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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案 理 新人教A版


两角和与差的正弦、余弦和正切公式
导学目标: 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导 出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公 式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用.

自主梳理 1.(1)两角和与差的余弦 cos(α +β )=_____________________________________________, cos(α -β )=_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α +β )=_____________________________________________, sin(α -β )=_____________________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α +β )=_____________________________________________, tan(α -β )=_____________________________________________. π (α ,β ,α +β ,α -β 均不等于 kπ + ,k∈Z) 2 其变形为: tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan α tan β ), tan α -tan β =tan(α -β )(1+tan α tan β ). 2.辅助角公式 asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ ), cos φ = ? ?sin φ = 其中? b tan φ = , ? ? a , , 角 φ 称为辅助角.

(

自我检测 1 . (2010· 福 建 ) 计 算 sin 43°cos 13° - cos 43°sin 13° 的 结 果 等 于 ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 2 2 2 . 已 知 π? ? cos ?α - ? + sin 6? ? 2 3 B. 5 f(x) = sin B.π α = 4 3 , 则 5 7π ? ? sin ?α + ? 的 值 是 6 ? ?

(

) 2 3 A.- 5 3 . 函 数 ) π A. 2 4 C.- 5 2x - cos C.2π D. 2x 4 5 的 最 小 正 周 期 是 D.4π

(

(

4 .(2011·台州月考 ) 设 0≤α <2π ,若 sin α > 3cos α ,则 α 的取值范围是 ) ?π π ? ?π ? A.? , ? B.? ,π ? 3 2 ? ? ?3 ? π 4 π π 3 π ? ? ? ? C.? , ? D.? , ? 3 ? 2 ? ?3 ?3
1

5.(2011·广州模拟)已知向量 a=(sin x,cos x),向量 b=(1, 3),则|a+b|的最 大值为( ) A.1 B. 3 C.3 D. 9

探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 1 求值: 2 (1)[2sin 50°+sin 10°(1+ 3tan 10°)] 2sin 80°; (2)sin(θ +75°)+cos(θ +45°)- 3·cos(θ +15°).

2cos 10°-sin 20° 变式迁移 1 求值:(1) ; sin 70° π π π π (2)tan( -θ )+tan( +θ )+ 3tan( -θ )tan( +θ ). 6 6 6 6

探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值,求另一角的三角函数值) π 3π ?π ? 3 例 2 已知 0<β < <α < ,cos? -α ?= , 4 4 ?4 ? 5 ?3π ? 5 sin? +β ?= ,求 sin(α +β )的值. ? 4 ? 13

1 ?π ? 变式迁移 2 (2011·广州模拟)已知 tan? +α ?=2,tan β = . 2 ?4 ? (1)求 tan α 的值; α +β -2sin α cos β (2)求 的值. 2sin α sin β + α +β

探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值,求另一角的值) π α 1 2 例 3 已知 0<α < <β <π ,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值.

2

变式迁移 3 (2011·岳阳模拟)若 sin A= +B 的值.

5 10 ,sin B= ,且 A、B 均为钝角,求 A 5 10

转化与化归思想的应用 2 5 (12 分)已知向量 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),|a-b|= . 5 (1)求 cos(α -β )的值; π π 5 (2)若- <β <0<α < ,且 sin β =- ,求 sin α 的值. 2 2 13 【答题模板】 2 5 4 2 2 解 (1)∵|a-b|= ,∴a -2a·b+b = .[2 分] 5 5 2 2 又∵a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),∴a =b =1, a·b=cos α cos β +sin α sin β =cos(α -β ),[4 分] 4 4 a2+b2- 2- 5 5 3 故 cos(α -β )= = = .[6 分] 2 2 5 π π 3 4 (2)∵- <β <0<α < , ∴0<α -β <π .∵cos(α -β )= , ∴sin(α -β )= .[8 分] 2 2 5 5 5 π 12 又∵sin β =- ,- <β <0,∴cos β = .[9 分] 13 2 13 故 sin α =sin[(α -β )+β ]=sin(α -β )cos β +cos(α -β )sin β 4 12 3 ? 5 ? 33 = × + ×?- ?= .[12 分] 5 13 5 ? 13? 65 【突破思维障碍】 2 5 本题是三角函数问题与向量的综合题,唯一一个等式条件|a-b|= ,必须从这个等 5 式出发, 利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问, 在第(2)问中需要把未知 角向已知角转化再利用角的范围来求,即将 α 变为(α -β )+β . 【易错点剖析】 |a-b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点, 把未知角转化成已知角并利用角的范围 确定三角函数符号也是易错点. 例 1.转化思想是实施三角变换的主导思想,变换包括:函数名称变换,角的变换,“1” 的变换,和积变换,幂的升降变换等等. 2.变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些公式会实现哪种变换,也要掌握各个公式的 相互联系和适用条件. 3.恒等变形前需已知式中角的差异,函数名称的差异,运算结构的差异,寻求联系, 实现转化. 4.基本技巧:切割化弦,异名化同,异角化同或尽量减少名称、角数,化为同次幂, 化为比例式,化为常数.

3

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) π? 2π ? 4 3 ? ? 1 .(2011·佛山模拟 ) 已知 sin ?α + ? + sin α =- ,则 cos ?α + ? 等于 3? 3 ? 5 ? ? ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 π? 7π ? 2 3 ? ? 2 . 已 知 cos ?α + ? - sin α = , 则 sin ?α - ? 的 值 是 6? 6 ? 3 ? ? ( ) 2 3 2 3 2 2 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 π ? ? ? ? 3.(2011·宁波月考)已知向量 a=?sin?α + ?,1?,b=(4,4cos α - 3),若 a⊥b, 6? ? ? ? ?α +4π ? 则 sin 等 于 ? 3 ? ? ? ( ) 3 1 3 1 A.- B.- C. D. 4 4 4 4 4 . 函 数 y = sin x + cos x 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 是 ( ) 5π 3π A.x= B.x= 4 4 π π C.x=- D.x=- 4 2 5. 在△ABC 中, 3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1, 则 C 的大小为 ( ) π 5 A. B. π 6 6 π 5 π 2 C. 或 π D. 或 π 6 6 3 3 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010·重庆)如图,

图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C, 各段弧所在的圆经过同一点 P(点 α 1 α 2+α 3 P 不在 C 上)且半径相等. 设第 i 段弧所对的圆心角为 α i (i=1,2,3), 则 cos cos 3 3 - α 1 α 2+α 3 sin ·sin =________. 3 3

4

3 7.设 sin α = 5

?π <α <π ?,tan(π -β )=1,则 tan(α -β )=________. ?2 ? 2 ? ?
2

8.(2011·惠州月考)已知 tan α 、tan β 是方程 x +3 3x+4=0 的两根,且 α 、β ? π π? ∈?- , ?,则 tan(α +β )=__________,α +β 的值为________. ? 2 2? 三、解答题(共 38 分) 33 5 ? π? ?π ? 9.(12 分)(1)已知 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?且 sin(α +β )= ,cos β =- . 2? 65 13 ? ?2 ? 求 sin α ; 1 1 (2)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7

10. (12 分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式 C(α +β ): cos(α +β )=cos α cos β - sin α sin β ;②由 C(α +β )推导两角和的正弦公式 S(α +β ):sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 1 → → 3 (2)已知△ABC 的面积 S= ,AB·AC=3,且 cos B= ,求 cos C. 5 2

11.(14 分)(2011·济南模拟)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),x∈R. ? π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈?- , ?,求 x; ? 3 3? (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0,π ]上 的图象.

答案 自主梳理 1.(1)cos α cos β -sin α sin β cos α cos β +sin α sin β (2)sin α cos β +cos α sin β sin α cos β -cos α sin β tan α +tan β tan α -tan β a b (3) 2. 2 2 2 1-tan α tan β 1+tan α tan β a +b a +b2 自我检测 1.A 2.C 3.B 4.C 5.C
5

课堂活动区 例 1 解题导引 在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角 尽量向特殊角或可计算的角转化,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一 名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切;(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式. 如果满足则直接使用, 如果不满足需转化一下角或转换一 下名称,就可以使用. 解 (1)原式 3sin 10°?? ? ? =?2sin 50°+sin 10°·?1+ ??· 2sin 80° cos 10° ?? ? ? cos 10°+ 3sin 10°? ? =?2sin 50°+sin 10°· ?· 2 sin 80° cos 10° ? ? 1 3 ? ? cos 10°+ sin 10°? ? 2 2 = ?2sin 50°+2sin 10°· ?· 2cos 10° cos 10° ? ? 2sin 10°sin 40° ? ?· 2cos 10° =?2sin 50°+ ? cos 10° ? ? = 2sin 60° · 2cos 10°=2 2sin 60° cos 10° 3 = 6. 2

=2 2×

(2)原式=sin[(θ +45°)+30°]+cos(θ +45°)- 3·cos[(θ +45°)-30°] 3 1 3 3 = sin(θ + 45°) + cos(θ + 45°) + cos(θ + 45°) - cos(θ + 45°) - 2 2 2 2 sin(θ +45°)=0. - -sin 20° 变式迁移 1 解 (1)原式= sin 70° 3cos 20°+sin 20°-sin 20° 3cos 20° = = 3. sin 70° sin 70° π π π π π (2)原式= tan[( -θ )+( + θ )][1- tan( - θ )·tan( + θ )]+ 3tan( - 6 6 6 6 6 π θ )tan( +θ )= 3. 6 例 2 解题导引 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一 些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有 确定,则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要学会拆角、拼角等技 巧. ?π ? ?π ? 3 解 cos? -α ?=sin? +α ?= , 4 4 ? ? ? ? 5 π 3π ∵0<β < <α < , 4 4 π π 3π 3π ∴ < +α <π , < +β <π . 2 4 4 4 =

?π ? ∴cos? +α ?=- ?4 ?
cos?

4 ? 2?π 1-sin ? +α ?=- , 5 ?4 ? 1-sin ?
2

?3π +β ?=-12. ? 13 ? 4 ? ??π ? ?3π ?? ∴sin[π +(α +β )]=sin?? +α ?+? +β ?? ?? 4 ? ? 4 ??
6

?3π +β ? 4

?=- ? ?

?π ? ?3π ? ?π ? ?3π +β ? =sin? +α ?cos? +β ?+cos? +α ?sin? ? ?4 ? ? 4 ? ?4 ? ? 4 ? 3 ? 12? 4 5 56 = ×?- ?- × =- . 5 ? 13? 5 13 65 56 ∴sin(α +β )= . 65 1+tan α ?π ? 变式迁移 2 解 (1)由 tan? +α ?=2,得 =2, 1-tan α ?4 ? 1 即 1+tan α =2-2tan α ,∴tan α = . 3 α +β -2sin α cos β (2) 2sin α sin β + α +β sin α cos β +cos α sin β -2sin α cos β = 2sin α sin β +cos α cos β -sin α sin β - α cos β -cos α sin β - α -β = = cos α cos β +sin α sin β α -β tan α -tan β =-tan(α -β )=- 1+tan α tan β 1 1 - 3 2 1 =- = . 1 1 7 1+ × 3 2 例 3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵循以下原 则: ①已知正切函数值,选正切函数; ? π? ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0, ?,选正、余弦皆可; 2? ? ? π π? 若角的范围是(0,π ),选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦较好. ? 2 2? (2)解这类问题的一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角. α 1 解 (1)∵tan = , 2 2 α α ? α? ∴sin α =sin?2· ?=2sin cos 2? 2 2 ? α α α 1 2sin cos 2tan 2× 2 2 2 2 4 = = = = . 2α 2α 2α ?1?2 5 sin +cos 1+tan 1+? ? 2 2 2 ?2? π 4 3 (2)∵0<α < ,sin α = ,∴cos α = . 2 5 5 π 又 0<α < <β <π ,∴0<β -α <π . 2
2 7 2 ,得 sin(β -α )= . 10 10 ∴sin β =sin[(β -α )+α ] =sin(β -α )cos α +cos(β -α )sin α 由 cos(β -α )=
7

7 2 3 2 4 25 2 2 × + × = = . 10 5 10 5 50 2 π 3 由 <β <π 得 β = π . 2 4 = (或求 cos β =- 2 3 ,得 β = π ) 2 4 5 10 ,sin B= , 5 10

变式迁移 3 解 ∵A、B 均为钝角且 sin A= ∴cos A=- 1-sin A=- cos B=- 1-sin B=-
2 2

2

2 5 =- , 5 5

3

3 10 =- . 10 10

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 ? 3 10? 5 10 2 =- ×? - ?- × 10 = 2 .① 5 ? 10 ? 5 π π 又∵ <A<π , <B<π , 2 2 ∴π <A+B<2π .② 7π 由①②,知 A+B= . 4 课后练习区 1.D 2.D 3.B 4.A 5.A 1 2 2 6.- 7.- 8. 3 - π 2 11 3 π 5 ? ? 9.解 (1)∵β ∈? ,π ?,cos β =- , 13 ?2 ? 12 ∴sin β = .????????????????????????????(2 分) 13 π π 又∵0<α < , <β <π , 2 2 π 3π 33 ∴ <α +β < ,又 sin(α +β )= , 2 2 65 ∴cos(α +β )=- 1-sin α +β 56 ?33?2 =- 1-? ? =- ,??????????????????????(4 分) 65 65 ? ? ∴sin α =sin[(α +β )-β ] =sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β 33 ? 5 ? ? 56? 12 3 = ·?- ?-?- ?· = .?????????????????????? (6 65 ? 13? ? 65? 13 5 分) (2)∵tan α =tan[(α -β )+β ] = α -β +tan β α -β β = 1 1 - 2 7 1 1 1+ × 2 7 =
2

1-

1 ,????????????????????(8 分) 3 ∴tan(2α -β )=tan[α +(α -β )]
8



tan α + 1-tan α

α -β α -β



1 1 + 3 2 1 1 1- × 3 2



1.????????????????????(10 分) 1 1 ∵α ,β ∈(0,π ),tan α = <1,tan β =- <0, 3 7 π π ∴0<α < , <β <π , 4 2 3π ∴-π <2α -β <0,∴2α -β =- .???????????????????? 4 (12 分) 10.(1)

①证明 如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α 、β 与-β ,使角 α 的 始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于点 P3;角 -β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0), P2(cos α , sin α ), P3(cos(α +β ), sin(α +β )), P4(cos(-β ), sin(- β )), ??????????????????????????????????(2 分) 由|P1P3|=|P2P4|及两点间的距离公式, 2 2 得[cos(α +β )-1] +sin (α +β ) 2 2 =[cos(-β )-cos α ] +[sin(-β )-sin α ] , 展开并整理得: 2-2cos(α +β )=2-2(cos α cos β -sin α sin β ), ∴cos(α + β ) = cos α cos β - sin α sin β .????????????????????(4 分) ?π ? ②解 由①易得,cos? -α ?=sin α , ?2 ? ?π ? sin? -α ?=cos α . ?2 ? ?π ? sin(α +β )=cos? - α +β ? ?2 ? ??π ? ? =cos?? -α ?+ -β ? ?? 2 ? ? ?π ? ?π ? =cos? -α ?cos(-β )-sin? -α ?sin(-β ) ?2 ? ?2 ? =sin α cos β +cos α sin β . ∴sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .????????????????????(7 分) (2)解 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c. 1 1 则 S= bcsin A= , 2 2 → → AB·AC=bccos A=3>0,
9

? π? ∴A∈?0, ?,cos A=3sin A,??????????????????????? 2? ? (9 分) 2 2 又 sin A+cos A=1, 10 3 10 ∴sin A= ,cos A= , 10 10 3 4 由 cos B= ,得 sin B= . 5 5
10 . 10 ??????????????????????????????????? (11 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= 分) 10 . 10 ??????????????????????????????????? (12 故 cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=- 分) 11.解 (1)依题设得 f(x)=2cos x+ 3sin 2x π? ? =1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+ ?+1. 6? ? π ? ? 由 2sin?2x+ ?+1=1- 3, 6? ? π? 3 ? 得 sin?2x+ ?=- .??????????????????????????(3 6? 2 ? 分) π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ . 3 3 2 6 6 π π π ∴2x+ =- ,即 x=- .???????????????????????? 6 3 4 (6 分) π π π (2)- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 π π 即- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z), 3 6 π ? π ? 得函数单调增区间为?- +kπ , +kπ ? (k∈Z).?????????????? 3 6 ? ? (10 分) 列表: π π π 2π 5π x 0 π 6 3 2 3 6 y 2 3 2 0 -1 0 2 描点连线,得函数图象如图所示:
2

?????????????????????????????????? (14
10

分)

11


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