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河北省南宫市高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式的解法教案新人教A版必修5

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一元二次不等式及其解法
一、教学内容分析 1.本节课内容在整个教材中的地位和作用. 必修五第三章不等式第二节一元二次不等式及其解法共有三个课时, 本节课是第一 课时,教学内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解 法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化, 对已学习过的集合知识的巩 固和运用具有重要的作用.许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此,一元 二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用. 2.教学重点、难点确定. 本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后, 利用二次函数的图象研究一元二次 不等式的解法. 只要学生能够理解一元二次方程、 一元二次不等式和二次函数三者的关系, 并利用其关系解不等式即可.因此,我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法, 关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系. 二、教学目标 根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备 状况和学生心理认知特征,我确定了四个层面的教学目标. 第一层面是面向全体学生的知识目标:熟练掌握一元二次不等式的解法,正确理解一 元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系. 第二层面是能力目标, 培养学生运用数形结合与分类讨论等数学思想方法解决问题的 能力,提高运算和作图能力. 第三层面是德育目标,通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识,向学生 逐步渗透辨证唯物主义思想. 第四层面是情感目标,在教师的启发引导下,学生自主探究,交流讨论,培养学生的 合作意识和创新精神。 三、学习者特征分析 学生在初中已经学习了一元一次不等式(组)和二次函数,对不等式的性质有了初步 了。可以引导学生从图象的角度出发,并启发学生二次函数的图象是一条抛物线,其开口 方向由二次项系数决定,为突出重点做准备。
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四、教学过程 (一)联系旧知,构建新知 设置一系列的问题唤起学生对旧知识的回忆. 问题 1:一元二次方程的解法有哪些呢? (意图:让学生回顾一元二次方程的解法,为解一元二次不等式做准备. ) 问题 2:同学们还记得二次函数吗?二次函数的形式是怎样的?你记得二次函数的性 质吗? (意图:引导学生从图象的角度出发,并启发学生二次函数的图象是一条抛物线,其开口 方向由二次项系数决定,为突出重点做准备) (二)创设情景,提出问题 首先认识植树节的图标,然后提出问题:今年的植树节我校高一年级的同学去植树时 遇到一个这样的问题,我们准备的树苗恰好能够栽满面积为 40 平方米的空地,而要绿化 的空地是一个长比宽多 6 米的矩形,那么,矩形绿化带长为多少时,准备的树苗有剩余? (设计意图:①开篇引入数学实际问题,贴近生活,直奔主题,构造悬念,激活学生的思 维兴趣;②让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程. ) 建立数学模型:分析:设绿化带长为 x m. 则依题意有 x ? x ? 6? ? 40 . 整理得 x ? 6 x ? 40 ? 0 .
2

(设计意图:体现应用问题数学化,具体问题一般化. ) 明确问题:如何求出满足不等式 x ? 6 x ? 40 ? 0 的 x 的取值?
2

对于 x ? 6 x ? 40 ? 0 是个什么问题?如何解决?
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(意图:1.让学生明确讨论的问题是一元二次不等式; 2.让学生自己说出一元二次不等式的定义及它的形式. ) (三)合作交流,探究新知 1. 探究一元二次不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解.
2

容易知道:一元二次方程 x ? x ? 2 ? 0 的有两个实数根: x1 ? ?1或x2 ? 2 .
2

二次函数 y ? x ? x ? 2 与 x 轴有两个交点: ? ?1,0? 和? 2,0? .
2

2

思考 1:观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系? 思考 2:观察图象,当 x 为何值时, y ? 0 ; 当 x 为何值时, y ? 0 ; 当 x 为何值时, y ? 0 . (设计意图 : ①体现学生的主体性;②有利于加强对图象的认识,从而加强数形结合的 数学思想 ;③有利于加强学生理解一元二次不等式的解相关的三个因素;④为归纳解一 元二次不等式做好准备.根据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解. ) 2. 探究一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的解法. 组织讨论:从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的 解集,关键要考虑: 抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴 的 相 关 位 置 的 情 况 , 也 就 是 一 元 二 次 方 程

2 ax2 ? bx ? c =0 的根的情况, 而一元二次方程根的情况是由判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值

情况( ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 )来确定. (设计意图:这里我将运用多媒体图标的形式来展现出其解法思路,学生有一个完整的逻 辑思维,让学生在探究中建立知识间的联系,体会数形结合,强调突出本节的难点. ) (四)数学运用,深化认知. 例 1.求不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集.
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变式为:求不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集.
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例 2.解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

(设计意图:先让学生来解答例题,若教师巡视、指导,讲评学生完成情况,寻找学生中 的闪光点,给予热情表扬. ) 回答开篇的数学问题,什么情况下准备的树苗会有剩余? 补充:矩形空地长为多少时,树苗正好将空地植满呢?什么时候会不够用? 目的: 强调对于实际问题还应考虑实际情况(即长度必须大于零) .另外,再次巩固学生 对三个“二次”的理解. (五)练习检测,巩固收获

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(1)求下列一元二次不等式的解集:

x 2 ? 5 x ? 14. ? x2 ? 4 x ? 6.
(2)函数 y ?

x 2 ? x ? 2 的定义域是

(

)

A. x x ? ?2或x ? 1? . C. x ?2 ? x ? 1? .

?

B. x ?2 ? x ? 1? . D. ?.

?

?

(设计意图:为了巩固和加深一元二次不等式的解法,让学生学以致用,接下来及时组织 学生进行课堂练习.然后就学生在解题中出现的问题共同纠正. ) (六)归纳小结,强化思想 设计意图:梳理本节课的知识点,总结一元二次不等式解法的步骤: “一化,二判, 三求根,四画图,五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳,让学生掌握严谨的做题方法, 知晓本节课的重难点. (七)布置作业,拓展延伸 必做题:课本第 80 页习题 A 组 1,2. 选做题: (1)若关于 m 的一元二次方程 x
2

? (m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相

等的实数根,求 m 的取值范围. (2)已知不等式 x 值. (设计意图:以作业的巩固性和发展性为出发点,我设计了必做题和选做题,必做题 是对本节课内容的反馈,选做题是对本节课知识的延伸,整体的设计意图是反馈教学,巩 固提高. ) 五、教学策略选择与信息技术融合的设计 教师活动 认识植树节的图标, 然后提 出问题:今年的植树节我校高一 年级的同学去植树时遇到一个 这样的问题,我们准备的树苗恰 预设学生活动 设计意图 ①开篇引入 数学实际问题, 贴 近 生 活 , 直奔 主 题,构造悬念,激
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? ax ? b ? 0 的解集为 ? x 2 ? x ? 3? ,求 a , b 的

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好能够栽满面积为 40 平方米的 空地,而要绿化的空地是一个长 比宽多 6 米的矩形, 那么, 矩形 绿化带长为多少时,准备的树苗 有剩余?

活 学 生 的 思维 兴 趣; ②让学生经历 从 实 际 情 境中 抽 象 出 一 元 二次 不 等式模型的过 程. )

探究一元二次不等式

x2 ? x ? 2 ? 0 的解.
容易知道:一元二次方程 ①体现学生 的主体性; ②有利 于 加 强 对 图象 的 认识, 从而加强数 形 结 合 的 数学 思 想 ;③有利于加 强 学 生 理 解一 元 二 次 不 等 式的 解 相关的三个因素; ④ 为 归 纳 解一 元 二 次 不 等 式做 好 准备. 根据前面探 讨 的 问 题 引导 学 当 x 为何 值时, y ? 0 ; 当 x 为何 值时, y ? 0 . 练习检测,巩固收获 (1)求下列一元二次不等式的 解集: x ? 5 x ? 14.
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x2 ? x ? 2 ? 0 的有两个实数根:

x1 ? ?1或x2 ? 2 .
二次函数 y ? x2 ? x ? 2 与

x 轴 有 两 个 交 点 :

? ?1,0? 和? 2,0? .
思考 1:观察图象一元二次方程 的根与二次函数之间有什么关 系? 思考 2:观察图象,当 x 为何值 时, y ? 0 ;

生 归 纳 一 元二 次 不等式的解.

为了巩固和 加 深 一 元 二次 不 等式的解法, 让学 生学以致用, 接下
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? x2 ? 4 x ? 6.
(2)函数 y ? 义域是 ( )

来 及 时 组 织学 生 进行课堂练习. 然 后 就 学 生 在解 题 中 出 现 的 问题 共 同纠正. )

x ? x ? 2 的定
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A. x x ? ?2或x ? 1? . B. x ?2 ? x ? 1? . C. x ?2 ? x ? 1? . D. ?. 六、教学评价

?

?

?

二 一级 级指标 指标 1. 回顾 旧知识 知 识 与 技 能 3. 运用 2.解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
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评价具体内容

评价方式

1:一元二次方程的解法有哪些呢? 10 2;二次函数的形式是怎样的? 1. 探究一元二次不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解.
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2. 探究 2 探究一元二次不等式

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ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的解法.
1.求不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集
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A.能够积极提出不懂的问题; A.10 B.能够就不懂的问题积极思考; 过程 与方法 究 问题探 C.围绕问题,将自己的意见和想法向老师或同学表达; C.10 D.围绕问题,能够积极与同学合作解决问题,形成小组 D.10 意见。 情感态 情感内 激发学生发现自然现象, 提出问题自己寻找解决途径 10 B.10

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度价值观 化与外化

热爱大自然的思想感情。

七、教学板书 一元二次不等式及其解法 1. 探究一元二次不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解.
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2. 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的解法 例1 例2

八、教学反思

一元二次不等式及其解法的复习重点是 1: 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2:一元二次不等式及其解法。由于是复习课,根据我们学生的实际情况,我是这样安排 复习的: 一、 我先给学生展示高考考纲及考情, 再检测学生对一元二次不等式的概念及 “三 个二次”之间关系的理解,引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握 的比较熟悉。 (五六分钟)二、为了检测学生对本节知识的应用情况,我要求学生完成, 有三位学生主动板演,让其他学生批改,在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤, 以次调动学生的学习积极性,也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整 的写出解题过程,后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以(大约 12 多 分钟) 。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度,我选了两个热点 题,启发引导学生对问题的分析及其解答。从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生 能较熟练地运用知识,而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉,思考问 题的角度单一,思维方法不灵活。另外运算能力还有待提高。还有由于时间关系,没能检 查学生完成资料课时作业的对应联系。 (大约 15 分钟)

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