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(十) 平面向量


小题精练(十) 平面向量 π 1.已知非零向量 a,b 满足向量 a+b 与向量 a-b 的夹角为 ,那么下列结论 2 中一定成立的是( )A.|a|=|b| B.a=bC.a⊥b D.a∥b )

2.已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),若 a⊥(2a-b),则 k 等于( A.6 B.-6C.12 D.-12

3.定义:|a×b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量 a 与 b 的夹角,若 |a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( A.-8 B.8C.-8 或 8 D.6 )

→=(1,2),BD →=(-4,2),则该四边形的面积 4.在四边形 ABCD 中,AC 为( )A. 5 B.2 5C. 5 D.10

5.已知 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量→ AB在向量→ CD 上的投影为( )A. 10 5 2 10 3 10 B. C. 5 5 4 10 D. 5

6.已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6, 则

x1+y1 的值为( x2+y2

2 )A. 3

2 5 B.- C. 3 6

5 D.- 6

7.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,a=i+2j,b=-i+λj,且 a 与 b 夹 角为钝角,则λ的取值范围是(
? ? 1? ?1 A.?-∞, ? B.? ,+∞? 2? ?2 ? ? ? ? 1? ? 2? ?2 C.(-∞,-2)∪?-2, ?D.?-2, ?∪? ,+∞? 2? ? 3? ? 3 ? ? ?π π? 8.若函数 f(x)=2sin? x+ ? (-2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A, 3? ?6

)

过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点,则 (→ OB+→ OC)·→ OA=( A.-32 B.-16C.16 D.32

)

→=0,则△ABC 的面积和△AOC 的面 9.设 O 在△ABC 的内部,且有→ OA+2→ OB+3OC 积之比为( )A.3 5 B. C.2 3 3 D. 2

10.已知点 O(0,0),A0(0,1),An(6,7),点 A1,A2,?,An-1(n∈N,n≥2)是 →0+OA →1+?+OAn-1+OA →n|等于( 线段 A0An 的 n 等分点,则|OA A.5n B.10nC.5(n+1) D.10(n+1) )条件 )

11.设 a,b 为向量,则“|a·b|=|a|· |b|”是“a//b”的(

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 12.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD= 3,P 为矩形内一点,且 AP= → AB+μ→ AD(λ,μ∈R),则λ+ 3μ的最大值为( 3 A. 2 B. 6 3+ 3 C. 2 4 D. 6+3 2 4 ) 3 ,若→ AP=λ 2

1 13.在△ABC 中,已知 D 是边 AB 上的一点,若→ AD=2→ DB,→ CD= → CA+λ→ CB,则= 3 14.向量 a=(cos 10°,sin 10°),b=(cos 70°,sin 70°),则|a-2b|=_. 15.在△ABC 中,AB=10,AC=6,O 为 BC 的垂直平分线上一点,则→ AO·→ BC=_. 16.下列命题中真命题的编号是________.(填上所有正确的编号)①向量 a 与向量 b 共线, 则存在实数λ使 a=λb(λ∈R);②a,b 为单位向量,其夹角为θ,若|a-b|>1,则 π <θ 3

≤π③A,B,C,D 是空间不共面的四点,若 → AB·→ AC=0,→ AC·→ AD=0,→ AB·→ AD=0,则△BCD 一 定是锐角三角形;④向量→ AB,→ AC,→ BC满足|→ AB|=|→ AC|+|→ BC|,则 → AC与→ BC同向;⑤若向量 a∥b,

b∥c,则 a∥c.

小题精练(十) 1.解析:选 A.由题意知(a+b)·(a-b)= 0, 即|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|. 2.解析:选 C.因为 a⊥(2a-b),所以 a·(2a-b)=0,即 2|a|2-a·b=0, 所以 2( 5)2-(-2+k)=0,解得 k=12,选 C. 3.解析:选 B.∵cos θ= 4 =2×5× =8. 5 4.解析:选 C.先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直,再求面积. 1 →· → →⊥→ ∵AC BD=(1, 2)· (-4, 2)=-4+4=0, ∴AC BD, ∴S 四边形 ABCD= |→ AC|· |→ BD 2 1 |= × 5×2 5=5. 2 →=(2,2),CD →=(-1,3),|CD →|= 10,→ →= 5.解析:选 B.依题意得AB AB·CD →上的投影等于 4 =2 10. -2+6=4,向量→ AB在向量CD 5 10 6.解析:选 B.由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0, 2 2 x1+y1 2 即 3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),得 x1=- x2,y1=- y2,故 =- . 3 3 x2+y2 3 7.解析:选 C.由题意知 a=(1,2),b= (-1,λ),

a·b -6 3 4 = =- ,∴sin θ= ,∴|a×b| |a||b| 2×5 5 5

a·b<0?-1+2λ<0?λ< .当 a 与 b 的夹角为π时,λ+2=0 即λ=-
? 1? 2.综上知,λ的取值范围是(-∞,-2)∪?-2, ?. 2? ?

1 2

8.解析:选 D.由题意知,点 A(4,0),根据三角函数的图象,点 B、C 关于

→)·→ 点 A 对称,设 B(x1,y1),则 C(8-x1,-y1).故(→ OB+OC OA=8×4=32. →) 9.解析:选 A.设 AC、BC 的中点分别为 M、N,则已知条件可化为(→ OA+OC →)=0,即→ →=0,所以→ →,说明 M、O、N 共线,即 O +2(→ OB+OC OM+2ON OM=-2ON 为中位线 MN 上的三等分点. 2 2 1 1 OM= MN= × AB= AB 3 3 2 3 OM 1 ∴ = AB 3 S△ABC AB ∴ = =3. OM S△AOC →0+OA →1+OA →2=(0,1)+(3,4)+(6,7)=(9, 10.解析:选 C.取 n=2,则OA →0+OA →1+OA →2|= 92+122=15,把 n=2 代入选项中,只有 5(n 12),所以|OA +1)=15,故排除 A、B、D,选 C. 11.解析:选 C.先讨论平面向量共线的条件,再结合充要条件的概念求解. 若|a·b|=|a||b|, 若 a,b 中有零向量,显然 a∥b; 若 a,b 均不为零向量,则 |a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, ∴|cos〈a,b〉|=1, ∴〈a,b〉=π或 0, ∴a∥b,即|a·b|=|a||b|? a∥b. 若 a∥b,则〈a,b〉=0 或π, ∴|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, 其中,若 a,b 有零向量也成立,

即 a∥b? |a·b|=|a||b|. 综上知, “|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.
? 3? →=λAB →+μAD →, →|2=|λ→ 12. 解析: 选 B.因为AP 所以|AP AB+μ→ AD|2, 所以? ? ? 2 ?

2 →|2+μ2|AD →|2+2λμ·→ →,因为 AB=1,AD= 3,AB⊥AD,所 =λ2|AB AB·AD 3 3 3 以 =λ2+3μ2.又 =λ2+3μ2≥2 3λμ,所以(λ+ 3μ)2= +2 3λμ 4 4 4 3 3 3 6 6 2 ≤ + = ,所以λ+ 3μ的最大值为 ,当且仅当λ= ,μ= 时取 4 4 2 2 4 4 等号. 2→ →= 2→ →=→ →+2→ →+2 13.解析:因为AD DB,所以→ AD= AB ,又CD CA+→ AD=CA AB=CA 3 3 3 2→ 2 ?→ →?=1→ CA + CB ,所以 λ = . ?CB-CA? 3 3 3 2 答案: 3 14.解析:∵a-2b=(cos 10°-2cos 70°, sin 10°-2sin 70°), ∴|a-2b|= (cos 10°-2cos 70°)2+(sin 10°-2sin 70°)2 = 5-4cos 60°= 3. 答案: 3 →=(→ →)·→ →·→ 15.解析:取 BC 边的中点 D,连接 AD,则→ AO·BC AD+DO BC=AD BC+ 1 1 → →·→ →)=1(→ DO·→ BC=AD BC= (→ AB+→ AC)·(→ AC-AB AC2-→ AB2)= (62-102)=-32. 2 2 2 答案:-32 16.解析:①不是真命题,当 b= 0 时,命题不成立;对于②, |a- b|=

a2-2a·b+b2= 1-2cos θ+1>1, 解得 cos θ< , 因为向量夹角范围
?π ? 是[0,π],所以θ∈? ,π?;对于③,易知,BD>AB,CD>AC,所以 BD2 ?3 ?

1 2

+CD2>AB2+AC2=BC2,所以∠BDC 是锐角,同理可证其余两边所对的角都是 锐角,所以△BCD 一定是锐角三角形;④不对,当 C 点位于线段 AB 上时,满 足题设条件,但是两向量是反向的;⑤不对,当 b=0 时,命题就不成立. 答案:②③


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