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2017届高三数学(理)(人教A版)提升考能、阶段验收专练卷(一) 集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用

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提升考能、阶段验收专练卷(一) 集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用
(时间:70 分钟 Ⅰ.小题提速练(限时 45 分钟) (一)选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分)
3 1.命题“?x0∈?RQ,x0 ∈Q”的否定是(

满分:104 分)

)

A.?x0??RQ,x3 0∈ Q C.?x??RQ,x3∈Q

B.?x0∈?RQ,x3 0?Q D.?x∈?RQ,x3?Q

解析:选 D 根据特称命题的否定为全称命题知 D 正确. 2.(2015· 安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=ln x C.y=sin x B.y=x2+1 D.y=cos x )

解析:选 D A 是非奇非偶函数,故排除;B 是偶函数,但没有零点,故排除;C 是奇 函数,故排除;y=cos x 是偶函数,且有无数个零点.
x 2 3. (2015· 南昌一模)若集合 A={x|1≤3 ≤81}, B={x|log2?(x -x)>1}, 则 A∩B=(

)

A.(2,4] C.(-∞,0)∪(0,4] 解析:选 A 因为 A={x|1≤3 ≤81}
0 x 4 ={x|3 ≤3 ≤3 }={x|0≤x≤4}, 2 B={x|log2?x -x? >1 }={x|x2-x>2} x

B.[2,4] D.(-∞,-1)∪[0,4]

={x|x<-1或x>2}, 所以 A∩B={x|0≤x≤4}∩{x|x<-1或x>2}={x|2<x≤4}=(2,4]. 4.(2016· 南宁测试)设抛物线 C:y=x2 与直线 l:y=1 围成的封闭图形为 P,则图形 P 的面积 S 等于( A.1 2 C. 3 解析: 选 D ) 1 B. 3 4 D. 3
2 1 ? ?y=x , ? 由 得 x= ± 1. 如图,由对称性可知, S = 2 1×1-? ?0x2dx = ?y=1 ?

(

)

? 1 31? 4 2?1-3x ?= . 0? 3 ?

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5.(2016· 南昌二中模拟)下列说法正确的是(

)

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.已知 y=f(x)是 R 上的可导函数,则“f′(x0)=0”中“x0 是函数 y=f(x)的极值点” 的必要不充分条件
2 C.命题“存在 x0∈R,使得 x2 0+x0+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x +x+

1<0” D.命题“角 α 的终边在第一象限,则 α 是锐角”的逆否命题为真命题 解析:选 B 选项 A 不正确,∵不符合否命题的定义;选项 B 显然正确;选项 C 不正 确, 命题“存在 x0∈R, 使得 x2 “对任意 x∈R, 均有 x2+x+1≥0”; 0+x0+1<0”的否定是: 对于选项 D,原命题是假命题,故逆否命题也为假命题,故选 B.
? ?log2x,x≥1, 6.已知函数 f(x)=? 则“c=-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的( ?x+c,x<1, ?

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若函数 f(x)在 R 上递增,则需 log21≥c+1,即 c≤-1.由于 c=-1?c≤ -1,但 c≤-1?/ c=-1,所以“c=-1”是“f(x)在 R 上递增”的充分不必要条件. 3, x≤1, ? ? 7.已知函数 f(x)=?log x, x>1, 则函数 y=f(1-x)的大致图象是( 1 ? 3 ?
x

)

解析:选 D 当 x=0 时,y=f(1)=3,即 y=f(1-x)的图象过点(0,3),排除 A;当 x= 4 ? 1 -2 时, y=f(3)=-1, 即 y=f(1-x)的图象过点(-2, -1), 排除 B; 当 x=- 时, y=f ? ?3 ? 3 4 ? ? 1 4 =log 1 <0,即 y=f(1-x)的图象过点?-3,log 1 3 ?,排除 C. 3 ? ? 3
3

8.(2016· 宁夏中宁一中月考)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1) 时,f(x)=log 1 (1-x),则函数 f(x)在(1,2)上(
2

)

A.是增函数且 f(x)<0

第 3 页 B.是增函数且 f(x)>0 C.是减函数且 f(x)<0 D.是减函数且 f(x)>0

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解析:选 D 设-1<x<0,则 0<-x<1,f(-x)=log 1 (1+x)=f(x)>0,故函数 f(x)在(-
2

1,0)上单调递减.又因为 f(x)以 2 为周期,所以函数 f(x)在(1,2)上也单调递减且有 f(x)>0. 1?x-2 9.(2016· 湖南调研)已知函数 f(x)=ln x-? ?2? 的零点为 x0,则 x0 所在的区间是( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) )

1 ?x-2 解析:选 C ∵f(x)=ln x-? ?2 ? 在(0,+∞)上是增函数, 1 ?- 1 又 f(1)=ln 1-? ?2 ? =ln 1-2<0, 1 ?0 f(2)=ln 2-? ?2 ? <0, 1 ?1 f(3)=ln 3-? ?2 ? >0, ∴x0∈(2,3). 10.(2016· 洛阳统考)设函数 f(x)=x|x-a|,若对?x1,x2∈[3,+∞),x1≠x2,不等式 f?x1?-f?x2? >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x1-x2 A.(-∞,-3] C.(-∞,3] )

B.[-3,0) D.(0,3]

解析:选 C 由题意分析可知条件等价于 f(x)在[3,+∞)上单调递增,又∵f(x)=x|x-
?x2-ax,x≥a, ? a -∞, ?上 a|,∴当 a≤0 时,结论显然成立,当 a>0 时,f(x)=? ∴f(x)在? 2 2? ? ?-x +ax,x<a, ?

a ? 单调递增,在? ?2,a?上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,∴0<a≤3.综上,实数 a 的取值 范围是(-∞,3]. 11.(2015· 全国卷Ⅰ)设函数 y=f(x)的图象与 y=2x f(-2)+f(-4)=1,则 a=( A.-1 C.2 ) B.1 D.4
+a

的图象关于直线 y=-x 对称,且

解析:选 C 设(x,y)为函数 y=f(x)的图象上任意一点, 则(-y,-x)在 y=2x 所以有-x=2
-y+a +a

的图象上,



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从而有-y+a=log2(-x)(指数式与对数式的互化), 所以 y=a-log2(-x), 即 f(x)=a-log2(-x), 所以 f(-2)+f(-4)=(a-log22)+(a-log24)=(a-1)+(a-2)=1,解得 a=2.故选 C. 12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( 3 ? A.? ?-2e,1? 3 3? C.? ?2e,4? ) 3 3? B.? ?-2e,4? 3 ? D.? ?2e,1?

解析:选 D ∵f(0)=-1+a<0,∴x0=0. 又∵x0=0 是唯一使 f(x)<0 的整数,
? ?f?-1?≥0, ∴? ?f?1?≥0, ?
1 ? ?e [2×?-1?-1]+a+a≥0, 3 即? 解得 a≥ . 2e ?e?2×1-1?-a+a≥0, ?


3 又∵a<1,∴ ≤a<1. 2e (二)填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
?-x,x≤0, ? 13.(2016· 江门调研)若 f(x)=? 2 则 f(x)的最小值是________. ? ?x -2x,x>0,

解析:当 x≤0 时,f(x)=-x,此时 f(x)min=0; 当 x>0 时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, 此时 f(x)min=-1. 综上,当 x∈R 时,f(x)min=-1. 答案:-1 14.已知函数 f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且 f(3)<f(5),则 m=________. 解析:因为 f(x)是偶函数, 所以-2m2+m+3 应为偶数. 又 f(3)<f(5),即 3
-2m2+m+3

<5

-2m2+m+3



3 ? -2m2+m+3 整理得? <1, ?5 ? 3 所以-2m2+m+3>0,解得-1<m< . 2 又 m∈Z,所以 m=0 或 1. 当 m=0 时,-2m2+m+3=3 为奇数(舍去);

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当 m=1 时,-2m2+m+3=2 为偶数. 故 m 的值为 1. 答案:1 15.里氏震级 M 的计算公式为 M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最 大振幅, A0 是相应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中, 测震仪记录的最大振幅是 1 000, 此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的________倍. 解析:根据题意,由 lg 1 000-lg 0.001=6 得此次地震的震级为 6 级.因为标准地震的 振幅为 0.001,设 9 级地震的最大振幅为 A9,则 lg A9-lg 0.001=9,解得 A9=106,同理 5 级地震的最大振幅 A5=102,所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍. 答案:6 10 000 16.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表: x f(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示.

下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)的值域为[1,2]; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 最多有 4 个零点. 其中真命题的序号是________. 解析:由导数图象可知, 当-1<x<0 或 2<x<4 时,f′(x)>0,函数单调递增, 当 0<x<2 或 4<x<5 时,f′(x)<0,函数单调递减, 当 x=0 和 x=4 时,函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2, 当 x=2 时,函数取得极小值 f(2)=1.5. 又 f(-1)=f(5)=1, 所以函数的最大值为 2,最小值为 1,值域为[1,2],①正确.②正确. 因为当 x=0 和 x=4 时,

第 6 页 函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2,

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要使当 x∈[-1,t]时函数 f(x)的最大值是 2, 则 t 的最大值为 5,所以③不正确. 由 f(x)=a, 因为极小值 f(2)=1.5,极大值为 f(0)=f(4)=2, 所以当 1<a<2 时,y=f(x)-a 最多有 4 个零点, 所以④正确. 故真命题的序号为①②④. 答案:①②④ Ⅱ.大题规范练(限时 25 分钟) 17. (本小题满分 12 分)设 f(x) =a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解:(1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x(x>0), 6 故 f′(x)=2a(x-5)+x. 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)· (x-1), 由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6, 1 故 a= . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x(x>0), 2 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,解得 x=2 或 x=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0, 故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 2 3.

第 7 页

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18. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=k· a x(k,a 为常数,a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0,1),B(3,8). (1)求实数 k,a 的值; (2)若函数 g(x)= f?x?-1 ,试判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. f?x?+1
-x

? a0=1, ?k· 解:(1)把 A(0,1),B(3,8)的坐标代入 f(x)=k· a ,得? -3 ?k· a =8. ?

1 解得 k=1,a= . 2 (2)g(x)是奇函数.理由如下: 由(1)知 f(x)=2x, f?x?-1 2x-1 所以 g(x)= = . f?x?+1 2x+1 函数 g(x)的定义域为 R, 2 x-1 2x· 2 x-2x 又 g(-x)= -x = x -x 2 +1 2 · 2 + 2x
- -

=-

2x-1 =-g(x), 2x+1

所以函数 g(x)为奇函数.

附加卷:集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用(教师备选)
(时间:70 分钟 满分:104 分)

Ⅰ.小题提速练(限时 45 分钟) (一)选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分)
? ? x ? ? 1.已知集合 A={a,0},B=?x?y=lg5-2x,x∈Z ?,如果 A∩B≠?,则 a=( ? ?

?

? ?

)

5 A. 2 C.2
?

B.1 D.1 或 2
?

? ? 5 0<x< ,x∈Z ?={1,2},则由 A∩B≠?,得 a=1 或 解析:选 D 由题意得 B=?x? 2 ?

2.

?x ,x>0, 2.(2016· 长沙一模)已知函数 f(x)=? 1 ? ?? ?2 ? ,x≤0,
1 2

则 f[f(-4)]=(

)

x

第 8 页 A.-4 C.- 1 4

共 14 页 B.4 1 D. 4
1 2

1 ?- 4 解析:选 B 因为 f(-4)=? ?2 ? =16,所以 f[f(-4)]=f(16)=(16) 3.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x ( ) A.2 C.-1 或 2 B.-1 D.0
-5m-3

=4.

是幂函数且是(0,+∞)上的增函数,则 m 的值为

解析:选 B 因为函数 f(x)为幂函数,所以 m2-m-1=1,即 m2-m-2=0,解得 m 3 =2 或 m=-1.因为该幂函数在(0,+∞)上是增函数,所以-5m-3>0,即 m<- .所以 m 5 =-1. π ? 4.已知命题 p:?x0∈(-∞,0),3x0<4x0,命题 q:?x∈? ?0,2 ?,tan x>x.则下列 命题中为真命题的是( A.p∧q C.p∧(綈 q) ) B.p∨(綈 q) D.(綈 p)∧q

解析:选 D 由指数函数的单调性可知命题 p:?x0∈(-∞,0),3x0<4x0 为假,则命 π ? 题綈 p 为真;易知命题 q:?x∈? ?0,2 ?,tan x>x 为真,则命题綈 q 为假.根据复合命题 的真值表可知命题 p∧q 为假,命题 p∨(綈 q)为假,命题 p∧(綈 q)为假 ,命题(綈 p)∧q 为 真. 5.(2016· 沧州质检)如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的 x 都有 f(x+1)=f(-x),那么 ( ) A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)

1 解析:选 D 由 f(1+x)=f(-x)知 f(x)的图象关于直线 x= 对称,又抛物线 f(x)开口向 2 上, ∴f(0)<f(2)<f(-2).

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共 14 页 2 ,则下列结论正确的是( 3 )

1 6.(2015· 云南二检)设 a=3log 1 2,b=log 1 ,c= 3
3
2

A.a<b<c C.b<a<c

B.a<c<b D.b<c<a 2 <1,故 a<c<b. 3

1 解析:选 B a=3log 1 2<0,1<b=log 1 =log23<2,0<c= 3
3
2

7.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(0)=2, 则 f(2 016)的值为( A.2 C.-2 ) B.0 D.± 2

解析:选 A ∵g(-x)=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1). 又 g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1), ∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(2 016)=f(0)=2. 8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0,且


a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)等于( A.2 17 C. 4

) 15 B. 4 D.a2

解析:选 B ∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, ∵f(2)+g(2)=a2-a 2+2,①


∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a 2-a2+2,②


由①,②联立得 g(2)=a=2,f(2)=a2-a 2=


15 . 4

9. 已知函数 f(x)=x2-bx+a 的图象如图所示, 则函数 g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的 区间是( )

1 1 ? A.? ?4,2 ? C.(1,2)

1 ? B.? ?2,1? D.(2,3)

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b 1 ,1?,则 1<b<2,易知 g(x)=ln x+ 解析:选 B 由题图可知 f(x)的对称轴 x= ∈? ? 2 ?2 1 ? 1 ?1 ? 2x-b,则 g? ?4 ?=-2ln 2+2-b<0,g?2 ?=-ln 2+1-b<0,g(1)=2-b>0,故 g(x)的 1 ? 零点所在的区间是? ?2,1?. 10.某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租金定为 3 000 元时,这 70 套公寓能全租出去;当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍),就会多一 套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设租不出 的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( A.3 000 元 C.3 500 元 B.3 300 元 D.4 000 元 )

解析:选 B 由题意,设利润为 y 元,租金定为 3 000+50x 元(0≤x≤70,x∈N). 则 y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x) =(2 900+50x)(70-x) =50(58+x)(70-x) 58+x+70-x?2 ≤50? 2 ? ? ≤204 800, 当且仅当 58+x=70-x,即 x=6 时,等号成立, 故每月租金定为 3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润.
2 ? ?m+x ,|x|≥1, 11.设函数 f(x)=? 的图象过点(1,1),函数 g(x)是二次函数,若函数 ?x,|x|<1 ?

f(g(x))的值域是[0,+∞),则函数 g(x)的值域是( A.(-∞,-1]∩[1,+∞) C.[0,+∞)

)

B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

解析: 选 C

2 ? ?m+x ,|x|≥1, 因为函数 f(x) = ? 的图象过点 ?x,|x|<1 ?

?x2,|x|≥1, ? (1,1),所以 m+1=1,解得 m=0,所以 f(x)=? 因为 ?x,|x|<1, ?

函数 g(x)是二次函数,值域不会是选项 A,B,画出函数 y=f(x)的 图象(如图所示),易知,当 g(x)的值域是[0,+ ∞)时,f(g(x))的值域是[0,+∞). 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①对任意 x∈R,有 f(x+2)=2f(x);②当 x∈[-

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x ? ?e ?x≤0?, 1,1]时,f(x)= 1-x .若函数 g(x)=? 则函数 y=f(x)-g(x)在区间(-4,5)上的零 ?ln x?x>0?, ? 2

点个数是( A.7 C.9

) B.8 D.10

解析:选 C 函数 f(x)与 g(x)在区间[-5,5]上的图象如图所示,由图可知,函数 f(x)与 g(x)的图象在区间(-4,5)上的交点个数为 9,即函数 y=f(x)-g(x)在区间(-4,5)上零点的个 数是 9.

(二)填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.函数 y=log 1 (2x+1)(1≤x≤3)的值域为________.
3

解析:当 1≤x≤3 时,3≤2x+1≤9, 所以-2≤y≤-1,所求的值域为[-2,-1]. 答案:[-2,-1] 14.若函数 y= x 在区间(1,+∞)内是减函数,则实数 m 的取值范围是________. x- m

x m 解析:y= =1+ ,由函数的图象及性质可得 0<m≤1. x-m x-m 答案:(0,1] 15.(2016· 台州调考)若函数 f(x)= =________. 1 (a,b,c∈R)的部分图象如图所示,则 b ax2+bx+c

解析:令 g(x)=ax2+bx+c,由图象可知,1,3 是 ax2+bx+c=0 的两个根,因此 a+b +c=0,9a+3b+c=0,又函数 f(x)的图象过点(2,-1),则 f(2)=-1,即 4a+2b+c=-1, 因此可得 a=1,c=3,b=-4. 答案:-4

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x2+1 16.关于函数 f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题: |x| ①函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②在区间(-∞,0)上,函数 y=f(x)是减函数; ③函数 f(x)的最小值为 lg 2; ④在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是增函数. 其中是真命题的序号为________. 解析:∵函数 f(x)=lg x2+1 (x≠0,x∈R),显然 f(-x)=f(x),即函数 f(x)为偶函数, |x|

x2+1 1 1 x+ ?,令 t(x)=x+ ,x>0, 图象关于 y 轴对称,故①正确;当 x>0 时,f(x)=lg =lg? ? x? x x 1 则 t′(x)=1- 2,可知当 x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时,t′(x)>0, x t(x)单调递增, 即在 x=1 处取到最小值为 2.由偶函数的图象关于 y 轴对称及复合函数的单调 性可知②错误,③正确,④正确,故答案为①③④. 答案:①③④

Ⅱ.大题规范练(限时 25 分钟)
2 17. (本小题满分 12 分)已知集合 A={x|x -2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-9≤0},

m∈R. (1)若 m=3,求 A∩B; (2)已知命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由题意知,A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-3≤x≤m+3}. 当 m=3 时,B={x|0≤x≤6}, ∴A∩B=[0,3].

(2)由 q 是 p 的必要条件知,A?B,
?m-3≤-1, ? 结合(1)知? 解得 0≤m≤2. ? ?m+3≥3

故实数 m 的取值范围是[0,2]. 1 18. (本小题满分 12 分)(2016· 辽宁五校联考)已知函数 f(x)=ln x+x+ax(a 是实数), g(x)= 2x +1. x2+1

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)在定义域上的最值;

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(2)若函数 f(x)在[1,+∞)上是单调函数,求 a 的取值范围; (3)是否存在正实数 a 满足:对于任意 x1∈[1,2],总存在 x2∈[1,2],使得 f(x1)=g(x2) 成立?若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. 1 解:(1)当 a=2 时,f(x)=ln x+ +2x,x∈(0,+∞), x 2x2+x-1 ?2x-1??x+1? 1 1 f′(x)= - 2+2= = , x x x2 x2 1 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x= . 2 1 ? 当 x∈? ?0,2 ?时,f′(x)<0; 1 ? 当 x∈? ?2,+∞ ?时,f′(x)>0, 1 所以 f(x)在 x= 处取到最小值,最小值为 3-ln 2;无最大值. 2 ax2+x-1 1 1 (2)f′(x)=x- 2+a= ,x∈[1,+∞), x x2 显然 a≥0 时,f′(x)≥0,且不恒等于 0, 所以函数 f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,符合要求. 当 a<0 时,令 h(x)=ax2+x-1, 当 x― →+∞时,h(x)― →-∞, 所以函数 f(x)在[1,+∞)上只能是单调递减函数. Δ>0, ? ?h?1?≤0, 所以 Δ=1+4a≤0 或? 1 ? ?-2a≤1, 综上:满足条件的 a 的取值范围是

1 解得 a≤- . 4

?-∞,-1?∪[0,+∞). 4? ?
(3)不存在满足条件的正实数 a. 由(2)知,a >0 时 f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数, 所以 f(x)在[1,2]上是单调递增函数. 所以对于任意 x1∈[1,2], 1 ? f(1) ≤f(x1)≤f(2),即 f(x1)∈? ?1+a,ln 2+2+2a ?. g′(x)= 2?1-x2? ,当 x∈[1,2]时,g′(x)≤0, ?1+x2?2

第 14 页 所以 g(x)在[1,2]上是单调递减函数. 9 ? 所以当 x2∈[1,2]时,g(x2)∈? ?5,2 ?.

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若对于任意 x1∈[1,2],总存在 x2∈[1,2], 使得 f(x1)=g(x2)成立, 1 ? ?9 ? 则? ?1+a,ln 2+2+2a ???5,2?,此时 a 无解. 所以不存在满足条件的正实数 a.


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