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高中数学北师大版必修五第三章:章末复习课

学习目标 1.整合知识结构,进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大 小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能 熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值. 知识点一 “三个二次”之间的关系 所谓三个二次,指的是①二次________图像及与 x 轴的交点;②相应的一元二次________的 实根;③一元二次________的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题,要善于联想其余两个,并灵活转化. 知识点二 规划问题 1.规划问题的求解步骤 (1)把问题要求转化为约束条件; (2)根据约束条件作出可行域; (3)对目标函数变形并解释其几何意义; (4)移动目标函数寻找最优解; (5)解相关方程组求出最优解. 2.关注非线性 (1)确定非线性约束条件表示的平面区域. 可类比线性约束条件, 以曲线定界, 以特殊点定域. y-b (2)常见的非线性目标函数有① ,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)连线的 x-a 斜率;② ?x-a?2+?y-b?2,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)的距离. 知识点三 基本不等式 利用基本不等式证明不等式和求最值的区别. 利用基本不等式证明不等式,只需关注不等式成立的条件. 利用基本不等式求最值,需要同时关注三个限制条件:一正;二定;三相等. 类型一 “三个二次”之间的关系 例 1 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M?[1,4],求实数 a 的取值范围. 反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化,如 1≤x1<x2≤4,要是 ? ?f?1?≥0且f?4?≥0, 用求根公式来解就相当麻烦,用? 则可化归为简单的一元一次不等式组. 1 < a < 4 且 Δ >0 ? ? (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想. 跟踪训练 1 若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 类型二 规划问题 x-4y≤-3, ? ? 例 2 已知变量 x,y 满足约束条件?3x+5y≤25, ? ?x≥1, 求 z=2x+y 的最大值和最小值. 反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关,所以画可行域要尽可能精确; (2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系,所以要关注截距越大,z 越大还是越小. 跟踪训练 2 某人承揽一项业务,需做文字标牌 4 个,绘画标牌 5 个.现有两种规格的原料, 甲种规格每张 3 m2,可做文字标牌 1 个,绘画标牌 2 个;乙种规格每张 2 m2,可做文字标牌 2 个,绘画标牌 1 个,求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小. 类型三 利用基本不等式求最值 命题角度 1 无附加条件型的最值问题 50x 例 3 设 f(x)= 2 . x +1 (1)求 f(x)在[0,+∞)上的最大值; (2)求 f(x)在[2,+∞)上的最大值. 反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”,缺一不可,可以通过 拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值,可以考虑用函数的单调性求解. 5 1 跟踪训练 3 已知 x< ,则 f(x)=4x-2+ 的最大值为________. 4 4x-5 命题角度 2 有附加条件的最值问题 例 4 函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上, - 1 1 则 + 的最小值为________. m n 反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时,常见的用法有两个:一个是用这个等式消元, 化为角度 1 的类型;一个是直接利用该等式代入,或构造定值. 1 2 跟踪训练 4 设 x,y 都是正数,且 + =3,求 2x+y 的最小值. x y x+y≤3, ? ? 1.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?y≥1, A.12 C.8 B.10 D.2 则目标函数 z=4x+2y 的最大值为( ) 1 2.若不等式 ax2+bx-2>0 的解集为{x|-2<x<- },则 a+b 等于( 4 A.-18 C.-13 B.8 D.1 ) ) 1 1 3.设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ab a?a-b? A.1 C.3 B.2 D.4 1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是不等式的证明和解不等式的主要依据.因 此,要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法 对于一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(其中 a≠0)的求解,要联想两个方面的 问题:二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点;方程 ax2+bx+c=0 的根.按照 Δ>0,Δ=0, Δ<0 分三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(a>0)的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),实数 Ax+By+C 的符号相同,取一个特 殊点(x0,y0),根据实数 Ax0+By0+C 的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域,可 简记为“直线定界,特殊点定域”.特别地,当 C≠0 时,常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线,可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点,于是 在选择题中关于线性规划的最值问题,可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5 . 运 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 把 握 三 个 条 件 : ①“ 一 正 ”—— 各 项 为 正 数 ; ②“ 二 定”——“和”或“积”为定值; ③“三相等”——等号一定能取到. 这三个条件缺一不可. 答案精析 知识梳理 知识

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