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湖南省长沙市雅礼中学2015届高三4月(第八次)月考数学理试题及答案


雅礼中学 2015 届高三月考试卷(八)





(理科)

( 时量:120 分钟,满分:150 分,2015 年 4 月)

一 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,请把答案均填入答卷的表格里)
1.已知复数 z 满足 z ? (1 ? 2i) ? i ,则复数对应的点在复平面对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B )

1? x } ,则 M 2.若集合 M ? {x | 0 ? x ? 1}, N ? {x | y ? lg x
A. {0} B. {0,1} C. {x | 0 ? x ? 1}

CR N ?

(

B

)

D. {x | x ? 0 或 x ? 1}

3.从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克)

125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在 [114.5,124.5] 内的概率为 A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 4.一个用流程图表示的算法如图所示, 则其运行后输出的结果为 ( A ) A.1320 C.132 B.11880 D. 以上都不对 ( C )

D. 0.5

开始

i=12,S=1 i≥10
Y N 输出 S 结束

S=S×i i=i-1 (第 4 题图) 5. ( x ? 3 x )12 的展开式中,含 x 的正整数次幂的项共有 A.3 项 B.4 项 C.2 项 D.6 项 ( A )

6.如图是某四棱锥的三视图,则该棱锥的体积是 ( D ) A.48 C.16 B. 24 3 6 D. 8 3 正视图 3 3 2 俯视图
1

4 2 侧视图

2 7. 在公差不为零的等差数列 {an } 中,2a3 ? a7 数列 {bn } 是等比数列, 且 b7 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,

则 log 2 (b6b8 ) 的值为 A.2 B.4 C.8 D .1

(

B

)

8.已知函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? A. ?26 B. ?18 C. ?10 D. 10

(

A

)

9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A a 2 b2

是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的 区间可能是 A. (0,

?
6

)

? ? B. ( , ) 6 4

? ? C. ( , ) 4 3

? ? D. ( , ) 3 2

(

D

)

【解析】 | AF |?

b 2c b2 p b2 ? 2 ,故选 D ? p, c ? ? ? 2c ,又 c ? b ? tan ? ? ? a b a 2 a

10.若 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,定义一种运算: a ? b ? (a1b1, a2b2 ) ,已知 m ? (2, ) ,

n?(

?
3

1 2

, 0 ,且点 ) P( x, y) ,在函数 y ? sin x 的图象上运动,点 Q 在函数 y ? f ( x) 的图

象上运动,且 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点),则函数 y ? f ( x) 的最大值 A 和最 小正周期 T 分别为 A. A ? 2, T ? ? B. A ? 2, T ? 4? C. A ? ( D )

1 1 ,T ? ? D. A ? , T ? 4? 2 2 ? 1 ? 1 【解析】由条件 OQ ? (2 x ? , sin x) ,所以 f (2 x ? ) ? sin x ,从而求得 3 2 3 2 1 x ? 1 f ( x) ? sin( ? ),? A ? , T ? 4? . 2 2 6 2 二 填空题(本大题应答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填入答卷中的横线上)
(一)选做题(请考生在 11、12、13 三题中任选两题作答,全做按前两题记分) 11.如图 AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 D,使 BD ? OB , DC 切圆 O 于 C ,则 AC : AD ? A 【答案】 1: 3 12.已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程为: ? O O C B D

? x ? 3 ? 3cos ? ? , ( ? 为参数) , ? ? y ? 1 ? 3sin ?

2

以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为: ? cos( ? 得弦长为

?

?
6

) ? 0,

则圆 C 截直线所

【答案】 4 2 13.若关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 2a |? 6 的解集不空,则 a 的取值范围是 【答案】 (?2, 4). (二)必做题(14-16 题) 14.函数 f ( x) ? sin 【答案】

3? 2

2x 2x ? ? cos( ? ) 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 3 3 6

15.已知函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) ,且 f ( y 2 ? 8x ? 11) ? f ( x2 ? 6 y ? 10) ? 0 ,则当

y ? 3 时,函数 F ( x, y) ? x2 ? y 2 的最小值与最大值的和为
【答案】62 【解析】易知 f ( x ) 是奇函数,又 f '( x) ? 1 ? cos x ? 0,? f ( x) 为增函数 所以 f ( y ? 8x ? 11) ? f (? x ? 6 y ?10),? y ? 8x ? 11 ? ? x ? 6 y ? 10
2 2 2 2 2 2 即 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 4 ,又 y ? 3 ,则 ( x, y) 对应可行域是以 (4,3) 为圆心,2 为半径的

上半圆面,易求得 F ( x, y)min ? 13, F ( x, y)max ? 49 ,其和为 62

16.记 min{a, b} ? ? 则 t 的最大值为 【答案】

?b, a ? b y } 也在变化, ,当正数 x 、 y 变化时, t ? min{x, 2 x ? y2 ? a, a ? b

2 xy 1 2 y y 【解析】: 若 x≤ 2 ,则 t=x,t2=x2≤x· 2 ≤ = .故 t≤ ,当 2 2 2 xy 2 2 x ?y x ?y 2
2 y y y xy 1 时取“=” ;若 2 ≤x, 则 t= 2 ,t2=( 2 )2≤ 2 ≤ .故 t 2 2 2 2 2 x ?y x ?y x ?y x ?y 2

且仅当 x=y=

2 2 2 2 ,当且仅当 x=y= 时取“=”.综上可知,当 x=y= 时,t 取最大值为 . 2 2 2 2 三 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出必要的文字说明,推理过程和演算步骤)


3

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获 胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 次投篮投中的概率为

1 ,乙每 3

1 ,且各次投篮互不影响. 2

(Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望 解析:设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

1 1 P ? Ak ? ? , P ? Bk ? ? , 3 2

k ? ?1, 2,3?

(Ⅰ)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的 概率计算公式知, P ? C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3
1 1 1 2 1 1 2 2

? ? ? ? P? A ? ? P? A ? P?B ? P? A ? ? P ? A ? P ?B ? P ? A ? P ?B ? P ? A ?
3

?

1 2 1 1 ?2? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2? 3 1 1 1 13 ? ? ? ? 3 9 27 27 (Ⅱ) ? 的所有可能为: 1, 2,3

2

2

6分

由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 ?

?

?

1 2 1 2 ? ? ? 3 3 2 3
2 2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 2? 9 综上知, ? 有分布列

?

? ? ?

?
2

?

2

?
P
从而, E? ? 1?

1

2

3

2 3

2 9
12 分

1 9

2 2 1 13 ? 2 ? ? 3 ? ? (次) 3 9 9 9

18. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将△ AED 、△ DCF 分别沿 DE 、 DF 折起,使 A 、 C 两点重合于点 A? ,连接 EF , A?B . (Ⅰ)求证: A?D ? EF ; (Ⅱ)求二面角 A? ? EF ? D 的余弦值.

4

【 解 析 】 ( Ⅰ ) 在 正 方 形 ABCD 中 , 有 AD ? AE , CD ? CF 则 A?D ? A?E , A?D ? A?F 又 A?E A?F ? A?

z x

∴ A?D ? 平面 A?EF y 而 EF ? 平面 A?EF ,∴ A?D ? EF 5 分 (Ⅱ)方法一: ∵正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF ? A?E ? A?F ? 1 , ∴ EF ? 2
2 2 2 ∴ A?E ? A?F ? EF ,∴ A?E ? A?F

由(Ⅰ)得 A?D ? 平面 A?EF , ∴分别以 A?E , A?F , A?D 为 x , y ,

z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系 A? ? xyz , 则 A?(0,0,0) , E (1, 0, 0) ,

F (0,1, 0) , D(0,0, 2)
∴ DE ? (1,0, ?2) , DF ? (0,1, ?2) , 设平面 DEF 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则由 ? 可取 n1 ? (2,2,1) 又平面 A?EF 的一个法向量可取 n2 ? (0,0,1)

? ?n1 ? DE ? x ? 2 z ? 0 ? ?n1 ? DF ? y ? 2 z ? 0

,

5

∴ cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 1 1 ? ? | n1 || n2 | 4 ? 4 ? 1 ?1 3
1 3
12 分

∴二面角 A? ? EF ? D 的余弦值为

方法二: 连接 BD 交 EF 于点 G ,连接 A?G ∵在正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF , DE ? DF , ∴点 G 为 EF 的中点, 且 BD ? EF ∵正方形 ABCD 的边长为 2,∴ A?E ? A?F ? 1 ,∴ A?G ? EF ∴ ?A?GD 为二面角 A? ? EF ? D 的平面角 由(Ⅰ)可得 A?D ? A?G , ∴△ A?DG 为直角三角形 ∵正方形 ABCD 的边长为 2, ∴ BD ? 2 2 , EF ? 2 , ∴ BG ?

G

2 3 2 2 , DG ? 2 2 ? , ? 2 2 2

又 A?D ? 2 ∴ A?G ?

DG 2 ? A?D2 ?

9 2 ?4 ? 2 2

2 ? AG 1 ? 2 ? ∴ cos ?A?GD ? DG 3 2 3 2
∴二面角 A? ? EF ? D 的余弦值为

1 3

19 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知 A、B 分别在射线 CM、 CN (不含端点 C )上运动,

?MCN ?

2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . 3

(Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值. 【解析】 (Ⅰ)

a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,
?MCN ? 2 1 ? , cos C ? ? , 3 2
2 2

? a ? c ? 4、b ? c ? 2. 又
a 2 ? b2 ? c2 1 ?? , ? 2ab 2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
6

1 ?? , 2

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又
2

c ? 4 ,? c ? 7 .

6分

(Ⅱ)在 ?ABC 中,

AC BC AB ? ? , sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB

?

AC ? sin ?

BC 3 ?? ? ? ? 2 , AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2? ?? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 3 ? ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 , 2 3? ? ?2 ?


? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? 当 ? ? ? 即 ? ? 时, ?? ? 0, ? ,? ? ? ? ? 3 3 3 3 2 6 ? 3?
12 分

f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 .

20.(本小题满分 13 分) 某生产流水线由于改进了设备,预计改进后第一年年产量的增长率 为 160% ,以后每年的增长率是前一年的一半,设原来的产量是 a. (Ⅰ) 写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量,并写出第 n 年与第 n ? 1 年的产 量之间的关系式 (n ? 2, n ? N ) ; (Ⅱ) 由于设备不断老化,估计每年将损失年产量的 5% ,如此下去,以后每年的产量是 否始终是逐年提高?若是,请给予证明;若不是,请说明从第几年起,产量将比上一 年减少? 解:(Ⅰ) 设第 n 年的产量为 an ,则

a1 ? a( 1? 1 6 0 % ) , a2 ? a( 1? 1 6 0 % ? ) (1 8 0 % ) , a3 ? a( 1? 1 6 0 % ? ) (1 8 0 ?% ) ( 1
? a1 ?

40%),

13 117 819 a, a 2 ? a, a 3? a. 5 25 125 6分 1 1 1 ? an ? an ?1 (1 ? n ?1 ?160%) ? an ?1 (1 ? ? n ? 4 )(n ? 2, n ? N ). 2 5 2
(Ⅱ) 依题意得, an ? an ?1 (1 ?

1 1 ? )(1 ? 5%). 5 2n ? 4 1 1 ? )(1 ? 5%) ? 1. 5 2n ? 4

若以后每年的产量逐年减少,即 an ? an?1 ,也即 (1 ?

7

1 1 20 19 1 ? ? n ? 4 ? ,? 2n ? 4 ? , 5 2 19 5 所以 19 19 22 ? , 21 ? ,? n ? 4 ? 2, 即n ? 6时, an ? an ?1 , 5 5
故从第 6 年起,年产量比上一年减少 13 分

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 中心在原点,一个焦点为 (? 6,0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) AB 是长为

3 . 2

5 的椭圆 E 动弦, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积的最大值与最小值 2

【解析】(Ⅰ)设椭圆方程:

x2 y 2 c 3 2 2 2 ? 2 ? 1 由条件知 c ? 6, ? ,又 a ? b ? c , 2 a b a 2 x2 y 2 ? ? 1 ???4 分 8 2

解得 a2 ? 8, c2 ? 6, b2 ? 2 所以椭圆方程为

(Ⅱ)当直线 AB 斜率存在时,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB : y ? kx ? b 代入椭圆方程

x2 ? 4 y 2 ? 8 得, (4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4(b2 ? 2) ? 0 ,
? x1 ? x2 ? ? 8kb 4(b 2 ? 2) , x x ? . 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

25 由 ?| AB |2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 4
得 b ? 2(4k ? 1) ?
2 2

16(1 ? k 2 ) ? [2(4k 2 ? 1) ? b2 ] , 2 2 (4k ? 1)

25(4k 2 ? 1)2 . 64(k 2 ? 1)
|b| k 2 ?1
,????8 分

又原点 O 到 AB 的距离为

所以 S?AOB

4k 2 ? 1 5 |b| , ,记 u ? 2 ? ? k ?1 4 k 2 ?1

625 2 128 625 64 2 4k 2 ? 1 3 (u ? u) ? 4 ? (u ? ) . 因为 u ? 2 ? 4? 2 ? [1, 4) 则S ?? 1024 25 1024 25 k ?1 k ?1
2

所以 S ? [

5 103 5 7 5 103 , 2] ,当直线 AB 斜率不存在时, S ? ?[ , 2] , 32 8 32

8

所以 Smax ? 2 ,此时 u ?

64 39 , 即k ? ? ; 25 6
????13 分
2

Smin ?

5 103 ,此时 u ? 1 ,即 k ? 0. 32

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ?

5 x ? b 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 2 3 4 ? ? 4 9 n ?1 ? ln ? n ? 1? 都成立. n2

b 的取值范围;
(Ⅲ)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?
' 解析:(Ⅰ) f ? x ? ?

?

1 ? 2 x ? 1, x?a

x ? 0 时, f ? x ? 取得极值, ? f ' ? 0? ? 0,


1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. 0?a

3分

2 ( Ⅱ ) 由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x ? x,

由 f ? x? ? ?

5 x?b , 得 2

3 x ? b ? 0, 2 3 5 2 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的 2 2 ln ? x ? 1? ? x 2 ?
实 数 根 等 价 于

? ? x ? ? 0 在 区 间 ?0, 2? 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 .

?' ? x? ?

1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?
'

当 x ? 0,1 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.????6 分
'

? ?

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . ????8 分 2
2 (Ⅲ) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知

?

?

9

f ' ? x? ?

? x ? 2 x ? 3? 3 ' 令 f ? x ? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ? (舍去), 2 ? x ? 1?

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;当 x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递减. ? f ? 0? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上的最大值. ? f ? x ? ? f ? 0? ,故 ln ? x ?1? ? x2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)
对任意正整数 n ,取 x ? 故2?

1 ?1 ? 1 1 ? 0 得, ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n ? ln

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 ? n ? n

3 4 ? ? 4 9

?

n ?1 3 4 ? ln 2 ? ln ? ln ? 2 n 2 3

n ?1 ? ln ? n ? 1? . 13 分 n

(方法二)数学归纳法证明:

1?1 ? 2 ,右边 ? ln(1 ? 1) ? ln 2 ,显然 2 ? ln 2 ,不等式成立. 12 3 4 k ?1 * 假设 n ? k ? k ? N , k ? 1? 时, 2 ? ? ? ? 2 ? ln ? k ? 1? 成立, 4 9 k
当 n ? 1 时,左边 ? 则 n ? k ? 1 时,有 2 ?

3 4 ? ? 4 9
k ?2

?

k ?1 k ? 2 k ?2 ? ? ? ln ? k ? 1? .做差比较: 2 2 2 k ? k ? 1? ? k ? 1?
k ?2 k ?2 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ln ?1 ? ? ??? 2 2 ? k ? 1 ? k ? 1? ? k ? 1 ? ? k ? 1 (k ? 1) ?

ln ? k ? 2 ? ? ln ? k ? 1? ?

? k ? 1?

2

? ln

构建函数 F ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ? x , x ? ? 0,1? ,则 F ? ? x ? ?
2

? x ? 2 x ? 3? ?0, x ?1

? F ? x ? 在? 0,1? 单调递减,? F ? x ? ? F ? 0? ? 0 .
取x?

1 1 ? ? 1 1 ? ? k ? 1, k ? N * ? , ln ?1 ? ?? ? ? F ? 0? ? 0 ? ? 2 ? k ?1 ? k ? 1 ? ? k ? 1 (k ? 1) ?

即 ln ? k ? 2 ? ? ln ? k ? 1? ?

k ?2

? k ? 1?

2

? 0 ,亦即

k ?2

? k ? 1?

2

? ln ? k ? 1? ? ln ? k ? 2 ? ,

故 n ? k ? 1 时,有 2 ?

3 4 ? ? 4 9

?

k ?1 k ? 2 k ?2 ? ? ? ln ? k ? 1? ? ln ? k ? 2 ? , 2 2 2 k ? k ? 1? ? k ? 1?

不等式成立. 综上可知,对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

3 4 ? ? 4 9

?

n ?1 ? ln ? n ? 1? 都成立. n2

10


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