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浙江省杭州市2017届高三第一学期教学质量检测数学试题


2016 学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测 数学检测试卷
选择题部分(共 40 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.若集合 A ? {x || x ? 1 |? 1} , B ? {?2,?1,0,1,2} ,则集合 A ? B ? ( A. {0,2} B. {?2,2} C. {0,1,2} ) ) D. {?2,?1,0}

2.命题“ | x | ? | y |? 0 ”是命题“ x ? 0 或 y ? 0 ”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.有五条长度分别为 1,3,5,7,9 的线段,若从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三 角形的概率为( A. ) B.

1 10

3 10

C.

1 2


D.

7 10

4.设复数 ? ? ? A. ? ?

1 3 ,则 1 ? ? ? ( ? i (其中 i 是虚数单位) 2 2
B. ?
2

C. ?

1

?

D.

1 ?2


5.已知直线 2 x ? y ? 2 ? 0 经过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的上顶点与右焦点,则椭圆的方程为( a 2 b2 x2 y2 ? ?1 C. 9 4 x2 y2 ? ?1 D. 6 4
) D.

x2 y2 ? ?1 A. 5 4

x2 ? y2 ? 1 B. 4

6.已知 x1 ? 0,x2 ? 0,x1 ? x2 ? ex1 x2 ( e 为自然对数的底数) ,则( A. x1 ? x2 ? 1 B. x1 ? x2 ? 1 C.

1 1 1 ? ? x1 x2 e

1 1 1 ? ? x1 x2 e


7.设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? c,AC ? b ,若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC ,则( A.

?1 b ? ?2 c

B.

2 ?1 b ? 2 ?2 c

C.

?1 c 2 ? ?2 b 2

D.

2 ?1 c ? 2 ?2 b

第 1 页 共 1 页

8.若不等式 (ax ? 3)(x 2 ? b) ? 0 对任意的 x ? (0,??) 恒成立,则( A. ab ? 9
2

) D. b ? 9a
2

B. a b ? 9,a ? 0
2

C. b ? 9a ,a ? 0
2

9.在 ?ABC 中, AC ? 5 ,

1 A tan 2

?

1 C tan 2

?

5 B tan 2

? 0 ,则 BC ? AB ? (



A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

10. 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? b ? c) 的图象经过点 A(m1 , f (m1 )) 和点 B(m2 , f (m2 )) , f (1) ? 0 . 若

a 2 ? ( f (m1 ) ? f (m2 )) ? a ? f (m1 ) ? f (m2 ) ? 0 ,则(
A. b ? 0 B. b ? 0

) D. 3a ? c ? 0

C. 3a ? c ? 0

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,第 11-14 题每小题 6 分,15-17 题每小题 4 分,共 36 分)
1

11. lg 2 ? lg 5 ? ________; 2 12.双曲线

log2 3

? 8 3 =________.

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是________,离心率是________. 4

13.已知随机变量 ? 的分布列为:

?
P
若 E (? ) ?

?1

0

1

2 y

x

1 3

1 6

1 ,则 x ? y ? ________, D(? ) ? _________. 3

14.设函数 f ( x) ? x ln x ,则点 (1,0) 处的切线方程是________;函数 f ( x) ? x ln x 的最小值为_________. 15.在 ( x ? 2 )2016 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S ,当 x ?

2 时, S ? ________.

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 16.若实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,则由点 P(2 x ? y, x ? y) 形成的区域的面积为_________. ? x ?1 ?
17.设函数 f ( x) ? 2ax ? 2bx , 若存在实数 x0 ? (0, t ) , 使得对任意不为零的实数 a , b 均有 f ( x0 ) ? a ? b 成
2

立,则 t 的取值范围是________.

第 2 页 共 2 页

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 18.(本题满分 14 分)设 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 ( x ? R) . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期与值域; (2)设 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A 为锐角, a ? 2 3,c ? 4 ,若 f ( A) ? 1,求 A, b .

, 0) , 19.(本题满分 15 分) 在平面直角坐标系内, 点 A(0,1),B(0,?1),C (1 点 P 满足 AP? BP ? k | PC |2 .
(1)若 k ? 2 ,求点 P 的轨迹方程; (2)当 k ? 0 时,若 | ? AP ? BP |max ? 4 ,求实数 ? 的值.

第 3 页 共 3 页

20.(本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x ?
2

1 ,x ? [0,1] . x ?1

4 8 x? ; 9 9 68 3 ? f ( x) ? . (2)证明: 81 2
(1)证明: f ( x ) ? x ?
2

第 4 页 共 4 页

x2 ? y 2 ? 1 上的两点,满足 PF2 ? QF2 ,其中 F1 , F2 分别为左右 21.(本题满分 15 分)已知 P, Q 为椭圆 2
焦点. (1)求 | PF 1 ? PF 2 | 的最小值;

k (2)若 ( PF 1 ? PF 2 ) ? (QF 1 ? QF 2 ) ,设直线 PQ 的斜率为 ,求 k 的值.
2

第 5 页 共 5 页

2 an 1 ? 22.(本题满分 15 分)设数列 {an } 满足 a1 ? ,an ?1 ? an ? 2 (n ? N ) . 3 n

(1)证明: an ? an?1 ? 1(n ? N ? ) ; (2)证明: an ?

n (n ? N ? ) . 2n ? 1

第 6 页 共 6 页

2016 学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测

数学参考答案及评分标准
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 A 8 B 9 B 10 A

二、填空题: (本大题共 7 小题,第 11-14 题,每小题 6 分,15-17 每小题 4 分,共 36 分)
11.1,1 15.-23023 12.y=± 16.1

5 1 x; 2 2

13.

1 11 , 2 9

14.y=x-1;-

1 e

17. ?1, ?? ?

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分) 18. (本题满分 14 分) 解: (I)化简得:f (x)=sin(2x-

π )(x∈R) , 6

所以最小正周期为 π,值域为[-1,1].………………………………7 分

π )=1. 6 π π 5π 因为 A 为锐角,所以 2A- ∈(- , ), 6 6 6 π π π 所以 2A- = ,所以 A= . 6 2 3
(II)因为 f (A)=sin(2A- 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, 得 b2-4b+4=0.解得 b=2. ………………………………7 分

19. (本题满分 15 分) ??? ? ??? ??? ? 解: (I)设 P(x,y),则 AP =(x,y-1), BP =(x,y+1), PC =(x-1,y). 因为 k=2,所以 AP ? BP ? 2 | PC |2 , 所以 (x,y-1)?(x,y+1)=2[(x-1)2+y2], 化简整理,得 (x-2)2+y2=1, 故点 P 的轨迹方程为 (x-2)2+y2=1.……………………………7 分 ??? ? ??? (II)因为 k=0,所以 AP ? BP ? 0 , 所以 x2+y2=1. ??? ? ??? ??? ? ??? 所以 |λ AP + BP |2=λ2 AP 2+ BP 2 =λ2[x2+(y-1)2]+x2+(y+1)2
第 7 页 共 7 页

??? ? ???

??? ?

=(2-2λ2) y+2λ2+2(y∈[-1,1]) . 2 当 2-2λ >0 时,即-1<λ<1, ??? ? ??? (|λ AP + BP |max)2=2-2λ2+2λ2+2=4≠16,不合题意,舍去; 当 2-2λ2≤0 时,即 λ≥1 或 λ≤-1 时, ??? ? ??? (|λ AP + BP |max)2=2λ2-2+2λ2+2=16,解得 λ=±2.………………………………8 分 20. (本题满分 15 分) 解: (I)令 g(x)=f (x)-x2+ 所以 g ?( x) ?

4 8 4 8 1 x- ,即 g(x)= + x- , 9 9 9 x ?1 9

4 x 2 ? 8 x ? 5 (2 x ? 1)(2 x ? 5) , = 9( x ? 1)2 9( x ? 1)2

? 1? ?1 ? 1 ? 上递增, 所以 g(x)在 ? 0, ? 上递减,在 ? , ?2 ? ? 2?

4 8 ?1? 所以 g(x)≥ g ? ? =0,所以 f (x)≥x2- x+ . 2 9 9 ? ?
(II)因为 f ?( x) ?

………………………………7 分

2 x3 ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ,x∈[0,1], ( x ? 1)2

设 h(x)=2x3+4x2+2x-1,h′(x)=6x2+8x+2, 因为 h(0)=-1,h(1)=7, 所以存在 x0∈(0,1),使得 f′(x)=0,且 f (x)在(0, x0)上递减,在(x0,1)上递增, 所以 f (x)max={ f (0),f (1)}=f (1)=
2

3 . 2
2

2 ? 68 68 4 8 ? 由(I)知,f (x)≥x - x+ = ? x ? ? ? ≥ , 9 ? 81 81 9 9 ?
? 1 ? 11 68 又 f ? ?= , ? ? 2 ? 12 81
所以

? 2 ? 773 68 f ? ?= ? , ? 9 ? 891 81
………………………………8 分

3 68 <f (x)≤ . 2 81

21. (本题满分 15 分) 解: (I)因为 PF1 ? PF2 ? 2PO (O 为坐标原点) , 显然 | PO |min ? 1 , 所以 | PF1 ? PF2 | 的最小值为 2.

???? ???? ?

??? ?

??? ?

??? ? ????

………………………………5 分

(II)由题意,可知 OP ? OQ . 又 F2 P ? F2Q ,所以 PQ 是两个直角三角形 POQ 和 PF2Q 的公共斜边,即得线段 PQ 的中点到 O,F2
第 8 页 共 8 页

两点的距离相等,即线段 PQ 中点的横坐标为 . 设直线 PQ 的方程为 y=kx+b,联立椭圆方程,得 (1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=- 又因为 x1+x2=1, 所以 1+2k2=-4kb,
2
2 2 2

1 2

4kb . 1 ? 2k 2
( 1)

2b ? 2 2k b ? 2k ? kb ? b 2 . ,y1y2= 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2b 2 ? 2 2k 2 b2 ? 2k 2 ? ? kb ? b 2 ? 0 , 由 x1x2+y1y2=0,得 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 即 4k2b2+2k3b-2k2+3b2+kb-2=0, ( 2)
另一方面,x1x2= 由(1) (2) ,得-20k4-20k2+3=0,解之得 k 2 ? 22. (本题满分 15 分) 证明: (I)易知 an>0,所以 an+1>an+ 所以 ak+1=ak+ 所以
2 an >an, n2

?5 ? 2 10 .………………10 分 10

ak2 a ak ?1 <ak+ k 2 , 2 k k

1 1 1 . ? ? ak ak ?1 k 2

所以,当 n≥2 时,
n ?1 n ?1 1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ? ? 2 ? 3 ? [1 ? ? ] ? 3 ? [1 ? ? ( ? )] an a1 k ?1 ak ak ?1 a1 k ?1 k k k ? 2 k (k ? 1) k ?2 k ? 1

? 3 ? [1 ? 1 ?
所以 an<1. 又 a1 ?

1 n ]? ?1, n ?1 n ?1

1 , ? 1 ,所以 an<1(n∈N*) 3
………………………………8 分

所以 an<an+1<1(n∈N*) . (II)当 n=1 时,显然成立. 由 an<1,知 ak ?1 ? ak ?

2 ak ak k2 ? a ? a ? ak ?1 , ,所以 k k k2 k2 k2 ?1 a2 1 k2 1 ? a ? a ? ak ?1 ? ak ? 2 ak ak ?1 , 所以 ak ?1 ? ak ? k k k 2 2 2 k k k ?1 k ?1

所以

1 1 1 , ? ? 2 ak ak ?1 k ? 1

所以,当 n≥2 时,
n ?1 n ?1 1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )? ?? 2 ? 3? ? ? 3 ? ?( ? ) an a1 k ?1 ak ak ?1 a1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 k (k ? 1) k ?1 k

第 9 页 共 9 页

1 2n ? 1 n ,即 an ? . ? 3 ? (1 ? ) ? n n 2n ? 1 n 所以 an ? (n∈N*) . 2n ? 1

………………………………7 分

第 10 页 共 10 页


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