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高一必修2直线.平面垂直的判定及其性质doc


直线、平面垂直的判定及其性质
一、目标认知 学习目标
1.了解空间直线和平面的位置关系; 2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤. 3.通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用,进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象 能力. 4.通过有关定理的发现、证明及应用,提高学生的空间想象力和类比、转化的能力,提高学生的逻辑 推理能力.

重点:
直线与平面平行的判定、性质定理的应用;

难点:
线面平行的判定定理的反证法证明,线面平行的判定和性质定理的应用.

二、知识要点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直定义 如果直线 和平面 的垂线;平面 要点诠释: (1)定义中“平面 注意区别. (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式. (3)若 ,则 . 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线” ,这与“无数条直线”不同, 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平面 互相垂直,记作 .直线 叫平面

叫直线 的垂面;垂线和平面的交点叫垂足.

2.直线和平面垂直的判定定理 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

符号语言: 特征:线线垂直 要点诠释: (1)判定定理的条件中: “平面内的两条相交直线”是关键性词语,不可忽视. (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线 垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要. 线面垂直

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角

一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面 引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的角. 要点诠释: (1)直线与平面平行,直线在平面由射影是一条直线. (2)直线与平面垂直射影是点. (3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. (4)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,它们所成的角是 0°的角.

知识点三、二面角
1.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法:棱为 、面分别为 的二面角记作二面角 .有时为了方便,也可在 内(棱以

外的半平面部分)分别取点 角 或 .

,将这个二面角记作二面角

.如果棱记作 ,那么这个二面角记作二面

2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条构成的角叫做二 面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的 二面角叫做直二面角.

知识点四、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 表示方法:平面 与 垂直,记作 .

画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图:

2.平面与平面垂直的判定定理 判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 符号语言: 图形语言:

特征:线面垂直 要点诠释:

面面垂直

平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线 面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面垂直问题处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面 与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.

知识点五、直线与平面垂直的性质
1.基本性质 一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言: 图形语言:

2.性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言: 图形语言:

知识点六、平面与平面垂直的性质
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言: 图形语言:

三、规律方法指导
垂直关系的知识记忆口诀: 线面垂直的关键,定义来证最常见, 判定定理也常用,它的意义要记清, 平面之内两直线,两线交于一个点, 面外还有一条线,垂直两线是条件, 面面垂直要证好,原有图中去寻找, 若是这样还不好,辅助线面是个宝, 先作交线的垂线,面面转为线和面, 再证一步线和线,面面垂直即可见, 借助辅助线和面,加的时候不能乱, 以某性质为基础,不能主观凭臆断, 判断线和面垂直,线垂面中两交线, 两线垂直同一面,相互平行共伸展, 两面垂直同一线,一面平行另一面, 要让面和面垂直,面过另面一垂线, 面面垂直成直角,线面垂直记心间.

经典例题透析 类型一、直线和平面垂直的定义
1.下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 与平面 ②如果直线 与平面 ③如果直线 不垂直于 ④如果直线 不垂直于 A.0 答案:B 解析:当 当 与 当 与 内的无数条直线平行时, 与 不一定垂直,故①不对; 垂直,故②不对; B.1 内的无数条直线垂直,则 内的一条直线垂直,则 ,则 ,则 C.2 ; ;

内没有与 垂直的直线; 内也可以有无数条直线与 垂直. D.3

内的一条直线垂直时,不能保证 与 不垂直时, 可能与

内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.故选 B.

总结升华:注意直线和平面垂直定义中的关键词语.

举一反三: 【变式 1】下列说法中错误的是( ) ①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交; ②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内; ③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内; ④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线. A.①② 答案:D 解析:如图所示,直线 , 面 ABCD,显然 , B.②③④ C.①②④ D.①②③

∴ ①错; 由于 , , ,但 ,但 ,∴ ②错; ,∴ ③错.

由直线与平面垂直的定义知④正确,故选 D. 总结升华:本题可以借助长方体来验证结论的正误.

类型二、直线和平面垂直的判定
2.如图所示,已知 Rt△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 证明:(1)因为 SA=SC,D 为 AC 的中点, 所以 SD⊥AC. 连接 BD. 在 Rt△ABC 中,有 AD=DC=DB, 所以∠SDB=∠SDA, 所以 SD⊥BD.

所以△SDB≌△SDA, 又 AC∩BD=D,

所以 SD⊥平面 ABC. 所以 BD⊥AC.

(2)因为 AB=BC,D 是 AC 的中点, 又由(1)知 SD⊥BD, 所以 BD⊥平面 SAC.

所以 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线,

总结升华:挖掘题目中的隐含条件,利用线面垂直的判定定理即可得证. 举一反三: 【变式 1】如图所示,三棱锥 的四个面中,最多有________个直角三角形.

答案:4 解析:如图所示,PA⊥面 ABC.∠ABC=90°,则图中四个三角形都是直角三角形.故填 4. 总结升华:注意正确画出图形. 【变式 2】 如图所示, 直三棱柱 的两条对角线交点为 D, 求证:CD⊥平面 BDM. 的中点为 M. 中, ∠ACB=90°, AC=1, , 侧棱 , 侧面

证明:如右图,连接 ∵ 又知 D 为其底边 ∵ 又 , ,∴

、 ,∴



,则 为等腰三角形. ∴ ∴

.

的中点, , .

. .



为直角三角形,D 为

的中点,





.





, .即 CD⊥DM.



.





为平面 BDM 内两条相交直线,

∴ CD⊥平面 BDM.

类型三、直线和平面所成的角
3.如图所示,已知∠BOC 在平面 BC= ,求 OA 和平面 所成的角. 内,OA 是平面 的斜线,且∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC= ,

解析:∵ 正三角形, ∵ ∴ ,

,∠AOB=∠AOC=60°, . ∴ ,

∴ △AOB、△AOC 为

∴ △ABC 为直角三角形. 过 A 作 AH 垂直平面 ∵ AO=AB=AC,

同理△BOC 也为直角三角形.

于 H,连接 OH, ∴ OH=BH=CH,H 为△BOC 的外心.

∴ H 在 BC 上,且 H 为 BC 的中点.

∵ Rt△AOH 中, ∴ ∠AOH=45°. 总结升华:

, 即 AO 和平面

∴ 所成角为 45°.



(1)确定点在平面内的射影的位置,是解题的关键,因为只有确定了射影的位置,才能找到直线与平面 所成的角,才能将空间的问题转化为平面的问题来解. (2)求斜线与平面所成的角的程序: ①寻找过直线上一点与平面垂直的直线; ②连接垂足和斜足得出射影,确定出所求解; ③把该角放入三角形计算. (3)直线和平面所成的角,也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况,也就是直 线和平面成 90°角和 0°角的情况,所以求线面所成角时,应想到以上两种情况. 举一反三: 【变式 1】 如图所示, 在正三棱柱 所成的角是________. 中, 侧棱长为 , 底面三角形的边长为 1, 则 与侧面

答案: 解析:如右图. 由题取 AC 中点 O,连接 BO.则 BO⊥平面 .





与平面

所成角.

又在

中,



. ∴





.

类型四、二面角
4. 如图所示, 在四面体 ABCD 中, △ABD、 △ACD、 △BCD、 △ABC 都全等, 且 求以 BC 为棱,以面 BCD 和面 BCA 为面的二面角大小. , ,

解析:取 BC 的中点 E,连接 AE、DE, ∵ AB=AC, ∴ AE⊥BC. ∴ DB=DC, ∴ DE⊥BC.

又∵ △ABD≌△ACD,AB=AC,

∴ ∠AED 为二面角 又∵ △ABC≌△BDC, 在 Rt△DEB 中,DB= 同理 在△AED 中, ∵ , .

的平面角. ∴ AD=BC=2, ,BE=1, ∴ ,







∴ ∠AED=90°.

∴ 以面 BCD 和面 ABC 为面的二面角大小为 90°. 总结升华:确定二面角的平面角,常常用定义来确定. 举一反三: 【变式 1】已知 D、E 分别是正三棱柱 E、C1 的平面与棱柱的下底面 的侧棱 和 上的点,且 .求过 D、

所成的二面角的大小.

解析:如图,在平面 则 F 是面 与面

内延长 DE 和 的公共点,

交于点 F, 为这两个平面的交线,

∴ 所求二面角就是 ∵ ∴ E、 ∵ ∴ 又面 ∴ ∴ ∴ 面 . 是二面角 . , ,而 ,且

的平面角. ,

分别 DF 和 A1F 的中点. ,

面 面

, .

的平面角,

由已知

,∴

.

总结升华:当所求的二面角没有给出它的棱时,找出二面角的两个面的两个公共点,从而找出它的棱,进而求 其平面角的大小即可.

类型五、平面与平面垂直的判定
5.在四面体 ABCD 中, 求证:平面 ABD⊥平面 BCD. ,AB=AD=CB=CD=AC= ,如图所示.

证明:∵ △ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形, ∴ 取 BD 的中点 E,连接 AE、CE,则 AE⊥BD,BD⊥CE, ∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角.

在△ABD 中,







.

同理

.

在△AEC 中, 由于 ,





∴ AE⊥CE,即∠AEC=90°,即二面角 A-BD-C 的平面角为 90°. ∴ 平面 ABD⊥平面 BCD. 总结升华:利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直,判定的方法是 (1)找出两个相交平面的平面角; (2)证明这个平面角是直角; (3)根据定义,这两个平面互相垂直.

举一反三: 【变式 1】如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别为 CD、DA 和对角线 AC 的 中点,求证:平面 BEF⊥平面 BGD.

证明:∵ AB=BC,CD=AD,G 是 AC 的中点, ∴ BG⊥AC,DG⊥AC, ∴ AC⊥平面 BGD. 又 EF∥AC, ∴ EF⊥平面 BGD. ∵ EF 平面 BEF,

∴ 平面 BDG⊥平面 BEF. 总结升华:证面面垂直的方法: (1)证明两平面构成的二面角的平面角为 90°; (2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.

【变式 2】如图所示,在 Rt△AOB 中,

,斜边 AB=4.Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴

旋转得到,且二面角 B-AO-C 是直二面角.D 是 AB 的中点. 求证:平面 COD⊥平面 AOB;

证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO, ∴ ∠BOC 是二面角 B-AO-C 的平面角. 又∵ 二面角 B-AO-C 是直二面角. ∴ CO⊥BO. 又∵ AO∩BO=O, ∴ CO⊥平面 AOB. 又 CO 平面 COD,

∴ 平面 COD⊥平面 AOB.

【变式 3】过点 P 引三条长度相等但不共面的线段 PA、PB、PC,有∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90°,求证: 平面 ABC⊥平面 BPC.

证明:如图,已知 PA=PB=PC=a, 由∠APB=∠APC=60°,△PAC,△PAB 为正三角形, 则有:PA=PB=PC=AB=AC=a, 取 BC 中点为 E

直角△BPC 中, 由 AB=AC,AE⊥BC,





直角△ABE 中,







在△PEA 中, ∴ ,





平面 ABC⊥平面 BPC.

类型六、综合应用
6.如图所示,△ABC 为正三角形,CE⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE=AC=2BD,M 是 AE 的中点,求证: (1)DE=DA;(2)平面 BDM⊥平面 ECA;(3)平面 DEA⊥平面 ECA.

证明: (1)取 EC 的中点 F,连接 DF. ∵ CE⊥平面 ABC, ∴ CE⊥BC.易知 DF∥BC,CE⊥DF. ∵ BD∥CE,∴ BD⊥平面 ABC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中,







∴ Rt△EFD≌Rt△DBA.故 DE=AD. (2)取 AC 的中点 N,连接 MN、BN,MN ∵ BD CF,∴ MN CF.

BD.N 平面 BDM.

∵ EC⊥平面 ABC,∴ EC⊥BN. 又∵ AC⊥BN,∴ BN⊥平面 ECA. 又∵ BN 平面 MNBD,∴ 平面 BDM⊥平面 ECA.

(3)∵ DM∥BN,BN⊥平面 ECA,∴ DM⊥平面 ECA. 又∵ DM 平面 DEA,

∴ 平面 DEA⊥平面 ECA. 总结升华:本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定,这里证明的关键是 BN⊥平面 ECA,应充分体会线线 垂直、线面垂直与面面垂直的关系.

7.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

思路点拨:要证明 MN∥平面 PAD,须证 MN 平行于平面 PAD 内某一条直线.注意到 M、N 分别为 AB,PC 的 中点,可取 PD 的中点 E,从而只须证明 MN∥AE 即可.证明如下. 证明:(1)取 PD 的中点 E,连接 AE、EN,





故 AMNE 为平行四边形,∴ MN∥AE. ∵ AE 平面 PAD,MN 平面 PAD,

∴ MN∥平面 PAD. (2)要证 MN⊥CD,可证 MN⊥AB. 由(1)知,需证 AE⊥AB. ∵ PA⊥平面 ABCD, ∴ PA⊥AB.又 AD⊥AB, ∴ AB⊥平面 PAD. ∴ AB⊥AE.即 AB⊥MN. 又 CD∥AB,∴ MN⊥CD. (3)由(2)知,MN⊥CD,即 AE⊥CD,再证 AE⊥PD 即可. ∵ PA⊥平面 ABCD,∴ PA⊥AD. 又∠PDA=45°,E 为 PD 的中点. ∴ AE⊥PD,即 MN⊥PD. 又 MN⊥CD, ∴ MN⊥平面 PCD.

总结升华: 本题是涉及线面垂直、 线面平行、 线线垂直诸多知识点的一道综合题. (1)的关键是选取 PD 的中点 E, 所作的辅助线使问题处理的方向明朗化.线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律.

学习成果测评 基础达标
1.平面 A. 外的一条直线 与 B. 内的两条平行直线垂直,那么( ). C. 与 相交 D. 与 的位置关系不确定

2.已知直线 a、b 和平面

,下列推论错误的是( ).

A.

B.

C.

D.

3.若直线 a⊥直线 b,且 a⊥平面 A. B.

,则有( ). C. D. 或

4.若 P 是平面

外一点,则下列命题正确的是( ). 相交 垂直 平行 平行

A.过 P 只能作一条直线与平面 B.过 P 可作无数条直线与平面 C.过 P 只能作一条直线与平面 D.过 P 可作无数条直线与平面

5.设

是直二面角,直线

,直线

,且 a 不垂直于 ,b 不垂直于 ,那么( ).

A.a 与 b 可能垂直,但不能平行 B.a 与 b 可能垂直,也可能平行 C.a 与 b 不可能垂直,但可能平行 D.a 与 b 不可能平行,也不能垂直

6.设



为两个不同的平面, 、m 为两条不同的直线,且 ,则 ;②若 ,则 届那么( ).



有如下两个命题:①若

A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题

7.关于直线 m、n 与平面 ①若 ③若 且 且



,有下列四个命题: 且 且 ,则 ;

,则 m∥n;②若 ,则 ;④若

,则 m∥n.

其中真命题的序号是( ). A.①② B.③④ C.①④ D.②③

8.已知直线 m⊥平面 ①若 A.③④ ,则 B.①③

,直线 ;②若 C.②④

,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ). ,则 m∥n;③若 m∥n,则 D.①② ;④若 ,则 .

9.下面四个命题: ①两两相交的三条直线只可能确定一个平面; ②经过平面外一点,有且仅有一个平面垂直这个平面; ③平面 内不共线的三点到平面 的距离相等,则 ;

④两个平面垂直,过其中一个平面内一点作它们交线的垂线,则此垂线垂直于另一个平面其中真命题 的个数是( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

10.设有不同的直线 a、b 和不同的平面 ①若 , ,则 ;②若

、 ,

、 ,给出下列三个命题: ,则 ;③若 ,则 .

其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

11.已知直线 ⊥平面 ③ ;④

,直线

平面 .

,有四个命题:①

;②



其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)

12.长方体

中,MN 在平面

内,MN⊥BC 于 M,则 MN 与 AB 的位置关系是_______.

13.如图所示,直角△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC.求证:BD⊥面 SAC.

能力提升
1.下面四个命题: ①若直线 a∥平面 ②若直线 a⊥平面 ③若平面 ④若平面 ∥平面 ⊥平面 ,则 ,则 ,则 ,则 内任何直线都与 a 平行; 内任何直线都与 a 垂直; 内任何直线都与 内任何直线都与 平行; 垂直.

其中正确的两个命题是( ) A.①与② B.②与③ C.③与④ D.②与④

2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角( ). A.相等 B.互补 C.关系无法确定 D.相等或互补

3.



是两个不同的平面,m、n 是平面 ⊥ ;③n⊥ ;④m⊥ .



外的两条不同直线,给出四个结论:

①m⊥n;②

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________________.

4.已知直线 PA 与平面

内过点 A 的三条直线 AB、AC、AD 成等角,求证:PA⊥平面

.

5.已知 ABCD 为矩形,SA⊥平面 ABCD,过点 A 作 AE⊥SB 于点 E,过点 E 作 EF⊥SC 于点 F,如图所示. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G,求证:AG⊥SD.

综合探究
1.已知:如图所示,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形.

2.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

参考答案 基础达标
1.D 内两条直线若相交则 ;若平行则不能确定 与 的位置关系.

2.D a 与 b 位置关系不能确定. 3.D 4.D 过 P 能作无数条直线与 5.C 若 ,如图,在 平行,这些直线均在过 P 与 ,则 . 平行的平面内.

内可作



,则

,与已知矛盾.

∴ a 与 b 不可能垂直;当 a、b 均与 平行时,a∥b,故选 C. 6.D 7.D 8.B 9.B 面面垂直的性质定理对于④显然成立;在①中应考虑两两相交的几种情况,对于三条直线交于一点 时,且不在同一平面时,显然不成立;在②中,平面外一点只能引一条直线与平面垂直,但过这条 直线的平面有无数个,不是真命题;对于③,若 的三点到 的距离相等,故不是真命题. 与 相交,在 两侧且在 内一定存在不共线

10.B 平行于同一平面的两直线可能平行,也可能相交或异面,故①错.平行于同一直线的两平面可能平 行,也可能相交,故②也错.

11.①③ ①∵ ②设 ③∵ ,

, , ,∴

,∴ ,且 m∥d 时, .又

.∴ ①正确. .故命题②错. ,∴ .故③正确.

④由②知④不正确.

12.MN⊥AB 如下图,由长方体的性质知,平面 内,且 MN⊥BC,所以 MN⊥平面 ABCD.AB

平面 ABCD,交线为 BC.因为 MN 在平面 平面 ABCD,∴ MN⊥AB.

13.证明:(1)∵ SA=SC,D 为 AC 的中点, ∴ SD⊥AC. 连接 BD. 在 Rt△ABC 中,

则 AD=DC=BD. ∴ △ADS≌△BDS. ∴ SD⊥BD. 又 AC∩BD=D, ∴ SD⊥面 ABC. (2)∵ AB=BC,D 为 AC 中点, ∴ BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥面 ABC, ∴ SD⊥BD. ∵ SD∩AC=D, ∴ BD⊥平面 SAC.

能力提升
1.B ①是错误的,a 与 ④是错误的. 2.C 可类比“空间中一个角的两条边分别垂直于另一个角的两条边”可知,这两个角关系不确定. 3.①③④ ②或②③④ ① , , 成立,如图.过 m 上一点 P 作 PB∥n,则 PB⊥m, 、 的交线 交于点 C. 内的一簇平行线平行.②③由线面垂直,面面平行的性质可判断出是正确的.

假设①③④为条件,即 PB⊥ .设垂足为点 B,又设

,垂足为点 A,过 PA、PB 的平面与

∵ ∴ ∴

⊥PA, ⊥PB, ⊥平面 PAB. ⊥AC. ⊥BC. 的平面角.

∴ ∠ACB 是二面角 由 m⊥n,显然 PA⊥PB. ∴ ∠ACB=90°. ∴ 由①③④ . ②成立.

反过来,如果②③④成立,与上面证法类似可得①成立.

4.证明:如图,在 AB、AC、AD 上分别取点 E、F、G,使 AE=AF=AG,连接 PE、PF、PG、EF、FG,设 EF、 FG 的中点分别为 H、I.由已知可得△PAE≌△PAF.

∴ PE=PF. ∵ H 是 EF 中点, ∴ PH⊥EF,AH⊥EF. ∴ EF⊥平面 PAH. ∴ EF⊥PA. 同理可证 FG⊥PA.又 EF∩FG=F, ∴ PA⊥平面 EFG,即 PA⊥平面 .

5.证明:(1)∵ SA⊥平面 ABCD,BC

平面 ABCD,

∴ SA⊥BC.又 BC⊥AB,SA∩AB=A, ∴ BC⊥平面 SAB,AE 平面 SAB.∴ BC⊥AE.

又 AE⊥SB,BC∩SB=B.∴ 有 AE⊥平面 SBC, 又 SC 平面 SDC,∴ AE⊥SC.又 EF⊥SC,AE∩EF=E, 平面 AEF,

∴ SC⊥平面 AEF,AE ∴ AF⊥SC. (2)∵ SC⊥平面 AEF,AG

平面 AEF,

∴ SC⊥AG,又 CD⊥AD,CD⊥SA,AD∩SA=A. ∴ CD⊥平面 SAD,AG 平面 SAD.

∴ CD⊥AG,又 SC∩CD=C,∴ AG⊥平面 SDC. 又 SD 平面 SDC,∴ AG⊥SD.

综合探究
1.证明:(1)在平面 ABC 内取一点 D,作 DF⊥AC 于点 F. ∴ 平面 PAC⊥平面 ABC,且交线为 AC, ∴ DF⊥平面 PAC.PC ∴ DF⊥AP. 作 DG⊥AB 于点 G.同理可证 DG⊥AP. 又 DG、DF 都在平面 ABC 内. ∴ PA⊥平面 ABC. (2)连接 BE 并延长交 PC 于 H. 平面 PAC,

∵ E 是△PBC 的垂心, ∴ PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线.∴ PC⊥BH. ∴ PC⊥平面 ABE.∴ PC⊥AB. 又∵ PA⊥平面 ABC, ∴ PA⊥AB. ∴ AB⊥平面 PAC. ∴ AB⊥AC,即△ABC 是直角三角形.

2.证明:(1)连接 AC,AC 交 BD 于点 D.连接 EO,如图. ∵ 底面 ABCD 是正方形. ∴ 点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线, ∴ PA∥EO. 而 EO 平面 EDB 且 PA 平面 EDB.

所以 PA∥平面 EDB. (2)∵ PD⊥底面 ABCD 且 DC ∴ PD⊥DC. ∵ PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE⊥PC. 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵ 底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴ BC⊥平面 PDC。而 DE ∴ BC⊥ED。 由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB 平面 PBC,∴ DE⊥PB. 平面 PDC, 底面 ABCD.

又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E, ∴ PB⊥平面 EFD.


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