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三角函数图像及其变换


1

辅 导 讲 义
教师 学生 康在顺 肖荷涵 类别 科目 年级 基础 数学 高一 # 上课日期 上课时间 提高 2014.07.20 8:00-10:00 # 总共学时 第几学时 培优

第三讲:三角函数的图象与性质
第一课时: 三角函数的图象与性质 一、知识讲解 1. 函数的周期性:对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一值
时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数 的周期(详见课本周期定义).正弦函数、余弦函数都是周期函数, 2k

? (k ? z 且

k ? 0) 都是它们的周期, 正切函数、 余切函数也是周期函数, k?( k ? z 且 k ? 0 )
都是它们的周期。 一般地,y=Asin(? x+? )(A ? 0,? >0) 及函数 y=A cos(? x+? )(A ? 0,? >0) 的最 小正周期 T=

2? ? , y=A tan(? x+? )(A ? 0,? >0) 的最小正周期 T= 。 |? | |? |

注意:若 T 是函数 f (x)的最小正周期,则 kT (k

? 0,k ? Z) 也是 f(x)的周期。

2. 基本三角函数的图象和性质:
(1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像:

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

y=cosx
o?
2 3? 2 ? 2? 5? 3? 2 7? 2 4?

y
? -? - 2 -2? -3? 2

1 -1

x

-4? -7? 2

-5? -3? 2

1 -1 o?
2

3? ? 2 2? 5? 2

7? 3? 2

4?

x

2

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

(2) 常见三角函数的单调区间:

? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
递减区间是 ?2k? ?

? ?

?
2

, 2k? ?

3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,
递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) (3)函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ? 初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? 交点都是该图象的对称中心。 【解题方法】 【函数的周期性】 1-1、求函数的周期,若题目出现三角函数的形式,则有 y=Asin(? x+? )(A ? 0,? >0) 的周期

2?

?
2

?

, 频率是 f ?

? , 相位是 ?x ? ? , 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的

T=

2?

?



y=A tan(? x+?)(A ? 0,? >0) 的周期 T =

? 。 (若题目没有直接给出 ?

y=Asin(? x+?)(A ? 0,? >0) 的形式,需要利用三角函数诱导公式化简)
1-2 、若题目出现的是抽象函数即 f ( kx+b )的关系表达式形式,则用替代消元法,设

1 b x= x0 - 将 f(kx+b)化成 f (x0 ) ,找出 f(x+T)=f(x)的关系,求解周期 T。 k k

3

二、知识应用【考察一般形式的三角函数的周期性】
例 1、函数 y =2cos (

?
2

x?

?
3

) 的最小正周期周期是

( C



A、?

B、 4?

C、 4

D、 2?

点拨:依题意由 1-1 可知,出现 y=A cos(? x+? )(A ? 0,? >0) 的形式,故是三角函数, 所以 T=

2? 2? = =4 |? | | ? | 2

例 2、若存在常数

p >0 ,使得函数 f (x) 满足 f (
( B )

p p x)=f ( x ? 1) (x ? R) ,则 2 2

f (x) 的一个正周期为
p A、 2
B、1

C、

p

D、2

点拨: 依题意由 1-2 可知, 出现 ( f kx+b) 形式, 令 x=

2 2 p p x0 + 代入 f( x)=f( x-1) p p 2 2

得:

f (x0 +1)=f (x0 ), ? f (x) 的周期 T=1

例 3、函数 y =|2sin(

?
3

-2x)| 的周期是





A、 ?

B、 2?

C、 6?

D、

? 2

例 4、函数 y =2sin (kx-

?
6

) 的周期为 T, T ? (1,3) ,则正整数 k=

例 5、函数 y =

sin x+cos x 的最小正周期为 cos x

【解题方法】 【三角函数的单调性,定义域、值域】 2-1、 已知常见三角函数的单调区间 (详见知识点 2) , 若出现 y=Asin(? x+? )(A ? 0) ,

4

只需令 t =? x +? ,则变化求 y =Asint 的增减区间。 2-2、已知三角函数中 y=sin x,y=cos x,x ? R ; y = tan x,x ? k? +

? ,y=cot x,x ? k? 2

若三角函数为分母,则要求分母不为 0,若为被开方数,则要求三角函数值 ? 0 。 2-3、已知 y1 =sin x,y2 =cos x,x ? R,

则y1、y2 ?[-1,1]

y3 = tan x,x ? (k? - ,k? + ),k ? z,则y3 ? (-?,+?) 2 2 y4 =cotx,x ? (k? ,k? +? ),k ? z,则y4 ? (-?,+?)
【知识应用】 【考察三角函数的单调性,定义域、值域】 例 1、函数 y =

?

?

1 ? sin (2x- ) 的单调递减区间 3 3

( C



A、 [

5? 11? , ] 12 12

B、 [2k? +

5? 11? ,2k? + ],k ? z 12 12

C、 [k? +

5? 11? ,k? + ],k ? z 12 12

D、 [k? -

11? 5? ,k? ],k ? z 12 12

点拨:依题意由 2-1 可知, t=2x-

?

? 3? ?[2k? + ,2k? + ],k ? z 3 2 2
3? 2
,k?z

即: 2k? +

?
2

? 2x-

?
3

? 2k? +

解得: k? +

5? 11? ? x ? k? + ,k ? z 12 12 1 ? cos(2x- ) 的单调递增区间 3 3
( )

例 2、函数 y =

A、 [k? -

? ?

? x ? k? + ],k ? z 3 6

?

B、 [k? +

?
6

? x ? k? + ? x ? k? +

2? ],k ? z 3 2? ],k ? z 3

C、 [k? -

? x ? k? + ],k ? z 6 3
2sin x-1 的定义域为

?

D、 [k? +

?
3

例 3、函数 y =



D



5

A、 [

? 5?
6 6 ,

] ,2k? + ],k ? Z 6 2

B、 [

? ?

, ] 6 2

C、 [2k? +

?

?

D、 [2k? +

?
6

,2k? +

5? ],k ? Z 6

点拨:依题意由 2-2 可知, 2sin x -1?

0, 即 sinx ?

1 ,再由正弦函数图象可知, 2

2k? +

?
6

? x ? 2k? +
2 cos x

5? 6

,k ?z

例 4、函数 y =

的定义域为

( B、 (2k? ? D、 (2k? ?



A、 (2k? ? ? ,2k? ? ? ), k ? z C、 (2k? ,2k? ? ? ), k ? z

?

?

,2k? ) ? (2k? ,2k? ? ), k ? z 2 2

?

,2k? ? ), k ? z 2 2
( A )

?

例 5、对于函数

f (x)=

sin x+1 (0<x<? ) ,下列说法正确的是 sin x

A、有最小值无最大值 C、有最大值且有最小值 点拨:依题意由 2-3 可知,

B、有最大值无最小值 D、既无最大值也无最小值

f (x)=

sin x+1 1 =1+ ,x ? (0,? ), ?sinx ? (0,1] sin x sin x

?当sinx=1,f (x)min =2,当sin x ? 0,f (x)max ? +?
例 6、定义运算 a*b = ? 值域为 ( A、 [-1,

?a,a ? b ,例如1*2=1,3*2=2 ,则函数 f (x)=sinx*cosx 的 b , a > b ?
) B、 [0,

2 ] 2

2 ] 2 2 2 , ] 2 2

C、 [-1,1]

D、 [-

例 7、若函数 y1 =a-b cos x 的最大值为

3 1 ,最小值为 - , 2 2

6

求函数 y2 =-4a sin bx+1的值域。

例 8、已知函数 (1) (2) (3) (4)

f (x)=log 1 |sinx|+1
2

求其定义域和值域; 判断其奇偶性; 判断周期性,若是周期函数,求出最小正周期; 写出单调区间.

第二课时:三角函数模型的图象与性质及其应用

一、知识讲解
1、 对于一般地,三角函数 y =Asin (?x+? ) 五点法作图: 根据三角函数的图像在一个周期内的最高点、最低点与 x 轴的三个交点来作图,即先确 定五个点来作这个函数的图象,其一般步骤是: (1) 令 ? x+? 分别等于 0,

?
2

,? ,

3? ,2? ,求出对应的 x 的值和 y 值,即求出对 2

应的五点; (2) 在 坐 标系 中 描述 出 这五个 关 键点 , 用平 滑 的曲线 依 次顺 序 连结 , 得函数

y=Asin (?x+? ) 在一个周期内的函数图象;
(3) 将所得的图象向两个方向扩展,得 y =Asin (?x+? ) 在 R 上的图象。 例如,正弦函数 y =sin x 的五点作图法如下:

x y=sinx

0 0

? 2
1

?
0

3? 2
-1

2?
0

7

2、

y=Asin (?x+? ) 图象变换法作图:
三角函数的图象变换包括两种:平移和伸缩变换,由

y=sin x 的图象变换得到

y=Asin (?x+? ) 要经过:
(1) 相位变换: y =sin x 的图象是向左( ? >0 )平移或者向右( ? <0 )平移

|? | 个单位得到 y=sin (x+? ) ;
(2) 周期变换:将得到

y=sin (x+? ) 的图象的横坐标伸长( 0<? <1)或者
1

缩短 ( ? >1 ) 到原来的 (3)

?

倍 (纵坐标不变) , 得到 y=sin(?x+? ) 的图象;

振幅变换:y=sin(?x+? ) 图象的纵坐标伸长 ( A>1 ) 或者缩短 ( 0<A<1 ) 到原来的 A 倍(横坐标不变) ,得到 y =Asin (?x+? ) 的图象。

3、函数 y =Asin (?x+? ) 在实际物理中的意义: 形如 y =Asin (?x+? ) 的函数,在物理、工程等学科的研究中有着广泛的应用, 其 中 的 参 数

A、?、?

具 有 实 际 意 义 , 在 物 理 学 上 , 当 函 数

y=A s i ? n (? x +
T= 2?

) ? ( A? > 0 ,? 表示一个振动量时,则 >0),x (0,A + 叫做振幅, )
1 叫做频率, ? x+? 叫做相位, ? 叫做初相。 T

?

叫做周期,

f=

4、函数

y=Asin (?x+? ) 的单调性、对称性:

函数 y =Asin (?x+? ) ( A>0,? >0 ) 的单调区间的确定, 基本思想是把 ? x+?

8

看成一个整体 t=? x+? : 的 单 调 递 增 区 间 是 [2k? - ,2k? + ],k ? ? y=A s i n t 2 2

因为

?

?

,所以,

y=Asin (?x+? ) 的单调递增区间是: 2k? 同理

?

? t=?x+? ? 2k? + ,k ? z 2 2

?

? 3? y=Asin t 的单调递减区间是 [2k? + ,2k? + ],k ? z ,所以, 2 2

y=Asin (?x+? ) 的单调递减区间是: 2k? +
同理:因为

? 3? ? t=?x+? ? 2k? + ,k ? z 2 2

y=sin x 的 对 称 轴 为 x 0 =k? + k , ? z, 所 以 y=Asin t 2

?



? ? x 0 =k? + ,k ? z ,即: ? x+? =k? + ,k ? z ;然后,求出相应的 x 的范围即可. 2 2
【解题方法】 【五点作图法画出三角函数图象】 1-1、

? 3? y=Asin (? x+? ),我们先令 t =? x+? 分别等于 0, ,? , ,2? , 2 2 然后解出对应的 x ,最后用列表表示,并画出函数图象。
一般对于 x

-

? ?
0 0

-

? ? + ? 2?
? 2
A

-

? ? + ? ?

-

? 3? + ? 2?
3? 2
-A

-

? 2? + ? ?
2?
0

? x+?
y

?
0

二、知识应用
1、考查五点作图法及其图像变换 例 1、已知函数 y=2sin ( 2 x ?
?
3 ),

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 y=2sin (2 x ? ) 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.
3

?

9

2、求解三角函数解析式 一般对于 y =Asin (?x+? ) 的求解,要确定 A 、?、? ;其中 A 表示振幅,表示图象在 y 轴摆动的幅度;周期 T=

1 2? = , ? 表示相位,任意取图象某一点代入到 f |?|

y=Asin (?x+? ) ,求出 ? ,并根据图象下一点增减趋势取舍 ? 。
例 2、如图为 y=Asin( ? x+ ? )的图象的一段,求其解析式. 点拨:依题意 由 2-1 可知, A=

3,

T 5? ? 2? = - ? T =? , =? ? ? =2 2 6 3 ?
将点 M (

?

,0) 代入 y= 3 sin (2x +? ) , 2* +? =k? 3 3 2? 3
,当 x>

?

, ? =k? -

2? ,k ? z 3

当 k=0 时, ? = -

? 时,y>0,成立。 3

当 k=1 时, ? =

?
3

,当 x>

? 时,y<0,不成立(舍) 3

? y = 3sin x(2x-

2? ) 3
? ,x∈R)的部分图象如图,则函数表达式为 2

例 3、函数 y=Asin( ? x+ ? )( ? >0,| ? |< ( )
? ?
8 4

A. y=-4sin ( x ? ) C. y=4sin ( x ? )
8 4

B. y=-4sin ( x ? )
8 4

?

?

?

?

D. y=4sin ( x ? )
8 4

?

?

10

练习 已知函数 y =Asin (?x+? )

+m (A>0) 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期是 +m (A>0) 的解析式。

? , 2

直线 x =

?
3

是函数的一条对称轴,求 y =Asin (?x+? )

3、图像变换的考查 例题 4、 (1)为了得到 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象,只需将 y ? sin 2 x 的图象(



? 个单位 3 ? D.向右平移 个单位 6 ? 4? (2)设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ )的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最 3 3
A.向左平移 B.向右平移 小值是( (A) ) (B)

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 6

2 3

4 3

(C)

3 2

(D)3

(3)将函数 y ? sin 4 x 的图像向左平移 于( A、 ? )

? 个单位,得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图像,则 ? 等 12
D、

? 12

B、 ?

?
3

C、

? 3

? 12

一、选择题 π 1.函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为( 4 π π A.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 2 2 )

11

B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3π π C.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 π 3π D.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 2.函数 y=xsin x 的部分图象是(

)

3.在(0,2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是( ) π 3π π π 5π 3π ? ? ? ? A.? B.? ?4 , 4 ? ?4,2?∪? 4 , 2 ? π π? 5π 7π? C.? D.? ?4,2? ?4,4? 4.下列是函数 f(x)=|sin x|的单调递增区间的是( ) π π π 3π ? ? A.? B.? ?-4,4? ? 4, 4 ? 3π? 3π ? C.? D.? ?π, 2 ? ? 2 ,2π? π 5π ≤x≤ ?的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,那么此 5.已知函数 y=2sin x? 2? ?2 封闭图形的面积是( ) A.4 B.8 C.4π D.2π 二、填空题 6.函数 f(x)=sin(x+φ) (0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则 φ 的值是________. π 2π? 7.函数 y=3cos2x-4cos x+1,x∈? ?3, 3 ?的值域为________. 8.求函数 f(x)=lg sin x+ 16-x2的定义域. 9.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,求 k 的取值范围.

x π? x 1.要得到 y=sin? ) ?2+3?的图象,只要将函数 y=sin 2的图象( π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3 2π 2π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 π π ? 2.把函数 y=sin? ?2x-4?的图象向右平移8个单位,所得图象对应的函数是(

)

12

A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.奇函数 D.偶函数 π 3.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则( ) 2 π π A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=- 6 6 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=- 6 6 π? π π 4.函数 f(x)=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f? ?4?的值 4 4 是( ) π A.0 B.1 C.-1 D. 4 π? 5.要得到 y=cos? ) ?2x-4?的图象,只要将 y=sin 2x 的图象( π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 8 8 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 π 7π 6.已知函数 y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,当 x= 时,y 最大=2,当 x= 时,y 最小= 12 12 -2,那么函数的解析式为________________. π ? 7.已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为? ?8, 2?,此点到相邻 3 π π π,0?,若 φ∈?- , ?. 最低点间的曲线与 x 轴交于点? ?8 ? ? 2 2? (1)试求这条曲线的函数表达式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.

3π ? 8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M? ? 4 ,0? π? 对称,且在区间? ?0,2?上是单调函数,求 φ 和 ω 的值.


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