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2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标1


绝密★启封并使用完毕前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的 条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作 答,答案无效。 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n ? N},B={6,8,12,14},则集合 A ? B 中元素的个数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2

(2)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 AC =(-4,-3) ,则向量 BC = (A) (-7,-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i

????

??? ?

(4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1,2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的概率为 (A)

10 3

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

(5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9

1 ,E 的右焦点与抛物线 C:y?=8x 的焦点重合,A, 2

(D)12

(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角, 下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥 的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

(7)已知错误!未找到引用源。是公差为 1 的等差数列,错误!未找到引用源。则错误!未找到 引用源。=4 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。= (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)10 (D)12

(8)函数 f(x)=错误!未找到引用源。的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为

(A) (k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, k 错误!未找到引用源。-错误!未 找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 (A) (2k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, 2k 错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 (A) (k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, k 错误!未找到引用源。-错误!未 找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。

(A) (2k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, 2k 错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

(10)已知函数错误!未找到引用源。 ,且 f(a)=-3,则 f(6-a)= (A)-

7 4

(B)-

5 4

(C)-

3 4

(D)-

1 4

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=

(A)1

(B) 2 (C) (D) 4 8

(12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4

第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n=. (14)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7) ,则 a=
3

.

(15)x,y 满足约束条件 (16)已知 F 是双曲线 C:x 最小是,该三角形的面积为
2

,则 z=3x+y 的最大值为.

y2 =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6 ).当△APF 周长 8

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

(17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积
2

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD.

(Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD 的体积为 (19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费错误!未找到引用源。和年 销售量错误!未找到引用源。 (i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计 量的值。

6 ,求该三棱锥的侧面积 3

? x
46.6

? ? y

?? w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w)
i ?1 i

8

2

? ( x ? x)( y ? y) ? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i i ?1 i i

8

8

563

289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x 1, , w =

??

1 8

?w
i ?1

8

1

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和截距的

附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 最小二乘估计分别为:

(20) (本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2) +(y-3) =1 交于 M,N 两点. (1) 求 K 的取值范围; (2) 若 OM · ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.
2 2

???? ?

????

(21).(本小题满分 12 分)

设函数 x 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的导函数 f '( x) 零点的个数; (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

2 。 a

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。作答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中。直线 C1 :

x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为
2 2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程; (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积

?
4

设 C2 与 C3 的交点为 M , N ? ? ? R? ,

,求 ?C2 MN 的

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ?2 | x ? a |, a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 1 的解集;

(Ⅱ)若 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

参考答案
一.选择题 (1)D (7)B 二.填空题 (13)6 三.解答题 (17)解: (Ⅰ)由题设及正弦定理可得 b ? 2ac
2

(2)A (8)D

(3)C (9)C

(4)C (10)A

(5)B (11)B

(6)B (12)C

(14)1

(15)4

(16) 12 6

又 a ? b ,可得 b ? 2c, a ? 2c 由余弦定理可得 cos B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 b ? 2ac
2

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ?????????????6 分 2ac 4

因为 B ? 90 ,由勾股定理得 a ? c ? b
? 2 2

2

故 a ? c ? 2ac ,得 c ? a ? 2
2 2

所以 ? ABC 的面积为 1??????????????????????12 分 (18)解: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD 因为 BE ? 平面 ABCD ,所以 AC ? BE ,故 AC ? 平面 BED 又 AC ? 平面 AEC ,所以平面 AEC ? 平面 BED ??????????5 分 (Ⅱ)设 AB ? x ,在菱形 ABCD 中,由 ?ABC ? 120 ,可得
?

AG ? GC ?

3 x x, GB ? GD ? 2 2 3 x 2

因为 AE ? EC ,所以在 Rt ? AEC 中,可得 EG ?

由 BE ? 平面 ABCD ,知 ? EBG 为直角三角形,可得 BE ?

2 x 2

由已知得,三棱锥 E ? ACD 的体积 VE ? ACD ?

1 1 6 3 6 ? AC ? GD?BE ? x ? 3 2 24 3

故 x ? 2 ????????????????????????????9 分 从而可得 AE ? EC ? ED ? 6 所以 ? EAC 的面积为 3, ? EAD 的面积与 ? ECD 的面积均为 5 故三棱锥 E ? ACD 的侧面积为 3 ? 2 5 ??????????????12 分 (19)解: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类 型??????2 分 (Ⅱ)令 w ?
8

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程,由于

d?

^

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

? (w ? w)
i ?1 i
^

8

?

2

108.8 ? 68 1.6

c ? y ? d w ? 563 ? 68 ? 6.8 ? 100.6
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y ? 100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的线性回归方程
^

^

y ? 100.6 ? 68 x ????????????????6 分
(Ⅲ) (ⅰ)由(Ⅱ)知,当 x ? 49 时,年销售量 y 的预报值

^

y ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6
年利润 z 的预报值

^

z ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 ?????????????9 分
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值

^

z ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ? x ? 13.6 x ? 20.12

^

所以,当 x ?

^ 13.6 ? 6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 取得最大值, 2

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大?????12 分 (20)解: (Ⅰ)由题设,可知直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 因为 l 与 C 交于两点,所以

| 2k ? 3 ? 1| 1? k 2

?1

解得

4? 7 4? 7 ?k? 3 3 4? 7 4? 7 , ) ??????????????5 分 3 3

所以 k 的取值范围为 (

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 将 y ? kx ? 1 代入方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,整理得

(1 ? k 2 ) x2 ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0
所以 x1 ? x2 ?

???? ? ???? OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2

4(1 ? k ) 7 , x1 x2 ? ????????????????7 分 2 1? k 1? k 2

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
4k (1 ? k ) ?8 1? k 2 4k (1 ? k ) ? 8 ? 12 ,解得 k ? 1 ,所以 l 的方程为 y ? x ? 1 由题设可得 1? k 2 ?
故圆心 C 在 l 上,所以 | MN |? 2 ???????????????????12 分 (21)解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 2e
2x

a ? ( x ? 0) x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ?( x ) 没有零点;
2x ? 当 a ? 0 时, 因为 e 单调递增,

a 单调递增, 所以 f ?( x ) 在 (0, ??) 单调递增, 又 f ?(a) ? 0 , x

当 b 满足 0 ? b ?

1 a 且 b ? 时, f ?(b) ? 0 ,故当 a ? 0 时, f ?( x ) 存在唯一零点???6 分 4 4

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) , 可设 f ?( x ) 在 (0, ??) 的唯一零点为 x0 , 当 x ?( 当 x ? ( x0 0 , ) x0 时, f ?( x) ? 0 ; , ?? ) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (0, x0 ) 单调递减,在 ( x0 , ??) 单调递增,所以当 x ? x0 时, f ( x ) 取得最小值, 最小值为 f ( x0 ) 由于 2e
2 x0

?

a a 2 2 ? 0 ,所以 f ( x0 ) ? ? 2ax0 ? a ln ? 2a ? a ln x0 2 x0 a a
2 ?????????????????12 分 a

故当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln (22)解:

(Ⅰ)连结 AE ,由已知得, AE ? BC, AC ? AB 在 Rt ? AEC 中,由已知得, DE ? DC ,故 ?DEC ? ?DCE 连结 OE ,则 ?OBE ? ?OEB 又 ?ACB ? ?ABC ? 90 ,所以 ?DEC ? ?OEB ? 90 ,
? ?

故 ?OED ? 90 , DE 是 ? O 的切线??????????????5 分
?

(Ⅱ)设 CE ? 1, AE ? x ,由已知得 AB ? 2 3, BE ? 12 ? x 2 由射影定理可得, AE ? CE ?BE ,所以 x2 ? 12 ? x2 ,即 x ? x ? 12 ? 0
2 4 2

可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60 ???????????10 分
?

(23)解: (Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方 程为 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ???????????5 分
2

(Ⅱ)将? ?

?
4

代入

? 2 ? 2 ? c o s?? 4 ? s i? n ?

得 ?2 ? 3 2 ,解得 ?4 , 0 ?? 4 ? 0

?1 ? 2 2, ?2 ? 2 ,故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 | MN |? 2

由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 (24)解:

1 ?????????10 分 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 化为 | x ? 1| ?2 | x ? 1| ?1 ? 0 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解; 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得

2 ? x ? 1; 3

当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 所以 f ( x) ? 1 的解集为 {x |

2 ? x ? 2} ???????5 分 3

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ?? x ? 1 ? 2a, x ? a. ?
所 以 函 数 f ( x ) 的 图 像 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为 A(

2a ? 1 , 0) , 3

2 B(2a ? 1,0) , C (a, a ? 1) , ? ABC 的面积为 ( a ? 1) 2 3 2 2 由题设得 (a ? 1) ? 6 ,故 a ? 2 3
所以 a 的取值范围为 (2, ??) ????????????10 分


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