 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形,AB // DC ,∠ABC = 45 ,
o

DC = 1 , AB = 2 , PA ⊥ 平面 ABCD , PA = 1 .
(1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证: BC ⊥ 平面 PAC ; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M—ACD 的体积. A M B P

D

C

19、若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n, S n ) ( n ∈ N ) 均在函数 f ( x ) = ? x 2 + 3 x + 2 的图
*

象上 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {bn ? a n } 是首项为 1,公比为 q ( q ≠ 0) 的等比数列,求数列 {bn } 的前 n 项 和 Tn .

20、已知函数 f ( x ) = log a (8 ? ax ) (1)若 f ( x ) < 2 ,求实数 x 的取值范围; (2)若 f ( x ) > 1 在区间[1,2]上恒成立,求实数 a 的取值范围.

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 44 页(共 4 页)

2010 学年度上学期第三次月考中山市镇区高中五校联考
高三年级(理科)数学参考答案
第 Ⅰ 卷 (选择题)
一、 选择题:本大题共8小题,每小题 5 分,满分40 分.在每小题给出的四个选项中.

只有一项是符合题目要求的。

第 Ⅱ 卷 (非选择题)

二、填空题。 (本大题共6小题,每小题 5 分,共30 分) 9. ( ?∞, ?3) ∪ ( 7, +∞ ) 11. ? 13 10.

3 2

3 5 4 3 AB AC = sin C sin B

12. ②④ 14

3

三、解答题: (本大题共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、解:Q

∴ sin C =

5 3 14

………………………………………………………………4 分

Q AB < AC ∴ ∠C < ∠B = 45° ∴ cos C = 11 14
………………………………………………………………6 分 …………………………………9 分

∴ AD 2 = AC 2 + CD 2 ? 2 AC ? CD ? cos C

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 45 页(共 4 页)

= 14 2 + 6 2 ? 2 × 14 × 6 ×
= 100

11 14

………………………………………………………………11 分 ∴ AD = 10 ………………………………………………………………12 分

16. 解:设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,工厂获得的利润为 z 又已知条件可得二元一 次不等式组:…………………………2 分

?x + 2 y ≤ 8 ? 4 x ≤ 16 ? ? ? 4 y ≤ 12 ? x≥0 ? ? y≥0 ?

…………5 分

目标函数为 z=2x+3y. ………6 分

2 z 2 z x + ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 3 3 3 3 z 变化时,可以得到一族互相平行的直线,当截距 最大时,z 取得最大值,由上图可以看出, 3 2 z z y = ? x + , 当直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M(4,2)时,截距 的值最大,最 3 3 3 14 大值为 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大 3
把 z=2x+3y 变形为 y = ? 利润 14 万元。 ……………………………………12 分 17. 解: (Ⅰ) f / ( x ) = 3mx 2 + 2nx LLLLLLLLLLL 2分

Q f ( x ) = x 2 (mx + n) ( m, n ∈ R )在 x = 2 时有极值,其图象在点 (1 , f (1)) 处的切线与直
线 3x + y = 0 平行

? f / ( 2 ) = 0 ?12 m + 4 n = 0 ∴? / 即? L L L L L L 5分 ? f (1) = ? 3 ? 3 m + 2 n = ? 3 ? m =1 解得 :? ?n = ?3
LLLLLLLLLLL 7分
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 46 页(共 4 页)

令x 2 ? 4 < 0解得0 < x < 2 ∴ f ( x)在(0,2)为减函数

LLLLLLLLLLL14分

18、 (1)证明:Q AB // DC ,且 AB ? 平面 PCD ∴ AB // 平面 PCD . …………………………………………………3分

(2)证明:在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ,则四边形 ADCE 为矩形 ∴ AE = DC = 1 ,又 AB = 2 ,∴ BE = 1 ,在Rt△ BEC 中, ∠ABC = 45 ,
o

∴ CE = BE = 1 , CB = ∴ BC ⊥ AC

2

……………………………………………………4分

∴ AD = CE = 1 , 则 AC = 又Q PA ⊥ 平面ABCD

AD 2 + DC 2 = 2 , AC 2 + BC 2 = AB 2
[来源:高考资源网]

……………………………………………………………………6分 ∴ PA ⊥ BC

………………………………………7分

PA ∩ AC = A
∴ BC ⊥ 平面 PAC (3)∵ M 是 PC 中点, ∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半. ………………………11分 ………………………………………………………………9分

VM ? ACD =

1 1 1 1 1 1 S ?ACD ? ( PA) = × ( × 1 × 1) × = 3 2 3 2 2 12 . ………………………14 分
2

[来源:高考资源网]

19、解: Q S n = ? n + 3n + 2 ……………………………………………………1 分 (1)∴ a n = ?

(n = 1) ?4 (n = 1) ?4 =? ?S n ? S n?1 (n ≥ 2) ?? 2n + 4 (n ≥ 2)
n ?1

………………………3 分 ………………………6 分

(2)Q bn ? a n = q

………………………………………………………………8 分

∴Tn ? S n = 1 + q + q 2 + L + q n?1

(q = 1) ?n ? = ?1 ? q n ? 1 ? q (q ≠ 1) ?

………………………10 分 ………………………12 分

?? n 2 + 4 n + 2 (q = 1) ? ∴Tn = ?1 ? q n ……………………………………………14 分 ? n 2 + 3n + 2 (q ≠ 1) ? 1? q ?
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 47 页(共 4 页)

20、解:(1)若 a > 1 时, 0 < 8 ? ax < a 得
2

8 8 ? a < x < ……………………3 分 a a

若 0 < a < 1 时, 8 ? ax > a 得 x <
2

8 ? a ……………………6 分 a

(2)若 a > 1 时, 8 ? ax > a 在 x ∈ [1,2] 上恒成立,

8?a 在 x ∈ [1,2] 上恒成立, a 8?a 8 8 故 > 2, 即 a < ,则 1 < a < ;……………………9 分 a 3 3 8?a 若 0 < a < 1 时, < 8 ? ax < a 在 x ∈ [1,2] 上恒成立, x > 0 即 在 x ∈ [1,2] 上恒成立, a 8?a 故 < 1, 即 a > 4 ,则 a ∈ ?.……………………13 分 a 8 综上所述: a ∈ (1, ) .……………………14 分 3
即x<

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 48 页(共 4 页)

2011 届高三第三次调研考试 惠州市 2011 届高三第三次调研考试
数学试题(理科) 数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 参考公式: s =
2

1 [( x1 ? x)2 + ( x2 ? x) 2 + ???? + ( xn ? x)2 ] . n

选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 z = A.第一象限 C.第三象限 2.已知条件 p : x ≤ 1 ,条件 q :

1 对应的点位于( 2+i

)

B.第二象限 D.第四象限

1 < 1 ,则 q是?p 成立的( x

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条 件 3. 某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组实验数据: x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( ) A.y=2x-2 1 B.y=( )x 2 C.y=log2x 1 D.y= (x2-1) 2

4. 右图是 2010 年在惠州市举行的全省运动会上, 七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩 数据的平均数和方差分别为( A.84,4.84 ) B.84,1.6

C.85,1.6 D.85,4 5. 若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60°,则 BC 边的长是
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 49 页(共 4 页)

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
( )

A.5

B.6

C.7

D.8

1 4 6. 若直线 ax+by+1=0(a、b>0)过圆 x2+y2+8x+2y+1=0 的圆心,则 + 的最小值为 a b ( ) A.8 B.12 C.16 D.20

7. 已知整数以按如下规律排成一列: 1 , 1) 、 1 , 2 ) 、 2 , 1) 、 1 , 3) 、 2 , 2 ) , 3 , 1) , 1 , 4 ) , ( ( ( ( ( ( ( ) ( 2 , 3) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 1) ,……,则第 60 个数对是( A. (10 , 1) B. ( 2 , 10 ) C. ( 5 , 7 ) D. ( 7 , 5)

8. 在区间 [? π , π] 内随机取两个数分别记为 a, b , 则使得函数 f ( x) = x 2 + 2ax ? b 2 + π 2 有零点 的概率为( )

A.1-

π
8

B.1-

π
4

C.1-

π
2

D.1-

3π 4

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题(9~13 题) 必做题( 9.一简单组合体的三视图及尺寸 如右图示( 单位:cm) 则该组合体的表面积为 _______
50

cm 2 .

10
20 20 20 俯俯俯

主俯俯

40 侧俯俯

10.已知△ABC 中,点 A、B、C 的坐标依次是 A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的 → 高为 AD,则AD的坐标是:_______.
a? ? 11.在二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中, x 的一次项系数是 ?10 , . x? ? 则实数 a 的值为 . 12. 给出如图所示的程序框图,那么输出的数是________.
5

开始

k =1 s =0 ,
s = s + 3k
k =k+2

13. 已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积 ) ,则 S ?ABC =

1 r (a + b + c) ; 2 类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,


k ≥ 100




则三棱锥体积 V A?BCD =

输出S 结束

考生只能从中选做一题;两道题都做的, 题的分) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分) 选做题( ~
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 50 页(共 4 页)

14.(坐标系与参数方程选做) (坐标系与参数方程选做) 在极坐标系中,点 (1, 0 ) 到直线 ρ ( cos θ + sin θ ) = 2 的距离为 15.(几何证明选讲选做题) 15.(几何证明选讲选做题) 如图,点 B 在⊙O 上, M 为直径 AC 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N, C
M O N A



B

∠BNA = 45o ,若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM ,
则 MN 的长为 .

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0, ? < 所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ∈ [ ?6, ? ] 时,求函数 y = f ( x ) + f ( x + 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值.

π , x ∈ R ) 的图象的一部分如下图 2

2 3

17.(本题满分 12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如 图所示的转盘一次, 并获得相应金额的返券, 假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动 转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. A C (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; 60° (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动, 他获得返券的金额记为 X (元).求随机变量 X 的分布列和数学期望.

B

18.(本题满分 14 分)

a 2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x + 27 = 0 的两根, 数列 {a n } 是公差为正的等差数列,数列

{bn }的前 n 项和为 Tn ,且 Tn = 1 ? 1 bn (n ∈ N ? ) .
2
(1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)记 c n = a n bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 S n .

19.(本题满分 14 分)

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 51 页(共 4 页)

已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =

π
2

,AB=BC=2AD=4,E、

A

D

F 分别是 AB、CD 上的点,EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯 形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图). (1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) , 求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的余弦值.

E

F

B
A D

C

E F

B

G

C

20.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 1 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 ,过坐标原点 O 且斜率为 的 2 2 2 a b

直线 l 与 C 相交于 A 、 B , | AB |= 2 10 . ⑴求 a 、 b 的值; ⑵若动圆 ( x ? m) 2 + y 2 = 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围. 21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 + 3 x 2 ? 6ax ? 11 , g ( x) = 3x 2 + 6 x + 12 ,和直线 m : y = kx + 9 . 又 f ′( ?1) = 0 . (1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y = f ( x) 的切线,又是 y = g ( x ) 的切线;如果 存在,求出 k 的值;如果不存在,说明理由. (3)如果对于所有 x ≥ ?2 的 x ,都有 f ( x) ≤ kx + 9 ≤ g ( x) 成立,求 k 的取值范围.

2011 届高三第三次调研考试 惠州市 2011 届高三第三次调研考试
数学试题(理科) 数学试题(理科)答案
选择题( 小题, 一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 C 8 B

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 52 页(共 4 页)

1. 【解析】答案:D

z=

2-i 1 2 1 = = - i.故选 D. 2+i (2+i)(2-i) 5 5

2. 【解析】B ? p: x > 1 ,q: 故选 B.

1 < 1 ? x < 0 或 x > 1 ,故 q 是 ? p 成立的必要不充分条件, x

3. 【解析】选 D 直线是均匀的,故选项 A 不是;指数函数 y = (

1x ) 是单调递减的,也不符 2

合要 求;对数函数 y = log1 x 的增长是缓慢的,也不符合要求;将表中数据代入选项 D
2

中,基本符合要求. 4. 【解析】C 去掉最高分和最低分后,所剩分数为 84,84,86,84,87,可以计算得平均 数和方差. 1 1 5. 【解析】答案:C 依题意及面积公式 S= bcsinA,得 10 3= bcsin60°,得 bc=40. 2 2 又周长为 20,故 a+b+c=20,b+c=20-a,由余弦定理得:

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = b 2 + c 2 ? 2bc cos 600 = b 2 + c 2 ? bc = (b + c ) 2 ? 3bc,故a 2 = (20 ? a ) 2 ? 120
1 4 1 4 b 16a 从而 + =( + )(4a+b)=8+ + ≥8+2×4=16(当 a b a b a b 且仅当 b=4a 时取“=”).
6 _

解得 a=7.

6. 【解析】答案:C 由题意知,圆心坐标为(-4,-1),由于直线过圆心,所以 4a+b=1,

7. 【解析】 C; 根据题中规律, (1, 1) 为第 1 项,(1 , 2 ) 有 为第 2 项, (1 , 3) 为第 4 项,…, ( 5, 11) 为第 56 项,因 此第 60 项为 ( 5 , 7 ) .

5 _ _ 4 3 _ 2 _ 1 _

O _

1 _

2 _

3 _

4 _

5 _

_ 6

8 .【 解 析 】 B ; 若 使 函 数 有 零 点 , 必 须 必 须

? = ( 2a ) ? 4 ( ?b 2 + π 2 ) ≥ 0 ,即 a 2 + b 2 ≥ π 2 .
2

在坐标轴上将 a , b 的取值范围标出,有如图所示 当 a , b 满足函数有零点时,坐标位于正方形内圆外的部分. 于是概率为 1 ?

π3 π = 1? . 2 4π 4

填空题( 把答案填在题后的横线上) 二.填空题(本大题每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题后的横线上) 填空题 9.12800 10.(-1,2) 11.1 12.7500

13.

1 R ( S ?ABC + S ?ABD + S ?ACD + S ?BCD 3
高中毕业班质量监测试题

)

14.

2 2

15.2

理科数学第 53 页(共 4 页)

9. 【解析】该组合体的表面积为: 2 S主视图 + 2 S侧视图 + 2 S俯视图= 12800cm 。
2

→ → → 10. 【解析】设 D(x,y),则AD=(x-2,y+1), BD=(x-3,y-2),BC=(-6,-3),
?x=1 ?-6(x-2)-3(y+1)=0 ? → → → → → 得? ∵AD⊥BC,BD∥BC,∴? ,所以AD=(-1,2). ? ?y=1 ?-3(x-3)+6(y-2)=0

答案:(-1,2)
r 11. 【解析】1;由二项式定理, Tr = C5 ( x 2 ) 5? r r ? a? r 10 ? 3 r . ? ? ? = ( ? a ) C5 ? x x? ? r

当 10 ? 3r = 1 时, r = 3 ,于是 x 的系数为 ( ?a ) C3 = ?10a3 ,从而 a = 1 . 5
3

12. 【解析】由题知,s=3×1+3×3+3×5+…+3×99=7500.
13. 【解析】:连接内切球球心与各点,将三棱锥分割成四个小棱锥,它们的高都等于 R, 底面分别为三棱锥的各个面,它们的体积和等于原三棱锥的体积。答

案:

1 R ( S ?ABC + S ?ABD + S ?ACD + S ?BCD 3

)
1+ 0 ? 2 2
=

14.【解析】

2 直角坐标方程 x+y﹣2=0,d= 2
o

2 2

15. 【解析】∵ ∠BNA = 45o ∴ ∠BOA = 90 ,∵OM=2,BO= 2 3 ∴BM=4,

∵BM·MN=CM·MA=( 2 3 +2)( 2 3 -2)=8,∴MN=2

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:
16. (本题满分 12 分)

T 2π π π =2?T =8= ,∴ ω = ,得 f ( x ) = 2 sin( x + ? ) . 4 ω 4 4 π π π π π 由对应点得当 x = 1 时, × 1 + ? = ? ? = .∴ f ( x ) = 2 sin( x + ) ;……………5 分 4 2 4 4 4 π π π π π π π π (2) y = 2sin( x + ) + 2 sin[ ( x + 2) + ] = 2 sin( x + ) + 2 cos( x + ) 4 4 4 4 4 4 4 4 π π π = 2 2 sin( x + ) = 2 2 cos x ,……………9 分 4 2 4 2 π 3π π ∵ x ∈ [ ?6, ? ] ,∴ x ∈ [ ? , ? ] ,………………10 分 3 4 2 6 π π 2 π ∴当 x = ? ,即 x = ? 时, y 的最大值为 6 ;当 x = ?π ,即 x = ?4 时, y 的最小值 4 6 3 4 ?2 2 .………………12 分
解:(1)由图像知 A = 2 , (本题满分 12 分) 17.
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 54 页(共 4 页)

解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P ( A) = 分 (1)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

1 1 1 , P ( B ) = , P (C ) = . 6 3 2

………………3

∴ P = P ( A) + P ( B ) =

1 1 1 + = 6 3 2 1 . 2

………………6 分

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 (2)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

………………7 分

1 1 1 P( X = 0) = × = ; 2 2 4 1 1 1 P( X = 30) = × × 2 = ; 2 3 3 1 1 1 1 5 P( X = 60) = × × 2 + × = ; 2 6 3 3 18 1 1 1 P( X = 90) = × × 2 = ; 3 6 9 1 1 1 P( X = 120) = × = . 6 6 36
所以,随机变量 X 的分布列为:

………………10 分

P X

0

30

60

90

120

1 4
其数学期望

1 3

5 18

1 9

1 36

…………12 分

1 1 5 1 1 EX = 0 × + 30 × + 60 × + 90 × + 120 × = 40 4 3 18 9 36
18. (本题满分 14 分) 解:(1)由 a 2 + a 5 = 12, a 2 a5 = 27 .且 d > 0 得 a 2 = 3, a5 = 9

………13 分

……………

2分

∴d =

a5 ? a 2 = 2 , a1 = 1 ∴ a n = 2n ? 1 n ∈ N ? 3

(

)

…………… 4 分

在 Tn = 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n = 1, 得 b1 = . 当 n ≥ 2 时,T n = 1 ? bn , Tn?1 = 1 ? bn ?1 , 2 3 2 2

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 55 页(共 4 页)

两式相减得 bn =
n ?1

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,∴ n = (n ≥ 2) 2 2 bn ?1 3
= 2 n∈ N? . n 3

…………… 6 分

2?1? ∴ bn = ? ? 3 ? 3?

(

)

……………

8分

(2) c n = (2n ? 1) ?

2 4n ? 2 = , ……………… 3n 3n

9分

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ? 1 ∴ S n = 2? + 2 + 3 + L + n ? , n = 2? 2 + 3 + L + + n +1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?
…………… 10 分

? ? 1? 1 ? ? 1 2 × 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ?1 2 1 1 ? 2n ? 1? ? 1 ? ?? ? ∴ S n = 2 ? + 2? 2 + 3 + L + n ? ? n +1 ? =2 ? + 1 3 3 ?3 3 3 ? 3 3 n +1 ? ?3 ? ? 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4n + 4 + ? n ? n +1 ? = ? n +1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3 2n + 2 3n
…………… 14 分

………………13 分

∴ Sn = 2 ?

19. (本题满分 14 分) (1)方法一:∵平面 AEFD ⊥ 平面 EBCF ,Q EF // AD , ∠AEF = 方法一 方法 ∴ AE AE ∴ AE⊥EF, AE⊥平面 EBCF , ⊥EF, ⊥BE, 又 BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz.
A

π
2

,

z
D

Q EA = 2,∴ EB = 2 , Q G 为 BC 的中点, 又 BC=4,
,B(2,0,0) ,G(2, ∴ BG = 2 .则 A(0,0,2) 2,0) ,D(0,2,2) ,E(0,0,0) ,
B

E F

y

G

C

uuu r uuu r BD = (-2,2,2) EG = (2,2,0) , ,

x

uuu uuu r r BD ? EG = (-2,2,2) (2,2,0)=0,∴ BD ⊥ EG .………………4 分

方法二: 方法二:作 DH⊥EF 于 H,连 BH,GH, 由平面 AEFD ⊥ 平面 EBCF 知:DH⊥平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥DH.
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 56 页(共 4 页)

Q EF // BC ,∴ ∠AEH = ∠EBC =

π
2

,∴ AE ⊥ EF ,∴ AE // DH . Q AD // EF ,∴ AEHD

为平行四边形,∴ EH = AD = 2,∴ EH // BC , EH = BC , 且

∠EBC =

π
2

, BE = BC = 2 ,∴ 四边形 BGHE 为正方形,∴EG⊥BH,BH ∩ DH=H,
A D

故 EG⊥平面 DBH, 而 BD ? 平面 DBH,∴ EG⊥BD.………4 分 (或者直接利用三垂线定理得出结果)
B E

H
F

G

C

(2)∵AD∵面 BFC, 所以 f ( x ) = V D ? BCF =VA-BFC=

1 1 1 × S ?BCF × AE = × × 4(4 ? x ) x 3 3 2

2 8 8 = ? ( x ? 2) 2 + ≤ , 3 3 3 8 即 x = 2 时 f ( x ) 有最大值为 . ………8 分 3 ur (3)设平面 DBF 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,∵AE=2, B(2,0,0) ,D(0,2,2) ,
F(0,3,0) ,∴ BF = (?2,3, 0), ………10 分

uuu r

uuu r BD = (-2,2,2) , ur uuu r ?n1 BD = 0 ? 则 , r ? ur uuu ? n1 BF = 0 ?

A H

D

E _

F M

?( x, y, z ) (?2, 2, 2) = 0 ??2 x + 2 y + 2 z = 0 即? ,? ? ( x, y, z ) (?2,3, 0) = 0 ? ?2 x + 3 y = 0 ur 取 x = 3, y = 2, z = 1 ,∴ n1 = (3, 2,1)

B

G

C

uu r Q AE ⊥ 面BCF ,∴ 面 BCF 一个法向量为 n2 = (0, 0,1) ,………12 分
ur uu r ur uu r n1 n2 14 r 则 cos< n1 , n2 >= uur uuu = ,………13 分 | n1 || n2 | 14
由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-

14 .………14 分 14

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 57 页(共 4 页)

20. (本题满分 14 分) ⑴依题意, l : y =

x ……1 分,不妨设设 A( 2t , t ) 、 B ( ?2t , ? t ) ( t > 0 )……2 分, 2

2 ?8 ?a2 + b2 = 1 ? 2 由 | AB |= 2 10 得 20t = 40 , t = 2 ……3 分,所以 ? ……5 分, 2 2 ?c = a ? b = 3 ?a a 2 ?
解得 a = 4 , b = 2 ……6 分.

? x2 y2 =1 ? + 2 2 ⑵由 ? 16 消去 y 得 3 x ? 8mx + 4m + 12 = 0 ……7 分,动圆与椭圆没有 4 ?( x ? m) 2 + y 2 = 1 ?
2 2 2 公共点,当且仅当 ? = ( ?8m) ? 4 × 3 × ( 4m + 12) = 16m ? 144 < 0 或 | m |> 5 ……9 分,

解得 | m |< 3 或 | m |> 5 ……10 分。动圆 ( x ? m) 2 + y 2 = 1 与直线 y = 当

x 没有公共点当且仅 2

|m|

围为 m | 5 < m < 3或m > 5或 ? 3 < m < ? 5或m < ?5 ……14 分.………………14 分 21. (本题满分 14 分) 解: (1) f ′( x) = 3ax 2 + 6 x ? 6a ,因为 f ′( ?1) = 0 所以 a =-2.
2 设切点为 ( x 0 ,3x 0 + 6 x 0 + 12) , …………3 分 2 ∵ g ′( x 0 ) = 6 x 0 + 6 .∴切线方程为 y ? (3 x 0 + 6 x 0 + 12) = (6 x 0 + 6)( x ? x 0 ) , 将点(0,9)代入得 x 0 = ±1 . 当 x 0 = ?1 时,切线方程为 y =9, 当 x 0 = 1 时,切线方程为 y = 12 x + 9 .

{

?| m |< 3 ?| m |> 5 > 1 ,即 | m |> 5 ……12 分。解 ? 或? ……13 分,得 m 的取值范 | m |> 5 ?| m |> 5 5 ?

}

…………2 分

(2)因为直线 m 恒过点(0,9).先求直线 m 是 y = f ( x) 的切线.

由 f / ( x ) = 0 得 ? 6 x 2 + 6 x + 12 = 0 ,即有 x = ?1, x = 2 当 x = ?1 时, y = f (x ) 的切线 y = ?18 , 当 x = 2 时, y = f (x ) 的切线方程为 y = 9 …………6 分

∴ y = 9 是公切线,又由 f / ( x) = 12 得 ? 6 x 2 + 6 x + 12 = 12 ∴ x = 0 或 x = 1 , 当 x = 0 时 y = f (x ) 的切线为 y = 12 x ? 11 ,当 x = 1 时 y = f (x ) 的切线为 y = 12 x ? 10 , ∴ y = 12 x + 9 ,不是公切线, 综上所述 k = 0 时 y = 9 是两曲线的公切线 ……7 分
(3).(1) kx + 9 ≤ g ( x ) 得 kx ≤ 3 x 2 + 6 x + 3 ,当 x = 0 ,不等式恒成立, k ∈ R . 当 ? 2 ≤ x < 0 时,不等式为 k ≥ 3( x +

1 ) + 6 ,……8 分 x

而 3( x +

1 1 ) + 6 = ?3[(? x ) + ] + 6 ≤ ?3 ? 2 + 6 = 0 ∴ k ≥ 0 x (? x)
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 58 页(共 4 页)

当 x > 0 时,不等式为 k ≤ 3( x +

1 1 ) + 6 ,Q 3( x + ) + 6 ≥ 12 ∴ k ≤ 12 x x
…………10 分

∴ 当 x ≥ ?2 时, kx + 9 ≤ g ( x ) 恒成立,则 0 ≤ k ≤ 12
3 2 (2)由 f ( x) ≤ kx + 9 得 kx + 9 ≥ ?2 x + 3 x + 12 x ? 11

当 x = 0 时, 9 ≥ ?11 恒成立, k ∈ R ,当 ? 2 ≤ x < 0 时有 k ≤ ?2 x 2 + 3 x + 12 ?

20 x

3 105 20 20 = ? 2( x ? ) 2 + , ? x 4 8 x 3 105 20 当 ? 2 ≤ x < 0 时 ? 2( x ? ) 2 + 为增函数, ? 也为增函数 4 8 x ∴ h ( x ) ≥ h ( ?2) = 8
设 h( x ) = ?2 x 2 + 3 x + 12 ?

∴ 要使 f ( x) ≤ kx + 9 在 ? 2 ≤ x < 0 上恒成立,则 k ≤ 8

…………12 分

由上述过程只要考虑 0 ≤ k ≤ 8 ,则当 x > 0 时 f / ( x) = ?6 x 2 + 16 x + 12 = ? 6( x + 1)( x ? 2)

∴ 在 x ∈ (0,2] 时 f / ( x ) > 0 ,在 ( 2,+∞ ) 时 f / ( x ) < 0 ∴ f (x ) 在 x = 2 时有极大值即 f (x ) 在 (0,+∞ ) 上的最大值,…………13 分
又 f ( 2) = 9 ,即 f ( x ) ≤ 9 而当 x > 0 , k ≥ 0 时 kx + 9 > 9 ,

∴ f ( x) ≤ kx + 9 一定成立,综上所述 0 ≤ k ≤ 8 .

…………14 分

广州市海珠区 2010 届高三第一次综合测试卷
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 59 页(共 4 页)

理科) 数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回. 参考公式:1.锥体的体积公式 V =

1 sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 3

2.如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) 3.若在每次试验中, 事件 A 发生的概率为 p ,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P ( X = k ) = Cn p (1 ? p )
k k n?k

, k = 0, 1,L , n .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. A. { ,2} 1 1.已知全集 U = { ,2,3,4,5}, A = { ,2,4} , CU B = {4,5} ,则 A ∩ B = 1 1 B. {4} C. { ,2,3} 1 D. {3,5}

2. 若平面向量 a, b 满足 a = A. (1,?1)
6

2 , b = (1,?1) , a // b ,则 a =
C. (? 1,1)

B. (1,?1) 或 (? 1,1)
2

D. (1,1) 或 (? 1,?1)

3. (2 x + 1) 展开式中 x 的系数为 A.30 4.设 S n 是等差数列 {a n }的前 n 项和,若 a 4 = 9, S 3 = 15, ,则数列 {a n }的通项为 B. 2n ? 1 C. 2n + 1 D. 2n + 3 B.120 C.60 D.15

A. 2n ? 3

5.给定下列四个命题: ①若两个平面互相垂直,那么分别在这两个平面内的任意两条直线也互相垂直; ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直; ③若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. ④若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; 其中,为真命题的是 A.①和③ B.②和③ C.③和④ D.①和② 6.已知函数 f ( x ) = sin ωx( x ∈ R, ω > 0 ) 的最小正周期为 π ,为了得到函数
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 60 页(共 4 页)

A.向左平移 C.向左平移

π? ? g ( x ) = sin ? ωx + ? 的图象,只要将 y = f ( x ) 的图象 4? ?π
π
4
个单位长度 个单位长度

B.向右平移

π π
4

个单位长度 个单位长度

8 8 7.直角梯形 ABCD 如图 1,动点 P 从点 B 出发,由 B → C → D → A 沿边运动,设点 P

D.向右平移

运动的路程为 x , ?ABP 的面积为 f ( x ) .如果函数 y = f ( x ) 的图象如图 2 所示,则
?ABC 的面积为
A.10 B.32
D C

C.18

D.16

P
A

图1

B

4

9

14

图2

8.一圆形纸片的圆心为原点 O,点 Q 是圆外的一定点,A 是圆周上一点,把纸片折叠使点 A 与点 Q 重合,然后展开纸片,折痕 CD 与 OA 交于 P 点,当点 A 运动时 P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12 题)
? 1+ i , 9.阅读如图 3 所示的流程图,若 a = (i为虚数单位)b = 2 sin 15 0 cos 15 0 , c = 2 2 则输 1? i 1

出的数是

. (以数字作答).
开始

输入 a, b, c

a > b 且a > c?




输出 a

b>c?
否 输出 c



输出 b

结束

图3 10.如图 4,矩形 ABCD,AB=2,BC=1,A,B 两点关于坐标原点对称,在矩形 ABCD 内
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 61 页(共 4 页)

y = x2
C

D

随机撒一把黄豆,落在曲线 y = x 与 x 轴所围成阴影部分的概率为
2

.

11.随机变量 X 的分布列如下表: X P -1 0 1

a

1 3

c

若 X 的均值 EX =

1 ,则 X 的方差 DX 的值是 3
2 2



12.如图 5,在平面上,用一条直线截正方形的一个角则截下一个直角三角形按图所标边长, 由勾股定理得 c = a + b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体
2

上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? ABC ,若用 s1 , s 2 , s 3 表示三个侧面面积, s 4 表示截 面面积,你类比得到的结论是
b c
O

.

a
A B C

图5

(二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题)

13. (坐标系与参数方程选做题)直线 ρ cos θ = 2 截圆 ?

? x = 1 + 2 cos θ ( θ 为参数)所得 ? y = ?2 + 2 sin θ

的弦长为

. .

14. (不等式选讲选做题) x ? 3 + x ? 5 ≥ 4 的解集是

15.(几何证明选讲选做题)如图 5,⊙ O 的直径 AD = 2cm ,四边形 ABCD 内接于⊙ O , 直线 MN 切⊙ O 于点 B , ∠MBA = 30 ,则 AB 的长是
0

cm.
D

O A C M B

N

图5 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 62 页(共 4 页)

16.(本小题满分12 12分) 12

在锐角三角形 ABC 中,BC=1, AB = (1)求 AC 的值; (2)求 sin ( A ? B ) 的值.

2 , sin (π ? B) =

14 . 4

17.(本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水, 计划在本市试行居民生活用水定额管理, 为此市政府首先采用抽样调查的方法获得了 n 位居 民某年的月均用水量(单位:吨).根据所得的 n 个数据按照区间

[0,0.5), [0.5,1), [1,1.5), [1.5,2), [2,2.5), [2.5,3), [3,3.5), [3.5,4), [4,4.5] 进行分组,得到频率分布
直方图如图 (1)若已知 n 位居民中月均用水量小于 1 吨的人数是 12,求 n 位居民中月均用水量分别在区间

[2,2.5) 和 [2.5,3) 内的人数;
(2) 在该市居民中随意抽取 10 位, 求至少有 2 位居民月均用水量在区间 [2,2.5) 或 [2.5,3) 内 的概率.(精确到 0.01.参考数据: 0.619 ≈ 0.012,0.6110 ≈ 0.0071 )

0.5 0.44

0.30 0.28

0.16 0.12 0.10 0.08 0.02 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

图6

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 63 页(共 4 页)

18.(本小题满分 14 分) 如图 7,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = 1, AA1 = 2 , D、E 分别是

BB1、CC1 的中点, M 是 DE 的中点.
(1)求证: DE ⊥ 平面AMA1 ; (2)求三棱锥 A1 ? ADE 的体积; (3)求二面角 A ? DA1 ? E 的余弦值.
D A B M C B1 E A1 C1

图7

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 5 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 上的动点 P 引圆 O: x 2 + y 2 = b 2 的两条切线 PA、PB,A、B 分别为切点,试 探究椭圆 C 上是否存在点 P,由点 P 向圆 O 所引的两条切线互相垂直?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

y
A P O B

x

图8

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 64 页(共 4 页)

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ,满足 S n = 2a n ? 1 . (1)求数列的通项 a n 及前 n 项和 S n ; (2)若数列 {bn } 满足 bn =

1 n ∈ N ? ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn ; log 2 (S n + 1) ? log 2 (S n +1 + 1)
2

(

)

(3)若对任意的 x ∈ R ,恒有 Tn < x ? ax + 2 成立,求实数 a 的取值范围.

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 65 页(共 4 页)

21.(本小题满分 14 分)

(2)当 x > 0 时,设 f ( x ) + 1 的反函数为 g 证明:函数 h( x ) =

?1 3 2 ? x + mx ( x ≤ 0 ), 已知函数 f ( x ) = ? 3 ?e x ? 1 ( x > 0 ). ? (1)当 x ≤ 0 时,函数 f ( x ) 在 (? 1, f (? 1)) 处的切线方程为 x ? 3 y + 1 = 0 ,求 m 的值;
?1

(x ) ( g ?1 (x ) 的定义域即是 f (x ) + 1 的值域).

(3)求函数 f ( x ) 的极值.

1 x ? g ?1 ( x ) 在区间 (e,3) 内无零点,在区间 3, e 2 内有且只有一个零点; 3

(

)

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 66 页(共 4 页)

2010 年海珠区普通高中毕业班综合测试(一) 年海珠区普通高中毕业班综合测试(

数学(理科) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: .参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力, 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同, 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 .对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时, 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分, 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误, 分数的一半; 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. .解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. .只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 B 6 C 7 D 8 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 小题, 30 分. 9.1 13. 2 3 10.

1 3

11.

5 9

12. s 4 = s1 + s 2 + s 3
2 2 2

2

14. x x ≤ 2, 或x ≥ 6

{

}

15.1

解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式、正弦定理、余弦定理等 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、 本小题主要考查同角三角函数的基本关系 两角差的正弦公式、正弦定理、 知识,考查化归与转化的数数思想方法和运算求解能力 的数数思想方法和运算求解能力) 知识,考查化归与转化的数数思想方法和运算求解能力 解: (1)Q ?ABC 为锐角三角形, sin (π ? B) =

14 4

∴ sin B =

14 ……1 分 4

∴ cos B = 1 ? sin 2 B = 1 ?

14 2 = . ……2 分 16 4

∴ 在 ?ABC 中,由余弦定理得:
AC 2 = AB 2 + BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ……3 分 =

( 2)

2

+ 12 ? 2 × 2 × 1 ×

2 4

= 2 ……5 分
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 67 页(共 4 页)

∴ AC = 2 . ……6 分
(2)在 ?ABC 中,由正弦定理得

BC AC = ……7 分 sin A sin B

得 sin A =

BC × sin B = AC



14 4 = 7 ……8 分 4 2

∴ cos A = 1 ? sin 2 A = 1 ?

7 3 = .……9 分 16 4

∴ sin ( A ? B ) = sin A cos B ? cos A sin B ……10 分
= 7 2 3 14 × ? × 4 4 4 4 14 ……12 分 8

=?

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查频率分布直方图、二项分布、和事件、互斥事件等知识,考查或然与必 本小题主要考查频率分布直方图、二项分布、和事件、互斥事件等知识, 本小题主要考查频率分布直方图 然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意思 然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意思) 解: 1)根据频率直方图可得 n 位居民中月均用水量小于 1 吨的频率为 (

(0.08 + 0.16) × 0.5 = 0.12 ……2 分
∴n = 12 = 100 (人)……3 分 0.12
0.5 0.44

∴ 根据频率直方图可得 n 位居民中月均
用水量在区间 [2,2.5) 内的人数是

0.5 × 0.5 × 100 = 25 (人)……5 分
在 [2.5,3) 内的人数是

0.30 0.28

0.28 × 0.5 × 100 = 14 (人)……7 分
(2)设 A、B 分别表示随机事件“居 民月均用水量在区间 [2,2.5) 内”和 “居民月均用水量在区间 [2.5,3) 内”, 则事件 A、B 互斥. ……8 分

0.16 0.12 0.10 0.08 0.02 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 68 页(共 4 页)

∴ 居民月均用水量在区间 [2,2.5) 或

[2.5,3) 内的概率是
25 14 39 + = = 0.39 ……9 分 100 100 100 设 X 表 示 10 位 居 民 中 月 均 用 水 量 在 区 间 [2,2.5) 或 [2.5,3) 内 的 人 数 , 则 X ~ P = P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) =

B(10,0.39) ……10 分

∴ 所求概率是
P( X ≥ 2) = 1 ? P( X = 0 ) ? P( X = 1)
0 1 = 1 ? C10 × 0.39 0 × 0.6110 ? C10 × 0.391 × 0.619

≈ 1 ? 0.0071 ? 10 × 0.39 × 0.012 ≈ 0.95 ……12 分
18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系,面积与体积,空间向量及坐标运算等基 本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系, 本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系 面积与体积, 础知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、 础知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力 和运算求解能力) 和运算求解能力 解:(1)证明: 证法一:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥ 平面 ABC , BC ? 平面 ABC

∴ AA1 ⊥ BC

Q D、E 分别是 BB1、CC1 的中点,
// ∴ DE = BC

z
A1 B1 C1

∴ AA1 ⊥ DE ……1 分
在 Rt?BAC 中, AB = AC = 1, ∴ BC = 易证 DB ⊥ AB, EC ⊥ AC 在 Rt?DBA 中, DB = AB = 1, ∴ AD = 同理可得 AE =

2
D

H F M A C E

2
B

y

2

∴ ?DEA 为等边三角形, ……2 分
又 M 是 DE 的中点,∴ DE ⊥ AM ……3 分

x

AM ∩ AA1 = A, AM ? 平面AMA1 , AA1 ? 平面AMA1 ……4 分
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 69 页(共 4 页)

∴ DE ⊥ 平面AMA1 ……5 分
证法二:以 A 为原点, AB 、 AC 、 AA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向, AB 的长度为 单位长度建立空间直角坐标系. ……1 分 由题设知点 A, A1 , D, E , M 的坐标分别为 (0,0,0 ), (0,0,2 ), (1,0,1), (0,1,1), ? ,

?1 1 ? ,1? . ?2 2 ?

?1 1 ? ∴ AA1 = (0,0,2) , DE = (? 1,1,0) , AM = ? , ,1? ……2 分 ?2 2 ?

∴ DE ? AA1 = 0, DE ? AM =0 ∴ AA1 ⊥ DE , DE ⊥ AM ,……3 分 AM ∩ AA1 = A, AM ? 平面AMA1 , AA1 ? 平面AMA1 ……4 分 ∴ DE ⊥ 平面AMA1 ……5 分
(2)解法一:取 AA1 的中点 F ,连 DF, EF

∴ DF=// AB = 1, EF=// AC = 1

∴ DF ⊥ AA1 , DF ⊥ EF
又 AA1 ∩ EF = F , AA1 ? 平面AA1 E,EF ? 平面AA1 E

∴ DF ⊥ 平面 AA1 E ……6 分

∴ VA1 ? ADE = VD ? A1AE ……7 分
1 ? S ?A1 AE ? DF ……8 分 3 1 1 = × × AA1 × EF × DF 3 2 1 = × 2 × 1× 1 6 1 = ……9 分 3 =
解法二:取 AA1 的中点 F ,连 DF, EF

∴ DF=// AB = 1, EF=// AC = 1

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 70 页(共 4 页)

∴ AA1 ⊥ DF , , AA1 ⊥ EF
又 DF ? 平面DEF,EF ? 平面DEF, DF ∩ EF = F

∴ AA1 ⊥ 平面DFE ……6 分

∴ 三棱锥 A1 ? ADE 的体积为
VA1 ? ADE = VA1 ? DFE + VA ? DFE ……7 分

1 1 S ?DFE ? FA1 + S ?DFE ? FA 3 3 ……8 分 1 = S ?DFE ? AA1 3 =

=

1 1 × ×1×1× 2 3 2

=

1 ……9 分 3

解法三:易知 ?A1 DE 与 ?AED 是全等的边长为 2 的等边三角形

∴ A1 M = AM =

3 6 × 2= 2 2
2

? 6? 2 2 ? ∴ 等腰三角形 AMA1 的底边 AA1 上的高为 ? ? 2 ? ?1 = 2 ? ?

∴ 三角形 AMA1 的面积为 S ?AMA1 =
由(1)知 DE ⊥ 平面AMA1

1 2 2 × 2× = ……6 分 2 2 2

∴ 三棱锥 A1 ? ADE 的体积为
VA1 ? ADE = VD? AMA1 + VE ? AMA1 ……7 分 1 1 S ?AMA1 ? DM + S ?AMA1 ? ME ……8 分 3 3 1 = S ?AMA1 ? DE 3
=

1 2 = × × 2 3 2
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 71 页(共 4 页)

=

1 ……9 分 3

(3)解法一:由(2)解法一、二易知 EF ⊥ 平面 A1 B1 BA ,过 F 作 FH ⊥ A1 D 于 H,连接 HE

Q A1 F = FD = 1,∴ H 是 A1 D 的中点, Q A1 D ⊥ FH , A1 D ⊥ EF , FH ∩ EF = F

∴ A1 D ⊥ 平面 HEF, HE ? 平面 HEF ∴ A1 D ⊥ HE , HF ? 平面 A1 DE , HF ? 平面A1 DA ,平面 A1 DE ∩ 平面A1 DA = A1 D
∴ ∠FHE 即是所求二面角 A ? DA1 ? E 的平面角. ……11 分
在 Rt?HFE 中, HF =

? 2? 2 ? A1 F ? A1 H = 1 ? ? ? 2 ? = 2 , EF = 1 ? ?
2 2 2 2 2 2

2

? 2? 6 ? ∴ EH = EF + HF = 1 + ? ? 2 ? = 2 ? ?
2

2 FH 3 ∴ cos ∠FHE = = 2 = ……13 分 EH 3 6 2

∴ 二面角 A ? DA1 ? E 的余弦值是

3 .……14 分 3

解法二: 以 A 为原点, AB 、 AC 、 AA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向, AB 的长度 为单位长度建立空间直角坐标系. ……10 分 由题设知点 A, A1 , D, C , E 的坐标分别为 (0,0,0 ), (0,0,2 ), (1,0,1), (0,1,0 ), (0,1,1) .

∴ A 1 E = (0,1,?1) , A1 D = (1,0,?1) , AC = (0,1,0) ……11 分
设平面 A1 DE 的法向量为 n = ( x, y, z )

? A1 E ? n = 0 ?y ? z = 0 ? ?? ,取 x = 1 ,得 n = (1,1,1) .……12 分 ? ? A1 D ? n = 0 ? x ? z = 0 ?

Q AB ⊥ AC , AA1 ⊥ AC ,∴ AC ⊥ 平面A 1 DA

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 72 页(共 4 页)

cos AC, n =

AC ? n AC ? n

=

1 3

=

3 . ……13 分 3
3 .……14 分 3

结合图象知二面角 A ? DA1 ? E 的余弦值是

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查圆、椭圆等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想 本小题主要考查圆、 本小题主要考查圆 椭圆等知识,考查数形结合、化归与转化、 方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 方法,考查数学探究能力以及运算求解能力

?c 5 ? = 3 ?a ? 解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ?a = 3 ……3 分 ? 2 2 2 ?a = b + c ? ? ∴b = 2 ,……4 分 x2 y2 ∴ 所求椭圆方程为 + = 1 .……5 分 9 4 (2)如图,设 P 点坐标为 ( x0 , y 0 ) ,……6 分
若 ∠APB = 90 ,则有 OA = AP .……7 分
0

即 OA = 有2 =

OP ? OA ……8 分
2 2 2 2

x0 + y 0 ? 4
2 2 2 2

又因为 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上,所以 4 x 0 + 9 y 0 = 36 ……②……10 分 ①,②联立解得 x 0 =
2

两边平方得 x0 + y 0 = 8 ……①……9 分

36 4 2 , y 0 = ……11 分 5 5

所以满足条件的有以下四组解

? ? 6 5 ? 6 5 6 5 ? 6 5 ? x0 = ? x0 = ? x0 = ? ? x0 = ? ? ? ? ? 5 5 5 5 ,? ,? ,? ……13 分 ? ?y = 2 5 ?y = ? 2 5 ?y = 2 5 ?y = ? 2 5 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 5 5 5 5 ? ? ? ? ?6 5 2 5? ?6 5 2 5? ? 6 5 2 5? ? ? ? ? ? 所以,椭圆 C 上存在四个点 ? ? 5 , 5 ? , ? 5 ,? 5 ? , ? ? 5 , 5 ? , ? ? ? ? ? ? ? 6 5 2 5? ?? ? ,分别由这四个点向圆 O 所引的两条切线均互相垂直. ……14 分 ,? ? 5 5 ? ? ?
20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等比数列、递推数列、裂项求和、恒成立问题及解不等式等知识,考查 本小题主要考查等比数列、 本小题主要考查等比数列 递推数列、裂项求和、恒成立问题及解不等式等知识, 化归与转化的思想方法以及综合运用知识分析问题和解决问题的能力) 化归与转化的思想方法以及综合运用知识分析问题和解决问题的能力 解:(1)当 n = 1 时, S1 = 2a1 ? 1, a1 = 1 , ……1 分 当 n ≥ 2 时, S n ?1 = 2a n ?1 ? 1 ……2 分
高中毕业班质量监测试题 理科数学第 73 页(共 4 页)

∴ a n = S n ? S n?1 = 2a n ? 2a n ?1 ∴ a n = 2a n ?1 ……3 分 ∴ 数列 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.
∴ a n = 2 n ?1 n ∈ N ? ……4 分 Sn = 1 ? 2n = 2n 1? 2
?

(

) ? 1(n ∈ N ) .……5 分

(2) bn =

1 1 1 = = n ∈ N ? ……6 分 n n +1 log 2 (S n + 1) ? log 2 (S n +1 + 1) log 2 2 ? log 2 2 n(n + 1)

(

)

∴ Tn =

1 1 1 1 + + + LL + ……7 分 1× 2 2 × 3 3 × 4 n(n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 = 1 ? + ? + ? + LL + ? ……8 分 2 2 3 3 4 n n +1 n = n ∈ N ? ……9 分 n +1 2 (3) 由 Tn < x ? ax + 2 恒成立 n 即 < x 2 ? ax + 2 恒成立 n +1 1 即1 ? < x 2 ? ax + 2 恒成立……10 分 n +1 2 必须且只须满足 1 ≤ x ? ax + 2 恒成立……11 分 2 即 x ? ax + 1 ≥ 0 在 R 上恒成立……12 分 2 ∴ (? a ) ? 4 × 1 ≤ 0 ,……13 分 解得 ? 2 ≤ a ≤ 2 .……14 分

(

)

21. (本小题满分 14 分) 本小题主要考察分段函数、函数与方程、函数导数、函数的极值、 (本小题主要考察分段函数、函数与方程、函数导数、函数的极值、函数图象的切线等知 识,考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思方法,以及抽象概括能力、推理 考查化归与转化、分类与整合、 函数与方程的数学思方法,以及抽象概括能力、 论证能力、运算求解能力和创新意识) 论证能力、运算求解能力和创新意识) 解:(1)当 x ≤ 0 时, f ( x ) =

f ′( x ) = x 2 + 2mx , f ′(? 1) = 1 ? 2m ……2 分

1 3 1 x + mx 2 , f (? 1) = m ? ……1 分 3 3

函数 f ( x ) 在 (? 1, f (? 1)) 处的切线方程为: y ? ? m ? 整理得: (3 ? 6m )x ? 3 y + 2 ? 3m = 0 所以有 ?

? ?

1? ? = (1 ? 2m )( x + 1) ……3 分 3?

?3 ? 6m = 1 , ?2 ? 3m = 1 1 解得 m = . ……4 分 3 (2) 当 x > 0 时, f ( x ) + 1 = e x , 所以 g ?1 ( x ) = ln x ( x > 1) ,……5 分

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 74 页(共 4 页)

1 1 x ? g ?1 ( x ) = x ? ln x( x > 1) , 3 3 1 1 x?3 h ′( x ) = ? = 3 x 3x
令 h ′( x ) > 0 得 x > 3 ;令 h ′( x ) < 0 得 1 < x < 3 ,令 h ′( x ) = 0 得 x = 3 , 进而可知 h( x ) 在 (e,3) 上为减函数,在 3, e 2 上为增函数,在 x = 3 处取得极小值.……6 分 又Q h ( e ) = 故知函数 h(x ) 在区间 (1,3) 上为减函数,在区间 (3,+∞) 为增函数,在 x = 3 处取得极小值,

h( x ) =

(

)

e e2 ? 1 < 0, h(3) = 1 ? ln 3 < 0, h(e 2 ) = ? 2 > 0 .……7 分 3 3 1 ?1 在区间 3, e 2 有且只有一个零点.……8 所以,函数 h( x ) = x ? g ( x ) 在区间 (e,3) 内无零点, 3

(

)



(3)当 x > 0 时, f ( x ) = e x ? 1 在 (0,+∞ ) 上单调递增,且 f ( x ) = e x ? 1 >0. ……9 分 当 x ≤ 0 时, f ′( x ) = x + 2mx = x( x + 2m ) .
2

①若 m = 0, f ′( x ) = x ≥ 0, 则 f ( x ) =
2

又 f (0 ) = 0 ,∴ f ( x ) 在 R 上是增函数,无极值. ……10 分

1 3 1 x 在 (? ∞,0] 上单调递增,且 f ( x ) = x 3 < 0 . 3 3 1 3 x + mx 2 在 (? ∞,0] 上单调递 3

②若 m < 0 , f ′( x ) = x 2 + 2mx = x( x + 2m ) > 0 ,则 f ( x ) = 增. 同理, f ( x ) 在 R 上是增函数,无极值. ……11 分 当 x < ?2m 时, f ′( x ) > 0

③若 m > 0 , f ′( x ) = x 2 + 2mx = x( x + 2m ), 令 f ′( x ) = 0 ,得 x1 = ?2m, x 2 = 0 . 当 ? 2m < x < 0 时, f ′( x ) < 0 所以, f ( x ) =

1 3 x + mx 2 在 (? ∞,?2m] 上单调递增,在 (? 2m,0] 上单调递减. 3 4 3 m .…… 3

又 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 上单调递增,故 [ f ( x )]极小 = f (0 ) = 0, [ f ( x )]极大 = f (? 2m ) = 13 分 综上, 当 m > 0 时, [ f ( x )]极小 = f (0 ) = 0, [ f ( x )]极大 = 当 m ≤ 0 时, f ( x ) 无极值. ……14 分

4 2 m . 3

高中毕业班质量监测试题

理科数学第 75 页(共 4 页)


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