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平面向量习题精选精讲


习题精选精讲 向量知识点归纳与常见题型总结 一、向量知识点归纳 1.与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量,数量是只有大小的量(称标量) ,而向量既有大小又有方向;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的 模才能比较大小.记号“ a > b ”错了,而| a |>| b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关, 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 (大小和方向) 故我们只研究与起点无关的向量 , (既自由向量) . 当遇到与起点有关向量时,可平移向量. ⑶平行向量(既共线向量)不一定相等,但相等向量一定是平行向量,既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为 1 的向量,其坐标表示为( x, y ),其中 x 、 y 满足
?

x2 ? y2

=1(可用(cos ? ,sin ? ) (0≤ ? ≤2π )表示).

特别:

AB
?

?

表示与

AB 同向的单位向量。

| AB |
???? ??? ? AC AB ??? ? ???? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线); ? 例如:向量 ? ( | AB | | AC |
??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC ? ? 例 1、O 是平面上一个定点,A、B、C 不共线,P 满足 OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) ? ? ? [0, ??). 则点 P 的轨迹一定通过三角形的内 | AB | | AC
心。 → → → → AB AC AB AC 1 → → → (变式)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( ) → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06 陕西)

⑸ 0 的长度为 0,是有方向的,并且方向是任意的,实数 0 仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段. (7)相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。) 2.与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加,其和仍是一个向量.(三角形法则和平行四边形法则) ①当两个向量 a 和 b 不共线时, a

? b 的方向与 a 、 b 都不相同,且| a ? b |<| a |+| b |; ? b 、 a 、 b 的方向都相同,且 | a ? b |? | a | ? | b | ;

②当两个向量 a 和 b 共线且同向时, a

③当向量 a 和 b 反向时,若| a |>| b |, a ? b 与

a 方向相同

,且| a ? b |=| a |-| b |;

若| a |<| b |时, a ? b 与 b 方向相同,且| a + b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减,其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和;平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB

1

习题精选精讲
?

例 2:P 是三角形 ABC 内任一点,若 CB A、 ?ABC 内部
2

? ? PA? PB, ? ? R ,则 P 一定在(
C、AB 边上

?

?



B、AC 边所在的直线上

D、BC 边上 D.等腰 Rt△特别的: a ? b ? a ? b ? a ? b ,

例 3、若

AB·BC ? AB ? 0 ,则△ABC 是:A.Rt△

B.锐角△ C.钝角△

例 4、已知向量 a

? (cos? , sin ? ),b ? ( 3,?1) ,求 | 2a ? b | 的最大值。

分析:通过向量的坐标运算,转化为函数(这里是三角)的最值问题,是通法。 解:原式= | (2 cos?

? 3,2 sin ? ? 1) |? (2 cos ? ? 3 ) 2 ? (2 sin ? ? 1) 2

=

5? ? (k ? Z ) 时, | 2a ? b | 有最大值 4 . 8 ? 8 sin(? ? ) 。当且仅当 ? ? 2k? ? 6 3

评析:其实此类问题运用一个重要的向量不等式“

|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

”就显得简洁明快。原式

。 ? | 2a | ? | b | = 2 | a | ? | b |? 2 ?1 ? 2 ? 4 ,但要注意等号成立的条件(向量同向) ⑶围成一周(首尾相接)的向量(有向线段表示)的和为零向量. 如,

AB ? BC ? CA ? 0 ,(在△ABC 中) AB ? BC ? CD ? DA ? 0 .(□ABCD 中)
对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ使 a=λb. ∈R) ,那么 a ∥ b ;

⑷判定两向量共线的注意事项:共线向量定理 如果两个非零向量 a , b ,使 a =λ

b (λ

反之,如 a ∥ b ,且 b ≠0,那么 a =λ

b. b 的方向规定为平行.

这里在“反之”中,没有指出 a 是非零向量,其原因为 a =0 时,与λ ⑸数量积的 8 个重要性质

①两向量的夹角为 0≤ ? ≤π .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值,其射影值可正、可负、可以 为零,故向量的数量积是一个实数. ②设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 e ? a ③a

? a ? e ? | a | ? cos? .(?| e | ? 1)

? b ? a ? b ? 0 (∵ ? =90°, cos? ? 0)
? a = 0 或 b = 0 是错误的,故 a ? 0 或 b ? 0 是 a ? b =0 的充分而不

④在实数运算中 ab =0 ? a =0 或 b=0.而在向量运算中 a ? b = 0 必要条件. ⑤当 a 与 b 同向时 a ? b = | a | ? | b | ( ? =0,cos ? =1);

当 a 与 b 反向时, a ? b =- | a | ? | b | ( ? =π ,cos ? =-1),即 a ∥ b 的另一个充要条件是 | a ? b |? | a | ? | b | .当 ? 为锐角时, a

?b

b >0,且 a、 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件;当 ? 为钝角时, a
必要非充分条件;
? ?
? ?

? ?

? ?

? ? ? ? b ? b <0,且 a、 不反向, a ? b ? 0 是 ?

为钝角的

例 5.如已知 a

? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______(答: ? ? ?
2

4 1 或? ? 0且? ? ) ; 3 3

习题精选精讲 例 6、已知 i ,

j 为相互垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? i ? ? j 。且 a 与 b 的夹角为锐角,求实数 ? 的取值范围。
,但要注意问题的等价性。 ? a?b ? 0”

分析:由数量积的定义易得“ ? a, b ? 解:由 a 与 b 的夹角为锐角,得 a ? b

? 1 ? 2? ? 0. 有 ? ?

1 . 2

而当 a

?t ? 1 1? ? 得 ? ? ?2. 此时其夹角不为锐角。故 ? ? ?? ?,?2 ? ? ? ? 2, ? . ? tb(t ? 0), 即两向量同向共线时,有 ? 2? ? ?t? ? ?2
。 ? 0 不等价;同样 ? a, b ? 是钝角与 a ? b ? 0 不等价。极易疏忽特例“共线” =

评析:特别提醒的是: ? a, b ? 是锐角与 a ? b 特殊情况有 a ? a

?a

2

= | a | 。或 | a | =

2

a?a

a

2

=

x2 ? y2

.

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( x1 , ⑥ | a ? b |? | a | ? | b | 。 (因

y1 ),( x2 , y 2 ),则 | a | = ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

cos? ? 1 ) ? a ? (b ? c).(因为 (a ? b) ? c 与 c 共线,而 a ? (b ? c) 与 a 共线)
? b ? c 并不能得到 a ? b 这是因为向量不能作除数,即
1 c
是无意义的.

⑦数量积不适合乘法结合律.如 (a ? b) ? c

⑧数量积的消去律不成立.若 a 、 b 、 c 是非零向量且 a ? c

(6)向量 b 在 a 方向上的投影︱b︱cos ? =

a ?b a

(7) e1 和 e 2 是平面一组基底,则该平面任一向量 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ( ?1 , ?2 唯一)特别:. OP = ?1 OA ? ?2 OB 则 ?1 ? ?2 共线的充要条件.注意:起点相同,系数和是 1。基底一定不共线 例 7、已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 ? A.50 B. 51 C.100 D.101

?

?

?

?

?

??? ?

??? ?

? 1 是三点 P、A、B

? ???? ??? ? 1 ??? BO=a 1 OA a 200 OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过点 O) S ,则 + 2
? ??

200

=(



例 8、平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点

A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且

? ??

? ??

?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______(直线 AB)
例 9、已知点 A,,B,C 的坐标分别是 (3,1), (5,2), (2 使 OC
t

,2 ?t ) .若存在实数 ? ,
B. 1 C. 0 或 1 D.不确定

? ? OA ? (1 ? ? )OB ,则 t 的值是:A. 0
A, B, P 不共线的是: ...

例 10 下列条件中,能确定三点

A. MP ? sin

2

20?MA ? cos2 20?MB 20?MA ? cos2 70?MB

B. MP ? sec D. MP ? csc

2

20?MA ? tan2 20?MB 31?MA ? cot2 31?MB

C. MP ? sin

2

2

3

习题精选精讲 分析:本题应知: “ 。 A, B, P 共线,等价于存在 ? , ? ? R, 使 MP ? ? MA ? ? MB 且 ? ? ? ? 1 ”

(8)①在 ?ABC 中, PG

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心; 3

AB?

?

? ? 1 ? BC ? AD 则 AD 过三角形的重心; 2

例 11、设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a2 其中 i (06 ? 1, 2,3 ,则(D) 河南高考)

? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足 bi ? 2 ai

,且 ai 顺时针旋转 30 后与 bi 同向,

o

A. ?b1 ? b2 C. b1 ? b2

? b3 ? 0

B b1 ? b2

? b3 ? 0 ? b3 ? 0

? b3 ? 0
??? ??? ? ?

D. b1 ? b2

② PA ? PB ? PB ? PC

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心;

???? ??? ? AC AB ? ???? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心( ?BAC 的角分线所在直线); ? ③向量 ? ( ??? | AB | | AC |
④|

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;(选)

⑤ ⊿AOB= 1 x A y B ? xB y A ; S 2 例 12、若 O 是 ? ABC 所在平面内一点,且满足

??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA

,则 ? ABC 的形状为____(答:直角三角形) ;

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? | AP | ? 例 13、若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 ,设 ??? ? ? ,则 ? 的值为___ | PD |
(答:2) ; 例 14、若点 O 是 △ ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则内角 C 为____(答: 120 ) ; (9)、 P 分 P P2 的比为 ? ,则 P P = ? P P2 , ? >0 内分; ? <0 且 ? ≠-1 外分. 1 1

??? ??? ??? ? ? ?

?

?

OP = OP1 ? ? OP2 ;若λ =1 则 OP =
1? ?

1 ( OP + OP2 );设 P(x,y),P1(x1,y1), 1 2

x1 ? ?x 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? , ?x ? 1 ? ? , ?x ? 2 , ?x ? ? ? ? 3 P2(x2,y2)则 ? ;中点 ? 重心 ? ?y ? y1 ? y 2 ? y 3 . ? y ? y1 ? ?y 2 . ? y ? y1 ? y 2 . ? ? ? 3 ? 1? ? ? 2 ?
说明:特别注意各点的顺序,分子是起点至分点,分母是分点至终点,不能改变顺序和 分子分母的位置。 例 15、已知 A(4,-3) ,B(-2,6) ,点 P 在直线 AB 上,且 | (10) 、 点 P( x, y ) 按 a ? (h, k ) 平 移 得 P?( x?, y?) , 则
? ?

AB |? 3 | AP | ,则 P 点的坐标是(
? y? ? y ? k

) (2,0)(6,-6) ,

?

???? ? ? x? ? x ? h ? 函 数 y ? f (x) 按 a ? (h, k ) 平 移 得 函 数 方 程 为 : PP? = a 或 ?

y ? k ? f ( x ? h) 说明: (1)向量按向量平移,前后不变;
(2)曲线按向量平移,分两步:ⅰ确定平移方向----与坐标轴的方向一致; 4

习题精选精讲 ⅱ按左加右减,上加下减(上减下加)

? 2 2 例 16、把函数 y ? 2 x 的图象按向量 a ? (2, ?2) 平移后得到的解析式是_________。 y ? 2 x ? 8x ? 6
例 17、函数

y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos2 x ? 1,则 a =________(答: (?

?

?

?
4

,1) )
所成的比是

结论:已知

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), l : Ax ? By ? C ? 0

,过

A, B

的直线与

l

交于点

P

,则

P



AB

???

Ax1 ? By1 ? C ,若用此结论,以下两题将变得很简单. Ax2 ? By2 ? C
? 0 ,直线 l 与 PQ 的延长线

例 18、已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别是 (?1,1), (2,2) ,若直线 l 的方程是 x ? my ? m 相交,则 m 的取值范围是________. 解:由 ?

??

Ax1 ? By1 ? C 1 ? 2m 2 得? ? ,因为直线 l 与 PQ 的延长线相交,故 ? ? ?1 ,解得 ? 3 ? m ? ? 2 ? 3m 3 Ax2 ? By2 ? C
: kx ? y ? 1 ? 0 与线段 AB 相交,求 k 的范围.
?? 2k ? 2 2 ? 0 及直线过端点得 ? 1 ? k ? 5k ? 2 5

变式:已知点 A(2,-1),B(5,3).若直线 l

提示:

由?

??

Ax1 ? By1 ? C Ax2 ? By2 ? C

得: ?

(11)对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? 则四点 P、A、B、C 是共面 ? (12)

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? xOA ? yOB ? zOC ,

x ? y ? z ? 1 .注意: (1)起点相同 (2)系数和是 1。 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 空间两个向量的夹角公式 cos〈a,b〉= (a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ). 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

(13)空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . ??? ? ??? ? 1 (| a || b |)2 ? (a ? b)2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 b= PQ ). (14)点 Q 到直线 l 距离 h ? |a| a b c ? ? ? 2 R (R 是三角形的外接圆半径) (15)正弦定理 sin A sin B sin C
说明:正弦定理可直接进行边角转换; 例 15:在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 提示:

A, B, C 的对边,且

cos B b sin B 2? ?? ?? ?B? cos C 2a ? c 2sin A ? sin C 3 例 16:在 ?ABC 中,若 sin C ? 2cos A sin B ,则此三角形必是____三角形(等腰) b2 ? c 2 ? a 2 b ? a 2 ? b2 提示: c ? 2cos Ab ? c ? 2 2bc
(16)余弦定理

cos B b ?? ,求 B 的大小。 cos C 2a ? c

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . 1 1 1 (17)面积定理① S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2

5

习题精选精讲 ②S ③ S ?OAB

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) = OA? tan ? ( ? OB 2 2 ?
在△ABC 中,有

为 OA, OB 的夹角)

??? ??? ? ?

(18)三角形内角和定理

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?
内角和是 180 ;ⅵ:大角对大边ⅶ: tan 锐角三角形中有:
0

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2
A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C ⅷ:正弦、余弦函数的单调性;

说明: (1)三角形具有丰富的内涵(隐含条件)ⅰ:两边之和大于第三边;ⅱ:斜边大于直角边;ⅲ:正(余)弦定理;ⅳ:面积公式;ⅴ:

A? B ?

?

2

? A? A? B ?

?

钝角三角形中有(C 是钝角) :

例 17 : 定 义 在 R 上 的 偶 函 数

f (sin ? ) ? f (cos ? )
C、

? B ? sin A ? sin( ? B ) ? cos B 2 2 2 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且 在 [? 3,? 2]上 是 减 函 数 , ? , ? 是 锐 角 三 角 形 的 两 个 角 , 则 ( B、 f (sin ? ) ? f (cos ? )
D、

?

? B ? sin A ? sin( ? B) ? cos B 2 2 ? A?

?

?

?

)A、

f (sin ? ) ? f (sin ? )

f (cos ? ) ? f (cos ? )

(19)平面两点间的距离公式

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
a∥b ? b=λa

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

(20)向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则

? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

(21)线段的定比分公式

设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 的分点, ? 是实数,且 PP ? ? PP ,则 1 2 1 2 1 2

??? ?

????

x1 ? ? x2 ? ???? ???? ??? ??? ? ? ???? ??? OP ? ? OP ? ?x ? 1 ? ? 1 ? 1 2 ). ? OP ? ? OP ? tOP ? (1? t )OP ( t ? ? 1 2 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?
(22)平面向量的综合问题 向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点,担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情,数的特性使得 它与“函数,三角,数列,不等式,导数”有众多的联系,成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与“平面几何,解析几何,立 体几何”紧密相关,以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言,转换成直观的“图 形语言”或者可操作的“运算形式” 。 一般来说,夹角问题总是从数量积入手,长度问题则从模的运算性质开始(一般需先平方) ,而共线,共点问题多由数乘向量处理。
?

例 19 . 设 平 面 向 量
? ? ? ?

a?(
?

3 1 ? 1 3 ,? ), b ? ( , ) 2 2 2 2
? ? ?

, 若 存 在 不 同 时 为 0 的 两 个 实 数

s, t

及 实 数

k ?0

, 使

x ? a ? (t 2 ? k ) b , y ? ?s a ? t b 且 x ? y 。

(1)求函数关系式 s

? f (t ) ; (2)若函数 s ? f (t ) 在 [1,??) 是单调函数,求 k 的取值范围。 ? f (t ) 的解析式,含参数必引起讨论,运用“整体思想”可简化计算; f (t ) 在 [1,??) 是单调

分析:由数量积的坐标运算,不难得出 s 函数,等价于“
?

。 f ' (t ) ? 0 或 f ' (t ) ? 0 在 [1,??) 上恒成立”
? ? ? ? ? ? 3 1 ? 1 3 ,? ), b ? ( , ) ,?| a |?| b |? 1, 且 a? b ? 0 ,又? x ? y 2 2 2 2

解: (1)? a

?(

6

习题精选精讲

? x? y ? 0 即 [ a ? (t 2 ? k ) b] ?(?s a ? t b) ? 0 由此得: s ? t 3 ? kt
(2) 若 若

? ?

?

?

?

f ' (t ) ? 3t 2 ? k ,又? f (t ) 是单调函数,

f (t ) 是增函数,则 f ' (t ) ? 0 ,恒有 3t 2 ? k , 而t ? [1,??) ,? 0 ? k ? 3 f (t ) 是减函数,则 f ' (t ) ? 0 ,恒有 3t 2 ? k , 而t ? [1,??) ,这样的 k 不存在
综上 0

? k ? 3.

评析:本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法,与“在知识网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合。 例 20、在 ? ABC 中,

AB ? AC | AB |

?

1 BA ? BC 3 ? ,又 E 点在 BC 边上,且满足 3 BE ? 2EC ,以 A、B 为焦点的双曲线经过 C、 , 2 2 | BA |

E 两点.求此双曲线的方程. 分析:遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义,就显得万分重要了。 解:以线段 AB 的中点 O 为原点,直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系, ∴A(-1,0) ,B(1,0) 作 CD⊥AB 于 D,由已知

AB ? AC | AB |

?

1 , 2

∴|

AC |cosA=
1 2
,h),

1 2

,即| AD |=

1 2

,同理又∵

BA ? BC | BA |

?

3 3 ,∴| BD |= 2 2



设双曲线的方程为 又∵ 3 BE

x2 y2 ? ?1 a2 b2
? 2 ? ? y ? 2h ? 1 5 ?

(a>0,b>0),C(-

E(x1,y1)

? ? 2EC ,∴ ? x1 ? 5

又∵E、C 两点在双曲线上,

? 1 h2 1 2 6 7 2 2 ? 4a 2 ? b 2 ? 1 ∴? ,解答:a = ,b = , ∴双曲线的方程为:7x ? 7 7 6 2 ? 4 ? 4h ? 1, a 2 ? b 2 ? 1 ? 25a 2 25b 2 ?
例 21.设 x, y ? R ,且 x ?
?

y 2 =1.

1 1 y ? 1 ,求证: (1 ? )(1 ? ) ? 9 x y

分析:观察不等式的结构特征,可以联想向量数量积的性质“ a ? b ?| a || b | ” ,构造向量解决,不失为一种别致的想法。

证:设 a

? (1,

1 x

), b ? (1,

1 y
2

) ,则 a ? b ? 1?

1 xy

,而 | a | ? | b |?

1 1 (1 ? )(1 ? ) 。 x y

由 a ? b ?| a || b | 得, (a ? b)

2 2 1 1 1 2 ) ? 9. ) ? (1 ? ?| a |2 | b |2 , (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? x? y x y xy

评析:根据题目所含代数式的结构特征,合理构造向量的坐标,运用向量数量积的性质 “ a ? b ?| a || b | ”可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化”也可研究几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法 -- 向量法。 “构造法”是一种创造性思维,体现了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识” ,仔细体会,别有情趣。

向量问题的坐标解法
向量的坐标表示是将几何问题代数化,用坐标法解决向量问题思路清晰,操作简单方便,下举例说明。 例 1. 设 O 在△ABC 的内部且满足 7 ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为()

习题精选精讲

A. 2 B. C. 3 D. 解:如图 1 建立坐标系。

图1 设 A(0,0),B(a,b),C(c,0),O(x,y),则

因为 即 所以 从而 说明:原解答分别取 AC、BC 中点求解,同学们不易想到,而建立坐标系求解则轻松、自然。 例 2. 四边形 ABCD 中,若 解:如图 2 建立坐标系。 ,求 。

图2 设 ,则

代入已知条件得: 即 所以 取最小值时 P 点的位置。

例 3. 设 P 为△ABC 所在平面内一点,求 解:设 则

(其中 m 为常数)

所以,当 例 4. P 为△ABC 所在平面内一点。求证:

即 P 为△ABC 的重心时,

取得最小值。

8

习题精选精讲 证明:如图 3 建立坐标系。

图3 设 ,则

从而 说明:原解答利用垂心的性质证之,要求较高,证法较烦,显然坐标解法相对简练。 例 5. O 为△ABC 内一点,记 证明:如图 4 建立坐标系。 ,求证:

图4 设 则 从而

由于 所以 平面向量数量积的八大热点问题 一、平行问题 这类题主要考查向量平行的充要条件:若向量 例 1. (2005 广东)已知向量 解:由 二、垂直问题 ,根据向量平行的充要条件,得:



,且 ,且 ,解得 ,则 _______。 。应填 4。

,则



这类问题主要考查两向量垂直的充要条件:若向量 9

,则



习题精选精讲 例 2. (2005 福建)在△ABC 中,∠C=90°, ,则 k 的值是( )

A. 5 B.

C.

D.

解:由

,又∠C=90°,则 ,解得 k=5 故选 A。 ,进而转化为 ,从而求出 k。

由向量垂直的充要条件,得: 点评:本题运用∠C=90°,转化为 三、求模问题 若 则 ,或

,对于求模有时还运用平方法。 ,若 不超过 5,则 k 的取值范围是__________。 解得: ,故填 。

例 3. (2005 湖北)已知向量

解:由 ,又 ,由模的定义,得: 评注:本题是已知模的逆向题,运用定义即可求参数的取值范围。 例 4. (1)(2004 全国)已知 A. B. C. D. 4 ,向量 ,则 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么

=( )

(2)(2004 湖南)已知向量 解:(1) 所以 ,故选 C。

的最大值是___________。

(2)由题意,知

又 评注:模的问题采用平方法能使过程简化。 四、求夹角问题



的最大值为 4。

求夹角可用

解决。 ,且 ,则向量 与 的夹角为( )

例 5. (2005 北京)若 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

解: 设所求两向量的夹角为θ , 由 , 有 , 即 又 所以θ =120°,而选 C。 五、辩析型问题 主要考查向量的数量积是向量间的一种乘法运算,结果是一个数量,注意与实数的乘法运算区别,特别是不满足结合律,消去律。 例 6. (2004 湖北)已知 为非零的平面向量。甲: ,乙: ,则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 解:命题甲:由 命题乙: 六、求向量 故乙 甲,但甲 得 从而 ,或 ,或 。

,故甲是乙的必要但不充分条件,而选 B。

10

习题精选精讲 例 7. (2004 江苏)平面向量 中,已知 ,且 ,则向量 ____________。

解:设

所成的角为



,则

故向量

共线并同向

又 ,故 七、求数量积 例 8. (2004 浙江)已知平面上三点 A、B、C 满足 等于___________。 ,则 的值

解法 1:运用定义

以上三式相加,得所求为 解法 2:整体处理 由 即 解法 3:挖掘隐含 。 故 得 ,故填 。

由平面上三点 A,B,C 构成以 B 为直角顶点的直角三角形,知

八、交汇问题 是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题,创新题。 例 9.(1)2005 上海) ( 直角坐标平面 xoy 中, 若定点 A 1, 与动点 P x, 满足 ( 2) ( y) (2) (2005 湖南) 已知直线 与圆 相交于 A、 两点, B 且 故应填 , 则点 P 的轨迹方程是___________________。 , 则 ___________。

解:(1)由 ,有 ,即 (2)先由圆的几何性质,求得两向量的夹角是 120°,则

11

习题精选精讲

故填 。评注:第(2)小题关键是运用几何法求出两向量的夹角,再运用向量的数量积公式即可。 向量在代数中的应用 1. 等式证明 证明等式一般说来都要进行繁杂的运算,如果等式具有向量代数某些特征时,应用向量知识较为简单。

例 1. 已知 ,且 x,y,z,a,b,c 为非零实数,求证 分析:由实数 x,y,z 与实数 a,b,c 对应成比例,联想到向量平行,进而联想到向量坐标。 解:构造向量 m 与 n 的夹角为θ , ,则



由此得θ =0 或θ =π 所以 m//n 因此 例 2. 已知 ,求证 分析:题设与结论都与 1 有关,由题设联想到向量。 解:设 。

n 与 m 的夹角为θ ,

则 移项两边平方,经整理可得

又 所以 cosθ =1,θ =0 所以 m//n 因此 2. 不等式证明 证明不等式主要依据有关向量的不等式

例 3. 已知 a,b,c 解:构造向量

,且

,求证 所以



由向量不等式得 3. 解有关三角问题 例 4. 求函数 解:原式可化为 则 令 所以 的最值。



构造向量

例 5. 已知 解:原条件可化为

,且

,求α ,β 的值。

构造向量

则 由α ,β 的地位相同知 4. 求解无理函数的最值 求无理函数最值问题,按常规方法求解具有一定的难度,若能用向量知识解答将会使求解变得容易。 首先我们来看几个向量的性质: 性质 1 若 ,则 当且仅当 12 时等式成立

习题精选精讲 性质 2 性质 3 (1) 例 6. 求函数 解:构造向量 型( 同号) 的最大值。 由性质 1,得 ,当且仅当 a, 同向平行时右边等式成立,a, ,当且仅当 反向平行时左边等式成立。

方向相同且两两平行时等式成立。

当且仅当 (2) 型

,即

时,

例 7. 求函数

的最大值。

解:原函数可变为





构造向量

由性质 1,得

从而 (3) 例 8. 求函数 解:构造向量 型( )

当且仅当

,即

时,

的最小值。 由性质 2,得

当且仅当 a 与 b 同向平行时等式成立所以 (4)其它类型 例 9. 设 (i=1,2,??,2003)为正实数,且

(此时



,试求 的最小值。

解:构造向量 由性质 3,得

即 例 10. 已知 解:构造向量 ,求 的最小值。

13

习题精选精讲 从而 由性质 3,得

所以 向量构造法 向量融数、形于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份” ,是中学数学知识的一个重要的交汇点,是联系众多知识的媒介。它 广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题,可以简洁、规范的处理数学中的许多 问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题;运用向量知识,可以使几何问题直观化、符号化、 数量化,从而把“定性”研究推向“定量”研究。 构造向量除有坚实的基础知识外,还特别要知道实现构造的理论基础: (1) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | . (2) |

a · | ?| a |· b |。 b |
? ? ? ? a |?| b | ?| a ? b | ,或 | a · | ? | a | · b | ,以达证明不等式之目的。 b |

一. 证明不等式 通过构造向量,利用向量的重要不等式: | 例 1. 设 a、b、c、d 均为正数,求证

a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2

证明:构造向量

? ? ? ? ? ? m ? (a,b) , n ? (c,d ) ,由 | m |?| n | ?| m ? n | 得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2
例 2. 若 a

? b ? c ? 1 ,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ?

1 3

证明:构造向量 则

? ? ? m ? (a,b,c) , n ? (b,c,a ) , p ? (c,a,b)

? ? ? ? ? ? ? ? ? m ? n ? p ? (a ? b ? c,b ? c ? a,c ? a ? b) ? (1,1,1) 于是由 | m |?| n |?| p | ?| m ? n ? p |

有3

a 2 ? b2 ? c2 ? 3

得a

2

? b2 ? c2 ?

1 3

将例 1 推广到更一般的形式,即有

例 3. 若 a1 ,a2 ,a3 ,?,an 和 b1 ,b2 ,?,bn 都是正数,则

a1 ? a 2 ??? a n ? b1 ? b2 ???bn ? (a1 ? b1 ) 2 ? (a 2 ? b2 ) 2 ??? (a n ? bn ) 2
2 2 2 2 2 2

证明:构造向量
2 2

? ? m ? (a1 ,a 2 ,? ,a n ) , n ? (b1 ,b2 ,? ,bn )
2 2 2 2

于是,由 | m |?|

? ? ? ? n | ?| m ? n | 得

a1 ? a 2 ??? a n ? b1 ? b2 ???bn ? (a1 ? b1 ) 2 ? (a 2 ? b2 ) 2 ??? (a n ? bn ) 2
从上述证明,发现条件 a1 ,a2 ,?,an 和 b1 ,b2 ,?,bn 是正数是多余的。

14

习题精选精讲 而且利用 | m |?|
2 2

? ? ? ? n | ?| m ? n | 还可以推出
2 2 2 2

a1 ? a 2 ??? a n ? b1 ? b2 ???bn ? (a1 ? b1 ) 2 ? (a 2 ? b2 ) 2 ??? (a n ? bn ) 2
例 4. 设任意实数 x,y 满足 | x| ? 1, | y| ? 1 , 求证:

1 1 2 ? ? 2 2 1 ? xy 1? x 1? y

证明:构造向量

? a ?(

1 1? x2



1 1? y2

? ) , b ? ( 1? x2 , 1? y2 )

由向量数量积性质 (

? ? 2 ?2 ?2 a ? b ) ?| a | | b | 得

4?(

1 1 ? )(1 ? x 2 ? 1 ? y 2 ) 2 2 1? x 1? y


所以

1 1 4 4 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 2 ? ( x ? y ) 2 ? 2 xy 1 ? xy
4

1 1 2 ? ? 2 2 1 ? xy 1? x 1? y

例 5. 设 a,b 为不等的正数,求证 (a

? b 4 )(a 2 ? b 2 ) ? (a 3 ? b 3 ) 2
?? (a 3 ? b 3 ) 2 ? ( m ? n ) 2
? ? m ? ? n ,即 ? ? 0 , ?

? ? 2 2 证明:构造向量 m ? (a ,b ) , n ? ( a,b) ,则

? ? ?| m |2 | n |2 cos 2 ? ? ? ?| m |2 | n |2

? (a 4 ? b 4 )(a 2 ? b 2 )
所以 (a
4

因为 a,b 为不相等的正数,所以

? b 4 )(a 2 ? b 2 ) ? (a 3 ? b 3 ) 2
1 1 )(1 ? ) ? 9 。 x y

例 6.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求证: (1 ?

?

证明:构造向量 a

? (1,

1 x

), b ? (1,

?

1 y

) ,则 a? b ? 1 ?

? ?

1 xy

,而 | a | ? | b |?

?

?

1?

1 1 1 1 ? 1 ? ? (1 ? )(1 ? ) , x y x y

由|

1 1 1 2 2 2 ) ? (1 ? ) ?9 a · | ? | a | · b | ,得 | a · |2 ? | a |2 · b |2 所以 (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? b | b | x y x? y xy
2

例 7.求证: (ac ? bd)
? ?

? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) 证明:设 OA ? (a, b), OB ? (c, d )
? 0 成立; (2)当 OA, OB 都不是零向量时,设其夹角是 ? ,则有

? ?

?

?

(1)当 OA, OB 至少有一个为零时,所证不等式 0

cos? ?
因为 | cos?

OA? OB | OA | ? | OB |
? ?

?

?

?

ac ? bd a2 ? b2 ? c2 ? d 2

|? 1 ,即 (ac ? bd) 2 ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 )

点拨:只要实质上,甚至形式上和向量沾点边的,都是向量的亲戚,用向量去思考,没错! 二.研究等量关系 15

习题精选精讲

例 8.已知:

sin 4 x cos4 x 1 ? ? (a ? 0, b ? 0) 。 a b a?b

证明:对于任何正整数 n 都有

sin 2n x cos2 n x 1 ? n?1 ? n ?1 a b (a ? b) n?1

分析:借助向量不等式 |

a · | ? | a | · b | 等号成立的条件,构 b |

sin 2 x cos2 x 造向量,可化难为易。证明:构造向量 p ? ( , ), q ? ( a , b ) ,则 p ? q ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 a b

sin 4 x cos4 x | p | ? | q |? ? ? a ? b ? 1 ,所以 p ? q ?| p | ? | q | ,故 p, q 同向,则 p ? ? q a b


sin 2 x a

? ? a,

cos2 x b

? ? b ,所以
2n

1 1 sin 2 x cos2 x ?? ? ? ? ? 代入题设得: ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? , a?b a?b a b
2





s a

x ic ? n ?1

2n

b

xn o ?s n ?1

s s x( i

2

a

x n?1 i ) n? c

2

n c 2 x n?1 o s 1 x( o ) s? ?n?1 ? b (a ? b) n?1





s a

x ic ? n ?1

2n

2n

b

n ?1

xn o ?

1 s (a ? b) n?1
3 ,求锐角 ? , ? 2


例 9.已知 cos ?

? cos ? ? cos( ? ? ? ) ?

分析:本题如果直接进行三角恒等变换,较难求出 ? , ? 的值。换一种思路,引入向量,问题迎刃而解。 解:由已知得 (1 ? cos 则 a? b
? ?

? ) cos ? ? sin ? sin ? ?

? ? 3 ? cos ? ,构造向量 a ? (1 ? cos ? , sin ? ), b ? (cos? , sin ? ) , 2

? ? 3 ? cos ? ,? a | ? | b |? 2 ? 2 cos ? | 2 3 1 2 2 2 2 由 | a · | ? | a | · b | ,得 ( ? cos ? ) ? 2 ? 2 cos ? ,即 (cos ? ? ) ? 0 b 2 | 2 2 1 ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ,则 sin( ? ? ) ? 1 ? ? ? 2 3 6 3

? (1 ? cos ? ) cos ? ? sin ? sin ? ?

三.求值域或最值 例 10.求函数

y ? x ? 3 ? 10 ? 9 x 2

的最大值。

解答,将会使求解非常容易。 解:原函数可变为 构造向量 a

1 y ? ?3 ? ? 3x ? 10 ? 9 x 2 3

,设

f ( x) ?

1 ? 3 x ? 10 ? 9 x 2 3

,因为 (3x)

2

? ( 10 ? 9 x 2 ) 2 ? 10 ,所以

1 ? ( ,1), b ? (3x, 10 ? 9 x 2 ) 由 | a · | ? | a | · b | b | 3
, 从 而



1 1 10 | ? 3x ? 10 ? 9 x 2 |? ( ) 2 ? 12 ? (3x 2 ) ? ( 10 ? 9 x 2 ) 2 ? 3 3 3

y ? ?3 ?

10 1 ? 3 3

, 当 且 仅 当

16

习题精选精讲

1 10 ? 9 x 2 1 ? 3x, x ? 时, y max ? 3 3 3
例 11.求函数
?

y ? x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域。

解:设 a

? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 ? 1 3 ? ( x ? , ), b ? ( x ? , ) ,? y ?| a | ? | b | ,? a, b 不共线?|| a | ? | b ||?| a ? b |? 1 ,即 ? 1 ? y ? 1 2 2 2 2



12.





x>0,y>0





x+y=1





2x ? 1 ? 2 y ? 1









证明:构造向量 a ? (1 , 1) , b ? ( 2 x ? 1 , 根据 ( a ? b ) 2 ? | a | 2 ? | b | 2 得: (1? 2x ? 1 ? 1 ? 2 y ? 1) 2 ? (1 ? 1)(2 x ? 1 ? 2 y ? 1) 即 1 ? 2x ? 1 ? 1 ? 2 y ? 1 ? 8 ? 2 2
利用向量数量积的一个重要性质 |

2 y ? 1)

故 2 x ? 1 ? 2 y ? 1 最大值为2 2.

a · | ? | a | · b | ,变形为 | a · |2 ? | a |2 · b |2 可以解决不等式中一类含有乘积 b | b |

之和或乘方之和的式子的题目,采用构造向量去解往往能化难为易,同时提高了学生的观察分析能力和想象能力 总之,构造向量法,为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角,体现了知识的交汇和联系,是高层次思维的反映,常用构造法 解题 ,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效. 平面向量

1 、 设

? ? i, j

分 别 是 直 角 坐 标 系

x

轴 ,

y

轴 方 向 上 的 单 位 向 量 , 若 在 同 一 直 线 是 有 三 点 A 、 B 、 C 且

? ? ? ? ? ? OA ? ?2i ? mj , OB ? ni ? j , OC ? 5i ? j , OA ? OB 。

求实数 m, n 的值

解: ∵ OA ? OB ∴ ?

2n ? m ? 0???? ①?∵A、B、C 三点在同一直线上

∴存在唯一的实数 ? 使得

? ? AC ? ? AB ? AC ? OC ? OA ? 7i ? [?(m ? 1) j ) ? 1'

? ? ?7 ? ?( n ? 2) ?? AB ? OB ? OA ? (n ? 2)i ? (1 ? m) j ?∴ ? ?m ? 1 ? ?( m ? 1)
消去 ? 得到 mn 由①得到 m

? 5m ? n ? 9 ? 0 ????②?

? 2n ,代入②解得 m ? 6, n ? 3 或 m ? 3, n ?

3 2

2、已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为可值时: (1)ka+b 与 a-3b 垂直; (2)ka+b 与 a-3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 17

习题精选精讲 [解] (1)k·a+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。当(ka+b)·(a-3b)=0 时,这两个向量垂直,∴由 10(k-3)+(2k+2)×(-4)=0??得 k=19。 (2)当 ka+b 与 a-3b 平行,存在惟一的实数λ,使 ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得 ?

?k ? 3 ? 10? ?2k ? 2 ? ?4?

1 ? ?k ? ? 3 1 ? 解得 ? 此时- a+b 与 a-3b 反向。 3 ?? ? ? 1 ? 3 ?
3、设 e1 与 e2 是两个单位向量,其夹角为 60°,试求向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2 的夹角θ。 [解] ∵a=2e1+e2,∴|a| =a =(2e1+e2) =4e1 +4e1·e2+e2 =7,∴|a|=
2 2 2 2 2

7。
7 2 7? 7 ?

同理得|b|=

·(-3e +2e ,)=-6e 7 。又 a·b==(2e +e )
1 2 1 2

2 1

+ e1·e2+2e2 =-

2

7 2

,∴

cosθ=

a·b = | a |·| b |

=-

1 2

,∴θ=120°.

4、以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,∠B=90°,求点 B 的坐标和 [解] 如图 8,设 B(x,y),

AB 。

则 OB =(x,y),

AB =(x-4,y-2)。∵∠B=90°,∴ OB ⊥ AB ,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即 x +y =4x+2y。①
, OC =(2,1) CB =(x-2,y-1)

2

2

设 OA 的中点为 C,则 C(2,1),

∵△ABO 为等腰直角三角形,∴ OC ⊥ CB ,∴2(x-2)+y-1=0,即 2x+y=5。②解得①、②得 ?

? x1 ? 1 ? x 2 ? 3 或? ? y1 ? 3 ? y 2 ? ?1

∴B(1,3)或 B(3,-1),从而

AB =(-3,1)或 AB =(-1,-3)

5、已知两个向量 a 和 b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a⊥b。[证明] 如图 9, OA =a, OB =b。

18

习题精选精讲

(1)充分性:若 OA ⊥ OB ,OBCA 为矩形,则|a+b|=| OC |,|a-b|=| BA | ∵OBCA 为矩形,∴| OC |=| BA |,即|a+b|=|a-b| (2)必要性:∵|a+b|=| OC |,|a-b|= BA ,且|a+b|=|a-b|,∴| OC |=| BA |, ∴平行四边形 OBCA 为矩形,∴a⊥b,即 a 的方向与 b 的方向垂直。 6、 (本小题满分 12 分)若 (a ? b )

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? (2a ? b ), (a ? 2b ) ? (2a ? b ) ,试求 a, b 的夹角的的余弦值。

? ? ? ? ? ?(a ? b )(2a ? b ) ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 解:由 (a ? b ) ? (2a ? b ), (a ? 2b ) ? (2a ? b ) ,得 ? ? ? ? ? ?(a ? 2b )(2a ? b ) ? 0 ? ? ? ? ?2 ? 2 5 ? ? 2 5 ? ?2 a ? a ? b ? b ? 0 2 即? ? (4 分) ? a | ? | b | 即 | a |? , | , | b | (8 分) ?2 ? ? 8 8 ?2a 2 ? 3a ? b ? 2b ? 0 ? ? ? 10 1 ? 2 a ?b 10 ? ? ? ? ?2 ?2 ? ?? 又 a ? b ? b ? 2a ? ? | b | ,? cos? ? ? ,所以 a, b 的夹角的的余弦值为 ? 。 (12 分) 10 4 10 | a |?|b |
7、设 e1 , e2 是两个垂直的单位向量,且 a (1)∵ a ∥ b ∴ a =m b 即 ? 2e1 (1)若 a ∥ b ,求 ? 的值; (2)若 a ⊥ b ,求 ? 的值. ? ?(2e1 ? e2 ) , b ? e1 ? ? e2 .

? e2 ? me1 ? m?e2
6分

∴?

? ?2? m 1 解得:m=-2, ? ? ? 2 ?? 1 ? ?m?

(2)∵ a ⊥ b , ∴ a · b =0, (?2e1 即 ? 2e1
2

? e2 ) ? (e1 ? ?e2 ) ? 0
-2+ ? =0 ∴ ?

? 2? e1 ? e2 ? e2 ? e1 ? ? e2 ? 0

?2

12

8、已知向量 a ? ? cos

?

? ?

?? ? ? x x? 3x 3x ? ? ? ? ?? b ,sin ? , b ? ? cos ,sin ? ,且 x ? ?0, ? .若 f ? x ? ? a ? ? 2?a ?b 2 2? 2 2? ? ? 2?

的最小值是 ?

3 , 2

求 ? 的值.解:a · ? cos b
|

3 1 3 1 x cos x ? sin x sin x ? cos 2x ……………………2 分 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 a+b | ? (cos x ? cos x) ? (sin x ? sin x) ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 | cos x | ?4 分 2 2 2 2
? x ?[0 , ] ∴cos x≥0,因此| a+b |=2 cos x 2 2 2 ∴f (x)=a · b-2 ? |a+b|即 f ( x) ? 2(cos x ? ?) ? 1 ? 2? ????6 分
19

?

习题精选精讲

? x ?[0 , ] ∴0≤cos x≤1 ①若 ? <0,则当且仅当 cos x=0 时,f (x)取得最小值-1,这与已知矛盾;?? 8 分 2 2 ②若 0≤ ? ≤1,则当且仅当 cos x= ? 时,f (x)取得最小值 ? 1 ? 2? , 3 1 2 由已知得 ? 1 ? 2? ? ? ,解得: ? ? ③若 ? >1,则当且仅当 cos x=1 时,f (x)取得最小值 1 ? 4? , 2 2 3 5 1 由已知得 1 ? 4? ? ? ,解得: ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾.综上所述, ? ? 为所求. 2 8 2
9、已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,0) ,B(5,8) ,C(7,-4) ,在边 AB 上有一点 P,其横坐标为 4,在边 AC 上求一点 Q,使线段 PQ 把△ ABC 分成面积相等的两部分. 设 PA ? ? AB, QA ? ? 2 AC, 则1 ? 1 2

?

4 ? 5? 1 1? ?1

S ?APQ AP AQ 3 ? ?1 ? ? ??4 分 又 ?| |?| | 4 S ?ABC AB AC

?|

PA QA 3 3 1 2 , || |? | ? 2 |,则 | ? 2 |? 又? 2 ? 0,? ? 2 ? ? ??8 分,设点 Q 的坐标为(xQ,yQ) AB AC 4 4 2 3

2 2 xQ ? ( ? ) ? 7 yQ ? (? ) ? (?4) 8 8 3 3 则1 ? ,得 xQ ? 5, y Q ? ? ,? Q (5,? ) ,O ? 3 3 2 2 1? 1? 3 3
10、已知| a |=1,| b |= 解: (1)∵ a ∥ b

2 ,①若 a ∥ b ,求 a

·

b ;②若 a 、 b 的夹角为 60°,求| a + b |。
当 a 与 b 的夹角θ为 0 时,

∴ a 与 b 的夹角θ为 0 或π ·| b | cosθ=1×

a

·

b =| a |

2 ×cos0= 2
·| b | cosθ=1×
2

当 a 与 b 的夹角θ为π时,
2 2

a
2

·

b =| a |
2

2 ×cosπ=- 2
2

(2)| a + b | =( a + b ) = a +2 a · b + b =| a | +2| a |·| b |cosθ+| b |

…………10 分
=1 +2×1×
2

2 ×cos60°+( 2 ) =3+ 2

2

∴ | a + b |=

3? 2

→ → → 11.(本题满分 12 分)已知向量OA =3i-4j,OB =6i-3j,OC =(5-m)i-(4+m)j,其中 i、j 分别是直角坐标系内 x 轴与 y 轴正方 向上的单位向量. (1)若 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若ΔABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. → → → → → → . (1)AB =(3,1) ,AC =(2-m,-m) ,AB 与AC 不平行则 m≠1 .(2)AB · AC =0 12. (本题满分 12 分) 已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120?. (1)求证(a-b)⊥c; (2)若│ka+b+c│>1(k∈R),求 k 的 取值范围. . (1) 只需证(a-b) c=0(2) 将不等式两边平方得 · 13. (本题满分 14 分) 已知向量 a、b、c、d,及实数 x、y,且|a|=1,|b|=1,c=a+(x -3)b,d=-ya+xb,如果 a⊥b,c⊥d,且|c|≤ 10 . (1)求 x、y 的函数关系式 y=f(x)及定义域; (2)判断 f(x)的单调性,指出单调区间,并求出函数的最大值、最小值. 提示: (1) 由 |c|≤ 10 ,及 a·b = 0 得 - (2)单调增区间为[-
2

m=

3 2

k>2 或

k<0

6≤

x ≤

6 又由 c⊥d

得 y =x -3x .

3

6 ,-1]、[1, 6 ],单调减区间为[-1,1]最大值为 f( 6 )=3 6 ,最小值为 f(- 6 )=-3 6
20

习题精选精讲 14、 分)已知 ? ABCD 的顶点 A(0,-9) (8 ,B(2,6) C(4,5) , ,求第四个顶点 D 的坐标. 解法一:设 D 坐标为(x,y) ,对角线 AC 与 BD 的交点为 O

0 ? 4 ?9 ? 5 , ∵点 O 为 A、C 中点,易得 O( ) ,即 O(2,-2) 2 2

D A

O B

C

?2 ? x ? 2 ?2 ?x ? 2 ? 又∵点 O 为 B、D 中点,则 ? ,解得 ? ,故 D 坐标为(2,-10) ? y ? ?10 ? 6 ? y ? ?2 ? 2 ?
解法二:设 D 坐标为(x,y) ,依题意得,

??? ???? ? AB ? DC
则?



??? ? ???? AB ? (2,15) , DC ? (4 ? x,5 ? y) ,
?x ? 2 ,故 D 坐标为(2,-10) ? y ? ?10

?4 ? x ? 2 , ?5 ? y ? 15

解得解得 ?

15、 (14 分)如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中点,G 为 DE、BF 交点。若

? ? ? ??? ? ? AB = a , AD = b ,试以 a , b 为基底表示

? ??? ??? ? DE 、 BF 、 CG .
???? ??? ??? ???? ? ? 1 ???? ? 1 ? 解: DE ? DB ? BE ? AC ? (? AD ) ? a ? b 2 2 ??? ??? ??? ???? ? ? ? ???? ? 1 ? 1 CF ? CB ? BF ? AD ? (? AC ) ? b ? a 2 2 ??? ??? ??? ? ? ? ???? 2 ??? ? ? 2 ? 1? 1? 1? BG ? BC ? CG ? ? AD ? CF ? ?b ? (b ? a ) ? ? a ? b 3 3 2 3 3
16.(14 分)已知 a =(1,2), b 是反向? 解:k a + b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2) a -3 b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) (1)若 k a + b 与 a -3 b 垂直,则(k a + b ) ?( a -3 b )=0 即 10(k-3)+(-4)(2k+2)=0,解得 k=19 (2)解法一:若 k a + b 与 a -3 b 平行,则(-4)(k-3)-10(2k+2)=0,解得 k= ?

D

F G E C

B

A

(1)k a + b 与 a -3 b 垂直?(2)k a + b 与 a -3 b 平行?平行时它们是同向还 ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

1 10 4 此时 k a + b =(, 3 3 3

),

a -3 b =(10,-4),故它们反向。

解法二:若 k a + b 与 a -3 b 平行,设 k a + b = ? ( a -3 b )= ?

?k ? ? 1 ,解得 k ? ? ? 0 ,它们反向 a -3 ? b ,∴ ? 3 ?1 ? ?3?
?

17、 (14 分)求与向量 a =(1,2) b =(2,1)夹角相等的单位向量 c 的坐标. , 解:设 c ? ( x, y) , c 与 a 的夹角为 ? , c 与 b 的夹角为 ? ,

?

?

?

?

?

?

?

21

习题精选精讲 依题意得

?cos ? ? cos ? ? 2 2 ?x ? y ? 1

?? ?? b? c 2x ? y a? c x ? 2y , cos ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ? | b || c | | a || c | 5 5
2 ? ?x ? - 2 或? ? 2 ? ?y ?- 2 ? 2 ? ? 2 ∴ c ? ( 2 , 2 )或c ? (? 2 , ? 2 ) 2 2 2 2 2 2

? ?x ? ? 解得 x=y,代入 x +y =1,解得 ? ?y ? ? ?
2 2

18、设平面三点 A(1,0) B(0,1) C(2,5)(1)试求向量 2 , , . (2)试求向量 、 【提示】

AB + AC 的模;

AB 与 AC 的夹角;

(3)试求与 BC 垂直的单位向量的坐标.

(1) AB 、 AC 的坐标为终点坐标与始点坐标的差,求出 AB 、 AC 的坐标后,可得 2 AB + AC 的坐标,

可解,对于(2) ,可先求

AB 、 AC 的值,代入

cos ? =

AB ? AC | AB | ? | AC |

,即可;对于(3) ,设所求向量

的坐标为(x,y) ,根据题意,可得关于 x、y 的二元方程组,解出 x,y. 【答案】 (1)∵ ∴ 2 , . AB =(0-1,1-0)=(-1,1) AC =(2-1,5-0)=(1,5) |2

.∴ AB + AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7) |

AB + AC |= ( ?1) 2 ? 7 2



50 .

(2)∵

AB |= (?1) 2 ? 12



2 .| AC |= 12 ? 52 = 26 ,
cos ? =

AB · AC =(-1)×1+1×5=4.∴

AB ? AC | AB | ? | AC |



4 2 13 = . 13 2 ? 26
x +4 y =0. ②

(3)设所求向量为 m =(x,y) ,则 x +y =1.

2

2

①又

,由 BC =(2-0,5-1)=(2,4) BC ⊥ m ,得 2

? ? 2 5 2 5 ?x ? ?x ? - ? 5 或? 5 ∴ 由①、②,得 ? ? ?y ? ? 5 . ?y ? 5 . ? ? 5 5 ? ?



2 5 5 2 5 5 ,- )或(- , )即为所求. 5 5 5 5

【点评】本题考查向量的模,向量的坐标运算、向量的数量积,向量垂直的充要条件以及运算能力. 19、如图,已知

AB = DC = a , BC = b ,且| a |=| b |.
(2)求 AC · BD . AD , AO , OB ;

(1)用 a , b 表示 【提示】由

AB = DC ,可判定四边形 ABCD 为平行四边形,于是利用平行四边形的性质.可求 AD , AO , OB .又 AC = AB +

BC . BD = AD - AB , AD = BC 利用数量积的运算性质及已知条件| a |=| b |.可求 AC · BD .

22

习题精选精讲 【答案】 (1)∵ ∴ 而

AB = DC ,∴

四边形 ABCD 为平行四边形.∴

AD = BC = b .

AC = AB + BC = a + b , BD = AD - AB = b - a , AO =
1 1 1 1 1 1 AC , OB =- BD ,∴ AO = a + b , OB = a - b . 2 2 2 2 2 2
2

(2)∵

( AC = a + b , BD = b - a ,∴ AC · BD =( b + a ) b - a )= b

- a =| b | -| a | =0.

2

2

2

20、已知平面向量 a =(7,9) ,若向量 x 、 【提示】设 x =(x1,x2) , (x1,x2) ,

y 满足 2 x + y = a , x ⊥ y ,| x |=| y |,求 x 、 y 的坐标.
1 2 1 2

,由已知,可以得到含有 x ,x ,y ,y 的四个关系式,建立方程组,解之即可. 【答案】设 x = y =(y ,y )
1 2

.由 , y =(y ,y ) 2 x + y = a ,得 2(x ,x )+(y ,y )=(7,9)
1 2 1 2 1 2

即?

?2 x1 ? y1 ? 7 ?2 x2 ? y 2 ? 9

(1) ( 2)

由x⊥

y ,得 x y +x y =0.
1 1 2 2

③由 | x |=|

y |,得

x12+x22=y12+y22=0. ④

将(1)式化为 代入③式,得 即 即
2 2 2 2

y1=7-2 x1, (2)式化为 y2=9-2 x2, x1(7-2 x1)+x2(9-2 x2)=0,
⑤代入④式,得 ⑥

2(x1 +x2 )=7 x1+9 x2,

x12+x22=(7-2 x1) 2 +(9-2 x2) 2,

3(x1 +x2 )=28 x1+36 x2-130.

23 11 ? ? ? x1 ? 5 ? x1 ? 1 ? y1 ? ? 5 ? y1 ? 5 ? x1 ? x2 ? 26 ? ? 由⑤、⑥,得 ? 解之得, ? 或? 分别代入(1)(2) 、 ,得 ? 或? ?7 x1 ? 9 x2 ? 52. ? y ? 23 ? y 2 ? ?1. ? x ? 11 ? x 2 ? 5. ? 2 5 ? 2 5 ? ?
2 2



x =(

23 11 11 23 , ) y =(- , , ) .或 x =(1,5) y =(5,-1)即为所求. , 5 5 5 5

21、已知 P 为△ABC 内一点,且 3

AP +4 BP +5 CP = 0 .延长 AP 交 BC 于点 D,若 AB = a , AC = b ,用 a 、 b 表示向量 AP 、

AD
【提示】注意到 BP = 简即可.对于 【答案】∵ ∴ 3

AP - AB , CP = AP - AC ,由已知 3 AP +4 BP +5 CP = 0 ,可以得到 AP 关于 a 、 b 的表达式,化

AD ,可利用 AP 与 AD 共线予以解决.
BP = AP - AB = AP - a , CP = AP - AC = AP - b ,又
3

AP +4 BP +5 CP = 0 ,

AP +4( AP - a )+5( AP - b )= 0 ,化简,得 AP =
1 5 t a+ tb . 3 12
①又设

1 5 ,则 a + b .设 AD =t AP (t∈R) 3 12

AD =


,由 BC = AC - AB = b - a ,得 BD =k( b - a ) . BD =k BC (k∈R)

AD = AB + BD = a + BD ,∴ AD = a +k( b - a )=(1-k) a +k b



23

习题精选精讲

?1 ?3 t ? 1 ? k ? 由①、②,得 ? 解得 ? 5 t ? k. ?12 ?
平面向量中的常见错误

t =

4 3

.代入①,有

AD =

4 5 a+ b. 9 9

一、忽略向量夹角的范围致错 → → → → → → → → → → 例 1 设向量 e 1, e 2 满足| e 1|=2,| e 2|=1,且 e 1, e 2 的夹角为 60?,若向量 2t e 1+7 e 2 与 e 1+t e 2 的夹角为锐角,求实数 t 的取值范围. 1 → → →2 →2 → → → → 错解:∵| e 1|=2,| e 2|=1,∴ e 1=4, e 2=1, e 1· e 2=| e 1|·| e 2|cos60?=2×1× =1, 2 → → → → →2 → → →2 ∴(2t e 1+7 e 2)·( e 1+t e 2)= 2t e 1+(2t2 +7) e 1· e 2+7t e 2=2t2 +15t+7. → → → → → → → → ∵向量 2t e 1+7 e 2 与 e 1+t e 2 的夹角为锐角,∴(2t e 1+7 e 2)·( e 1+t e 2)>0, 即 1 1 2t2 +15t+7>0,解得 t<﹣7 或 t>﹣ .故所求实数 t 的取值范围为 t<﹣7 或 t>﹣ . 2 2

→ → 辨析:上面的解法似乎合情合理,毫无破碇.事实上,上面的解法忽略了向量夹角的范围,以致出错.因为两向量 e 1 与 e 2 的夹角θ 的 ? → → → → → → → → → → 取值范围是[0,π ],当(2t e 1+7 e 2)·( e 1+t e 2)>0 时,2t e 1+7 e 2 与 e 1+t e 2 的夹角范围θ ∈[0, ),由题设条件知,向量 2t e 1+7 e 2
2与

→ → e 1+t e 2 的夹角为锐角,∴θ ≠0,因此,在上面所求出的 x 的取值范围须去掉θ =0 时θ 的范围. ? 2t=λ → → → → 设 2t e 1+7 e 2=λ ( e 1+t e 2)(λ >0),∴? ,解得 ? 7=tλ ∴当 t= t= 14 ,λ = 14, 2

14 1 14 14 → → → → 时,2t e 1+7 e 2 与 e 1+t e 2 的夹角为 0.∴所求 x 的取值范围应是:(﹣∞,﹣7)∪(﹣ , )∪( ,+∞). 2 2 2 2

二、忽视两向量夹角的定义致错 → → → → → → → → → 例 2 正△ABC 的边长为 1,且BC= a ,CA= b ,AB= c ,求| a + b + c |的值. 1 → → → → → → → → → 1 错解:由于正△ABC 的边长为 1,所以,∠A=∠B=∠C=60?且| a |=| b |=| c |=1,所以, a · b =| a |·| b |cos∠C= ,同理可得 b · c = , 2 2 → → 1 → → → → → → → → → → → → → → → c · a = ,由| a + b + c |2= a 2+ b 2+ c 2+2 a · b +2 b · c +2 c · a =6,故| a + b + c |= 6. 2 → → 辩析:本题误以为 a 与 b 的夹角为∠BCA.事实上,根据两向量的夹角的定义,其夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之 → → 间的夹角,范围是[0?,180?],因此,向量 a 与 b 的夹角应为 180?-∠BCA.其正确的解法如下: 1 1 → → 1 → → → → → → → → → → → → 作CD=BC, a 与 b 的夹角即BC与CA的夹角为 180?-∠BCA=120?,所以, a · b =| a |·| b |cos120?=﹣ ,同理可得 b · c =﹣ , c · a =﹣ , 2 2 2 → → → → → → → → → → → → → → → 由| a + b + c |2= a 2+ b 2+ c 2+2 a · b +2 b · c +2 c · a =0,故| a + b + c |=0. 三、忽略共线向量致错 → → → → → → → → → 例 3、已知同一平面上的向量 a 、 b 、 c 两两所成的角相等,并且| a |=1,| b |=2,| c |=3,求向量 a + b + c 的长度. → → → → → → 错解:易知 a 、 b 、 c 皆为非零向量,设 a 、 b 、 c 所成的角均为θ ,则 3θ =360?,即θ =120?, 24

习题精选精讲 3 → → → → → → → → 所以, a · b =| a |·| b |cos120?=﹣1,同理 b · c =﹣3, c · a =﹣ , 2 → → → → → → → → → → → → → → → 由| a + b + c |2= a 2+ b 2+ c 2+2 a · b +2 b · c +2 c · a =3,故| a + b + c |= 3. → → → → → → 辨析:本例误以为 a 、 b 、 c 皆为非共线向量,而当向量 a 、 b 、 c ,共线且同向时,所成的角也相等均为 0?,符合题意.由于当向
? → → → → → → → → → → → → 量 a 、 b 、 c 共线且同向时,所成的角均为 0 ,所以| a + b + c |=| a |+| b |+| c |=6;所以,正确的答案向量 a + b + c 的长度为 6 或 3.

四、导用实数的运算性质致错 → → → → → → → → → → → → 例 4 已知 a 、 b 都是非零向量,且向量 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,向量 a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,求向量 a 与 b 的夹角. → → → → →2 → → →2 ? ( a +3 b )·(7 a -5 b )=0 ? 7 a +16 a · b -15 b =0 错解:由题意得? ,即? , ? (→-4→)·(7→-2→)=0 ? 7→2-30→·→+8→2=0 a b a b a a b b → → → → → → → → → → → 两式相减得 46 a · b -23 b 2=0,即 b (2 a - b )=0,所以, b = 0 (不合题意舍去)或 2 a - b = 0 , → → → → → → → 由 2 a - b = 0 知 a 与 b 同向,故向量 a 与 b 的夹角为 0?. → → → → → 辩析:本题误用实数的运算性质,即实数 a、b 若满足 ab=0 则必有 a=0 或 b=0,但对于向量 a 、 b 若满足 a · b =0 则不一定有 a =0 → → → → → → → → → → 或 b =0,因为由 a · b =| a |·| b |cos?知与?有关,当?=90?时, a · b =0 恒成立,此时 a 、 b 均可以不为 0 .其正确的解法如下: → → → → → → → → → → 由前知 b 2=2 a · b 代入 7 a 2+16 a · b -15 b 2=0 得 a 2=2 a · b , 1 →2 |a | → → 2 a·b 1 →2 →2 → → 所以, a = b =2 a · b ,故 cos?= = = . → → →2 2 | a |·| b | | a | 向量融入三角 一、向量的模(长度)与三角函数的交汇 例1 若a

= ?cos ?, ? ? , b = ?cos ?, ? ? ,且 ka + b ? 3 a ? kb ,其中 k ? 0 . sin sin
? 1 时, a 与 b 所成角 ? (0 ≤? ≤ π) 的大小.

b (2)求当 k (1)用 k 表示 a ? ;

b 解: (1) a? = cos ? cos ?
法一:∵ ka + b = ? k cos ? ∴
2

? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ; ? cos ?,k sin ? ? sin ? ? , a ? kb = ?cos ? ? k cos ?, ? ? k sin ? ? , sin

ka + b ? (k cos ? ? cos ? ) 2 ? (k sin ? ? sin ? ) 2

? 1 ? k 2 ? 2k (cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 1 ? k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ,
a + kb ? (cos ? ? k cos ? ) 2 ? (sin ? ? k sin ? ) 2 . ? 1 ? k 2 ? 2k (cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 1 ? k 2 ? 2k cos(? ? ? ) .
2



ka + b ? 3 a ? kb ,得 1 ? k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 3[1 ? k 2 ? 2k cos(? ? ? )] ,

25

习题精选精讲 整理,得 8k cos(?

? ? ) ? 2(k 2 ? 1) .又 k ? 0 ,∴ cos(? ? ? ) ?
a ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1
2 2

k 2 ?1 k 2 ?1 b (k ? 0) ; ,即 a ? = 4k 4k
. 由











b ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1
2

ka + b ? 3 a ? kb
2

2





k 2 a ? 2ka ?b + b ? 3 a ? 6ka ?b + ?k 2 b
2

,整理,得 8ka? = ?? k b

2

? 1? ,∴ a ?b =

k 2 ?1 (k ? 0) ; 4k


(2)当 k

? 1 时,∵ a ?b =

π k 2 ?1 1 a? b 1 ? ,∴ cos ? ? ? .又∵ 0 ≤ ? ≤ π ,∴ ? ? 3 4k 2 a b 2

点评:本题以向量的模、数量积作为平台,主要考查了三角恒等变换.解答中用到了解答向量模的两种典型的方法:一是通过运用向量的 坐标运算先求得向量的坐标,再求向量的模;二是利用公式

a ? a 2 将求模转化为求向量的数量积.要熟练掌握这两种方法的解题要领.
2

例2

sin 已知向量 m = ? cos ?, ? ? 和 n = ?

2π) 2 ? sin ?, ? ? , ? ? (π, ,且 m + n ? cos

8 2 5

,求 cos ?

?? π ? ? ? 的值. ?2 8?

解法一:∵ m + n = ?cos?

? sin ? ? 2, ? ? sin ? ? , cos



π? π? ? ? m + n ? (cos? ? sin ? ? 2)2 ? (cos ? ? sin ? )2 ? 4 ? 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 4 ? 4cos ? ? ? ? ? 2 1 ? cos ? ? ? ? . 4? 4? ? ?
m+n ? 8 2 5
,得 cos ? ?

由已知

π? 7 π? ? ? ?? π ? ? ? ? .又 cos ? ? ? ? ? 2cos 2 ? ? ? ? 1 , 4 ? 25 4? ? ? ?2 8?

∴ cos

2

5π ? π 9π 4 ? ? π ? 16 ?? π ? ?? π ? ? ? ? ? .∵ π ? ? ? 2π ,? 8 ? 2 ? 8 ? 8 ,∴ cos ? ? ? ? 0 ,∴ cos ? ? ? ? ? . 5 ? 2 8 ? 25 ?2 8? ?2 8?
m + n ? (m + n) 2 ? m 2 ? 2m ?n + n 2 ? m ? n ? 2m ?n
2 2 2

解法二:

? ( cos 2 ? ? sin 2 ? )2 ?

?

( 2 ? sin ? ) 2 ? cos 2 ?

? ?2[cos? (
2

2 ? sin ? ) ? sin ? cos? ] ? 4 ? 2 2(cos? ? sin ? )
?? π ? 4 cos ? ? ? ? . ?2 8? 5

8 2 ? π ?? ? ?? π ? ? 4 ?1 ? cos ?? ? ?? ? 8cos2 ? ? ? .由已知 m + n ? 5 4 ?? ? ?2 8? ?
∵π

,得

? ? ? 2π ,∴

5π ? π 9π 4 ?? π ? ?? π ? ? ? ? ,∴ cos ? ? ? ? 0 .∴ cos ? ? ? ? ? . 8 2 8 8 5 ?2 8? ?2 8?

点评:本题由向量和与模的运算得到关于?兹的三角函数关系,再通过三角恒等变换进行求解.这类题是近年高考的热点,其解题通 法是通过向量的运算得到纯三角函数的式子,然后由三角函数的知识进行求解. 二、向量夹角与三角函数的交汇 例3

sin sin 设 a = (1 ? cos ?, ? ) , b = ?1 ? cos ?, ? ? , c
? ?2 ?
26

= ??,? ,? ? (0,π) , ? ? (0,π) , a 与 c 的夹角为 ?1 , b 0
的值.

与 c 的夹角为 ?2 (1)用 ? 表示 ? 1 ; (2)若 ?1

π ? ?? ,求 sin 6 4

习题精选精讲 解: (1) cos ?1

?

1 ? cos ? ? ? a? c 1 ? cos ? ? ? ? cos 2 ? cos a c 2 2 2(1 ? cos ? ) (1 ? cos ? )2 ? sin 2 ?



∵ ? ? (0,π) ,∴

?

? ? ? ? π? ? ? 0, ? .∴ cos ?1 ? cos ? cos ,又 ?1 ?[0,π] ,∴ ?1 ? 2 2 2 2 ? 2?
? sin



(2)由(1) ,同理可得 cos ? 2

?

π ? ?π ? ? ? cos ? ? ? , ? 2 ? ? 2 2 2 ?2 2?



∵ ?1

? ?2 ?

π ? ?? π π ? ?? 2 ? ?? 3 ? ? ,∴ ? π ,∴ sin ,即 . ? 6 2 2 6 2 3 4 2 π 得出 ? 与 ? 6

点评:本题以向量的夹角概念为背景,考查了三角函数的求值及三角恒等变换的有关知识.解题的关键在于由向量的数量积公式求出

?1 与 ? , ?2 与 ? 之间的关系,再由 ?1 ? ? 2 ?
三、向量的数量积与三角函数的交汇 例4 已知 O 为坐标原点, OA ? (2cos

之间的关系.

??? ?

2

??? ? ??? ??? ? ? ,若 , OB x, , OB ? (1 3sin 2x ? a) ( x ? R , a ? R , a 为常数) y ? OA? , 1)

(1)求

? π? y 关于 x 的函数解析式 f ( x) ; (2)若 x ? 0, 时, f ( x ) 的最大值为 2,求 a 的值,并指出函数 f ( x)( x ? R ) 的单调区间. ? 2? ? ?

解: (1)

??? ??? ? ? π? ? f ( x) ? y ? OA? ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? a ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? a ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ? a ; OB 6? ?

(2)

π? π ?π 7 ? ? ? π? f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ? a ,当 x ? ?0, ? 时, 2 x ? ? ? , π ? ,故 f ( x)max ? 2 ? 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 . 6? 6 ?6 6 ? ? ? 2? 7 ? 2 ? π ?π ? f ( x) 的单调递增区间为 ? ? ? kπ, π ? , k ? Z ;单调递减区间为 ? ? kπ, π ? kπ ? , k ? Z . 6 ? 3 ? 3 ?6 ?

可求得函数

点评:本题通过向量的数量积巧妙地把向量与三角函数、三角恒等变换融为一体,利用三角函数的单调性求得函数的最值及单调区间. 四、向量模型在解交汇问题中的应用 例5 在锐角 △ ABC 中,已知 2cos A ? 2cos B ? 3 ? 2cos( A ? B) ,求角 C 的度数.

解:将 2cos A ? 2cos B ? 3 ? 2cos( A ? B) 整理得

cos A(1 ? cos B) ? sin A sin B ?
令a

3 ? cos B 2

(*) ,得 cos A(1 ? cos B) ? sin A sin B ?

= ?cos A, A? , b = ?1 ? cos B, B? .由 a? ≤ a b sin sin b

3 ? cos B ≤ ?1 ? cos B ?2 ? sin 2 B , 2

化简整理得 ? cos B ?

? ?

1 π π 1 3 1? ? ≤ 0 ,∴ cos B ? 2 .又 B 为锐角,∴ B ? 3 .将 B ? 3 代入(*)式,得 2 cos A ? 2 sin A ? 1 , 2?


2

即 sin ? A ?

? ?

π π π π π? ? ? 1 .∴ A ? 6 ? 2 ,∴ A ? 3 ,从而 C ? 3 6?
27


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