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数学高考复习名师精品教案:第66课时:第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题(1)


数学高考复习名师精品教案
第 66 课时:第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题(1)

课题:轨迹问题(1) 一.复习目标: 1.掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法; 2.掌握直接法求轨迹方程的基本步骤. 二.知识要点: 1.直接法求轨迹方程的一般步骤:建系—设点—列式—代换—化简—检验 2.用定义法求轨迹方程的基本思路是: (1)用曲线的定义判断轨迹的形状(定 型);(2)判断轨迹的位置(定位)(3)求曲线的基本量(定量);(4) 写出轨迹方程. 三.课前预习: 1.已知点 A (? 2 , 0 ) 、 B ( 3, 0 ) ,动点 P ( x , y ) 满足
( A) 圆 ( B ) 椭圆
2 2

PA ? PB ? x

2

,则点 P 的轨迹是(D)

( C ) 双曲线

( D ) 抛物线

2. 若
( A) 圆

( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ? | x ? y ? 3 | ? 0
( B ) 椭圆

,则点 M ( x , y ) 的轨迹是 ( C )
( C ) 双曲线 ( D ) 抛物线

3. M 与点 F ( 4, 0 ) 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小1 , 点 则点 M 的轨迹方程是
1

y ? 16 x
2

4.一动圆与圆 x
(x ? 3 2
2

2

? y ? 1 外切,而与圆 x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 内切,则动圆圆心的轨迹
2 2 2

) ?
2

4y 5

2

?1

方程是

(右支) 的两个焦点分别是 F1,F2,P 是这个椭圆上的一个动点,延
2

5.已知椭圆 x

?

y

2

?1

4

3

长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|F2P|,求 Q 的轨迹方程是 ( x ? 1)

? y ? 16
2



四.例题分析: 例 1.已知 ? A B C 中, | B C |? 2, 图形. 解:以 B C 所在直线为 x 轴, B C 中点 O 为原点建立直角坐标系,则 B ( ? 1, 0 ), C (1, 0 ) , 设点 A 的坐标为 ( x , y ) ,由
2 2 2 2

| AB | | AC |

?m

,求点 A 的 轨迹方程,并说明轨迹是什么

| AB | | AC |

? m

,得:
2

( x ? 1) ? y
2

2

( x ? 1) ? y
2

? m
2

,化简得:

(1 ? m ) x ? (1 ? m ) y ? (2 ? 2 m ) x ? 1 ? m ? 0
2

当m

? 1 时,轨迹为直线 x ? 0

;当 m
2

? 1 时,配方得: ( x ?

1? m 1? m

2 2

) ? y ?(
2 2

2m 1? m
2

)

2

(1) m ? 0 时,方程为 x (2) m
? 0

2

? y ? 2 x ? 1 ? 0 ,轨迹为点 (1, 0)
1? m
2 2


| 的圆.

时,轨迹是圆心为(

m ?1

, 0 ),半径为 |

2m 1? m
2

例 2.已知抛物线 C : y

2

? 4x

,若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点和

准线分别重合,求以椭圆短轴端点 B 与焦点 F 为两端点的线段中点 P 的轨迹方 程. 解:设 P ( x , y ) ,显然 x ? 1 ,则点 B 的坐标为
y
2 P F O1 B

O

x

(1 ? 2 x , 2 y ) ,由椭圆的定义,知:

| BF | | BB? |

? e

, c ? | F O ? |? | O O ? | ? | O F

|? 2( x ? 1)



a ? | F B |?

(2 x ? 2) ? (2 y ) ,
2 2

| B B ? |? (2 x ? 1) ? ( ? 1) ? 2 x





(2 x ? 2) ? (2 y )
2

2

?

2 ( x ? 1) (2 x ? 2) ? (2 y )
2 2

2x

化简得: y

2

? x ? 1 ,∴ P

的轨迹方程为: y

2

? x ? 1( x ? 0 )

例 3.已知两点 M ( ? 1, 0), N (1, 0) ,且点 P 时 M P ? M N , P M

???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? PN , NM ? NP

成公差小于零的
, y0 ) 0

等差数列. (1) P 的轨迹是什么曲线? 点 (2) 若点 P 的坐标为 ( x 与 P N 的夹角,求 tan ? (用点 P 的坐标数值表示). 解:设 P ( x , y ) ,∵ M ( ? 1, 0), N (1, 0) ,∴ P M
???? ? ???? ? ? M P ? (?1 ? x, ? y ) ,

, ? 为 PM 记

???? ?

????

???? ??? ? ???? ? ???? ? P N ? ? N P ? (1 ? x , ? y ) , M N ? ? N M ? (2, 0 ) ,

∴MP ? MN

???? ???? ?

? 2 ( x ? 1)

???? ???? ? ???? ??? ? ? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? 2 2 P M ? P N ? x ? y ? 1 , N M ? N P ? 2 (1 ? x ) ,则 M P ? M N , P M ? P N , N M ? N P
1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [ 2 (1 ? x ) ? 2 (1 ? x )] 等差数列等价于 ? 2 ? 2 (1 ? x ) ? 2 (1 ? x ) ? 0 ?

成公差小于零的

,即 ?

?x ? y ? 3
2 2

?x ? 0

所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, (2) P 的坐标为 ( x
0

3

为半径的右半圆. ,
1 2 ? co s ? ? 1

, y0 ) ,

由 PM
1 4 ? x0
2

???? ???? ? 2 2 ? P N ? x0 ? y0 ? 1 ? 2

???? ???? ? PM ? PN 2 ? ? ∴ co s ? ? ???? ???? ? | P M || P N | 2 4 ? x 0 2

,∵ 0 ?
2

x0 ?

3

,∴

∴0 ? ?

?

?
3

,∴ tan ?

?

sin ? co s ?

?

3 ? x0 ?| y0 |

五.课后作业: 1.与两点 ( ? 3 , 0 ), ( 3 , 0 ) 距离的平方和等于 38 的点的轨迹方程是 ( )

3

( A) x ? y
2

2

? 10
2 2

(B) x ? y
2

2

? 10

(C ) x ? y
2

2

? 38

(D ) x ? y
2

2

? 38

2.与圆 x
( A) y ? 8 x
2

? y ? 4 x ? 0 外切,又与 y
2

轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )

( B ) y ? 8 x( x ? 0) 和 y ? 0 ( D ) y ? 8 x( x ? 0) 和 y ? 0( x ? 0)
2

(C ) y ? 8 x ( x ? 0 )
2

3.到点( ? 1, 0 ) 的距离与到直线x
( A) x
2

? 3 的距离相等的点的轨迹方程为





? ?4 y ? 4

(B) x

2

? ?8 y ? 8

(C ) y

2

? ?4 x ? 4

(D ) y

2

? ?8 x ? 8

4.动圆与 x 轴相切,且与直线 y ? x 相交所得的弦长为 2 ,则动圆圆心的轨迹方 程为 5.长为 2 a 的线段 A B 的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上运动,则 A B 中点的轨迹方 程为 6.已知直线 l:y=k(x-5)及圆 C:x2+y2=16. (1)若直线 l 与圆 C 相切,求 k 的值; (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,求当 k 变动时,弦 AB 的中点的轨迹.

7.已知两直线 l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一动圆 M(圆心和半径 都在变动)与 l1,l2 都相交,并且截 l1,l2 所得的弦长分别是定值 26 和 24,求 圆心 M 的轨迹方程.

8.过 M(1,3)作两条互相垂直的直线 l1 和 l2,l1 与 x 轴交于 A 点,l2 与 y 轴交
4

于 B 点,求线段 AB 中点的轨迹.

9.求与两定圆 x2+y2=1,x2+y2-8x-33=0 都相切的动圆圆心的轨迹方程

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