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高中数学北师大版必修五第三章:章末复习课


学习目标 1.整合知识结构,进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大 小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能 熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值. 知识点一 “三个二次”之间的关系 所谓三个二次,指的是①二次________图像及与 x 轴的交点;②相应的一元二次________的 实根;③一元二次________的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题,要善于联想其余两个,并灵活转化. 知识点二 规划问题 1.规划问题的求解步骤 (1)把问题要求转化为约束条件; (2)根据约束条件作出可行域; (3)对目标函数变形并解释其几何意义; (4)移动目标函数寻找最优解; (5)解相关方程组求出最优解. 2.关注非线性 (1)确定非线性约束条件表示的平面区域. 可类比线性约束条件, 以曲线定界, 以特殊点定域. y-b (2)常见的非线性目标函数有① ,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)连线的 x-a 斜率;② ?x-a?2+?y-b?2,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)的距离. 知识点三 基本不等式 利用基本不等式证明不等式和求最值的区别. 利用基本不等式证明不等式,只需关注不等式成立的条件. 利用基本不等式求最值,需要同时关注三个限制条件:一正;二定;三相等. 类型一 “三个二次”之间的关系 例 1 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M?[1,4],求实数 a 的取值范围. 反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化,如 1≤x1<x2≤4,要是 ? ?f?1?≥0且f?4?≥0, 用求根公式来解就相当麻烦,用? 则可化归为简单的一元一次不等式组. 1 < a < 4 且 Δ >0 ? ? (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想. 跟踪训练 1 若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 类型二 规划问题 x-4y≤-3, ? ? 例 2 已知变量 x,y 满足约束条件?3x+5y≤25, ? ?x≥1, 求 z=2x+y 的最大值和最小值. 反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关,所以画可行域要尽可能精确; (2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系,所以要关注截距越大,z 越大还是越小. 跟踪训练 2 某人承揽一项业务,需做文字标牌 4 个,绘画标牌 5 个.现有两种规格的原料, 甲种规格每张 3 m2,可做文字标牌 1 个,绘画标牌 2 个;乙种规格每张 2 m2,可做文字标牌 2 个,绘画标牌 1 个,求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小. 类型三 利用基本不等式求最值 命题角度 1 无附加条件型的最值问题 50x 例 3 设 f(x)= 2 . x +1 (1)求 f(x)在[0,+∞)上的最大值; (2)求 f(x)在[2,+∞)上的最大值. 反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”,缺一不可,可以通过 拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值,可以考虑用函数的单调性求解. 5 1 跟踪训练 3 已知 x< ,则 f(x)=4x-2+ 的最大值为________. 4 4x-5 命题角度 2 有附加条件的最值问题 例 4 函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)

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