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2018年高考数学(理科)模拟试卷(一)


1.设集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元素的个数是( A.6 B. 5 C.4 D.3 1.B 解析:由题意,A∩Z={1,2,3,4,5},故其中的元素的个数为 5.故选 B. 2.某四棱锥的三视图如图 M11,该四棱锥最长棱的棱长为( )

)

图 M11 A.1 B. 2 C. 3 D.2

2.C 解析:四棱锥的直观图如图 D188:由三视图可知,SC⊥平面 ABCD,SA 是四棱 锥最长的棱,SA= SC2+AC2= SC2+AB2+BC2= 3.故选 C.

图 D188 3.曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( π π π π A. B. C. D. 6 3 4 2 π 3.C 解析:f′(x)=3x2-2,f′(1)=1,所以切线的斜率是 1,倾斜角为 . 4 4.执行如图 M12 所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为( )

)

图 M12 A.1 B.2 C.3 D.4

4.B 解析:输入 a=1,则 k=0,b=1; 1 进入循环体,a=- ,否,k=1,a=-2,否,k=2,a=1, 2 此时 a=b=1,输出 k,则 k=2.故选 B.

5.某市重点中学奥数培训班共有 14 人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成 绩的茎叶图如图 M13,其中甲组学生成绩的平均数是 88,乙组学生成绩的中位数是 89,则 m+n 的值是( )

图 M13 A.10 B.11 C.12 D.13 78+88+84+86+92+90+m+95 5.C 解析:由题意,得 =88,n=9.所以 m+n=12. 7 故选 C. 6.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知分别生产 1 吨甲、乙产品 需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( 项目 A/吨 B/吨 A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 6.D 解析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨,则利润 z=3x+4y. 3x+2y≤12, ? ?x+2y≤8, 由题意可得? x≥0, ? ?y≥0. 甲 3 1 ) 乙 2 2 原料限额 12 8

其表示如图 D189 阴影部分区域:

图 D189 当直线 3x+4y-z=0 过点 A(2,3)时,z 取得最大值,所以 zmax=3×2+4×3=18.故选 D.

7..已知函数 f(x)=sin2 则 ω 的取值范围是( 1? A.? ?0,8? 5? C.? ?0,8? )

ωx 1 1 + sin ωx- (ω>0),x∈R.若 f(x)在区间(π,2π)内没有零点, 2 2 2

1? ?5 ? B.? ?0,4?∪?8,1? 1? ?1 5? D.? ?0,8?∪?4,8?

1-cos ωx sin ωx 1 π? π? 2 ? 10.D 解析:f(x)= + - = sin? ?ωx-4?,f(x)=0?sin?ωx-4?=0, 2 2 2 2 π kπ+ 4 所以 x= (π,2π),(k∈Z). ω 1 1? ?5 5? ?9 9? ?1 1? ?5 ? ? 1? ?1 5? 因此 ω ? ?8,4?∪?8,4?∪?8,4?∪…=?8,4?∪?8,+∞??ω∈?0,8?∪?4,8?.故选 D. 8.四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形,PA⊥底面 ABCD,AB=2,若该四棱锥的 243π 所有顶点都在体积为 的同一球面上,则 PA=( 16 A.3 7 B. 2 C.2 3 9 D. 2 )

8.B 解析:如图 D190,连接 AC,BD 交于点 E,取 PC 的中点 O,连接 OE,则 OE 1 ∥PA,所以 OE⊥底面 ABCD,则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等,即 O 为球心, PC= 2 1 1 1 4 243π 7 PA2+8?3= PA2+AC2= PA2+8,所以由球的体积可得 π? ,解得 PA= .故选 B. ? 2 2 3 ?2 16 2

图 D190 9.平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=________. 13.2 解析:a=(1,2),b=(4,2),则 c=ma+b=(m+4,2m+2),|a|= 5,|b|=2 5, 5m+8 c· a c· b a· c=5m+8,b· c=8m+20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,∴ = .∴ = |c|· |a| |c|· |b| 5 8m+20 .解得 m=2. 2 5 x2 y2 10.设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点,若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰 a b 为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为__________. 解析:根据双曲线的对称性,不妨设 F(c,0),虚轴端点为(0,b),从而可知点(- c2 4b2 c,2b)在双曲线上,有 2- 2 =1,则 e2=5,e= 5. a b 10. 5

1 11.在区间[0,π]上随机地取一个数 x,则事件“sin x≤ ”发生的概率为________. 2 π 5π 1 0, ?∪? ,π?时,sin x≤ . 解析:由正弦函数的图象与性质知,当 x∈? 6 6 ? ? ? ? 2 ?π-0?+?π-5π? 6? 1 ?6 ? ? 所以所求概率为 = . π 3 12. 已知{an}是各项均为正数的等比数列, {bn}是等差数列, 且 a1=b1=1, b2+b3=2a3, 1 11. 3 a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.
2 ? ?2q -3d=2, 12. 解: (1)设{an}的公比为 q, {bn}的公差为 d, 由题意知 q>0.由已知, 有? 4 ?q -3d=10. ?

消去 d,得 q4-2q2-8=0.解得 q=2,d=2. - 所以{an}的通项公式为 an=2n 1,n∈N*, {bn}的通项公式为 bn=2n-1,n∈N*. - (2)由(1)有 cn=(2n-1)2n 1,设{cn}的前 n 项和为 Sn, - 则 Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n 1, 1 2 3 n 2Sn=1×2 +3×2 +5×2 +…+(2n-1)×2 . 两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3. 所以 Sn=(2n-3)· 2n+3,n∈N*. 13.设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4, 各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 13.解:记 A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2. B 表示事件:甲需使用设备. C 表示事件:丁需使用设备. D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. (1)因为 P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2×0.52,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1· B· C+A2· B+A2·B · C)=P(A1· B· C)+P(A2· B)+P(A2·B · C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( B )P(C)=0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,其分布列为 P(X=0)=P( B · A0·C ) =P( B )P(A0)P( C ) =(1-0.6)×0.52×(1-0.4) =0.06, P(X=1)=P(B· A0·C + B · A 0· C+ B · A1·C ) =P(B)P(A0)P( C )+P( B )P(A0)P(C)+P( B )P(A1)P( C ) =0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25, P(X=4)=P(A2· B· C)=P(A2)P(B)P(C)

=0.52×0.6×0.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38, 所以 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4) =0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.

14.设函数 f(x)=ln x-x+1. (1)讨论 f(x)的单调性; x-1 (2)证明当 x∈(1,+∞)时,1< <x; ln x (3)设 c>1,证明当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. 1 14.解:(1)由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -1,令 f′(x)=0,解得 x=1. x 当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. (2)由(1)知,f(x)在 x=1 处取得最大值,最大值为 f(1)=0. 所以当 x≠1 时,ln x<x-1. x-1 1 1 故当 x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln < -1,即 1< <x. x x ln x (3)由题设 c>1,设 g(x)=1+(c-1)x-cx, 则 g′(x)=c-1-cxln c. c-1 ln ln c 令 g′(x)=0,解得 x0= . ln c 当 x<x0 时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 当 x>x0 时,g′(x)<0,g(x)单调递减. c-1 由(2)知,1< <c,故 0<x0<1. ln c 又 g(0)=g(1)=0,故当 0<x<1 时,g(x)>0. 所以 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.

15.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A,左焦点为 F1(-2, 0), 点 B(2, 2)在椭圆 C 上,直线 y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理 由. x2 y2 15.解:(1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 因为椭圆的左焦点为 F1(-2,0),所以 a2-b2=4.① 4 2 因为点 B(2, 2)在椭圆 C 上,所以 2+ 2=1.② a b

由①②,解得 a=2

2,b=2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)因为椭圆 C 的左顶点为 A,则点 A 的坐标为(-2 2,0). x2 y2 因为直线 y=kx(k≠0)与椭圆 + =1 交于两点 E,F, 8 4 设点 E(x0,y0)(不妨设 x0>0),则点 F(-x0,-y0). y=kx, ? ?2 2 8 联立方程组?x y 消去 y,得 x2= . 1 + 2k 2 ? 8 + 4 =1 ? 2 2 2 2k ,则 y0= . 1+2k2 1+2k2 k 所以直线 AE 的方程为 y= (x+2 2). 1+ 1+2k2 因为直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N, 2 2k ?0, 2 2k ? 令 x=0 得 y= ?. 2,即点 M? ? 1+ 1+2k2? 1+ 1+2k 所以 x0= 2 2k ? ? 同理可得点 N?0, ?. ? 1- 1+2k2? ? 2 2k - 2 2k ? 2 2?1+2k2? 所以|MN|=? . ?= |k| ?1+ 1+2k2 1- 1+2k2? 2 设 MN 的中点为 P,则点 P 的坐标为 P?0,- ?. k? ? 2 ? 2?1+2k2??2,即 x2+y2+2 2y=4. 则以 MN 为直径的圆的方程为 x2+?y+ ?2=? ? k k? ? ? |k| ? 2 令 y=0,得 x =4,即 x=2 或 x=-2. 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1(2,0),P2(-2,0),
? ?x=2cos θ, 16.已知曲线 C 的参数方程是? (θ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ?y=sin θ ?

4π? 轴为极轴建立极坐标系,A、B 的极坐标分别为 A(2,π)、B? ?2, 3 ?. (1)求直线 AB 的直角坐标方程; (2)设 M 为曲线 C 上的动点,求点 M 到直线 AB 距离的最大值. 4π 4π 2cos ,2sin ?,即 A,B 16.解:(1)将 A、B 化为直角坐标为 A(2cos π,2sin π),B? 3 3? ? 的直角坐标分别为 A(-2,0),B(-1,- 3), - 3-0 kAB= =- 3, -1+2 ∴直线 AB 的方程为 y-0=- 3(x+2), 即直线 AB 的方程为 3x+y+2 3=0. (2)设 M(2cos θ,sin θ),它到直线 AB 的距离 |2 3cos θ+sin θ+2 3| | 13sin?θ+φ?+2 3| d= = , 2 2 13+2 3 ∴dmax= . 2


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