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高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系课件新人教A版必修


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
章末归纳总结

知识结构

点、直线、平面 之间的位置关系

? ?平面的概念及其表示 ? ? 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 ? ? ?平面 ?公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 ? ? ?平面的性质?公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 ? ? ? ? 点的公共直线 ? ? ? 定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ? ? ? ? ? ?定义 ?直线与直线之?异面直线?异面直线所成的角? ? ? ? ,90° ] ?间的位置关系? ?范围:?0° ? ? ?相交直线 ? ? ?平行直线 ? ?直线与平面之 ?间的位置关系

点、直线、平面 之间的位置关系

? ? 判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, ? ? ? ?则该直线与此平面平行 ? ?直线与平面平行?性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 ? ? ? ? ?一平面与此平面的交线与该直线平行 ? ? 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, ?直线与平面之间的位置关系? ? ? ?直线与平面垂直?则该直线与此平面垂直 ? ? ? ? ?性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行 ? ? ? ?定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 直线与平面所成的角? ? ? ? ,90° ] ?范围:[0° ? ? ?

点、直线、平面 之间的位置关系

? 判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, ? ? ? ? ?则这两个平面平行 ? 平面与平面平行 ? ?性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么 ? ? ? ?它们的交线平行 ? ? 判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ?平面与平面之间的位置关系? ? ? ?平面与平面垂直?性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 ? ? ?的直线与另一个平面垂直 ? ? ? ? ? ?二面角的平面角 ? 二面角 ? ? ?范围:[0° ,180° ] ? ? ?

专题突破

专题一

空间中的位置关系

1.空间中两直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.空间中直线与平面的位置关系:直线在平面内、直线 与平面平行、直线与平面相交. 3.两个平面的位置关系:平行、相交.

[例 1]

下面四个命题中,正确命题的个数是(

)

①如果 a,b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的 任何一个平面;②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α,那么 a 与 平面 α 内的任何一条直线平行;③如果直线 a,b 满足 a∥α, b∥α,则 a∥b;④如果直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行, 那么直线 a 必平行于平面 α. A.0
[答案] A

B.1

C.2

D.3

[解析] 序 正 号 误 原因分析 如右图, 长方体 ABCD-A′B′C′D′中, AB ∥ DC , AB 却在过 ① × DC 的平面 ABCD 内, ①不正确

序号

正误

原因分析 如上图, AB∥平面 A′B′C′D′, B′C′



×

?平面 A′B′C′D′,AB 与 B′C′异 面,②不正确 如上图,AB∥平面 CDD′C′,BB′∥平



×

面 CDD′C′,AB∩BB′=B,即 AB 与 BB′不平行,③不正确

序号

正误

原因分析 如上图, 设直线 l 是平面 ABB′A′内与 AB



×

平行的任一条直线,l 有无数条,即 AB 与 平面 ABB′A′ 内的无数条直线平行,但 AB?平面 ABB′A′,④不正确

规律总结:长方体中体现了空间中的线线、线面关系, 图中观察可以找到本题中四个命题的许多反例. 解决这类题常 常将空间点、线、面的关系放置于长方体中考虑.

专题二

线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明

在这一章中, 我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关 系的判定定理与性质定理,这些定理之间并不是彼此孤立的, 线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化.做题时 要充分运用它们之间的联系,挖掘题目提供的有效信息,综合 运用所学知识解决此类问题.

[例2]

(2011· 江苏高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,平

面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F分别是 AP,AD的中点.

求证:(1)直线EF∥平面PAD; (2)平面BEF⊥平面PAD.

[证明]

(1)如图,在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,

AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD.

(2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为 正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

规律总结:证明线面平行是立体几何考查的重点,证明 时通常利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理, 面面 垂直可以通过线面垂直进行转化.

专题三

空间角的计算

空间中的角包括异面直线所成的角, 直线和平面所成的角 和二面角,如何准确找出或作出空间角的平面角,是解答有关 空间角问题的关键,空间角的题目一般都是多种知识的交汇 点,因此它也是高考常考查的内容之一.

[例 3]

如图,在 Rt△AOB 中,∠OAB=30° ,斜边 AB=

4,Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且 二面角 B-AO-C 是直二面角,动点 D 在斜边 AB 上.

(1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)当 D 为 AB 的中点时, 求异面直线 AO 与 CD 所成角的 正切值; (3)求 CD 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值.

[分析]

(1)在一个面内找到一条线垂直于另一个面即可.

(2)可取 OB 中点 E,从而构造三角形 CDE. (3)确定 CD 在面 AOB 内的射影即可.

[解析]

(1)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,

∴∠BOC 是二面角 B-AO-C 的平面角, 又∵二面角 B-AO-C 是直二面角. ∴CO⊥BO. 又∵AO∩BO=O, ∴CO⊥平面 AOB. 又 CO?平面 COD, ∴平面 COD⊥平面 AOB.

(2)解:作 DE⊥OB,垂足为 E,连接 CE(如图),则 DE∥ AO.

∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. 1 在 Rt△OCB 中,CO=BO=2,OE= BO=1, 2 ∴CE= CO2+OE2= 5. 1 又 DE=2AO= 3, CE 5 15 ∴在 Rt△CDE 中,tan∠CDE=DE= = 3 . 3 15 即异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是 3 .

(3)解:由(1)知,CO⊥平面 AOB, ∴∠CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角, OC 2 且 tan∠CDO= = . OD OD ∴当 OD 最小时,tan∠CDO 最大, 这时,OD⊥AB,垂足为 D, OA· OB 2 3 OD= AB = 3,tan∠CDO= 3 , 2 3 即 CD 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值是 3 .

[例 4]

如图所示,四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是

正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD.

(1)求证:AB⊥平面 VAD; (2)求平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的正切值. [分析] 掌握构造二面角的三种方法.

[解析]

如图所示,

(1)证明:由于△VAD是正三角形,设AD的中点为E,则 VE⊥AD,而平面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥AB.又平面ABCD 是正方形,则AB⊥AD,故AB⊥平面VAD.

(2)解:设 VD 的中点为 F,连接 AF,BF. 由△VAD 是正三角形,得 AF⊥VD. 又 AB⊥平面 VAD,VD?平面 VAD,所以 AB⊥VD. 而 AF∩AB=A,所以 VD⊥平面 AFB. 又 BF?平面 AFB,所以 BF⊥VD,故∠AFB 是平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的平面角. 设正方形 ABCD 边长为 a, 3 则由△VAD 为正三角形可知,AF= a, 2

AB a 2 3 即 tan∠AFB=AF= = 3 . 3 a 2 2 3 故平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的正切值为 . 3

规律总结:用垂面法作二面角的平面角,然后把平面角 归结在某一个三角形中求解.

思想 1

转化思想

1.通过添加辅助线或辅助面,将空间几何问题转化为平 面几何问题,这是一种降维转化思想. 2.线线、线面、面面的位置关系,通过转化思想建立联 系,从而揭示本质. 3. 点面距、 线面距、 面面距、 点线距之间也可相互转化. 例 如,求点面距时,可沿平行线平移,找到一个合适的点再来求 点面距离,这就体现了它们之间的相互转化.

[例 5]

如图所示,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,

AD⊥平面 ABC,AE⊥BD 于 E,AF⊥CD 于 F.

求证:BD⊥平面 AEF.

[分析]

要证 BD⊥平面 AEF,已知 BD⊥AE,可证 BD⊥

EF 或 AF;由已知条件可知 BC⊥平面 ADC,从而 BC⊥AF, 故关键环节就是证 AF⊥平面 BDC,由 AF⊥DC 即可获证.

[解析]

∵AB 为⊙O 直径,C 为⊙O 上一点,

∴BC⊥AC, ? DA⊥平面ABC? ? ??DA⊥BC ? ? BC?平面ABC ? ? ? ? BC⊥AC ? AC∩DA=A ?

?BC⊥平面DAC? ? ?? AF?平面DAC ? ?

? BC⊥AF ? ? ? ? AF⊥DC ? BC∩DC=C ?

? ?AF⊥平面DCB ? ? ?? BD⊥AF ? ? BD?平面DCB? ? ? ? BD⊥AE ? AF∩AE=A ? ?BD⊥平面AEF.

规律总结:证明线面垂直可转化为证线线垂直,而要证 线线垂直又转化为证线面垂直, 本题就是通过多次转化而获得 证明的, 这是证垂直问题的一个基本规律, 须熟悉其转化 关系. ..

[例 6]

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD

是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)求证:PA∥平面 EDB; (2)求证:PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小.

[分析]

本题(1)(2)考查线面关系,应充分考虑平行、垂直

的判定定理与性质定理以及转化思想的运用; (3)考查空间角 的求解,利用定义找出二面角的平面角是解决问题的关键所 在.

[解析] 连接 EO.

(1)证明:如图所示,连接 AC,AC 交 BD 于 O,

∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,∵EO 是中位线, ∴PA∥EO. 又∵EO?平面 EDB,PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB.

(2)证明:∵PD⊥底面 ABCD,DC?底面 ABCD, ∴PD⊥DC. ∵PD=DC,∴△PDC 是等腰直角三角形. 又 DE 是斜边 PC 的中线,∴DE⊥PC. 由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,∴DC⊥BC. ∴BC⊥平面 PDC. 又 DE?平面 PDC,∴BC⊥DE. 由①和②得 DE⊥平面 PBC. ② ①

而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB,而 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD.

(3)解:由(2)知 PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C-PB-D 的平面角, 由(2)知 DE⊥EF,PD⊥DB. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 则 PD=DC=a,BD= 2a, 1 2 DE= PC= a, 2 2 PD· BD a· 2a 6 在 Rt△PDB 中,DF= = = a. PB 3 3a

2 a DE 2 3 在 Rt△DEF 中,sin∠EFD=DF= =2, 6 3a π π 所以∠EFD= ,即二面角 C-PB-D 的大小为 . 3 3


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