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高考数学(人教a版,理科)题库:直线、平面平行的判定及其性质(含答案)


第 4 讲 直线、平面平行的判定及其性质

一、选择题 1. 若直线 m?平面 α , 则条件甲: “直线 l∥α ”是条件乙: “l∥m”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

2.若直线 a∥直线 b,且 a∥平面 α ,则 b 与 α 的位置关系是( A.一定平行 C.平行或相交 解析 答案 B.不平行 D.平行或在平面内

直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为 D. D

3.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平 面 α 的位置关系是 A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 ( ). B.l⊥α D.l∥α 或 l?α

解析 l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等;l?α 时,直线 l 上所有的 点到 α 的距离都是 0;l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等;l 与 α 斜交 时,也只能有两个点到 α 距离相等. 答案 D 4.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β ( B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2 ).

解析 对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且 由 l1∥m 可得 l1∥α,同理可得 l2∥α 故可得 α∥β,充分性成立,而由 α∥β 不 一定能得到 l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于选项 C, 由于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项 D,由 n∥l2 可转化 为 n∥β,同选项 C,故不符合题意,综上选 B. 答案 B 5.已知 α1,α2,α3 是三个相互平行的平面,平面 α1,α2 之间

的距离为 d1,平面 α2,α3 之间的距离为 d2.直线 l 与 α1,α2,α3 分别相交于 P1, P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ( ).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 如图所示,由于 α2∥α3,同时被第三个平面 P1P3N 所截,故有 P2M∥ P3N.再根据平行线截线段成比例易知选 C. 答案 C 6.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( ).

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

解析 对于图形①:平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB∥平 面 MNP,对于图形④:AB∥PN,即可得到 AB∥平面 MNP,图形②、③都不 可以,故选 C. 答案 C 二、填空题 7.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平 行的直线共有________条. 解析 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线, 记 AC, BC, A1C1, B1C1 的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 答案 6 8.α、β、γ 是三个平面,a、b 是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ,b?β;

②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命题“α∩β=a,b?γ,且________,则 a ∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号 填上). 解析 ①中,a∥γ,a?β,b?β,β∩γ=b?a∥b(线面平行的性质).③中,b ∥β,b?γ,a?γ,β∩γ=a?a∥b(线面平行的性质). 答案 ①③ 9.若 m、n 为两条不重合的直线,α 、β 为两个不重合的平面,则下列命题中 真命题的序号是________. ①若 m、n 都平行于平面 α ,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α ,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α 、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α ,则 n∥β ; ④若 m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行. 解析 ①为假命题, ②为真命题, 在③中, n 可以平行于 β , 也可以在 β 内,

故是假命题,在④中,m、n 也可能异面,故为假命题. 答案 ②

10.对于平面 α 与平面 β,有下列条件:①α、β 都垂直于平面 γ;②α、β 都平行 于平面 γ;③α 内不共线的三点到 β 的距离相等;④l,m 为两条平行直线, 且 l∥α,m∥β;⑤l,m 是异面直线,且 l∥α,m∥α;l∥β,m∥β,则可判 定平面 α 与平面 β 平行的条件是________(填正确结论的序号). 解析 由面面平行的判定定理及性质定理知,只有②⑤能判定 α∥β. 答案 ②⑤ 三、解答题 11. 如图,在四面体 A-BCD 中,F、E、H 分 别是棱 AB、BD、AC 的中点,G 为 DE 的中 点.证明:直线 HG∥平面 CEF. 证明 法一 如图,连接 BH,BH 与 CF 交

于 K,连接 EK. ∵F、H 分别是 AB、AC 的中点, ∴K 是△ABC 的重心,

BK 2 ∴BH=3. BE 2 又据题设条件知,BG=3, BK BE ∴BH=BG,∴EK∥GH. ∵EK?平面 CEF,GH?平面 CEF, ∴直线 HG∥平面 CEF. 法二 如图,取 CD 的中点 N,连接 GN、HN. ∵G 为 DE 的中点,∴GN∥CE. ∵CE?平面 CEF,GN?平面 CEF,∴GN∥ 平面 CEF. 连接 FH,EN ∵F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点, 1 1 ∴FH 綉2BC,EN 綉2BC,∴FH 綉 EN, ∴四边形 FHNE 为平行四边形,∴HN∥EF. ∵EF?平面 CEF,HN?平面 CEF, ∴HN∥平面 CEF.HN∩GN=N, ∴平面 GHN∥平面 CEF. ∵GH?平面 GHN,∴直线 HG∥平面 CEF. 12. 如图, 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方 体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上, 且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点. (1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F. 证明 (1)∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2, ∴BG 綉 A1E,∴A1G 綉 BE. 又同理,C1F 綉 B1G,∴四边形 C1FGB1 是平行四边形, ∴FG 綉 C1B1 綉 D1A1,∴四边形 A1GFD1 是平行四边形.

∴A1G 綉 D1F,∴D1F 綉 EB, 故 E、B、F、D1 四点共面. 3 (2)∵H 是 B1C1 的中点,∴B1H=2. B1G 2 又 B1G=1,∴B H=3.
1

FC 2 又BC=3,且∠FCB=∠GB1H=90° , ∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG, ∴HG∥FB. 又由(1)知 A1G∥BE,且 HG∩A1G=G, FB∩BE=B,∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 13. 一个多面体的直观图及三视图如图所示: (其中 M、 N 分别是 AF、BC 的中点).

(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A-CDEF 的体积. π 解 由三视图可知:AB=BC=BF=2,DE=CF=2 2,∠CBF=2. (1)证明:取 BF 的中点 G,连接 MG、NG,由 M、 N 分别为 AF、 BC 的中点可得, NG∥CF, MG∥EF, ∴平面 MNG∥平面 CDEF, 又 MN?平面 MNG,

∴MN∥平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H. ∵AD=AE,∴AH⊥DE, 在直三棱柱 ADE-BCF 中,平面 ADE⊥平面 CDEF, 平面 ADE∩平面 CDEF=DE. ∴AH⊥平面 CDEF. ∴多面体 A-CDEF 是以 AH 为高,以矩形 CDEF 为底面的棱锥,在△ADE 中,AH= 2.S 矩形 CDEF=DE· EF=4 2, 1 1 8 ∴棱锥 A-CDEF 的体积为 V=3· S 矩形 CDEF· AH=3×4 2× 2=3. 14.如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE, AE=EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线 段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE. (1)证明 ∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,

∴BC⊥平面 ABE, 又 AE?平面 ABE,则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE,AE?平面 ABE, ∴AE⊥BF, 又 BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,∴AE⊥BE. (2)解 在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在△BEC 中过 G 点作

1 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连接 MN,则由比例关系易得 CN= CE. 3 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE?平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE. 同理,GN∥平面 ADE. 又∵GN∩MG=G,∴平面 MGN∥平面 ADE. 又 MN?平面 MGN, ∴MN∥平面 ADE.

∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点.


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