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函数的值域与最值学习教育课件PPT


第4讲 函数的值域与最值 理解函数的单调性、值域和最 值的概念;掌握求函数的值域和最 值的常用方法与变形手段. 1.函数y=3x(-1≤x≤3,且x∈Z)的值 域是 {-3,0,3,6,9} . 由-1≤x≤3,且x∈Z?x=-1,0,1,2,3, 代入y=3x,得所求值域为{-3,0,3,6,9}. 1 2.函数f(x)= 2 (x∈R)的值域是( B ) 1? x A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 1 函数f(x)= 1 ? x 2 (x∈R),所以1+x2≥1, 所以原函数的值域是(0,1]. 3.函数f(x)=x2-2x(x∈[0,4])的最大值 是 8 ,最小值是 -1 . f(x)=(x-1)2-1. 当x=1时,f(x)min=-1; 当x=4时,f(x)max=42-2×4=8. 1 4.函数f(x)= x ? (x≤-1/2)的值域是 (-∞,-2]. x 1 x ? 取最大值-2. 当x=-1时, x 5. 已 知 x≥0 , y≥0 , 且 x+2y=1 , 则 3 2x+3y2的最小值为 4 . 因为x+2y=1,x≥0,y≥0, 所以0≤2y≤1?0≤y≤ 2x+3y2=2-4y+3y2=3(y- 2 )2+ 2 , 3 3 1 所以当y= 时, 2 1 2 2 2 3 2 (2x+3y )min=3( - ) + = . 3 4 2 3 1 ,2 1.函数的值域与最值 (1)函数的值域是① 函数值 的集合,它是由定义 域和对应法则共同确定的,所以求值域时应 注意函数的② 定义域 . (2)函数的最值. 设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满 足: (ⅰ) 对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M;(ⅱ) 存 在 x0∈I, 使 得 f(x0)=M, 则 称 M 是 函 数 y=f(x) 的 ③ 最大值 .类似地可定义f(x)的最小值. 2.基本初等函数的值域 (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为④ R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域: 4ac ? b 2 ,+∞) ; 当a>0时,值域为⑤ [ 当a<0时,值域为⑥ (-∞, . k (3)反比例函数y= (k≠0)的值域为⑦ {y|y≠0} . xx (4) 指 数 函 数 y=a (a>0 且 a≠ 1 ) 的 值 域 为 ⑧ (0,+∞) . 4a 4ac ? b 2 ] 4a (5)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为 R. ⑨ (6) 正 、 余 弦 函 数 y=sinx(x∈R) 、 [-1,1] ;正切 y=cosx(x∈R)的值域为⑩ ? 函 数 y=tanx(x≠kπ+ ,k∈Z) 的 值 域 2 为 11 R . 3.求函数的值域(最值)常用的方法 (1)二次函数用配方法. (2)单调性法. (3)复合函数的值域由中间变量的范围确定. 此外还有换元法、数形结合法、基本不等式 法等. (4)导数法(选修内容). 4. 若 f(x) 为闭区间[ a,b ]上的连续函数,则 f(x)在[a,b]上一定有最大、最小值. 典例精讲 题型一 值域与最值的关系 例1 已知函数 y=f(x) 的值域为集合 D , 函数y=f(x)的最大值、最小值分别为 M、 N,则M、N、D的关系是( ) D A.D=[N,M] B.M>D>N C.D? ? [N,M] D.M、N∈D 不妨设 f(x)=3x(-1≤x≤3

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