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江西省师大附中2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(含解析)

江西师大附中高一年级下学期期中数学试卷
命题人:蔡卫强 审题人:郑永盛 2016.4 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 若 0 ? b ? a ,下列不等式中不 一定成立的是( ) . A.

1 1 ? a ?b b

B.

1 1 ? a b

C. a ? b

D. ?a ? ?b ? 0

答案:A

知识点:不等式的性质 难度:1

解析:由题意知,因为 0 ? b ? a ,所以 a ? b ? 0 与 b ? 0 的大小关系不确定,所以无法 比较

1 1 ,故选 A ? 的大小(或者采用特殊值代入验证) a ?b b

2. 下列命题中正确的是

( ) 1 A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? ?2 lg x B.当 x ? 0时, x ? 1 ? 2 x

sin ? ? C.当 0 ? ? ? ? 时,

2

2 的最小值为 2 2 sin ?

D.当 0 ? x ? 2时, x ? 答案:B

1 无最大值 x

知识点:基本不等式 难度:2

解析:A 选项中不满足基本不等式中正数的条件,C 选项中等号取不到,D 选项中有最 大值,所以排除 A,C,D,故选 B。 3. △ ABC 中,已知下列条件:①b=3,c=4,B=30° ;②a=5,b=8,A=30° ;③c=6, b=3 3,B=60° ;④c=9,b=12,C=60° .其中满足上述条件的三角形有两解的是( ) A.①④ B.①② C.①②③ D.③④ 答案:B 知识点:正余弦定理 难度:2 解析:③只有一解,④无解,所以排除 A,C,D,故选 B。 4. 在 中,内角 ABC ,已知 A,B,C 成等差,且 a,b,c , , 所对的边分别为 a, b, c ? A B C D.钝角三角形

成等比,则三角形一定是( ) A. 等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 答案:A 知识点:等差、等比中项 、正余弦定理 难度:2

解析:由 A,B,C 成等差,得 B=60°,由 a,b,c 成等比,结合余弦定理得 a=c,故选 A。 5. 设 x ? 0, y ? 0 ,若 x lg 2,lg 2, y lg 2 成等差数列,则
1

1 16 ? 的最小值为( x y



A. 9 答案:C

B.16 C.25 D. 32 知识点:1.等差数列中项公式;2.基本不等式;3.对数运算. 难度:3

解析:由已知得 x ? y ? 1,?原式= ? x ? y ? ?

? 1 16 ? y 16 x ? ? ? 17 ? ? ? 25 x y ?x y ?

6.某人为了观看 2018 年足球世界杯,从 2014 年起,每年的 5 月 1 日到银行存入 a 元的 定期储蓄,若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一 年的定期, 到 2018 年的 5 月 1 日将所有存款及利息全部取出, 则可取出钱(元)的总数为( )

A. a ?1 ? p ?
答案:D

4

B. a ?1 ? p ?

5

C.

a? 4 1 ? p ? ? ?1 ? p ? ? ? ? p?

D.

a? 5 1 ? p ? ? ?1 ? p ? ? ? ? p?

知识点:等比数列求和公式 难度:3

解析:依题意,可取出钱的总数为 ?1 +p? [1 -? 1 +p?4] a a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)=a· = [(1+p)5-(1+p)]. p 1-? 1 +p? 7. 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案:C 知识点:基本不等式 难度:3

? x ? 2y ? 解析: 由已知得8- ? x ? 2 y ? ? 2 xy ? ? ? , 解得x ? 2 y ? 4 , 故选C。 ? 2 ?
8. 等差数列{an}中, a5<0,a6>0 且 a6>|a5|, Sn 是数列的前 n 项的和, 则下列正确的是 ( ) A.S1,S2,S3 均小于 0, S4,S5,S6 …均大于 0 B. S1,S2,…S5 均小于 0 , S6,S7 …均大于 0 C.S1,S2,…S9 均小于 0 , S10,S11 …均大于 0 D. S1,S2,…S11 均小于 0 ,S12,S13 …均大于 0 答案:C 知识点:1.等差数列的性质 2.等差数列求和公式 难度:3 解析: 由已知可得?an ?递增,S9 ? 9a5 ? 0, S10 ? 5? a5 ? a6 ? ? 0, 故选C。
a 的取值范围是 9. M ? {x | 5 ? x ≥ 2( x ? 1)} ,N ? x x2 ? ax ? x ? a , 当 M ? N 时, (

2

?

?



A a ?3. B. a ? 3 C. a ? 3 D. a ? 3 答案:D 知识点:1.无理不等式、一元二次不等式的解法 2.真子集的概念 解析: 10. 在

难度:3

由已知得 M ? ?1,3? , N ? ?1, a? , ? M ? N, ?a ? 3. 故选D。

3

的面积为 , , 所对的边分别为 a, b, c ,已知 ? ? A B C中,内角 ABC A B C 1 b ? c ? 2, cos A ? ? , ). 1 ,5 4 则 a 的值为( B.8 C.4 D.2 知识点:同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理. 难度:3
2

A.16 答案:B

11. 已知

15 1 , S ? bc sin A ? 3 15 ,? bc ? 24 , 又b ? c ? 2 4 2 ? b ? 6, c ? 4 ,由余弦定理可得a ? 8 , 故选B。 解析:由已知得 sin A ?

a, b, c 分 别 为 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a =3 , 且
A. 3 B.3 3 C. 5 4 3 D. 9 4 3

( 3 ?b

? ABC 面积的最大值为( ) (A s? i n B ?s ic n ? b) C ) s i n ,则 (



答案:D 知识点:三角形面积公式、正余弦定理、基本不等式. 难度:4 解析:由 a ? 3 且 (3 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , 即 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,由及正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ∴ b ? c ? a ? bc ,故 cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,∴ ?A ? 600 ,∴ b2 ? c2 ? 9 ? bc 2bc 2

9 ? b2 ? c 2 ? bc ? bc ,∴ S?ABC ?
12. 数列 {an } 的通项 an ? n cos
2

1 9 3 bc sin A ? 2 4

A. 1840 答案:A 解析:由于 {cos

2n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S60 为( ) 3 B. 1860 C. 1880 D. 2010
难度:4

知识点:数列求和

2n? } 以 3 为周期,故 3

S60 ? ( ?

12 ? 22 42 ? 52 582 ? 592 ? 32 ) ? ( ? ? 62 ) ? ? ? ( ? ? 602 ) 2 2 2

3

? ?[ ?
k ?1

20

20 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ? 20 ? 21 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 50 ? 1840 故选 A 2 2 2 k ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.不等式 ax2+2ax+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 答案: [0,1] 知识点:不等式的解法 难度:2 解析 当 a=0 时,不等式为 1≥0 恒成立;
? ? ?a>0, ?a>0, 当 a≠0 时,须? 即? 2 ∴0<a≤1,综上 0≤a≤1. ?Δ≤0, ?4a -4a≤0. ? ?

14. f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f (1 ? x ) ?

1 2 n ?1 ) ? f (1) ,则 an= an = f (0) + f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( n n n n ?1 答案: 知识点:数列求和 难度:2 4 ?1? ?2? ? n ?1? 解析: ? an ? f ? 0 ? ? f ? ? ? f ? ? ? ............. ? f ? ? ? f ?1? ?n? ?n? ? n ? ? n ?1? ?n?2? ?1? 又an ? f ?1? +f ? ?? f ? ? ? ........ ? f ? ? ? f ? 0 ? ? n ? ? n ? ?n? n ?1 ? 两式相加可得 an ? 4
15. 数列{an}满足递推式:an+1=3an+3
n+1

1 . 数列 ?a n ?满足: 2

?1? ?2?

an 2 +λ· 2n,若数列{3n-(3)n}为等差数列,则
难度:3

实数 λ=________. 答案:λ=-1.知识点:递推数列、 等差数列的定义

an+1 an λ 2n + + 解析: 将递推式 an+1=3an+3n 1+λ2n 两边同除以 3n 1,整理得 n+1= n+1+ · ( ) .两 3 3 3 3 an+1 2 + an λ-2 2 n λ-2 2 + an 2 边同减( )n 1,整理得 n+1-( )n 1= n+ · ( ) +1,由于{ n-( )n}为等差数列,∴ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 =-1,∴λ=-1. 16. 设 a>0,b>0,a2+ 答案:

b2 =2,则 a 1 ? b 2 的最大值是____________. 2

5 2 4

知识点:基本不等式 难度:4

4


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