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2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5直线平面垂直的判定与性质理


第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质 理

1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

a,b? α
一条直线与一个平面内的 判定定理 两条相交直线都垂直,则 该直线与此平面垂直

a∩b=O l⊥a l⊥b l⊥α

? ? ?? ? ?

性质定理

垂直于同一个平面的两条 直线平行

a⊥ α ? ?
? b⊥ α ?

?? a∥b

2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一 条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成 的角是 0°的角. π (2)范围:[0, ]. 2 3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
1

文字语言 一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直 两个平面垂直,则一个平面内 性质定理 垂直于交线的直线与另一个平 面垂直

图形语言

符号语言

判定定理

l⊥α ? ? ?? l? β ? ?
α ⊥β

错误!? l⊥α

【知识拓展】 重要结论: (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一 个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l⊥α .( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)直线 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b.( √ ) (4)若 α ⊥β ,a⊥β ? a∥α .( × ) (5)若直线 a⊥平面 α ,直线 b∥α ,则直线 a 与 b 垂直.( √ )

1.(教材改编)下列命题中不正确的是(

)

A.如果平面 α ⊥平面 β ,且直线 l∥平面 α ,则直线 l⊥平面 β B.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β C.如果平面 α 不垂直于平面 β ,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D.如果平面 α ⊥平面 γ ,平面 β ⊥平面 γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ 答案 A 解析 根据面面垂直的性质,知 A 不正确,直线 l 可能平行平面 β ,也可能在平面 β 内. 2.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m, 则“α ⊥β ”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件
2

)

B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 α ⊥β ,因为 α ∩β =m,b? β ,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得

b⊥α ,又 a? α ,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,且 a,m 共面,一定有 b⊥a,
但不能保证 b⊥α ,所以不能推出 α ⊥β . 3.(2017·宝鸡质检)对于四面体 ABCD,给出下列四个命题: ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD; ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD; ④若 AB⊥CD,AC⊥BD,则 BC⊥AD. 其中为真命题的是( A.①② 答案 D 解析 ①如图,取 BC 的中点 M,连接 AM,DM,由 AB=AC? AM⊥BC,同理 DM⊥BC? BC⊥平面 AMD, 而 AD? 平面 AMD,故 BC⊥AD.④设 A 在平面 BCD 内的射影为 O,连接 BO,CO,DO,由 AB⊥CD ? BO⊥CD,由 AC⊥BD? CO⊥BD? O 为△BCD 的垂心? DO⊥BC? AD⊥BC. ) D.①④

B.②③ C.②④

4. (2016·济南模拟)如图, 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD⊥平面 ABCD, NB⊥平面 ABCD, 且 MD=NB=1,G 为 MC 的中点.则下列结论中不正确的是( )

A.MC⊥AN B.GB∥平面 AMN C.平面 CMN⊥平面 AMN D.平面 DCM∥平面 ABN 答案 C

3

解析 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体, 把该几何体放置到正方体中(如图),

取 AN 的中点 H,连接 HB,MH,GB,则 MC∥HB,又 HB⊥AN,所以 MC⊥AN,所以 A 正确;由题 意易得 GB∥MH,又 GB?平面 AMN,

MH? 平面 AMN, 所以 GB∥平面 AMN, 所以 B 正确; 因为 AB∥CD, DM∥BN, 且 AB∩BN=B, CD∩DM
=D,所以平面 DCM∥平面 ABN,所以 D 正确. 5.(教材改编)在三棱锥 P-ABC 中,点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PA=PB=PC,则点 O 是△ABC 的________心. (2)若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是△ABC 的________心. 答案 (1)外 (2)垂

解析 (1)如图 1,连接 OA,OB,OC,OP, 在 Rt△POA、Rt△POB 和 Rt△POC 中,PA=PC=PB, 所以 OA=OB=OC,即 O 为△ABC 的外心.

(2)如图 2,延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于 H,D,G. ∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P, ∴PC⊥平面 PAB,AB? 平面 PAB,∴PC⊥AB, 又 AB⊥PO,PO∩PC=P, ∴AB⊥平面 PGC, 又 CG? 平面 PGC, ∴AB⊥CG,即 CG 为△ABC 边 AB 的高. 同理可证 BD,AH 为△ABC 底边上的高, 即 O 为△ABC 的垂心.

4

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 (2016·全国甲卷改编)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6, 5 点 E, F 分别在 AD, CD 上, AE=CF= , EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置. OD′ 4 = 10.

证明:D′H⊥平面 ABCD. 证明 由已知得 AC⊥BD,AD=CD. 又由 AE=CF 得 = ,故 AC∥EF. 因此 EF⊥HD,从而 EF⊥D′H. 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB -AO =4. 由 EF∥AC 得 =
2 2

AE CF AD CD

OH AE 1 = . DO AD 4

所以 OH=1,D′H=DH=3. 于是 D′H +OH =3 +1 =10=D′O ,故 D′H⊥OH. 又 D′H⊥EF,而 OH∩EF=H,且 OH,EF? 平面 ABCD, 所以 D′H⊥平面 ABCD. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α ? b⊥α );③面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ? a⊥β );④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (2015·江苏)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1.设 AB1 的 中点为 D,B1C∩BC1=E.
2 2 2 2 2

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求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 证明 (1)由题意知,E 为 B1C 的中点, 又 D 为 AB1 的中点,因此 DE∥AC. 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC? 平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC? 平面 ABC, 所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,CC1? 平面 BCC1B1,

BC? 平面 BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1? 平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC. 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C? 平面 B1AC,AC∩B1C=C, 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1? 平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别 为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点.

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(1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN. 证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H,连接 EH,DH.

又 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH 綊 AB. 2 1 又 CD 綊 AB, 2 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形,所以 CE∥DH. 又 DH? 平面 PAD,CE?平面 PAD. 所以 CE∥平面 PAD. 方法二 连接 CF.

因为 F 为 AB 的中点, 1 所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB,所以 AF=CD. 2 又 AF∥CD,所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF∥AD,又 CF?平面 PAD,AD? 平面 PAD, 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,PA? 平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD.

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因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE? 平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点,所以 EF∥PA. 又因为 AB⊥PA, 所以 EF⊥AB,同理可证 AB⊥FG. 又因为 EF∩FG=F,EF? 平面 EFG,FG? 平面 EFG. 所以 AB⊥平面 EFG. 又因为 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以 MN∥CD,又 AB∥CD,所以 MN∥AB, 所以 MN⊥平面 EFG. 又因为 MN? 平面 EMN,所以平面 EFG⊥平面 EMN. 引申探究 1.在本例条件下,证明:平面 EMN⊥平面 PAC. 证明 因为 AB⊥PA,AB⊥AC, 且 PA∩AC=A,所以 AB⊥平面 PAC. 又 MN∥CD,CD∥AB,所以 MN∥AB, 所以 MN⊥平面 PAC. 又 MN? 平面 EMN, 所以平面 EMN⊥平面 PAC. 2.在本例条件下,证明:平面 EFG∥平面 PAC. 证明 因为 E,F,G 分别为 PB,AB,BC 的中点, 所以 EF∥PA,FG∥AC, 又 EF?平面 PAC,PA? 平面 PAC, 所以 EF∥平面 PAC. 同理,FG∥平面 PAC. 又 EF∩FG=F, 所以平面 EFG∥平面 PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义; ②面面垂直的判定定理(a⊥β ,a? α ? α ⊥β ). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. (2016·江苏)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
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求证:(1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 证明 (1)由已知,DE 为△ABC 的中位线, ∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得 AC∥A1C1, ∴DE∥A1C1, 又∵DE?平面 A1C1F,A1C1? 平面 A1C1F, ∴DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1, ∴AA1⊥A1C1, 又∵A1B1⊥A1C1,且 A1B1∩AA1=A1, ∴A1C1⊥平面 ABB1A1, ∵B1D? 平面 ABB1A1, ∴A1C1⊥B1D, 又∵A1F⊥B1D,且 A1F∩A1C1=A1, ∴B1D⊥平面 A1C1F, 又∵B1D? 平面 B1DE, ∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 题型三 垂直关系中的探索性问题 例 3 如图,在三棱台 ABC-DEF 中,CF⊥平面 DEF,AB⊥BC.

(1)设平面 ACE∩平面 DEF=a,求证:DF∥a; (2)若 EF=CF=2BC,试问在线段 BE 上是否存在点 G,使得平面 DFG⊥平面 CDE?若存在,请 确定 G 点的位置;若不存在,请说明理由. (1)证明 在三棱台 ABC-DEF 中,AC∥DF,AC? 平面 ACE,DF?平面 ACE,∴DF∥平面 ACE.

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又∵DF? 平面 DEF,平面 ACE∩平面 DEF=a, ∴DF∥a. 1 (2)解 线段 BE 上存在点 G,且 BG= BE,使得平面 DFG⊥平面 CDE. 3 证明如下: 取 CE 的中点 O,连接 FO 并延长交 BE 于点 G, 连接 GD,GF,

∵CF=EF,∴GF⊥CE. 在三棱台 ABC-DEF 中,AB⊥BC? DE⊥EF. 由 CF⊥平面 DEF? CF⊥DE. 又 CF∩EF=F,∴DE⊥平面 CBEF,∴DE⊥GF.

? ? ?? GF⊥平面 CDE. CE∩DE=E? ?
GF⊥CE GF⊥DE
又 GF? 平面 DFG,∴平面 DFG⊥平面 CDE. 此时,如平面图所示,延长 CB,FG 交于点 H,

∵O 为 CE 的中点,EF=CF=2BC, 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE, 1 ∴HB=BC= EF. 2

BG 1 1 由△HGB∽△FGE 可知 = ,即 BG= BE. GE 2 3
思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为 线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.
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(2016·北京东城区模拟)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,

M 为棱 AC 的中点.AB=BC,AC=2,AA1= 2.

(1)求证:B1C∥平面 A1BM; (2)求证:AC1⊥平面 A1BM; (3)在棱 BB1 上是否存在点 N,使得平面 AC1N⊥平面 AA1C1C?如果存在,求此时 不存在,请说明理由. (1)证明 连接 AB1 与 A1B,两线交于点 O,连接 OM,

BN 的值;如果 BB1

在△B1AC 中,∵M,O 分别为 AC,AB1 中点, ∴OM∥B1C, 又∵OM? 平面 A1BM,B1C?平面 A1BM, ∴B1C∥平面 A1BM. (2)证明 ∵侧棱 AA1⊥底面 ABC,BM? 平面 ABC, ∴AA1⊥BM, 又∵M 为棱 AC 中点,AB=BC,∴BM⊥AC. ∵AA1∩AC=A,∴BM⊥平面 ACC1A1, ∴BM⊥AC1. ∵AC=2,∴AM=1. 又∵AA1= 2,∴在 Rt△ACC1 和 Rt△A1AM 中, tan∠AC1C=tan∠A1MA= 2. ∴∠AC1C=∠A1MA, 即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°, ∴A1M⊥AC1. ∵BM∩A1M=M,∴AC1⊥平面 A1BM.

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(3)解 当点 N 为 BB1 中点,即 平面 AC1N⊥平面 AA1C1C. 证明如下:

BN 1 = 时, BB1 2

设 AC1 中点为 D,连接 DM,DN.

∵D,M 分别为 AC1,AC 中点, 1 ∴DM∥CC1,且 DM= CC1. 2 又∵N 为 BB1 中点,∴DM∥BN,且 DM=BN, ∴四边形 BNDM 为平行四边形, ∴BM∥DN, ∵BM⊥平面 ACC1A1,∴DN⊥平面 ACC1A1. 又∵DN? 平面 AC1N,∴平面 AC1N⊥平面 AA1C1C.

17.立体几何证明问题中的转化思想

典例 (12 分)如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点.

求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相 互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理; (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证 明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等;

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(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范. 规范解答 证明 (1)如图所示,连接 NK.

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1,

C1D1∥CD,C1D1=CD.[2 分]
∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点, ∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形,[3 分] ∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN, ∴四边形 AA1KN 为平行四边形,∴AN∥A1K.[4 分] ∵A1K? 平面 A1MK,AN?平面 A1MK, ∴AN∥平面 A1MK.[6 分] (2)如图所示,连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点, ∴BM∥C1K,BM=C1K, ∴四边形 BC1KM 为平行四边形,∴MK∥BC1.[8 分] 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C,

BC1? 平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C.[10 分] ∴MK⊥B1C. ∵A1B1? 平面 A1B1C,B1C? 平面 A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C. 又∵MK? 平面 A1MK, ∴平面 A1B1C⊥平面 A1MK.[12 分]

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1.若平面 α ⊥平面 β ,平面 α ∩平面 β =直线 l,则( A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α ,β 都垂直 答案 D

)

解析 对于 A,垂直于平面 β 的平面与平面 α 平行或相交,故 A 错误; 对于 B,垂直于直线 l 的直线与平面 α 垂直、斜交、平行或在平面 α 内,故 B 错误; 对于 C,垂直于平面 β 的平面与直线 l 平行或相交,故 C 错误;易知 D 正确. 2.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m? α ,n? β , ,则 m∥n C.若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β 答案 D 解析 A 中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行;B 中,m 与 n 可平行、可异面;C 中,若 α ∥β , 仍然满足 m⊥n,m? α ,n? β ,故 C 错误;故选 D. 3. (2016·包头模拟)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1 垂直底面 A1B1C1, 底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( ) )

A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE 与 B1C1 是异面直线,且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E 答案 C 解析 A 不正确,因为 CC1 与 B1E 在同一个侧面中,故不是异面直线;B 不正确,由题意知, 上底面 ABC 是一个正三角形,故不可能存在 AC⊥平面 ABB1A1;C 正确,因为 AE,B1C1 为在两 个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线;D 不正确,因为 A1C1 所在的平面与 平面 AB1E 相交,且 A1C1 与交线有公共点,故 A1C1∥平面 AB1E 不正确,故选 C. 4.如图,以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂 直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
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①BD⊥AC; ②△BAC 是等边三角形; ③三棱锥 D-ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC⊥平面 ABC. 其中正确的是( A.①②④ C.②③④ 答案 B 解析 由题意知,BD⊥平面 ADC,故 BD⊥AC,①正确;AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高, 平面 ABD⊥平面 ACD,所以 AB=AC=BC,△BAC 是等边三角形,②正确;易知 DA=DB=DC, 又由②知③正确;由①知④错.故选 B. 5.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线 段 BC 的长.其中正确的是( ) ) B.①②③ D.①③④

A.①② C.① 答案 B

B.①②③ D.②③

解析 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, ∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC, 又 PC? 平面 PAC,∴BC⊥PC; 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥PA, ∵PA? 平面 PAC,OM?平面 PAC,∴OM∥平面 PAC; 对于③, 由①知 BC⊥平面 PAC, ∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离, 故①②③都正确. 6.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC 和△PAC 的边所在的直线中,与 PC 垂直的 直线有________;与 AP 垂直的直线有________.

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答案 AB、BC、AC AB 解析 ∵PC⊥平面 ABC, ∴PC 垂直于直线 AB, BC, AC; ∵AB⊥AC, AB⊥PC, AC∩PC=C, ∴AB⊥ 平面 PAC,∴与 AP 垂直的直线是 AB. 7.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 是 A1B1 的中点,

F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF,则线段 B1F 的长为________.

答案

1 2

解析 设 B1F=x, 因为 AB1⊥平面 C1DF,DF? 平面 C1DF, 所以 AB1⊥DF. 由已知可得 A1B1= 2, 设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h, 1 则 DE= h. 2 又 2× 2=h 2 +? 2? , 2 3 3 所以 h= ,DE= . 3 3 在 Rt△DB1E 中,
2 2

B1E=

?

2 2 3 2 6 ? -? ? = . 2 3 6 6 × 6

由面积相等得 1 得 x= . 2

x2+?

2 2 2 ? = x, 2 2

8.如图, PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点, E,F 分别是点 A 在 PB,

PC 上的射影,给出下列结论:

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①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③ 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,且 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC,且 BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC, ∴AF⊥PB,又 AE⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面 AEF,∴PB⊥EF. 故①②③正确. 9. (2016·保定模拟)如图, 在直二面角 α -MN-β 中, 等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC? α , 一直角边 AC? β ,BC 与 β 所成角的正弦值为 6 ,则 AB 与 β 所成的角是________. 4

答案

π 3

解析 如图所示,作 BH⊥MN 于点 H,连接 AH,

则 BH⊥β ,∠BCH 为 BC 与 β 所成的角. ∵sin∠BCH= 6 BH = , 4 BC 6 . 4 2 , 2
17

设 BC=1,则 BH=

∵△ABC 为等腰直角三角形,∴AC=AB=

∴AB 与 β 所成的角为∠BAH. 6

BH 4 3 ∴sin∠BAH= = = , AB 2 2
2 π ∴∠BAH= . 3 10.(2016·全国乙卷)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,平面 ABEF 为正方 形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60°.

(1)证明:平面 ABEF⊥EFDC; (2)求二面角 EBCA 的余弦值. (1)证明 由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,DF∩FE=F, 所以 AF⊥平面 EFDC, 又 AF? 平面 ABEF, 故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)解 过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G,

→ → 由(1)知 DG⊥平面 ABEF.以 G 为坐标原点,GF的方向为 x 轴正方向,|GF|为单位长,建立如图 所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知∠DFE 为二面角 DAFE 的平面角, 故∠DFE=60°, 则|DF| =2,|DG|= 3,可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3). 由已知,AB∥EF,AB?平面 EFDC,EF? 平面 EFDC, 所以 AB∥平面 EFDC, 又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD, 故 AB∥CD,CD∥EF, 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC, 所以∠CEF 为二面角 CBEF 的平面角,∠CEF=60°, 从而可得 C(-2,0, 3). → → → → 所以EC=(1,0, 3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4, 3),AB=(-4,0,0).

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→ ? ?n·EC=0, 设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,则? ?n·→ EB=0, ?

?x+ 3z=0, 即? ?4y=0.

所以可取 n=(3,0,- 3).

→ ? ?m·AC=0, 设 m 是平面 ABCD 的法向量,则? → ? ?m·AB=0. 同理可取 m=(0, 3,4),则 cos〈n,m〉= 2 19 . 19 11.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF =1,AE= 6,DE=3,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点.

n·m 2 19 =- .故二面角 EBCA 的余弦值为- |n||m| 19

(1)求证:FG∥平面 BED; (2)求证:平面 BED⊥平面 AED; (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. (1)证明 如图,取 BD 的中点 O,连接 OE,OG.

在△BCD 中,因为 G 是 BC 的中点, 1 所以 OG∥DC 且 OG= DC=1. 2 又因为 EF∥AB,AB∥DC, 所以 EF∥OG 且 EF=OG, 所以四边形 OGFE 是平行四边形,所以 FG∥OE.

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又 FG?平面 BED,OE? 平面 BED, 所以 FG∥平面 BED. (2)证明 在△ABD 中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°, 由余弦定理可得 BD= 3,进而∠ADB=90°, 即 BD⊥AD. 又因为平面 AED⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, 平面 AED∩平面 ABCD=AD, 所以 BD⊥平面 AED. 又因为 BD? 平面 BED, 所以平面 BED⊥平面 AED. (3)解 因为 EF∥AB,所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所成的角. 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H,连接 BH.

又平面 BED∩平面 AED=ED, 由(2)知 AH⊥平面 BED, 所以直线 AB 与平面 BED 所成的角即为∠ABH. 在△ADE 中,AD=1,DE=3,AE= 6, 2 5 由余弦定理得 cos∠ADE= ,所以 sin∠ADE= , 3 3 因此,AH=AD·sin∠ADE= 在 Rt△AHB 中,sin∠ABH= 5 . 3

AH 5 = . AB 6
5 . 6

所以直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值为

π 12.在直角梯形 SBCD 中,∠D=∠C= ,BC=CD=2,SD=4,A 为 SD 的中点,如图(1)所示, 2 1 将△SAB 沿 AB 折起,使 SA⊥AD,点 E 在 SD 上,且 SE= SD,如图(2)所示. 3

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(1)求证:SA⊥平面 ABCD; (2)求二面角 E-AC-D 的正切值. (1)证明 由题意,知 SA⊥AB, 又 SA⊥AD,AB∩AD=A, 所以 SA⊥平面 ABCD. 1 (2)解 在 AD 上取一点 O,使 AO= AD, 3 连接 EO,如图所示.

1 又 SE= SD,所以 EO∥SA. 3 所以 EO⊥平面 ABCD. 过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H,连接 EH,则 AC⊥平面 EOH, 所以 AC⊥EH, 所以∠EHO 为二面角 E-AC-D 的平面角. 2 4 已知 EO= SA= . 3 3 2 2 2 在 Rt△AHO 中,∠HAO=45°,OH=AO·sin 45°= × = . 3 2 3 tan∠EHO= =2 2,即二面角 E-AC-D 的正切值为 2 2.

EO OH

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