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函数的奇偶性 知识点及习题


函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
一般地,如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函 数 f ( x) 就称偶函数; 一般地,如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 函数 f ( x) 就称奇函数;

二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; 2、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; 3 、可逆性: f (? x) ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数; f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 奇函数; 4、等价性: f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (| x |) ? f ( x ) ?

f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ?

f ?x ? ? ?1 ; f ?? x ?

f ?x ? ? 1; f ?? x ?

5、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; 6、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数 又是偶函数、非奇非偶函数。 7、设 , 的定义域分别是 ,那么在它们的公共定义域上:

奇±奇=奇(函数) 奇×奇=偶(函数)
n

偶±偶=偶(函数) 偶×偶=偶(函数)奇×偶=奇(函数)

8、多项式函数 P( x) ? an x ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

9、复合函数 y ? f ?g ( x)? 的奇偶性 若函数 f ( x), g ( x), f ?g ( x)? 的定义域都是关于原点对称的,那么由
u ? g ( x), y ? f (u) 的奇偶性得到 y ? f ?g ( x)? 的奇偶性的规律是:

函数
u ? g ( x)

奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数

y ? f (u )

y ? f ?g ( x)? 奇函数

即当且仅当 u ? g ( x) 和 y ? f (u ) 都是奇函数时,复合函数 y ? f ?g ( x)? 是奇函数.

三、函数的奇偶性的判断

1

函数奇偶性的因素有两个:定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判 断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。 判断函数奇偶性的方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查 f (? x) 是否与 ? f ( x) 、

f ( x) 相等,判断步骤如下:
1、定义域是否关于原点对称;若定义域不对称,则为非奇非偶函数;若定义域对 称,则有成为奇(偶)函数的可能 2、数量关系 f (? x) ? ? f ( x) 哪个成立; 判断分段函数的奇偶性 判断分段函数的奇偶性时,通常利用定义法判断,在函数定义域中,对自变量 X 的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数,分段函数不是几 个函数,而是一个函数,因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称, 然后判断 与 的关系,首先要特别注意 X 与—X 的范围,然后将它们代入 与 对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函

相应段的函数表达式中, 数的定义进行比较。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定
命题 1:函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这 一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题 2:两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没 有定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数, 如 f ( x) ? x( x ? (?1,1)) , g ( x) ? x( x ? (?2, 2)) ,可以看出函数 f ( x) 与 g ( x) 都是定义 域上的函数,它们的差只在区间 (?1,1) 上有定义且 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,而在此区间上函 数 f ( x) ? g ( x) 既是奇函数又是偶函数。 命题 3: f ( x) 是任意函数,那么 | f ( x) | 与 f (| x |) 都是偶函数。 此命题错误。一方面,对于函数 | f ( x) |? ?

或 f ? ?x ? ? ? f ? x ? ;另一方面,对于一个任意函数 f ( x) 而言,不能保证它的定义域关 于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数 f (| x |) 是偶函数。 命题 4:如果函数 f ( x) 满足: f ? x ? ? f ? ? x ? ,那么函数 f ( x) 是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数 f ( x) ? ?

? f ( x),( f ( x) ? 0), 不能保证 f ? ?x ? ? f ? x ? ?? f ( x),( f ( x) ? 0),

? x,( x ? 2n, n ? N ), 从图像上看, f ( x) 的图像既不关 2 ? x ,( x ? 2n ? 1, n ? N ),

于原点对称,也不关于 y 轴对称,故此函数非奇非偶。 命题 5:设 f(x)是定义域关于原点对称的一个函数,则 F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数, F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数. 此命题正确。由函数奇偶性易证。
2

命题 6:已知函数 f ( x) 是奇函数,且 f (0) 有定义,则 f ? 0? ? 0 。 此命题正确。由奇函数的定义易证。 命题 7:已知 f ( x) 是奇函数或偶函数,方程 f ( x) ? 0 有实根,那么方程 f ( x) ? 0 的所 有实根之和为零;若 f ( x) 是定义在实数集上的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 有奇数个实根。 此命题正确。方程 f ( x) ? 0 的实数根即为函数 f ( x) 与 x 轴的交点的横坐标,由奇偶性 的定义可知:若 f ( x0 ) ? 0 ,则 f (? x0 ) ? 0 。对于定义在实数集上的奇函数来说,必有

f ? 0? ? 0 。故原命题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④ 非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征
一般地:奇函数的图像关于原点对称,反过来,如果一个函数的图像关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;偶函数的图像关于 y 轴对称,反过来,如果一个函数的图像关于

y 轴对称,那么这个函数是偶函数。

b ? 0, 2a 即 b ? 0 ;若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 成为奇函数,必须要使 a ? c ? 0 ;当 b ? 0 时,
图象法:如二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 成为偶函数,必须要使对称轴 x ? ? 二次函数是非奇非偶函数。
奇函数对称区间上的单调性相同,偶函数对称区间上的单调性相反。

七、关于函数奇偶性的简单应用
函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是每年高考的重点和热点内容之一,利用函 数的奇偶性可求函数值、比较大小,求函数的解析式,讨论函数的单调性,求参数的值等。 现分别举例说明如下: 1、利用奇偶性求函数值

【例 1】已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? (-2)=____ _。



【例 2】设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),则 f 【例 3】 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0) =___;若有 f (?2) ? 3 ,则 f (2) ? ___; 若 f (5) ? 7 ;则 f (?5) ? ___; 【例 4】已知函数 f ( x ) ? a ? 2、利用奇偶性比较大小

1 ( x ? R) ,若 f ( x) 为奇函数,则 a ? ___; 2 ?1
x

【例 5】已知偶函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。

【例 6】若 f ( x) 是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是: ( )
3

B. f (?2) ? f (1) ? f (0) C. f (1) ? f (0) ? f (?2) D. f (1) ? f (?2) ? f (0) 【例 7】 如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间

A. f (?2) ? f (0) ? f (1)

?? 7,?3? 上是(

) B.增函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5 为偶函数,试比较 的

A.增函数且最小值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 【例 8】 大小关系。 ,

【例 9】 值范围。

为偶函数,

,若

,求 取

3、利用奇偶性求解析式 【例 10】已知 f ( x) 为偶函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ,当 ?1 ? x ? 0 时,求

f ( x) 的解析式。

【例 11】若 f ( x) 是定义在(-∞,0) ? (0,+∞)上的奇函数,当 x<0 时,

f ( x) ? x(1 ? x) ,求当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的解析式。

【例 12】设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时,f ( x) ? ?2 x 2 ? 3x ? 1,试求 函数 f ( x) 的解析式。

4、利用奇偶性讨论函数的单调性 【例 15】若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x) 的单调区间。

5、利用奇偶性求参数的值 【例 16】定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??,0) 是单调递减,若

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,则 a 的取值范围是如何?

【例 17】设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m), 求实数 m 的取值范围.
4

6、利用奇偶性证明不等式 【例 18】求证

x x ? ( x ? 0) x 2 1? 2

7、函数奇偶性的判定问题 【例 19】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)· (3)f(x)=
1? x ; 1? x

1 ? x2 ; | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x) ( x ? 0), (4)f(x)= ? ? x(1 ? x) ( x ? 0).

(1 ? 2 x ) 2 (5) f ( x ) ? 2x

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 【例 20】判断下列函数的奇偶性 g ( x) ? ? ? ? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2

3 2 ? ?x -3x +1?x>0? 【例 21】判断函数 f(x)=? 3 ?x +3x2-1?x<0? ?

的奇偶性.

【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称的两段 上都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.也可根据图象判定.

8、奇偶函数的图象问题 【例 22】下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图 象关于 y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) ( )A.1 B.2 C.3 D.4
【提高练习】 1.已知定义域为 R 的偶函数 f ( x) 在 (0,??) 上为减函数,且有 f (2) ? 0 ,则满足

f ( x) ? 0 的 x 的集合为_________;
2.已知函数 y ? f ( x) 为 R 上的奇函数,若 f (3) ? f (2) ? 1,则 f (?2) ? f (?3) ? ____;

5

3.已知偶函数 f ( x) 在区间 [2,4] 上为减函数且有最大值为 5,则 f ( x) 在区间 [?4,?2] 上 为____函数且有最___值为____;若是奇函数 f ( x) 在区间 [2,4] 上为增函数且有最小 值为 5,则 f ( x) 在区间 [?4,?2] 上为____函数且有最___值为____。 4.若函数 f ( x) ? log a ( x ? x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a ?
2 2 5.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是(



A. 1

6.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(

B. 2

C. 3

D. 4



3 f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 A. 3 f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2 C.
的取值范围是 ( ) A. a ? 2 B. a ? ?2

3 f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 B. 3 f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 D.

7.函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,若 f (a) ? f (2) ,则实数 a C. ?2 ? a ? 2 D. a ? ?2 或 a ? 2

8.已知 f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) (1)判断函数的奇偶性;(2)判断 f ( x) 的单调性并证明。

9.若 f(x)=

a ? 2x ? a ? 2 为奇函数,求实数 a 的值. 2x ?1

6


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