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江西省南昌市三校2013届高三上学期期中联考数学(文)试题


江西省南昌市三校 2013 届高三上学期期中联考数学(文)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集U ? R , A ? { x | 2 A. { x | x ? 1} C. { x | 0 ? x ? 1}
?
x(x?2)

? 1} , B ? { x | y ? ln (1 ? x )} ,则图中阴影部分表 示的集合为(



B. { x | 1 ? x ? 2} D. { x | x ? 1}
?
? ?

2.已知向量 a ? ( x ? 4 ,1), b ? ( x 2 , 2 ), 则 x ? 4 是 a // b 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.已知 s in ? ? c o s ? ?
2 3
4 3 (0 ? ? ?

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
?
4 ) ,则 s in ? ? c o s ? 的值为(


1 3

A.

B. ? )
? 0, 则
?

2 3

C.

1 3

D. ?

4.下列命题正确的是( A.已知 p :
1 x ?1

p :

1 x ?1

? 0

B.存在实数 x ? R ,使 sin x ? cos x ?
2

?
2

成立
2

C.命题 p:对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p :对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 D.若 p 或 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 5. 函数 y ? cos 2 x 的图像可以看作由 y ? A.向左平移 C.向左平移
?
12
3 2 cos 2 x ? sin x cos x 的图像(

)得到

个单位长度 单位长度

B.向右平移 D.向右平移

?
12

个单位长度 单位长度 ,则等差数列 { a n } 的前 13 项的和

?
6

?
6

6.在等差数列 { a n } 中, 3 ( a 3 ? a 5 ) ? 2 ( a 7 ? a 10 ? a 13 ) ? 48 为( ) A.104

B.52

C.39

D.24

7.函数 y ? c o s ( 2 x ? ( A. 2 ? )

?
3

)

定义域为 [ a , b ] ,值域为 [ ?

1 2
4 3

,1] ,则 b ? a 的最大值与最小值之和为

B. ?

C.

?
An Bn

D.
?

5? 3

8. 已知两个等差数列 { a n } 和 { b n } 的前 n 项和分别为 A n 和 B n ,且 的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 ) C.4 D.5

7 n ? 45 n ?3

,则使得

an bn

为整数

? lo g 2 x , x ? 0 , ? 9.若函数 f(x)= ? lo g ( ? x ) , x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( 1 ? ? 2



(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( 4 ) ? 1 . f ? ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,已知函数 y ? f ? ( x ) 的图象如右图所示.若两正数 a , b 满足 f ( 2 a ? b ) ? 1 ,则 的取值范围是( A. ( ,
3
1 b ? 2 a ? 2

y

) B. ( ? ? , ) ? ? 3, ? ? ?
2 1

1

1 2

)

O

x

C. ( , 3 )
2

D. ( ? ? , ? 3 )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.已知 { a n } 是公比为 q 的等比数列,若 a 7 ? 1 ,且 a 4 , a 5 ? 1, a 6 成等差数列,则实数 q =_________
12. 在 △ A B C ,设角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且
cos C cos B ? 2a ? c b

,则角 B ?

13.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,且 f( )=0,则满足

1 2

f(log1 x)<0 的集合为________. 4
?2x ? y ? 2 ? 0 ? 14.设 x , y 满足约束条件 ? 8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? a b x ? y ? a ? 0 , b ? 0 ? 的最大值为 8,则 ?x ? 0 , y ? 0 ?

a ? b 的最小值为_______。

0 15.给出下列命题中:① 向量 a、b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为 3 0 ;② a ? b >0,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

是 a、b 的夹角为锐角的充要条件;③ 将函数 y = x ? 1 的图象向左平移 1 个单位,得到的图象
?? ??

?

?

对应的函数表达式为 y = x ;④ 若 ( A B ? A C ) 命题正确的是

??

??

?( A B ? A C ) ? 0

,则 ? ABC 为等腰三角形;以上

.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.在 ? A B C 中,a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,m ? ( b , 2 a ? c ) , n ? ( c o s B , c o s C ) , m / .n 且 求角 B 的大小; 求 f ( x ) 在[ 0 ,
?
2
?? ?

??

?

(1)

(2)设 f ( x ) ? c o s ( ? x ?

B 2

) ? s in ? x ( ? ? 0 ) , 且 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,

] 上的最大值和最小值.

* 17, 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 a n ? n ? 4 ( n ? N )

(1)求证:数列 { a n ? 1} 为等比数列,并求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 c n ? a n lo g 2 ( a n ? 1) ,求数列 { c n } 的前 n 项和为 T n 。

18.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 1, a ? 0
3

??? 求 ? ?? ? 若

f ( x ) 的单调区间; f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极值,直线 y=m 与 y ? f ( x ) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取

值范围。

19. 如图边长为 4 的正方形 A B C D 所在平面与正 ? P A D 所在平面互相垂直,M 、 Q 分别为 P C , A D 的中点. (1)求证: P A // 平面 M B D ; (2)求:A 到平面 PBD 的距离

20 . 已 知 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 有 S n ?
*

1 2

n

2

?

11 2

n , 数 列 {b n } 满 足

b n ? 2 ? 2 b n ? 1 ? b n ? 0 ( n ? N ) ,且 b 3 ? 11 ,前 9 项和为 153;

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)求数列 { b n } 的通项公式; (3)设 c n ?
3 ( 2 a n ? 11 )( 2 b n ? 1 )

,数列 { c n } 的前 n 项和为 T n ,求使不等式 T n ?

k 57

对一切

n? N

*

都成立的最大正整数 k 的值;

21.设函数 f ( x ) ? ?

1 3

x

3

? x

2

? (m

2

? 1 ) x , ( x ? R , ) 其中 m ? 0

(Ⅰ)当 m ? 1时,曲线 y ? f ( x ) 在点( 1, f (1)) 处的切线斜率 (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点 0, x 1 , x 2 ,且 x 1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x 1 , x 2 ] ,
f ( x ) ? f (1 ) 恒成立,求 m 的取值范围

2013 届高三三校期中联考数学文科答案

? an ? 2

n ?1

--------------------6 分

n n (2) C n ? ( 2 ? 1) n ? n ? 2 ? n

2 An ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3

n

2 A n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

? ? An ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

? n ?2

n ?1

? ? 2 ? (1 ? n ) ? 2

n ?1

? M O ? 平面 M B D , P A ? 平面 M B D ,? P A // 平面 M B D -------------6 分

(2)二面角 P

? BD ? A

的余弦值为
1 2 n
2

7 7

-----------------------12 分

20 解: (1)因为 S n ?

?

11 2

n ;故

当 n ? 2 时; a n ? S n ? S n ? 1 ? n ? 5 ;当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 6 ;满足上式; 所以 a n ? n ? 5 ------------------4 分 又因为 b n ? 2 ? 2 b n ? 1 ? b n ? 0 ,所以数列 { b n } 为等差数列;
9 (b3 ? b 7 ) 2

由S9 ?

? 153 , b 3 ? 11 ,故 b 7 ? 23 ;所以公差 d ?

23 ? 11 7 ?3

? 3;

所以: b n ? b 3 ? ( n ? 3 ) d ? 3 n ? 2 ;---------------4 分 (2)由(1)知: c n ?
3 ( 2 a n ? 11 )( 2 b n ? 1 ) 1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) ? 1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 1 2 1 2n ? 1 1 2n ? 1

而cn ?

3 ( 2 a n ? 11 )( 2 b n ? 1 )

?

?

(

?

) ;----10 分

所以: T n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ?
? 1 2 (1 ? 1 2n ? 1
n ?1 2n ? 3

1 2

[( 1 ? n

1 3

)? (

1 3

?

1 5

)?? ? (

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

)]

) ?

2n ? 1
n ?


1 ( 2 n ? 3 )( 2 n ? 1 )

又因为 T n ? 1 ? T n ?

?

2n ? 1

? 0;

所以 { T n } 是单调递增,故 ( T n ) min ? T 1 ? 由题意可知 ; 21 解:当 m ? 1时, f ( x ) ?
1 3 x
3

1 3

;------------12 分

1 3

?

k 57

;得: k ? 19 ,所以 k 的最大正整数为 18 --------------13 分

? x , f (x) ? x
2 /

2

? 2 x , 故 f (1 ) ? 1
'

所以曲线 y ? f ( x ) 在点( 1, f (1)) 处的切线斜率为 1. -----------3 分
w.w.w..c.o .m

(2)解: f ( x ) ? ? x ? 2 x ? m ? 1 ,令 f ( x ) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m , x ? 1 ? m
' 2 2 '

因为 m ? 0 , 所以 1 ? m ? 1 ? m 当 x 变化时, f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
'

x

( ?? ,1 ? m )

1? m

(1 ? m ,1 ? m )

1? m

(1 ? m , ?? )

f (x)

'

+

0 极小值

-

0 极大值

+

f (x)

f ( x ) 在 ( ?? ,1 ? m ) 和 (1 ? m , ?? ) 内减函数,在 (1 ? m ,1 ? m ) 内增函数。

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) =

2 3

m

3

? m

2

?

1 3 ------6 分

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) = ?
1 3 1 3

2 3

m

3

? m

2

?

1 3 ----9 分

(3)解:由题设, f ( x ) ? x ( ? 所 以方 程 ?
? ?1? 4 3 (m
2

x

2

? x ? m

2

? 1) ? ?

x ( x ? x 1 )( x ? x 2 )

1 3

x ? x? m
2

2

? 1 =0 1 2

由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x 2 ? 3 , 且
1 2

? 1 ) ? 0 ,解得 m ? ?

( 舍 ), m ?

因为 x 1 ? x 2 , 所以 2 x 2 ? x 1 ? x 2 ? 3 , 故 x 2 ?
1 3

3 2

?1

------------------10 分

若 x 1 ? 1 ? x 2 , 则 f (1 ) ? ?

(1 ? x 1 )( 1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x 1 ) ? 0 ,不合题意

若 1 ? x 1 ? x 2 , 则对任意的 x ? [ x 1 , x 2 ] 有 x ? x 1 ? 0 , x ? x 2 ? 0 , -------------12 分 则 f ( x ) ?? ?
1 3

所以函数 f ( x ) 在 x ? [ x 1 , x 2 ] 的最小值为 0, x ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x 1 ) ? 0 ,
2

于 是 对 任 意 的 x ? [ x 1 , x 2 ] , f ( x ) ? f (1 ) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 f (1 ) ? m ?
? 3 3 ? m ? 3
w.w. w..c.o.m

1 3

? 0 ,解得

综上,m 的取值范围是 ( ,
2

1

3 3

)

3

--------------14 分

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