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2015-2016学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题 含解析


第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.已知 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. ) C. a 2 ? b 2 D. ac ? bc

1 1 ? a b

B. 2 ? a ? 2 ? b

【答案】B 【解析】 试题分析:A 中,当 a ? ?1, b ? ?2 时,

1 1 ? 不成立;B 中, a ? b ? ?a ? ?b ? 2 ? a ? 2 ? b ,故 B 正 a b

确;C 中,当 a ? 1, b ? ?2 时, a 2 ? b 2 不成立;D 中,当 c ? 0 时, ac ? bc 不成立,故选 B.KS5U 考点:不等式的性质. 2.在等差数列 {an } 中, a5 ? 3, a6 ? ?2 ,则 a3 ? a4 ? ? ? a8 等于( A.1 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 a3 ? a8 ? a4 ? a7 ? a5 ? a6 ? 1 ,所以 a3 ? a4 ? ? ? a8 ? 3(a5 ? a6 ) ? 3 ,故选 C. 考点:等差数列的性质. 3. 直线 l : x ? ky ? k ? 1 ? 0 与圆 C : x ? y ? 3 的位置关系为(
2 2



B.2

C.3

D.4

) D.以上三个选项都有可能

A. l 与 C 相交 【答案】A 【解析】

B. l 与 C 相切

C. l 与 C 相离

考点:直线与圆的位置关系. 【方法点睛】直线与圆的位置关系考虑三法: (1)确定直线所过的定点,判断定点在圆内; (2)通过判断 圆心到直线的距离与半径的大小关系而实现; (3)通过将直线方程与圆方程联立消元后,利用判别式判断, 此法是判断直线与圆锥曲线位置关系的通法. 4.已知 ?ABC 的面积 S ? a ? (b ? c ) ,则 cos A 等于(
2 2 2

) D. ?

A.-4 【答案】D

B.

17 17

C. ?

17 17
-1-

17 17

【解析】

考点:1、余弦定理;2、三角形面积公式;3、同角三角形函数间的基本关系.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 5.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B ,记 ?APB ? ? , ?x ? y ? 2 ? 0 ?
则当 ? 最小时 cos ? 的值为( A. ) C.

95 10

B.

19 20

9 10

D.

1 2

【答案】C 【解析】 试题分析:作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,要使 ? 最小,则点 P 到加以的距离最大即可,由 图象知,当点 P 点 D (?4, ?2) 时, ?APB ? ? 最小,此时 | OD |?

(?4) 2 ? (?2) 2 ? 2 5 , | OA |? 1 ,则

?APO ?

?
2

,即 sin

?
2

?

| AO | 1 1 2 9 2 ? ,所以 cos ? ? 1 ? 2sin ? ? 1? ( ) ? ,故选 C. | OP | 2 5 2 10 2 5

考点:1、简单的线性规划问题;2、二倍角公式. 【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想,需要注意的是:①是准确无误地 作出可行域;②画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;③ 一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 6.若 sin(? ?

?

1 ) ? , ? ? (0, ? ) ,则 cos 2? ? ( 4 3



-2-

A. ?

7 9

B. ?

4 2 9

C.

4 2 9

D. ?

4 2 9

【答案】D 【解析】

考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式;3、诱导公式. 【技巧点睛】对于给角求角问题,常见有:(1)当“已知角”有两个时, “所求角”一般表示为两个“已知 角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” . 7.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”. 1 3 2 3 4 5 ? 2013 4027 2014 2015 2016

5 7 9 ? 8 12 16 ? 20 28 ?

4029 4031

8056 8060 16116

该表由若干数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一 个数,则这个数为( A. 2017 ? 22015 【答案】B 【解析】 试题分析:观察数列,可以发现规律:每一行都是一个等差数列,且第一行的公差为 1 第二行的公差为 2, 第三行的公差为 4,第四行的公差为 8,?,第 2015 行的公差为 2 数为 (1 ? 2016) ? 2
2014

) B. 2017 ? 22014 C. 2016 ? 22015 D. 2016 ? 22014

2014

,第 2016 行(最后一行)仅有一个

? 2017 ? 22014 ,故选 B.KS5U

考点:1、归纳与推理;2、等差数列的通项公式. 8.已知关于 x 的二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0, b, c ? R ) 在区间 (0, 2) 内有两个实根,若

c ?1 ? ,则实数 a 的最小值为( ? ?25a ? 10b ? 4c ? 4
A.1 【答案】D 【解析】 B.



3 2

C.

9 4

D.

16 25

-3-

考点: 1、方程的根;2、基本不等式.

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题(多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,满分 36 分,将答案填在答题纸上)
9.已知直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则原点 O 关于直线 l 对称的点是 的直线方程是 . ;经过点 P (2,1) 且纵横截距相等

【答案】 ( , ) ; x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 0 【解析】

2 4 5 5

2 b ? ?a a? ? 2 ? ?1 ? 0 ? ? ?2 ? 5 2 试题分析:设原点 O 关于直线 l 对称的点为 (a, b) ,则 ? ,解得 ? ,所以所求点的坐 ? b ? (? 1 ) ? ?1 ?b ? 4 ? ? 2 5 ?a ?
标为 ( , ) ;当直线过原点的,方程为 y ?

2 4 5 5

1 x ,即 x ? 2 y ? 0 ,当直线不过原点时,设直线的方程为 2

x ? y ? k ,把点 P(2,1) 代入,得 k ? 3 ,所以直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,综上所述所求直线方程为

x ? y ?3 ? 0 或 x ? 2y ? 0.
考点:1、直线方程;2、两直线间的位置关系. 10.对正整数 n 定义一种新运算“*” ,它满足:① 1*1 ? 1 ;② (n ? 1) *1 ? 2( n *1) ,则 2*1 ? = ;

n *1 ?
【答案】 2, 2 【解析】
n ?1

.

试题分析:因为 1*1 ? 1 , (n ? 1) *1 ? 2( n *1) ,所以 2*1 ? (1 ? 1) *1 ? 2(1*1) ? 2 ; n *1 ? ( n ? 1 ? 1) *1 =

2(n ? 1) *1 ? 2(n ? 2 ? 1) *1 ? 22 ( n ? 2) *1 ? ? ? 2 n ?1 (1*1) ? 2 n ?1 .KS5U
考点:新定义. 11.已知 cos ? ? 【答案】

1 1 ? , cos(? ? ? ) ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,则 cos ? ? 3 3 2

; 2? ? ? ?

.

7 ,? 9
-4-

【解析】

考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、两角差的余弦公式.

? y ? ?2 x ? 12.设实数 x, y 满足 ? y ? x ,则 z ? y ? 4 x 的取值范围是 ?y ? x ? 4 ?
是 . 【答案】 [?6, 24],[ ?8, 4] 【解析】

; z ? y ? 4 | x | 的取值范围

试题分析:作出不等式组表示的平面区域,由图知,当目标函数 z ? y ? 4 x 经过点 A(2, 2) 时取得最小值

2 ? 4 ? 2 ? ?6 ,经过点 B(?4,8) 时取得最大值 8 ? 4 ? (?4) ? 24 ,所以 z ? y ? 4 x 的取值范围是 [?6, 24] ;
? y ? 4x x ? 0 ,由图知,当 x ? 0 时, z ? y ? 4 x ,在点 B (?4,8) 处取得最小值 z ? y ? 4 | x |? ? ? y ? 4x x ? 0
在原点处取得最大值 0, 所以当 x ? 0 时,z ? [?8, 0) , 当 x ? 0 ,z ? y ? 4 x 在点 A(2, 2) 8 ? 4 ? (?4) ? ?8 , 处取得最小值 2 ? 4 ? 2 ? ?6 ,在点 C (0, 4) 处取得最大值 4 ? 4 ? 0 ? 4 ,所以 x ? 0 , z ? [?6, 4] ,所以

z ? y ? 4 | x | 的取值范围是 [?8, 4] .

考点:简单的线性规划问题. 13.直线 mx ? ny ? 2 ? 0(m, n ? 0) 被圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 截得弦长为 2,则
2 2

4 1 ? 的最小值 m n



.
-5-

【答案】 【解析】

9 2

考点:1、直线与圆的位置关系;2、基本不等式. 【方法点睛】当函数或代数式具有“和是定值” 、 “积是定值”的结构特点时,常利用基本不等式求其最大、 最小值.在具体题目中,一般很少考查基本不等式的直接应用,而是需要对式子进行变形,寻求其中的内 在关系,然后利用基本不等式得出结果. 14.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,当数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 , n ? N * 时,我们记实数 ? 为 n ?1
.

S 2 n ? S n 的最小值,那么数列 bn ?
【答案】34 【解析】 试题分析:因为 an ?

1 , n ? N * 取到最大值时的项数 n 为 n ? 100?

1 1 1 ,设 f (n) ? S 2 n ? S n ,则 f (n) ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ? ? ?? + n ?1 n?2 n?3

1 1 1 1 1 1 2 , f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ? 0 ,所以 f (n) 单调递增, 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 3 n ? 2 2n ? 2 2n ? 3 2 n ? 4
所以当 n ? 1 时, S 2 n ? S n 取得最小值 f (1) ?

1 1 1 1 ,即 ? ? ,所以 bn ? ,当 n ? 33 时, ? 3 3 n ? 100? n ? 100 3

bn ? 0 ,当 n ? 34 时, bn ? 0 ,所以数列 bn ?
考点:1、递推数列;2、数列的单调性. 15.已知正实数 a, b 满足 【答案】 [ 2 ? 【解析】

1 取到最大值时的项数 n 为 34. n ? 100?

2 1 ? ? 1 ,则 a ? b 的取值范围是 a ? 2 a ? 2b

.

1 , ??) 2

-6-

考点:基本不等式. 【技巧点睛】使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时,基本的技巧是创造 使用这些不等式的条件,如各变数都是正数,某些变数之积或者之和为常数等,解题中要根据这个原则对 求解目标进行适当的变换,使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ,已知不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 3} .
2

(1)若不等式 f ( x) ? m 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围;

[KS5UKS5U]

(2)若 f ( x) ? mx 对任意的实数 x ? 2 都成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) m ? ?1 ; (2) m ? ? 【解析】 试题分析: (1) 首先根据不等式 f ( x) ? 0 的解集求得 a, b 的值, 然后求出函数 f ( x) 的最小值, 从而求 m 的 取值范围得; (2)首先将问题转化为 m ? x ? 4 ?

1 . 2

3 ,然后根据函数的单调性求得 m 的取值范围. x

考点:1、不等式恒成立问题;2、函数的单调性. 【方法点睛】在给定自变量的取值范围时,解有关不等式问题时,往往采用分离变量或适当变形,或变换 主元,或构造函数,再利用函数的单调或基本不等式进行求解,在解答时,一定要注意观察所给不等式的 形式和结构,选取合适的方法去解答.
-7-

17.(本小题满分 15 分)已知 tan(

?

1 ??) ? . 4 3

(1)求

sin 2? ? cos 2 ? 的值; 1 ? sin 2?

(2) 若 ? 为直线 l 的倾斜角, 当直线 l 与曲线 C : x ? 1 ? 2 y ? y 2 有两个交点时, 求直线 l 的纵截距 b 的 取值范围. 【答案】 (1)-8; (2) 【解析】 试题分析: (1)首先根据条件求出 tan ? 的值,然后利用倍角公式结合同角三角函数间的基本关系求解即 可; (2)首先根据直线与圆有两个交点,利用点到直线的距离公式求得 b 的范围,然后由直线与圆相切时 求得 b 的最小值,从而求得参数 b 的取值范围.KS5U

5 3? 5 . ?b? 2 2

tan( ? ? ) ? tan ? ? 4 4 ??1 , 试题解析: (1) tan ? ? tan[( ? ? ) ? ] ? ? 4 4 1 ? tan( ? ? ) tan ? 2 4 4


?

?

sin 2? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ? ? ? ?8 . 2 2 2 1 ? sin 2? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? tan ? ? 1 ? 2 tan ?

当直线 l 过点 (1, 2) 时, bmin ? 所以参数 b 的取值范围是

5 , 2

5 3? 5 . ?b? 2 2
-8-

考点:1、倍角公式;2、同角三角函数间的基本关系;3、直线与圆的位置关系. 18.(本小题满分 15 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足 (1)求角 C 的大小; (2)若边长 c ? 【答案】 (1) C ? 【解析】 试题分析: (1)首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知条件等式,由此求得 cos C 的值,从而 求得角 C 的大小; (2)首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到关于 a ? 2b 关于角的表达式,然后利 用辅助角公式求出其最大值,也可首先利用余弦定理求得 a, b 的关系式,然后利用基本不等式求出 a ? 2b 的最大值. 试题解析: (1)因为

cos B b 2a . ? ? cos C c c

3 ,求 a ? 2b 的最大值.

?
3

; (2) 2 7 .

cos B b 2a ,故 cos B sin C ? sin B cos C ? 2sin A cos C . ? ? cos C c c
1 , 2

也即 sin A ? 2sin A cos C ,又 sin A ? 0 ,所以 cos C ? 又 C ? (0, ? ) ,故 C ?

?
3

.

另解:由余弦定理可知: ( 3) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C , 即 3 ? a 2 ? b 2 ? ab , 故 (a ? 2b) 2 ? 3 ? (3b ? 5a )b ? 所以 (a ? 2b) ?

1 1 7b ? 3b ? 5a 2 25 ? 7b(3b ? 5a) ? ? ( ) ? ( a ? 2b) 2 , 7 7 2 28

28 ,

当 7b ? 3b ? 5a 时,即 a ?

4 b 时, (a ? 2b) max ? 28 ? 2 7 . 5

考点:1、正弦定理;2、两角和的正弦公式;3、辅助角公式. 19. (本小题满分 15 分) 已知圆心在 x 轴正半轴上的圆 C 与直线 5 x ? 12 y ? 21 ? 0 相切, 与 y 轴交于 M , N 两点,且 ?MCN ? 120? .
-9-

(1)求圆 C 的标准方程; (2)过点 P (0, 2) 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A, B ,若设点 G 为 ?OAB 的重心,当 ?MNG 的面积 为 3 时,求直线 l 的方程. 备注: ?ABC 的重心 G 的坐标为 (
2 2

x A ? xB ? xC y A ? yB ? yC , ). 3 3

[KS5UKS5UKS5U]

【答案】 (1) ( x ? 1) ? y ? 4 ; (2) y ? ? x ? 2 或 y ? ? 【解析】
[KS5UKS5U]

1 x ? 2. 3

试题解析: (1)由题意知圆心 C (a, 0) ,且 a ? 0 , 由 ?MCN ? 1200 知 Rt ?MCO 中, ?MCO ? 60? , | OC |? a ,则 | CM |? 2a , 于是可设圆 C 的方程为 ( x ? a ) ? y ? 4a
2 2 2
[KS5UKS5UKS5U]

又点 C 到直线 5 x ? 12 y ? 21 ? 0 的距离为 d ? 所以 a ? 1 或 a ? ?

| 5a ? 21| ? 2a , 13

21 (舍) , 31
2 2

故圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 4 . (2) ?MNG 的面积 S ?

1 | MN || xG |? 3 | xG |? 3 ,所以 | xG |? 1 . 2 x1 ? x2 ? 0 ,即 x1 ? x2 ? 3 xG , 3
2 2 2 2

若设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 xG ?

当直线 l 斜率不存在时, ?ABO 不存在, 故可设直线 l 为 y ? kx ? 2 ,代入圆 C 的方程 ( x ? 1) ? y ? 4 中,可得 (1 ? k ) x ? (4k ? 2) x ? 1 ? 0 ,
- 10 -

? ?(1 ? k 2 ) x 2 ? (4k ? 2) x ? 1 ? 0 ? 4 ? 则 ? ? ? 0 ? k ? 0或k ? , 3 ? 2 ? 4k ? x1 ? x2 ? ? 1? k 2 ?
所以

2 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 3或 ? ?3 ,得 k ? ?1 或 k ? ? , 2 2 1? k 1? k 3 1 x ? 2. 3

故满足条件的直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 或 y ? ?

考点:1、圆的方程;2、点到直线的距离;3、直线方程;4、直线与圆的位置关系. 【易错点睛】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式 及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂 直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零,若采用点斜式, 应先考虑斜率不存在的情况. 20.(本小题满分 15 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 2 S n ? an (an ? 1) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

1 1 } 的前 n 项和为 An ,求证:对任意正整数 n ,都有 An ? 成立; 2 2 (an ? 2)

(3)数列 {bn } 满足 bn ? ( ) n an ,它的前 n 项和为 Tn ,若存在正整数 n ,使得不等式

1 2

(?2) n ?1 ? ? Tn ?

n ? 2n ?1 成立,求实数 ? 的取值范围. n 2

[KS5UKS5U]

【答案】 (1) an ? n, n ? N * ; (2)见解析; (3) ? ? 0 或 ? ? 【解析】

1 . 4

- 11 -

2 试题解析: (1) 2 S n ? an ? an , 2 当 n ? 2 时, 2 S n ?1 ? an ?1 ? an ?1 ,

2 2 两式相减得: 2an ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 ,所以 ( an ? an ?1 )( an ? an ?1 ? 1) ? 0 .

因为数列 {an } 为正项数列,故 an ? an ?1 ? 0 ,也即 an ? an ?1 ? 1 , 所以数列 {an } 为以 1 为首项 1 为公差的等差数列, 故通项公式为 an ? n, n ? N * .KS5U

(3)易知 bn ?

n ,则 2n

1 1 1 1 1 Tn ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? n ?1 ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 2
①-②可得: Tn ? 故 Tn ? 2 ?

1 2

1 1 1 1 n?2 ? 2 ? ? ? n ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2

n?2 2 ,所以不等式 (?2) n ?1 ? ? 2 ? n ? 2n ?1 成立, n 2 2 2 1 1 ? 2n ?1 ,所以 ? ? ?2 ? n ?1 ? ( n ?1 ) 2 ? 1 n 2 2 2

若 n 为偶数,则 ?2n ?1 ? ? 2 ? 设t ?

1 1 1 ? (0, ] ,则 y ? ?2t ? t 2 ? 1 ? (t ? 1) 2 在 (0, ] 单调递减, n ?1 2 2 2 1 1 1 时, ymin ? ,所以 ? ? ; 2 4 4

故当 t ?

- 12 -

若 n 为奇数,则 2n ?1 ? ? 2 ? 设t ?

2 1 1 ? 2n ?1 ,所以 ? ? 2 ? n ?1 ? ( n ?1 ) 2 ? 1 n 2 2 2

1 ? (0,1] ,则 y ? 2t ? t 2 ? 1 ? ?(t ? 1) 2 在 (0,1] 单调递增, n ?1 2

故当 t ? 1 时, ymax ? 0 ,所以 ? ? 0 综上所述, ? 的取值范围 ? ? 0 或 ? ?

1 . 4

考点:1、等差数列的定义及通项公式;2、错位相减法数列的和;3、函数的单调性;4、放缩法;5、不等 式恒成立问题. 【技巧点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等 式、方程及最值之类的问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最 值等问题,常可使问题变得明了.

- 13 -


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