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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案]


哈尔滨市第六中学 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二理科数学
一.选择题(共 12 题,每题 5 分) 1.复数 z ?

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是( ) 1? i 1 1 1 A. ? B. i C. 2 2 2

D. ?

1 i 2

2. 已知 p :

1 ? 1 , q : x ? a ? 1 . 若 q 是 p 的必要不充分条件 , 则实数 a 的取值范围是 x?2
B. [2,3] C. (2,3) D. (??,3]

( ) A. (2,3]

3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为 15:3:2.为了了解该单位职员 的某种情况,采用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中业务人员人数为 30,则 此样本的容量 n 为( A.20 B.30 ) C.40 D.80

4.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题: ①? ? ? ? l ∥ m ; ②? ∥ ? ? l ? m ;

③l ? m ? ? ∥ ? ④l ∥m ?? ? ? ; 其中正确命题的序号是( 5. 下列说法正确的是( ) ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④

A. 命题“若 sin x ? sin y ,则 x ? y ”的逆否命题为真命题 B.“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 C. 命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D. 命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2

6.设随机变量 ? 服从正态分布 N ?3,7 ? ,若 p?? ? a ? 2? ? p?? ? a ? 2? ,则

a =(
A.1

) B.2 C.3 D.4
n

1? K 7.如右图,已知 K 为如图所示的程序框图输出结果,二项式 ? ?x ? ? 的 x? ?
展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( A.4 B.5 C.6 D.7 )

8.先后掷骰子(骰子的六个面分别标有 1、2、3、4、5、6 个点)两次落在水平桌面后,记 正面朝上

-1-

的点数分别为 x , y ,设事件 A 为“ x ? y 为偶数” ,事件 B 为“ x , y 中有偶数,且 x ? y ” , 则概率

P?B A?=(
A. 1 2
8

) B. 1

3

C. 1 4

D. 2 5

9.已知 ?1 ? 2 x? 展开式的二项式系数的最大值为 a ,系数的最大值为 b ,则 A.

b =( a

)

128 512 128 256 B. C. D. 5 5 7 7 10.有 5 盆菊花,其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆,现把它们摆放成一排,要求 2
盆黄菊 花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5 盆花不同的摆放种数是( A.1 2 B.24 C.36 D.48 甲 5 8 别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, x1 , x2 分别 表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数,则有( A. x1 ? x2 , s1 ? s 2 C. x1 ? x2 , s1 ? s 2 B. x1 ? x2 , s1 ? s 2 D. x1 ? x2 , s1 ? s 2 ) 7 茎 1 2 6 3 8 6 7 乙 )

11. 甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如右图所示. 设 s1 , s 2 分

8 2

12.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA ⊥平面 ABC , SA ? 4 3 ,

AB ? 2 ,

AC ? 4 , ?BAC ? 60? ,则球 O 的表面积为(
A. 4? B. 12? 二.填空题(共 4 题,每题 5 分)

) D. 64?

C. 16?

13.袋中有大小相同的红色、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸 3 次,3 次摸到的红 球比白球多 1 次的概率为___________________. 14. 设 n 为正整数, f (n) ? 1 ?
f (16) ? 3 ,

1 1 1 3 5 ? ? ? ? ,经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , 2 3 n 2 2
. .

f (32) ?

7 , ??观察上述结果, 对任意正整数 n , 可推测出一般结论是____________ 2

15. 向面积为 S 的 ?ABC 内任投一点 P ,则 ?PBC 的面积小于

S 的概率为 3

16. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 , 点D

-2-

是线段 AB 上的一点,且 ?CDB1 ? 90? , AA1 ? CD ,则点 A1 到平面

B1CD 的距离为_______.
三.解答题(共 6 题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 某个体服装店经营某种服装,在某周内获纯利润 y (元)与该周每天销售这种服装件数 x 之间有如下一组数据:

x
y
已知

3 66
7 2 7

4 69

5 73

6 81

7 89

8 90

9 91

?x
i ?1

i

? 280, ? xi yi ? 3487 .
i ?1

? 与每天销售件数 x 之间的回归方程. (1)求 x, y ; (2)求纯利润 y

(参考公式: b ?

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y , a ? y ? bx ) ? nx
2

?
i ?1

xi2

18.(本小题满分 12 分) 我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0-50 为优秀,各类人群可正 常活动.环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,得到每天的空气质量指数,从 由此得到本的空气质量指数频率分布直 ? 35, 45? , 方图,如图. (1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量 指数的平均值; (3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质 量为“特优等级”,则从这一年的监测数据中随 机抽取 3 天的数值, 其中达到“特优等级”的天数 为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ? 5,15? , ?15, 25? , ? 25,35? , 频率 组距 0.032

a

0.020 0.018

O

5 15 25 35 45 空气质量指数

19.(本小题满分 12 分) 如图三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C .

-3-

(1) 证明: AC ? AB1 ; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o , AB ? BC , 求二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 某校的学生记者团由理科组和文科组构成,具体数据如下表所示: 组别 性别 人数 男生 4 理科 女生 4 男生 3 文科 女生 1

学校准备从中选出 4 人到社区举行的大型公益活动进行采访,每选出一名男生,给其所在小 组记 1 分,每选出一名女生则给其所在小组记 2 分,若要求被选出的 4 人中理科组、文科组 的学生都有. (Ⅰ)求理科组恰好记 4 分的概率; (Ⅱ)设文科男生被选出的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

21.(本小题满分 12 分) 如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中, 2 BN ? AE , M 是 ND 的中点. 侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图,并标上数据; (2)求证: EM ∥平面 ABC ; (3)试问在边 BC 上是否存在点 G ,使 GN ⊥平面 NED . 若存在,确定点 G 的位置;若不

-4-

存在, 请说明理由.

22.(本小题满分 12 分) 设直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 x ? 3 y ? a (a ? 0) 相交于 A, B 两个不同的点, 与 x 轴相
2 2 2

交于点 C ,记 O 为坐标原点.

3k 2 ; 1 ? 3k 2 (2)若 AC ? 2CB , 求△ OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.
(1)证明: a ?
2

-5-

高二理科数学答案 一.选择题 CACDD CBBAB BD 二.填空题 13.

3 8

14. f 2 n ?

? ?

n?2 2

15.

5 9

16.3

三.解答题

559 ? 79.86 7 19 719 ? 4.75 a? ? 51.36 (2) b ? 4 14 18.(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018 ? ? 10 ? 1 ,
17.(1) x ? 6, y ? 解得 a ? 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

?????1 分 ?????2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

?????3 分

由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . ????4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 5,15? 内为“特优等级” , 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则 ? ~ B? 3, ?

? 1? ? 5?
2

???5 分 ???6 分

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 ?4? , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? 5 ? 125
0 3
2 2 3

3

48 ?1? ?4? , P ?? ? 1? ? C ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
1 3
3

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ?????10 分 P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? 125
∴ ? 的分布列为:

?
P

0
64 125

1

2

3
1 125
??11 分

48 125

12 125

∴ E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5 1 3 ? ) 5 5

???12 分

(或者 E? ? 3 ?

19. (Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O ,连结 AO .因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ?, 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故 B1C ? AO ? 又

B1O ? CO ,故 AC ? AB1
-6-

??? 4 分

(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO ? CO ? 又因为 AB ? BC ,所以 ?BOA ? ?BOC . 故 OA ? OB ,从而 OA, OB , OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长,建立如图所示空间直角坐标 系 O ? xyz . 因为 ?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB ? BC ,则
? 3 ?, B A? ? 0, 0, 3 ? ? ? ?

?1, 0, 0 ? , B ? ? ? 0,
1

?

3 ?, ? 3 ? ,0? C? 0, ? ,0? ? ? 3 ? 3 ? ? ?

???? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 ? , ???? 3 ? ????? ??? 3 ? AB1 ? ? A1 B1 ? AB ? ? ? 0, 3 , ? 3 ? ? ?1, 0, ? 3 ? ? , B1C1 ? BC ? ? ? ?1, ? 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ?

设 n ? ? x, y , z ? 是平面的法向量,则

?

? ? 3 3 ? ? n ? AB1 ? 0 y? z?0 , 即? ? 3 3 ?? ? ? ?n ? A1 B1 ? 0 3 ?
x? z?0 ? 3 ?

所以可取 n ? 1, 3, 3

?

?

? ?
12 分

设 m 是平面的法向量,则 ?

??

?? ? ?m ? A1 B1 ? 0 , 同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ?m ? B1C1 ? 0 ?

?

则 cos ? n ? m ??

n?m n?m
33 106

?

1 1 ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 . 7 7
(4 分)

20. 解:(Ⅰ)

P?

(Ⅱ) 由题意得 ? ? 0,1, 2,3 ,于是 ? 的分布列为

?

0
56 424

1
252 424

2
108 424

3
8 424

P

(只写出正确分布列表格的扣 4 分)

? 的数学期望为 E (? ) ?
?

123 (12 分) 106

21.(1)正视图如图所示.(注:不标中间实线扣 1 分)??????2 分 (2)证明:俯视图和侧视图,得 ?CAB ? 90 ,

DC ? 3 , CA ? AB ? 2 ,EA ? 2 ,BN ? 1 ,EA ? 平面 ABC ,

EA // DC // NB .取 BC 的中点 F ,连接 FM 、 EM ,
则 FM // DC // EA ,且 FM ?

1 ?BN ? DC ? ? 2 2

?4 分

-7-

∴ FM 平行且等于 EA , ∴四边形 EAFM 是平行四边形, ∴ AF // EM ,又 AF ? 平面 ABC , ∴ EM ? 平面 ABC .??????????7 分 (3)解,以 A 为原点,以 CA 的方向为 x 轴的正方向, AB 的方 向为 y 轴正方向, AE 的方向为 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则有 A (0,0,0) , E (0,0,2) , B (0,2,0) ,

?

D (-2,0,3) , N (0,2,1) , C (-2,0,0).
设 ND ? (-2,-2,2) , NE ? (0,-2,1) ,

????

??? ?

??? ? ??? ? , CN ? (2,2,1). CB ? (2,2,0)

??? ? ??? ? 设CG ? ? CB ? (2? , 2? , 0), ? ? [0,1], ???? ???? ??? ? 则GN ? CN ? CG ? (2, 2,1) ? (2? , 2? , 0) ? (2 ? 2? , 2 ? 2? ,1). ???? ??? ? ?GN ? NE ? 0 ??4 ? 4? ? 1 ? 0 ? ? GN ? 平面NED,? ? ???? ???? ,即 ? , ? 8 ? 8 ? ? 2 ? 0 GN ? ND ? 0 ? ? ? 3 解之得? ? ? [0,1]. 4
∴边 BC 上存在点 D ,满足 CG ?

假设在 BC 边上存在点 G 满足题意,

3 CB 时, GN ⊥平面 NED ??????12 分 4
1 y ? 1. k

22. (I)解:依题意,直线 l 显然不平行于坐标轴,故 y ? k ( x ? 1)可化为 x ? 将x ?

1 y ? 1代入 x 2 ? 3 y 2 ? a 2 , 消去 x , k 1 2 2 2 得 ( 2 ? 3) y ? y ? 1 ? a ? 0. ① k k 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点 3k 2 4 1 1 2 2 2 .? 5 分 ? ? 2 ? 4( 2 ? 3)(1 ? a ) ? 0, 整理得 ( 2 ? 3)a ? 3 ,即 a ? k k k 1 ? 3k 2 2k (II)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).由①,得 y1 ? y 2 ? 1 ? 3k 2 ? 2k . ?????8 分 因为 AC ? 2CB, 得y1 ? ?2 y2 ,代入上式,得 y 2 ? 1 ? 3k 2

3| k | 3| k | 3 1 3 ? ? | OC | ? | y1 ? y 2 |? | y 2 | ? 2 2 1 ? 3k 2 3|k| 2 2 3 其中,上式取等号的条件是 3k 2 ? 1,即k ? ? . 3 ? 2k 3 由 y2 ? , 可得y 2 ? ? . 2 3 1 ? 3k
于是,△ OAB 的面积 S ?

-8-

将k ?

3 3 3 3 这两组值分别代入①,均可解出 a 2 ? 5. , y2 ? ? 及k ? ? , y2 ? 3 3 3 3

所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 x 2 ? 3 y 2 ? 5. ???12 分

-9-


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